数学：4.9.1《回顾与思考》(1)教案(北师大版八年级上)

§4.9.1 回顾与思考(一)
知识与技能目标：
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念.
2.平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质和常用判别方法.
3.多边形的概念、多边形的内角和与外角和公式.
4.平面图形的密铺.
过程与方法目标：
1.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它们之间的关系.
2.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质和常用的判别方法.
3.了解多边形的内角和与外角和公式，了解多边形的概念.
4.了解三角形、四边形、正六边形可以密铺平面，能运用这三种图形进行简单的密铺设计.
5.在回顾与思考的过程中，进一步培养学生的合情推理能力，增强学生的简单逻辑推理意识，使学生掌握说理的基本方法.
情感态度与价值观目标：
1.在思考与回顾的过程中，使学生进一步领会特殊与一般、分类、转化和构造基本图形等一些重要的数学思想方法.
2.培养学生的应用意识.
3.在复习的活动中，丰富学生从事数学活动的经验和体验.
教学重点
突出本章的重点、难点内容.
教学难点
灵活应用所学有关知识解决实际问题.
教学方法
启发引导法.
以问题的方式帮助学生总结本章的内容，在学生充分思考，交流的基础上，引导学生梳理本章的结构框架.
教具准备
投影片七张：
第一张：P116问题1、2(记作§4.9.1 A)；
第二张：性质总结(记作§4.9.1 B)；
第三张：关系图(记作§4.9.1 C)；
第四张：P116问题3(记作§4.9.1 D)；
第五张：判定方法(记作§4.9.1 E)；
第六张：P116问题5(记作§4.9.1 F)；
第七张：本章知识框架(记作§4.9.1 G).
学生用具：
剪刀、图钉、纸片数张
教学过程
Ⅰ.巧设情景问题，引入课题
［师］这段时间我们学习了“四边形性质的探索”，四边形的性质有哪些呢？这一章还有哪些内容呢？今天就来对此进行回顾.
Ⅱ.讲授新课
［师］我们来通过问题串的方式，总结回顾本章内容，看问题(出示投影片§4.9.1 A)
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形各有哪些性质？它们彼此之间有什么关系？
2.在平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形中，哪些图形具有轴对称性？哪些图形是中心对称图形？
［师］大家分组总结，在回顾与思考时，可以自制学具，通过演示来归纳这些特殊四边形的性质，弄清它们彼此之间的关系.
［生甲］我们裁剪了两张重叠的平行四边形纸片，画出它们的对角线，在对角线的交点处钉一图钉，把上面的一张平行四边形纸片绕着对角线的交点旋转180°后与下面的平行四边形纸片完全重合，由此说明平行四边形的性质：
平行四边形的对边平行、对边相等
平行四边形的对角相等
平行四边形的对角线互相平分
平行四边形是中心对称图形
［生乙］我们自制了平行四边形框架，把平行四边形短的边向一边平移，使长边与短边相等时，这时的平行四边形是菱形.由此可知，菱形是特殊的平行四边形，因此它既具有平行四边形的所有性质，又具有它独特的性质：
四条边相等；对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角.
把菱形沿着它的对角线对折，可知对角线两旁的部分能完全重合，说明菱形是轴对称图形.
［生丙］我们也自制了平行四边形框架，因为平行四边形具有不稳定性，所以把平行四边形的一个内角由锐角变为钝角的过程中，出现了内角为直角的特殊情况，这时的平行四边形就是矩形.由此可知：矩形也是既具有平行四边形的性质，又具有它独有的性质：
四个角都是直角、对角线相等
把矩形沿着它的对边的中点连线对折后，可以看到：这两部分完全重合，说明：矩形也是轴对称图形，它具有轴对称性.
［生丁］因为菱形是特殊的平行四边形，而平行四边形具有不稳定性，所以把菱形的一个内角也可以变为直角，这时的菱形是正方形.
把矩形的短边平行移动，使长边与短边相等，这时的矩形也是正方形.
由此可知：正方形是平行四边形，又是特殊的菱形、特殊的矩形，由此它具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
［生戊］梯形是一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，而两腰相等的梯形是等腰梯形.沿着两底中点的连线对折等腰梯形时，两部分能完全重合，说明等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等.
［师］同学们讨论得非常精彩，由讨论进一步理解了平行四边形、特殊平行四边形及等腰梯形的性质(出示投影片§4.9.1 B)
等腰梯形两底平行，两腰
相等
同一底上的
两个角相等
两条对角线相等轴对称
［师］通过归纳，总结平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形等的性质，也理清了它们彼此之间的关系.
［师生共析］(出示投影片§4.9.1 C)
［师］我们知道了平行四边形、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形，那中心对称图形有哪些特性呢？
［生己］中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分.
［生庚］中心对称图形绕着它的过程中心旋转180°后，能与原图形重合.
［师］同学们总结得很好，通过中心对称图形的性质，可以作出一个图形关于某一点为对称中心的对称图形.
我们通过讨论总结了平行四边形及特殊的平行四边形、等腰梯形的性质，即如何判定一个四边形是平行四边形呢？(出示投影片§4.9.1 D)
如何判定一个四边形是平行四边形？矩形、菱形、正方形、等腰梯形呢？
［师］大家回顾后，总结一下.
［生甲］利用平行四边形的定义：即“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来判定，也可以利用下面的方法：
1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
3.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
共五种判定方法.
