高等数学第一章极限习题课

第一章 习题课 一、主要内容
（一）函数的定义 （二）极限的概念 （三）连续的概念
(一)函数
基本初等函数
复合函数
函数 的定义
初等函数
双曲函数与 反双曲函数
反函数
反函数与直接 函数之间关系
函数 的性质
单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 周期性
1、函数的定义
定义 设数集D R,则称映射f : D R为定义在D上的
函数,记为 y f ( x), x D,
因变量
自变量
定义域 D f D
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
函数值全体组成的数集
Rf f (D) { y y f ( x), x D} 称为函数的值域.
函数的分类
有 有理整函数(多项式函数) 理
代 数
函 数 有理分函数(分式函数)
反双曲余弦 y arcosh x ; 反双曲正切 y artan x ;
(二)极限
数列极限
函数极限
lim
n
xn
a
lim f ( x) A
x
lim f ( x) A
x x0
无穷大
lim f (x)
两者的 关系
源自文库
极限存在的 充要条件
左右极限 无穷小的比较
无穷小
lim f ( x) 0
判定极限 存在的准则
两个重要 极限
等价无穷小 及其性质
无穷小 的性质
极限 的性质
求极限的常用方法
极限的运算
1、极限的定义
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么
小),总存在正整数 N ,使得对于 n N 时的一切
xn,不等式 xn a 都成立,那末就称常数 a 是
数列{ xn }的极限,或者称数列{xn }收敛于 a ,记为
设D关于原点对称, 对于x D,有
f ( x) f ( x) 称f ( x)为偶函数;
f (x) f (x)
y
称f ( x)为奇函数;
y
y x
y x3
o
x
偶函数
o
x
奇函数
(3) 函数的单调性:
设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果对于区间I上
任意两点 x1及 x2，当 x1 x2时，恒有：
f ( x)当 x x0 时的极限,记作
lim f ( x) A 或
x x0
f ( x) A(当x x0 )
" "定义 lim f ( x) A x x0
0, 0, 当0 x x0 时, 恒有 f ( x) A .
T 1
y
y x [x]
1
o
1
x
3、反函数
由y f ( x)确定的y f 1( x)称为反函数.
y sinh x y f 1( x) ar sinh x
5、反函数与直接函数之间的关系
设函数f ( x)是一一对应
函数, 则
y y f 1( x)
1 f ( f 1 ( x)) f 1 ( f ( x))
y tan x; y cot x; 6）反三角函数 y arcsin x; y arccos x;
y arctan x; y arccotx
7、复合函数
定义 设y f (u)的定义域为Df , u g( x)在D上有定义,
且g(D) Df ,则 y f [g(x)], x D
初 等
函 数
函
无理函数
函数
数
超越函数
非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)
2、函数的性质
(1) 单值性与多值性:
若对于每一个x D ,仅有一个值y f ( x) 与之对
应,则称 f ( x)为单值函数,否则就是多值函数.
y
y
( x 1)2 y2 1
y ex
o
x
o
x
(2) 函数的奇偶性:
(1) f (x1) f (x2 ),则称函数 f (x) 在区间I上是单调增加的； 或(2) f (x1) f (x2 ), 则称函数 f (x)在区间I上是单调递减的；
单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
y y x2 当 x 0 时为减函数;
当 x 0 时为增函数;
o
x
(4) 函数的有界性:
双曲函数常用公式
sinh( x y) sinh x cosh y cosh x sinh y ; cosh( x y) cosh x cosh y sinh x sinh y ; cosh2 x sinh2 x 1; sinh 2x 2 sinh x cosh x ; cosh 2x cosh2 x sinh2 x. 反双曲正弦 y arsinh x ;
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
" N"定义
lim
n
xn
a
0,N,当n N时,恒有xn a .
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多
么小),总存在正数 ,使得对于适合不等式
0 x x0 的一切 x ,对应的函数值 f ( x) 都 满足不等式 f ( x) A ,那末常数 A 就叫函数
若X D, M 0,x X ,有 f ( x) M 成立, 则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
y
y 1 x
在(,0)及(0,)上无界; 在(,1]及[1,)上有界.
1 o 1
x
(5) 函数的周期性:
设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个不为零的 数l,使得对于任一 x D,有 ( x l) D.且 f(x+l)=f(x) 恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通 常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
称为由u g( x)和y f (u)构成的复合函数.
8、初等函数 初等函数 由基本初等函数经过有限次四则
运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用 一个式子表示的函数,称为初等函数.
9、双曲函数与反双曲函数
双曲正弦 sinh x e x ex 2
双曲余弦 cosh x e x ex 2
双曲正切 tanh x sinh x e x ex cosh x e x e x
x
x Df
2 y f ( x)与y f 1( x)的
图象对称于直线y x.
( f ( x), x) y f (x)
( x, f ( x))
o
x
6、基本初等函数
1）常数函数 y C. 2）幂函数 y x (是常数)
3）指数函数 y a x (a 0, a 1) 4）对数函数 y loga x (a 0,a 1) 5）三角函数 y sin x; y cos x;