分段函数与复合函数

分段函数
1.已知函数f （x ）＝2
32,1,,1,
x x x ax x +<⎧⎨
+≥⎩若f （f （0））＝4a ，则实数a ＝ 2 .
解析：f （0）=2，f （f （0））=f(2)=4+2a=4a ，所以a=2
2. 已知函数3log ,0()2,0
x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1
(())9f f =
A.4
B.
1
4
C.-4 D-
14
【答案】B
【解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-，则211
(())(2)294
f f f -=-==，
所以B 正确.
3.定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨
⎧>---≤-0
),2()1(0
),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( )
A.-1
B. 0
C.1
D. 2
【解析】:由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,
(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,
(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,
所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=1,故选C. 4.设函数2
()2()g x x x R =-∈，()4,(),
(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是
（A ）9,0(1,)4⎡⎤-
⋃+∞⎢⎥⎣⎦ （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞（D ）9,0(2,)4⎡⎤
-⋃+∞⎢⎥⎣⎦
【答案】D
【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。

依
题
意
知
222
2
2(4),2()2,2
x x x x f x x x x x ⎧-++<-⎪⎨--≥-⎪⎩，
2
22,12()2,12
x x x f x x x x ⎧+<->⎪⎨---≤≤⎪⎩或
5.若函数f(x)=21
2
log ,0,
log (),0x x x x >⎧⎪
⎨-<⎪⎩,若f(a)>f(-a),则实数a 的
取值范围是
（A ）（-1，0）∪（0，1） （B ）（-∞，-1）∪（1,+∞） （C ）（-1，0）∪（1,+∞） （D ）（-∞，-1）∪（0,1） 【答案】C
【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。

由分段函数的表达式知，需要对a 的正负进行分类讨论。

【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。

6.已知函数21,0()1,
0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是_____。

[解析] 考查分段函数的单调性。

2
2
12(1)10x x x x ⎧->⎪⇒∈-⎨->⎪⎩
7.设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0
,60
,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）
A ),3()1,3(+∞⋃-
B ),2()1,3(+∞⋃-
C ),3()1,1(+∞⋃-
D )3,1()3,(⋃--∞ 【答案】A
【解析】由已知，函数先增后减再增 当0≥x ，2)(≥x f 3)1(=f 令,3)(=x f 解得3,1==x x 。

当0<x ，3,36-==+x x
故3)1()(=>f x f ，解得313><<-x x 或
【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。

以及一元二次不等式的求解 8.设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数
取函数()2
x
f x -=。

当K =
1
2
时，函数()K f x 的单调递增区间为【 C 】 A ．(,0)-∞ B ．(0,)+∞ C ．(,1)-∞- D ．(1,)+∞ 解: 函数1()2
()2x
x f x -==，作图易知1
()2
f x K ≤=⇒(,1][1,)x ∈-∞-+∞， 故在(,1)-∞-上是单调递增的，选C.
9.若函数1
,0()1(),0
3
x x x
f x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为____________.
【答案】[]3,1-
【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.
（1）由01|()|301133
x f x x x <⎧⎪
≥⇒⇒-≤<⎨≥
⎪⎩.
（2）由001|()|01111133333x x
x x f x x ≥⎧≥⎧⎪⎪≥⇒⇒⇒≤≤⎨⎨⎛⎫⎛⎫≥≥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭
⎝⎭⎩⎩.
∴不等式1
|()|3
f x ≥
的解集为{}|31x x -≤≤，∴应填[]3,1-. 10.设()⎩⎨
⎧<≥=1
,
1,
2x x x x x f ，()x g 是二次函数，若()[]x g f 的值域是[)+∞,0，则()x g 的
值域是（ ）
A.(][)+∞-∞-,11,
B.(][)+∞-∞-,01,
C.[)+∞,0
D. [)+∞,1
C.
答案:C.
11.已知(3103(1)
()log (1)
x
a a x a x f x x -+ ≤⎧⎪=⎨ >⎪⎩，是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是__________
12.函数2225(0)()0(0)25(0)x x x f x x x x x ⎧-+ >⎪
= = ⎨⎪--- <⎩
的奇偶性是_______________
13.若数列{}n a 满足112(0)2
121(1)
2
n n n n n a a a a a +⎧
≤<⎪⎪=⎨⎪- ≤<⎪⎩ ，且167a =，20a =________
14.设函数1221(0)()(0)
x x f x x x -⎧- ≤⎪
=⎨⎪ >⎩ ，若0()1f x >，则0x 的取值范围是_____________
(-∞，-1)∪（1，+∞）
15.函数22,0
()(),0x x x f x g x x ⎧-≥=⎨ <⎩ 为奇函数，则()g x =_______________
16.函数221,(01)
()1,0)x x f x x x ⎧-≤≤=⎨+ (<⎩ 的反函数是_______________
17. 函数21,(1)()1,1)x x x f x x x
⎧-+≤⎪
=⎨ (>⎪⎩ 值域是______________
18. 函数(0)()0(0)(0)x f x x x 1 >⎧⎪
= =
⎨⎪-1 <⎩
,若2()(1)(1)
g x x f x =--，且
11()()(4)y g x y g x y g --===-的反函数为，则=_____________
解析 1
2
(4),()4(1)(1)4g a g a a f a --==---=-令则，有
玩转函数第十招
第10招：玩转分段函数
分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数.它是一类表达形式特殊的函数,是中学数学中的一种重要函数模型。

