中职数学9.4.1圆的标准方程ppt课件
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中职教育数学《圆的标准方程》课件
②直径的中点
3.半径
①圆心到圆上一点 ②圆心到切线的距离
C
O C
A
B
x
1、圆心为 A(2,3，) 半径长等于5的圆的方程为（ B ）
A . (x – 2 )2+(y – 3 )2=25 B .(x – 2 )2+(y + 3 )2=25 C . (x – 2 )2+(y + 3 )2=5 D . (x + 2 )2+(y – 3 )2=5
2、圆 (x－2)2+ y2=2的圆心C的坐标及半径r
M r
C 所以圆C就是集合
P={M| |MC|=r}
由两点间的距离公式， 点M适合的条件可表示为：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
O
x
说明：
1、特点：明确给出了圆心 坐标和半径。
把上式两边平方得：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
2、确定圆的方程必须具 备两个独立条件，注意 符号为—。
一、引入新课
1、圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合。 定点 圆心 定长 半径
当圆心位置与半径大小确定后，圆就 唯一确定了．
因此一个圆最基本的要素是
圆心和半径．
知识应用：
圆的标准方程
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解：设M(x,y)是圆上任意一点，根据圆 y 的定义，点M到圆心C的 距离等于r，
方程 x2 y2 r 2 （x a)2 y2 r2 x2 ( y b)2 r2
位置 图形
圆切 x 轴 ]
圆切 y 轴
圆切两坐标轴
方程 （x a)2 （y b)2 b2 （x a)2 （y b)2 a2 （x a)2 （y a)2 a2
3.半径
①圆心到圆上一点 ②圆心到切线的距离
C
O C
A
B
x
1、圆心为 A(2,3，) 半径长等于5的圆的方程为（ B ）
A . (x – 2 )2+(y – 3 )2=25 B .(x – 2 )2+(y + 3 )2=25 C . (x – 2 )2+(y + 3 )2=5 D . (x + 2 )2+(y – 3 )2=5
2、圆 (x－2)2+ y2=2的圆心C的坐标及半径r
M r
C 所以圆C就是集合
P={M| |MC|=r}
由两点间的距离公式， 点M适合的条件可表示为：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
O
x
说明：
1、特点：明确给出了圆心 坐标和半径。
把上式两边平方得：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
2、确定圆的方程必须具 备两个独立条件，注意 符号为—。
一、引入新课
1、圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合。 定点 圆心 定长 半径
当圆心位置与半径大小确定后，圆就 唯一确定了．
因此一个圆最基本的要素是
圆心和半径．
知识应用：
圆的标准方程
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解：设M(x,y)是圆上任意一点，根据圆 y 的定义，点M到圆心C的 距离等于r，
方程 x2 y2 r 2 （x a)2 y2 r2 x2 ( y b)2 r2
位置 图形
圆切 x 轴 ]
圆切 y 轴
圆切两坐标轴
方程 （x a)2 （y b)2 b2 （x a)2 （y b)2 a2 （x a)2 （y a)2 a2
圆的标准方程 课件
【技法点拨】求圆的标准方程的两种方法 (1)几何法：根据题意直接求出圆心和半径,然后再写出圆的标 准方程. (2)待定系数法： ①设：根据题意,设所求圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2; ②列：根据已知条件,建立关于a,b,r的方程组; ③解：解方程组,求出a,b,r的值,并把它们代入所设的圆的标准 方程中,就得到所求的圆的标准方程.
［2 (3)］2 ［ 3 (3)］2 5, | ON | (2 5)2 (3 2)2 34＞5, | OQ | (2 4)2 (3 7)2 20＜5,
所以点M在圆上,点N在圆外,点Q在圆内.
【互动探究】题1中,若点在圆外,则a的取值范围又是什么? 【解析】若点在圆外,则(1-a)2+(1+a)2>4,解得a2>1,即a<-1 或a>1
【探究提升】 1.对圆的标准方程的理解 (1)圆的标准方程是由两点间的距离公式推导出来的,它是圆的 定义的直观反映,是代数与几何结合的完美体现. (2)由圆的标准方程可直接写出圆的圆心和半径,反之,已知圆 的圆心和半径可以写出圆的标准方程,这一点体现了圆的标准 方程的优越性.