［生2］在一个四边形中，只要有三个角是直角，那么这个四边形就一定是矩形.
因为矩形是特殊的平行四边形，所以可先判定一个四边形是平行四边形后，可证：这个平行四边形的一个内角是直角，然后得证此平行四边形是矩形；也可证这个平行四边形的两条对角线相等.从而得证：
此平行四边形是矩形.
［生丙］在一个四边形中，如果它的四条边都相等，那么这个四边形是菱形.
因为菱形也是特殊的平行四边形，所以要判定一个四边形是菱形，可先判定四边形是平行四边形，然后找到一组邻边相等，或者找到对角线互相垂直，进而得证这个四边形是菱形.
［生丁］因为正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形，所以要判定一个四边形是正方形，可先判定这个四边形是矩形，然后找到一组邻边相等；也可先判定这个四边形是菱形，然后找到菱形的一个内角是直角，从而说明此四边形是正方形.
［生戊］要证一个四边形是等腰梯形，先得判定这个四边形是梯形，即：一组对边平行且不相等的四边形是梯形；或者一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形；然后找到它的两腰相等，或找它的同一底上的两个底角相等，最后得证此四边形是等腰梯形.
［生己］老师，能否用刚才得到的四边形与各种特殊的四边形之间的关系来判定呢？
［师］大家说：能吗？
［生齐］能.
［师］很好，同学们表现得非常棒，通过讨论又回顾平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法(出
［师］回顾了特殊四边形的性质及判定后，那想一想：(出示投影片§4.9.1 F)
［生齐］四边形的内角和为360°，外角和也为360°.
多边形的内角和与边数的关系：
(n－2)·180°(n为边数，取正整数，且n≥3)
内角和随着边数的增加而增加，边数增加1，内角和就增加180°.
多边形的外角和不随边数的变化而变化，任何多边形的外角和都等于360°.
［师］很好，我们通过问题串、活动等形式回顾了本章的主要内容，接下来我们共同梳理本章的结构框架.(一边引导学生梳理知识框架，一边出示投影片§4.9.1 G)
下面，我们通过练习来进一步巩固本章主要内容：
Ⅲ.课堂练习
(一)课本P116复习题A组1~5
1.举出生活中利用平行四边形的例子.
答：如：折叠式推拉门、升降架等是利用平行四边形的例子.
2.在ABCD中，两条对角线相交于点O，此时图中共有多少对相等的线段？分别将它们表示出来. 解：如图，图中共有四对相等的线段.
分别是：AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD.
3.已知菱形的两条对角线的长分别为4 cm,8 cm，求它的边长.
解：如图，AC 、BD 是菱形ABCD 的两条对角线，它们相交于O 点，AC =8 cm,BD =4 cm. 则AC ⊥BD ，OA =OC =
2
1
AC =4 cm. OB =OD =
2
1
BD =2 cm. 所以△AOB 为直角三角形. 由勾股定理，得AB =22OB OA + =522422=+ (cm) 因此，菱形的边长为25 cm.
4.检查教室(或你家)的方桌面(或门框)是不是矩形，如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？解释其中的道理：
答：先用绳子测量门框、桌面的对边是否相等，然后再用绳子测量门框、桌面的对角线是否一样长即可.
理由是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形、对角线相等的平行四边形是矩形.
5.分别确定一般三角形、四边形、五边形、六边形……的内角和，以及正三角形、正四边形、正五边边数 3 4 5 6 …… 多边形内角和 正多边形内角的度数
解：如下表： 边数 3 4 5 6 …… 多边形内角和 180° 360° 540° 720° 正多边形内角的度数
60°
90°
108°
120°
Ⅳ.课时小结
通过本节课的复习，要求同学们能熟练掌握特殊四边形的性质及判定，多边形的外角和与内角和公式，并能在解题中加以运用.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P 117复习题A 组 6~8，B 组：1~5 (二)每位学生出一份测试题
Ⅵ.活动与探究
某公园有三个景点A 、B 、C ，其中BC =2，∠B =60°，∠C =75°，今在三条道路AB 、BC 、CA 上各取点D 、E 、F ，建成如图形状的三条旅游线路，问D 在何处，可使新建的线路长度(即△DEF 的周长)最小？最小值是多少？
过程：通过学生讨论、活动，知道：只有DE 、DF 与EF 在同一直线上时，△DEF 的周长最小，即新建的线路长度最短.
如下图，分别作D 关于AB 、AC 的对称点D 1，D 2，连结BD 1、D 1E 、FD 2、CD 2，则由对称可知D 1E =DE ，DF =D 2F .
则所求的线路长度或折线D 1EFD 2，故当D 1、E 、F 、D 2在同一直线上时，可使△DEF 的周长最小.延长D 1B 、D 2C ，相交于O ，则
∠BOC =90°，∠BCO =30°. ∴△D 1OD 2为直角三角形 设CD 为x ,则BD =2－x
∴D 1O =OB +D 1B =1+(2－x )=3－x ,OD 2=OC +CD 2=3+x ∴D 1D 22
=(OD 1)2
+(OD 2)2
=(3－x )2
+(3+x )2
=2x 2
－2(3－3)x +12
=2(x －
2
33-)2
+6+33 所以当x =2
3
3-时，D 1D 2的最小值为336+.
结果：当D 选在距离C 为2
3
3-时，新建成的线路长最短，最短长度为336+.。