分段函数有关问题蕴含着分类讨论、数形结合等思想方法. 一、分段函数的定义域和值域
分段函数的定义域为每一段函数定义域的并集,在表示每一段函数中x 的取值范围时,要确保做到定义域不重不漏,即交集为空集, 并集为整个定义域.值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。

例1求函数4,23,0123,10x x y x x x x -+>⎧⎪
=+<≤⎨⎪+-≤≤⎩
的定义域和值域
二、分段函数的求值
在求分段函数的值0()f x 时，一定首先要判断0x 属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式
例1、（辽宁理）设,0.(),0.
x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1
(())2g g =__________
2、（2006山东）设12
32(2),
()(1)(2).
log x x f x x e x
-⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则[(2)]f f = A.0 B.1 C.2 D.3
A
D 3、 已知=)
(x f ⎩
⎨⎧ －log 3(x + 1)(x>6)
3x －6(x ≤6)
，若记)(1
x f
-为)(x f 的反函数，且),9
1(1
-=f
a 则=+)4(a f .
4 、设2
22(1),
()1(1).1x x f x x x ⎧--≤⎪
=⎨>⎪
+⎩ 则1[()]2f f = ( ） A.12 B.413 C.95- D.2541
5、 已知sin (0),()(1)1(0).
x x f x f x x π<⎧=⎨
-->⎩则1111
()()66f f -+的值为 .
三、分段函数的单调性
例（2006北京理）、已知(31)4,1
()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩
是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取
值范围是
（A ）(0,1) （B ）1(0,)3
（C ）11
[,)73
（D ）1[,1)7
四、分段函数的图象 1.作出函数()1y x x =+的图象
2. 函数ln |1|x
y e
x =--的图象大致是 （ ）
反
2006卷）函数2
2,0
,0
x x y x x ≥⎧=⎨
-<⎩ 的反
年安徽函数是（ ）
A
．,020x x y x ⎧≥⎪=< B
．2,00x x y x ≥⎧⎪=< C
．,020
x
x y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩
D
．2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩
六、分段函数的解析式
1、在同一平面直角坐标系中，函数)(x f y = 和)(x g y =的图象关于直线x y =对称. 现将
)(x g y =的图象沿x 轴向左平移2个单位，再 沿y 轴向上平移1个单位，所得的图象是由两 条线段组成的折线（如图2所示），则函数)(x f 的
表
达
式
）
A ．22,10,
()2,0 2.2x x f x x x +-≤≤⎧⎪
=⎨+<≤⎪⎩
B ．22,10,
()2,0 2.2
x x f x x x --≤≤⎧⎪
=⎨-<≤⎪⎩
C ．22,12,()1,2 4.2x x f x x x -≤≤⎧⎪
=⎨+<≤⎪⎩
D ．26,12,
()3,2 4.2
x x f x x x -≤≤⎧⎪
=⎨-<≤⎪⎩
2、（2006年上海春卷）已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，
4)(x x x f -=，则当),0(∞+∈x 时，=)(x f .
3、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当2
0,()2 3.x f x x x
>=-+时求f(x)的解析式.
七、分段函数的最值
(2005上海高考题)对定义域分别是
,f
g
D D
的函数(),()y f x y g x ==.规定：
函数()(),,
()(),(),
f g
f g g f f x g x x x h x f x x x g x x x D D D D D D ⎧∈∈⎪⎪
=∈∉⎨⎪
∈∉⎪⎩当且当且当且
（I ）若函数21
(),()1
f x
g x x x =
=-，写出函数()h x 的解析式； （II ）求问题（I ）中函数()h x 的最大值； 八、分段函数的奇偶性 判断函数(1)(0),
()(1)
(0).x x x f x x x x -<⎧=⎨
+>⎩的奇偶性
九、与分段函数有关的不等式问题
1、
设函数2
(1).(1)
()41)x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围是__________
2已知1(0)()1(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩
，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是________
3、（山东理）设f(x)= 1
2
32,2,
log (1),2,
x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩ 则不等式f(x)>2的解集为 (A)（1，2）⋃（3，+∞）(B)（10，+∞）(C)（1，2）⋃ （10 ，+∞）(D)（1，2） 4、 设f (x)=1()
0x x ⎧⎨
⎩为有理数(为无理数)
，使所有x 均满足x ·f (x)≤g (x)的函数g(x)是（ ）
A ．g (x)=sinx
B ．g (x)=x
C ．g (x)=x 2
D ．g (x)=|x| 十、分段函数与方程的根
1、.函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤-)
1|(|||)
1|(|12x x x x ，如果方程f(x)=a 有且只有一个实根，那么a 满足
A.a<0
B.0≤a<1
C.a=1
D.a>1
2、设定义为R 的函数lg 1,1,()0,
0.x x f x x ⎧-≠⎪=⎨
=⎪⎩则关于x 的方程2
()()0f x bf x c ++=
有7个不同的实数解的充要条件是 （ ） A. 0b <且0c > B. 0b >且0c < C. 0b <且0c = D. 0b ≥且0c = 3、设函数
()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)f x -=(7)f x +，
且在闭区间[0,7]上，只有(1)(3)0f f ==.
（Ⅰ）试判断函数()y f x =的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程
()0f x =在闭区间[2005,2005]-上的根的个数，并证明你的结论.
十二、开放性自义分段函数
1. 定义在R 的任意函数()f x ，都可以表示成一个奇函数()g x 和一个偶函数()h x 之和，如果()lg(101)x
f x =+，那么 （ ）
A.
()g x x =，()lg(10102)x x h x -=++ B. 1
()[lg(1010]2
x g x x =++，
1
()[lg(101)]2
x h x x =+-
C. (),()lg(101)22x x x g x h x ==+-
D. (),()lg(101)22
x x x
g x h x =-=++.
七、答案（I ）(23)(2)(1),()2
(1).x x x h x x x -+-≥⎧=⎨-<⎩（II ）1
8
九、1（答：(,2][0,10]-∞-）；2（答：3
(,]2
-∞）
浅析复合函数的定义域问题
一、复合函数的构成
设()u g x =是A 到B 的函数，()y f u =是'B 到'C 上的函数，且B 'B ⊆，当u 取遍B 中的元素时，y 取遍C ，那么(())y f g x =就是A 到
C 上的函数。