2.圆的标准方程中参数a,b,r的作用 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,有三个参数a,b,r,其中(a,b) 为圆心,r为半径.结合圆的定义可知,圆心(a,b)在确 定圆时起到定位作用,即影响圆的位置;而半径r在确定圆时起 到定形作用,即影响圆的大小.
3.几种常见特殊位置的圆的标准方程 (1)以原点为圆心,r为半径的圆的标准方程：x2+y2=r2. (2)圆心在x轴上,半径为r的圆的标准方程：(x-a)2+y2=r2. (3)圆心在y轴上,半径为r的圆的标准方程：x2+(y-b)2=r2. (4)圆心在x轴上且过原点的圆的标准方程： (x-a)2+y2=a2(a≠0). (5)圆心在y轴上且过原点的圆的标准方程： x2+(y-b)2=b2(b≠0).
圆的方程课件PPT
2．点与圆的位置关系 设点 P 到圆心的距离为 d，圆的半径为 r，则点与圆的位置有 如表所示的对应关系.
位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内
d 与 r 的关系 ___d_>_r___ ___d_＝__r__ ___d_<_r___
自主探究 探究 1：方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a，b，r∈R)表示一个圆吗？ 为什么？
解：
法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．
则b5＝－0a，2＋2－b2＝r2， 3－a2＋－2－b2＝r2.
a＝4， 解得b＝0，
r＝ 5.
∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.
法二：
∵圆过 A(5,2)，B(3，－2)两点， ∴圆心一定在线段 AB 的中垂线上． AB 中垂线的方程为 y＝－12(x－4)， 令 y＝0，得 x＝4.即圆心坐标 C(4,0)， ∴r＝|CA|＝ 5－42＋2－02＝ 5， ∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.
【答案】未必表示圆，当 r≠0 时，表示圆心为(a，b)，半径 为|r|的圆；当 r＝0 时，表示一个点(a，b)．
探究 2：由圆的标准方程可以得到圆的哪些几何特征？ 【答案】由圆的标准方程可直接得到圆的圆心坐标和半径．
预习测评 1．若一圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和 半径分别是( ) A．(－1,5)， 3 B．(1，－5)， 3 C．(－1,5)，3 D．(1，－5)，3
错解：由题意可知圆心在直线 y＝2x 上，且在线段 AB 的垂直 平分线 x＝2 上，由xy＝＝22，x， 可得圆心 C(2，4)，r＝|AC|＝ 17， ∴圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝17.
高职圆的标准方程PPT
练习三：求以直线x+y-2=0与直线x-2y+1=0的 交点为圆心，且半径为4的圆的方程
例3：求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0 相切的圆的方程。 圆心：已知
思考：（1）本题关键是求出什么？ （2）怎样求出圆的半径？
半径：圆心到切线的距离 解：因为圆C和直线3x-4y-7=0相切,所以 圆心C到这条直线的距离等于半径r
探一探
如何求以 C(a，b)为圆心，以 r 为半径的圆的方程？
y
如果圆心在原点，此时a=0，b=0 园的标准方程就是：
M（x，y） O x
x2＋y2＝r2 (r>0)
练习1.写出下列各圆的方程：
(1)圆心在点C(3,4 )，半径是 5
(2)半径为5，圆心在点C(8,-3)
(1)(x-3)2+(y-4)2 =5 (2)(x-8)2+(y+3)2 =25 练习2. 写出下列各圆的圆心坐标和半径：
用一用
例1：求过点A(6,0),且圆心B的坐标为 （3，2）的圆的方程。
解 ：因为圆的半径 所以所求圆的方程是
r AB (3 6) 2 (2 0) 2 13
( x 3)2 ( y 2)2 13
练习二： 求圆心在（0，-3），过点（3，1）圆的方程
做一做
圆心：两直线的交点
赵州桥建于隋炀帝大业年间595605年至今已有1400年的历史出自著名匠师李春之手是今天世界上最古老的单肩石拱桥是世界造桥史上的一个创造