此函数称为由外函数()y f x =和内函数()u g x =复合而成的
复合函数。

说明：
⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。

⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。

⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。

例1．设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f ． ⑷若)(x f 的定义域为'
M ，则复合函数))((x g f 中，M x g ∈)(． 注意：)(x g 的值域'M M ⊆． 例2：
⑴若函数)(x f 的定义域是[0，1]，求)21(x f -的定义域； ⑵若)12(-x f 的定义域是[-1，1]，求函数)(x f 的定义域；
⑶已知)3(+x f 定义域是[)5,4-，求)32(-x f 定义域．
要点1：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的． 解答：
⑴ 函数)21(x f -是由A 到B 上的函数x u 21-=与B 到C 上的函数)(u f y =复合而成的函数．
函数)(x f 的定义域是[0，1]，
∴B=[0,1]，即函数x u 21-=的值域为[0，1]． ∴1210≤-≤x ，
∴021≤-≤-x ，即210≤≤x ， ∴函数)21(x f -的定义域[0，2
1
]．
⑵ 函数)12(-x f 是由A 到B 上的函数12-=x u 与B 到C 上的函数)(u f y =复合而成的
函数．
)12(-x f 的定义域是[-1，1]， ∴A=[-1,1]，即-11≤≤x ，
∴1123≤-≤-x ,即12-=x u 的值域是[-3，1]， ∴)(x f y =的定义域是[-3，1]．
要点2：若已知)(x f 的定义域为A ，则)]([x g f 的定义域就是不等式A x g ∈)(的x 的
集合；若已知
)]([x g f 的定义域为A ，则)(x f 的定义域就是函数)(x g )(A x ∈的值
域。

⑶ 函数)3(+x f 是由A 到B 上的函数3+=x u 与B 到C 上的函数)(u f y =复合而成的函数．
)3(+x f 的定义域是[-4，5), ∴A=[-4,5)即54<≤-x ，
∴831<+≤-x 即3+=x u 的值域B=[-1，8）
又)32(-x f 是由'A 到'B 上的函数32'-=x u 与B 到C 上的函数)(u f y =复合而成的函数，而'B B =,从而32'-=x u 的值域)8,1['-=B ∴8321<-≤-x ∴,1122<≤x ∴2
111<
≤x ∴)32(-x f 的定义域是[1，
2
11）． 例3：已知函数)(x f 定义域是（a,b ），求)13()13()(+--=x f x f x F 的定义域．
解：由题，⎩⎨⎧<+<<-<b x a b x a 1313，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<<-+<<+∴313
13
131b x a b x a ，
当⎪⎩⎪
⎨⎧<-≥+b
a b a 31
31，即2-≥>b a b 时，)(x F 不表示函数；
当⎪⎩⎪
⎨⎧<-<+b
a b a 31
31，即2-<b a 时，)(x F 表示函数， 其定义域为)3
1
,31(-+b a ．
说明：
① 已知)(x f 的定义域为(a,b)，求))((x g f 的定义域的方法：
已知
)(x f 的定义域为)(b a ，，求))((x g f 的定义域。

实际上是已知中间变量的u 的
取值范围，即)(b a u ，∈，)()(b a x g ，∈。

通过解不等式b x g a <<)(求得x 的
范围，即为))((x g f 的定义域。

② 已知))((x g f 的定义域为(a,b)，求)(x f 的定义域的方法：
若已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求
)(x f 的定义域。

实际上是已知复合函数
))((x g f 直接变量x 的取值范围，
即)(b a x ，∈。

先利用b x a <<求得)(x g 的范围，则)(x g 的范围即是)(x f 的定义域,即使函数)(x f 的解析式形式所要求定义域真包含)(x g 的值域，也应以)(x g 的值域做为所求)(x f 的定义域，因为要确保所求外含数)(x f 与已知条件下所要求的外含数是同一函数，否则所求外含数)(x f 将失去解决问题的有效性。

换元法其实质就是求复合函数))((x g f 的外函数)(x f ，如果外函数)(x f 的定义域不等于内函数)(x g 的值域，那么)(x f 就确定不了))((x g f 的最值或值域。

例4：已知函数x x x f +-=
1)(,)1(≥x
求)(x f 的值域。

分析：令1)(-=
x x u ，)1(≥x ；
则有1)(2
++=u u u g ，)0(≥u
复合函数
)(x f 是由1)(-=x x u 与1)(2++=u u u g 复合而成，而1)(2++=u u u g ，
)0(≥u 的值域即)(x f 的值域，但1)(2++=u u u g 的本身定义域为R ,其值域则不等于复合函数)(x f 的值域了。

例5：已知函数6lg )3(22
2
-=-x x x f ，求函数)(x f 的解析式，定义域及奇偶性。

分析：因为6
lg )3(222
-=-x x x f 定义域为{6|-≤x x 或6≥x }
令32
-=x u ，3 u ；则3
3lg )(-+=u u u f ，且u 3
所以 3,33
lg )( x x x x f -+=，定义域不关于原点对称，故)(x f 是非奇非偶函数。

然而只就3
3
lg )(-+=x x x f 解析式而言，定义域是关于原点对称的，且
)()(x f x f -=-，所以是奇函数。

就本题而言)(u f 就是外函数其定义域决定于内函数
32-=x u ，3 u 的值域，而不是外函数)(u f 其解析式本身决定的定义域了。

2．求有关复合函数的解析式，
例6．①已知 ,1)(2
+=x x f 求)1(-x f ；
②已知 1)1()1(2
++=-x x f ，求)(x f ．
例7．①已知x
x x f 1
)1(+=- ，求)(x f ； ②已知22
1)1(x
x x x f +=-，求)1(+x f ．
要点3：
已知
)(x f 求复合函数)]([x g f 的解析式，直接把)(x f 中的x 换成)(x g 即可。

已知)]([x g f 求)(x f 的常用方法有：配凑法和换元法。

配凑法就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换成x 而得)(x f 。

换元法就是先设t x g =)(，从中解出x （即用t 表示x ），再把x （关于t 的式子）直接代入)]([x g f 中消去x 得到)(t f ，最后把)(t f 中的t 直接换成x 即得)(x f ，这种
代换遵循了同一函数的原则。

例8．①已知)(x f 是一次函数，满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求)(x f ；
②已知x x
f x f 4)1(2)(3=+，求)(x f ．
要点4：
⑴ 当已知函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法。

⑵ 若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思想方法 求函数的解析式。

已知
)(x f 满足某个等式，这个等式除)(x f 是未知量外，还出现其他未知量，如)(x f -、)1
(x
f 等，必须根据已知等式再构造出其他等式组成方程组，通过解方程组求出)(x f 。

二、练习：
１．已知x x x f 2)12(2
-=+，求)122(+f 和)322(+f ．
解：令12212+=+x ，设2=
x ，
令32212+=+x ，设12+=x ，
1222223)12(2)12()322(2=--+=+-+=+f ．
２．已知⎩
⎨⎧<->-=-=0,20,1)(,1)(2
x x x x x g x x f ，求))((x g f ．
分析：)]([x g f 是用)(x g 替换)(x f y
=中的x 而得到的，问题是用)(x g 中的1
-x 替换呢，还是用x -2替换呢？所以要按0>x 、0<x 分类； 注：)]([x f g 是用)(x f 替换)(x g y =中的x 而得到的，问题是用)(x f 替换)(x g 中
的1-x 呢，还是替换x -2呢？所以要看012>-x 还是012
<-x ，故按012>-x 、012<-x 分类。

Key:⎪⎩⎪
⎨⎧<+->-=03402)]([22x x x x x x x g f ，，；
注：⎪⎩
⎪⎨⎧-<<<->---=1111232)]([22
2x x x x x x x f g ，，
，。

三、总结：
１．复合函数的构成；
设函数)(u f y
=，)(x g u =，则我们称))((x g f y =是由外函数)(u f y =和内
函数)(x g u =复合而成的复合函数。

其中x 被称为直接变量，u 被称为中间变量。

复合函数中直接变量x 的取值范围叫做复合函数的定义域，中间变量u 的取值范围，即是)(x g 的值域，是外函数)(u f y =的定义域。

２．有关复合函数的定义域求法及解析式求法： ⑴定义域求法：
求复合函数的定义域只要解中间变量的不等式（由b x g a
<<)(解x ）；求外函数的
定义域只要求中间变量的值域范围（由b x a <<求)(x g 的值域）。

已知一个复合函数求
另一个复合函数的定义域，必须先求出外函数的定义域。

特别强调，此时求出的外函数的定义域一定是前一个复合函数的内函数的值域，例2（3）反映明显。

⑵解析式求法：待定系数法、配凑法、换元法、解方程组消元法． 四：外函数解析式其本身决定定义域的主要依据有： ⑴ 当)(x f 为整式或奇次根式时，x ∈R ；
⑵ 当)(x f 为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）；
⑶ 当)(x f 为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；
⑷ 当
)(x f 为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如0)(x x f =，
221
)(x
x x f ==-中0≠x ）。

⑸ 当)(x f 是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意
义的自变量x 的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。

⑹ 分段函数)(x f y
=的定义域是各段上自变量x 的取值集合的并集。

⑺ 由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求
⑻ 对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。

⑼ 对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。

⑽ 三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。

复合函数问题
一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.
二、复合函数定义域问题： （一）例题剖析：
(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域
思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。

例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。

解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x 解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ） 例2. 若函数f x x ()=
+1
1
，则函数[]f f x ()的定义域为______________。

解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=
+1
1
，知x ≠-1 即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用
所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨
⎩1
1
()
即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪111
1，解得x x ≠-≠-12且
故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且
（2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域
思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。

例3. 已知f x ()32-的定义域为[]
x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。

解析：f x ()32-的定义域为[]-12，，即[]x ∈-12，，由此得[]3215-∈-x ， 所以f 的作用范围为[]-15，，又f 对x 作用，作用范围不变，所以[]x ∈-15， 即函数f x ()的定义域为[]-15，
例4. 已知f x x x ()lg 2
2
248
-=-，则函数f x ()的定义域为______________。

解析：先求f 的作用范围，由f x x x ()lg 2
2248-=-，知x x 22
8
0-> 解得x 244->，f 的作用范围为()4，+∞，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x ∈+∞()4，，即f x ()的定义域为()4，+∞
（3）、已知[]f g x ()的定义域，求[]f h x ()的定义域
思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，f 的作用范围为E ，
又f 对h x ()作用，作用范围不变，所以h x E ()∈，解得x F ∈，F 为[]f h x ()的定义域。

例5. 若函数f x
()2的定义域为[]
-11，，则f x (log )2的定义域为____________。

解析：f x
()2的定义域为[]-11，，即[]
x ∈-11，，由此得21
22x ∈⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥，
f 的作用范围为122，⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥
又f 对log 2x 作用，所以log 21
22x ∈⎡⎣⎢⎤
⎦⎥，，解得[
]
x ∈
24，
即f x (log )2的定义域为
[
]
24，
评注：函数定义域是自变量x 的取值范围（用集合或区间表示）f 对谁作用，则谁的范
围是f 的作用范围，f 的作用对象可以变，但f 的作用范围不会变。

利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。

（二）同步练习：
1、 已知函数)x (f 的定义域为]1,0[，求函数)x (f 2
的定义域。

答案：]1,1[-
2、 已知函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-，求)x (f 的定义域。

答案：]9,3[-
3、 已知函数)2x (f y +=的定义域为)0,1(-，求|)1x 2(|f -的定义域。

答案：)
23,1()0,2
1(⋃- 4、设()x x x f -+=22lg
，则⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为（ ）
A. ()()4,00,4 -
B. ()()4,11,4 --
C. ()()2,11,2 --
D. ()()4,22,4 --
解：选C.由202x x +>-得，()f x 的定义域为{}|22x x -<<。

故22,2
22 2.x x ⎧-<<⎪⎪⎨
⎪-<<⎪⎩
，解得()()4,11,4x ∈--。

故⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为()()4,11,4--
5、已知函数)(x f 的定义域为)23,21(-∈x ，求)0)(()()(>+=a a x
f ax f x
g 的定义域。

［解析］由已知，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧<<-<<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-.232
,2321
,2321,2321a x a a
x a a x ax （1）当1=a 时，定义域为}2
3
21|{<<-x x ；
（2）当a a 23
23>，即10<<a 时，有2
21a a ->-
， 定义域为}23
2|{a x a x <<-；
（3）当a a 2323<，即1>a 时，有2
21a
a -<-，
定义域为}23
21|{a
x a x <<-.
故当1≥a 时，定义域为}23
21|{a x a x <<-；
当10<<a 时，定义域为}.2
3
2|{a x a x <<-
［点评］对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。

三、复合函数单调性问题 （1）引理证明
已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增函数.
证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21
因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =,
)(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且
因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即
))(())((21x g f x g f <，
故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数.
（2）．复合函数单调性的判断
（3）、复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤： ⅰ 确定函数的定义域；
ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =。

ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；
ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为减函数。

（4）例题演练
例1、 求函数)32(log 2
2
1--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明
解：定义域 130322
-<>⇒>--x x x x 或
单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 则
---)32(121x x )32(22
2--x x =)2)((1212-+-x x x x ∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x
∴)32(121--x x >)32(22
2--x x 又底数12
10<<
∴012<-y y 即 12y y < ∴y 在),3(+∞上是减函数
同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数
［例］2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性.
［解］由01232>--x x 得函数的定义域为
则当1>a 时，若1>x ，∵1232--=x x u 为增函数，∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.
若3
1-<x ，∵1232--=x x u 为减函数.
∴)123(log )(2--=x x x f a 为减函数。

当10<<a 时，若1>x ，则)123(log )(2--=x x x f a 为减函数，若3
1
-
<x ，则)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.
例3、.已知y=a log (2-x
a )在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1
当a ＞1时，函数t=2-x
a >0是减函数
由y=a log (2-x
a )在［0，1］上x 的减函数，知y=a log t 是增函数， ∴a ＞1
由x ∈［0，1］时，2-x
a ≥2-a ＞0,得a ＜2, ∴1＜a ＜2
当0<a<1时，函数t=2-x
a >0是增函数
由y=a log (2-x
a )在［0，1］上x 的减函数，知y=a log t 是减函数， ∴0<a<1
由x ∈［0，1］时，2-x
a ≥2-1＞0, ∴0<a<1 综上述，0<a<1或1＜a ＜2
例4、已知函数2)3()2(2-+--=-a x a ax x f （a 为负整数）的图象经过点
R m m ∈-),0,2(，设)()()()],([)(x f x pg x F x f f x g +==.问是否存在实数)0(<p p 使得)(x F 在区间)]2(,(f -∞上是减函数，且在区间)0),2((f 上是减函数？并证明你的结论。

［解析］由已知0)2(=-m f ，得02)3(2=-+--a m a am ， 其中.0,≠∈a R m ∴0≥∆即09232≤--a a ，
解得
.3
7
213721+≤≤-a ∵a 为负整数，∴.1-=a
∴1)2(34)2(2+--=-+-=-2x x x x f ，
即.1)(2+-=x x f 2
4
2
2
21)1()]([)(x x x x f f x g +-=++-==， ∴.1)12()()()(24+-+-=+=x p px x f x pg x F
假设存在实数)0(<p p ，使得)(x F 满足条件，设21x x <，
∴].12)()[()()(22
21222121-++--=-p x x p x x x F x F ∵3)2(-=f ，当)3,(,21--∞∈x x 时，)(x F 为减函数，
∴0)()(21>-x F x F ，∴.012)(,022212221>-++->-p x x p x x ∵3,321-<-<x x ,∴1822
21>+x x , ∴11612)(22
21-->-++-p p x x p , ∴.0116≥--p ①
当)0,3(,21-∈x x 时,)(x F 增函数,∴.0)()(21<-x F x F
∵02221>-x x ,∴11612)(2221--<-++-p p x x p , ∴0116≤--p . ②
由①、②可知161-
=p ，故存在.16
1
-=p （5）同步练习：
1．函数y ＝2
1log （x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（ ）
A ．（－∞，1）
B ．（2，＋∞）
C ．（－∞，
23
）
D ．（
2
3
，＋∞） 解析：先求函数定义域为（－o ，1）∪（2，＋∞），令t （x ）＝x 2＋3x ＋2，函数t （x ）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y ＝2
1log （x 2－3x ＋2）在（2，＋∞）上单调递减．
答案：B
2找出下列函数的单调区间.
（1）)1(2
32>=++-a a y x x ； （2）.2
3
22++-=x x y
答案：(1)在]2
3,(-∞上是增函数，在),2
3[+∞上是减函数。

（2）单调增区间是]1,1[-，减区间是]3,1[。

3、讨论)0,0(),1(log ≠>-=a a a y x
a 且的单调性。

答案：,1>a 时),0(+∞为增函数，01>>a 时，)0,(-∞为增函数。

4．求函数y ＝3
1log （x 2－5x ＋4）的定义域、值域和单调区间．
解：由μ（x ）＝x 2
－5x ＋4＞0，解得
x ＞4或x ＜1，所以x ∈（－∞，1）∪（4，＋∞），
当x ∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛μ｜μ＝x 2－5x ＋4｝＝R ＋，所以函数的值域是R ＋
．因为函数y ＝3
1log （x 2－5x ＋4）是由y ＝3
1
log μ（x ）与μ（x ）＝x 2－5x ＋4复合而成，函数
y ＝3
1
log μ（x ）在其定义域上是单调递减的，函数μ（x ）＝x 2－5x ＋4在（－∞，2
5）上
为减函数，在［
25
，＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y ＝3
1log （x 2－5x ＋4）的增区间是定义域内使y ＝3
1
log μ（x ）为减函数、μ（x ）＝x 2－5x ＋4也为
减函数的区间，即（－∞，1）；y ＝3
1log （x 2－5x ＋4）的减区间是定义域内使y ＝3
1
log μ（x ）
为减函数、μ（x ）＝x 2－5x ＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）．
变式练习
一、选择题
1．函数f （x ）＝)1(log 2
1－x 的定义域是（ ）
A ．（1，＋∞）
B ．（2，＋∞）
C ．（－∞，2）
D ．]21
(， 解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，
所以⎪⎩⎪
⎨⎧≥0)1(log 012
1
－＞－x x 解得1＜x ≤2． 答案：D
2．函数y ＝2
1log （x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（ ）
A ．（－∞，1）
B ．（2，＋∞）
C ．（－∞，
23
）
D ．（
2
3
，＋∞） 解析：先求函数定义域为（－o ，1）∪（2，＋∞），令t （x ）＝x 2＋3x ＋2，函数t （x ）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y ＝2
1log （x 2－3x ＋2）在（2，＋∞）上单调递减．
答案：B
3．若2lg （x －2y ）＝lg x ＋lg y ，则
x
y
的值为（ ）
A ．4
B ．1或4
1
C ．1或4
D ．
4
1 错解：由2lg （x －2y ）＝lg x ＋lg y ，得（x －2y ）2＝xy ，解得x ＝4y 或x ＝y ，则有x
y ＝
4
1
或y x ＝1． 答案：选B
正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x －2y ＞0，所以x ＞2y ．所以x ＝y 舍掉．只有x ＝4y ． 答案：D
4．若定义在区间（－1，0）内的函数f （x ）＝a 2log （x ＋1）满足f （x ）＞0，则a 的取值范围为（ ） A ．（0，2
1
） B ．（0，
2
1
）
C ．（
2
1
，＋∞）
D ．（0，＋∞）
解析：因为x ∈（－1，0），所以x ＋1∈（0，1）．当f （x ）＞0时，根据图象只有0＜2a ＜l ，解得0＜a ＜2
1
（根据本节思维过程中第四条提到的性质）． 答案：A 5．函数y ＝lg （x
－12
－1）的图象关于（ ）
A ．y 轴对称
B ．x 轴对称
C ．原点对称
D ．直线y ＝x 对称
解析：y ＝lg （
x －12－1）＝x x －＋11lg ，所以为奇函数．形如y ＝x x －＋11lg 或y ＝x
x －＋11lg 的函数都为奇函数．
答案：C 二、填空题
已知y ＝a log （2－ax ）在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是__________． 解析：a ＞0且a ≠1⇒μ（x ）＝2－ax 是减函数，要使y ＝a log （2－ax ）是减函数，则a ＞1，又2－ax ＞0⇒a ＜3
2
（0＜x ＜1）⇒a ＜2，所以a ∈（1，2）． 答案：a ∈（1，2）
7．函数f （x ）的图象与g （x ）＝（
3
1）x
的图象关于直线y ＝x 对称，则f （2x －x 2）的单调递减区间为______．
解析：因为f （x ）与g （x ）互为反函数，所以f （x ）＝3
1log x
则f （2x －x 2）＝3
1log （2x －x 2），令μ（x ）＝2x －x 2＞0，解得0＜x ＜2．
μ（x ）＝2x －x 2在（0，1）上单调递增，则f ［μ（x ）］在（0，1）上单调递减； μ（x ）＝2x －x 2在（1，2）上单调递减，则f ［μ（x ）］在［1，2）上单调递增． 所以f （2x －x 2）的单调递减区间为（0，1）．
答案：（0，1）
8．已知定义域为R 的偶函数f （x ）在［0，＋∞］上是增函数，且f （2
1
）＝0， 则不等式f （l og 4x ）的解集是______．
解析：因为f （x ）是偶函数，所以f （－
21）＝f （2
1
）＝0．又f （x ）在［0，＋∞］上是增函数，所以f （x ）在（－∞，0）上是减函数．所以f （l og 4x ）＞0⇒l og 4x ＞2
1
或l og 4x
＜－2
1．
解得x ＞2或0＜x ＜21
．
答案：x ＞2或0＜x ＜2
1
三、解答题
9．求函数y ＝3
1log （x 2－5x ＋4）的定义域、值域和单调区间．
解：由μ（x ）＝x 2－5x ＋4＞0，解得x ＞4或x ＜1，所以x ∈（－∞，1）∪（4，＋∞），
当x ∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛μ｜μ＝x 2－5x ＋4｝＝R ＋，所以函数的值域是R ＋
．因为函数y ＝3
1log （x 2－5x ＋4）是由y ＝3
1
log μ（x ）与μ（x ）＝x 2－5x ＋4复合而成，函数
y ＝3
1
log μ（x ）在其定义域上是单调递减的，函数μ（x ）＝x 2－5x ＋4在（－∞，2
5
）上
为减函数，在［
25
，＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y ＝3
1log （x 2－5x ＋4）的增区间是定义域内使y ＝3
1
log μ（x ）为减函数、μ（x ）＝x 2－5x ＋4也为
减函数的区间，即（－∞，1）；y ＝3
1log （x 2－5x ＋4）的减区间是定义域内使y ＝3
1
log μ（x ）
为减函数、μ
（x ）＝x 2－5x ＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）．
10．设函数f （x ）＝
532＋x ＋x
x
2323lg ＋－， （1）求函数f （x ）的定义域；
（2）判断函数f （x ）的单调性，并给出证明；
（3）已知函数f （x ）的反函数f －1（x ），问函数y ＝f －
1（x ）的图象与x 轴有交点吗?若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由． 解：（1）由3x ＋5≠0且x x 2323＋－＞0，解得x ≠－35且－23＜x ＜23．取交集得－2
3
＜x ＜
2
3
． （2）令μ（x ）＝3x ＋5，随着x 增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；
x x 2323＋－＝－1＋x
236
＋随着x 增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数． 又y ＝lg x 在定义域内是增函数，根据复合单调性可知，y ＝x
x
2323lg ＋－是减函数，所以f
（x ）＝
532＋x ＋x
x
2323lg ＋－是减函数． （3）因为直接求f （x ）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间
定义域与值域的关系求解．
设函数f （x ）的反函数f －
1（x ）与工轴的交点为（x 0，0）．根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知，f （x ）与y 轴的交点是（0，x 0），将（0，x 0）代入f （x ），解得x 0＝5
2
．所以函数y ＝f －
1（x ）的图象与x 轴有交点，交点为（
5
2
，0）。