课题：圆的标准方程
Y
OБайду номын сангаас
X
赵州桥，建于隋炀帝大业年间（595-605年），至今已有 问题 : 假设桥梁圆拱损坏需修缮,若你修缮专家 1400年的历史，出自著名匠师李春之手，是今天世界上最 之一,那你该怎样去修缮桥梁圆拱呢? 古老的单肩石拱桥,是世界造桥史上的一个创造。
圆方程ppt课件ppt课件
03
圆的方程的应用
解析几何中的应用
确定点与圆的位置关系
通过圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、 圆内或圆外。
求解圆的切线方程
利用圆的方程，可以求出过某一点的圆的切线 方程。
求解圆心和半径
根据圆的方程，可以求出圆心的坐标和半径的长度。
几何图形中的应用
判断两圆的位置关系
通过比较两个圆的方程，可以判断两圆是相交、相切还是相 离。
03
frac{E}{2})$ 和半径 $frac{sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$。
圆的参数方程
圆的参数方程为 $x = a + rcostheta$，$y = b + rsintheta$，其中 $(a, b)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径，$theta$ 是 参数。
该方程通过参数 $theta$ 描述了 圆上任意一点的坐标。
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ ，其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半 径。
不在同一直线上的三个点可以确定一 个圆，且该圆只经过这三个点。
圆的基本性质
1 2
圆的对称性
圆关于其直径对称，也关于经过其圆心的任何直 线对称。
圆的直径与半径的关系
直径是半径的两倍，半径是直径的一半。
该方程描述了一个以 $(h, k)$ 为圆心，$r$ 为
半径的圆。
当 $r = 0$ 时，方程描 述的是一个点 $(h, k)$。
圆的一般方程
01
圆的一般方程为 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。
02
该方程可以表示任意一个圆，其中 $D, E, F$ 是常数。
《圆的标准方程》课件
《圆的标准方程》PPT课 件
欢迎来到《圆的标准方程》PPT课件！在这个课件中，我们将介绍圆的基本概 念、标准方程的一般形式以及圆心和半径的含义。让我们开始探索圆的奥秘 吧！
什么是圆的标准方程
圆的标准方程是描述圆形的方程式。它使用平面直角坐标系中的变量来表示 圆的位置和半径。了解圆的标准方程可以帮助我们解决各种与圆相关的数学 问题。
多边形
圆可以与多边形的外接圆或内切 圆相交或相切。
圆的重要性及应用领域
1 数学基础
圆是几何学的基本概念之一，对于数学的发展起到了重要的推动作用。
2 物理学
圆的运动和旋转是物理学中许多现象的基础，如行星的轨道和自转。
3 计算机科学
圆的标准方程在计算机图形学中用于绘制圆形的图像和动画。
圆的标准方程与其他方程型的比较
圆的标准方程在物理学中的应用
物理学中的许多现象可以用圆的标准方程进行建模和描述。例如，行星的轨道可以用圆形或椭圆 形来表示，而物体的旋转运动也可以用圆的方程来描述。
圆的标准方程在工程 中用于设计圆形物体 的尺寸和位置。
通过圆的标准方程解决方程组
圆的标准方程可以与其他方程组合使用，解决多元方程组中与圆有关的问题。例如，我们可以通 过圆的标准方程和直线方程的系统来求解直线和圆的交点。
圆和其他图形的关系
1
三角形
2
圆可以与三角形的外接圆或内切
圆有关。
3
矩形
圆可以与矩形相切或包围，形成 有趣的图案。
步骤2
将圆心的坐标(h, k)代入圆的标准方程的x 和y的变量位置。
步骤4
整理方程，得到圆的标准方程。
圆的一般方程和标准方程之间 的关系
圆的一般方程和标准方程都可以用来表示圆形，但它们的形式不同。一般方 程是多项式形式，而标准方程是平方项的和。通过变换，可以将一般方程转 化为标准方程，反之亦然。
欢迎来到《圆的标准方程》PPT课件！在这个课件中，我们将介绍圆的基本概 念、标准方程的一般形式以及圆心和半径的含义。让我们开始探索圆的奥秘 吧！
什么是圆的标准方程
圆的标准方程是描述圆形的方程式。它使用平面直角坐标系中的变量来表示 圆的位置和半径。了解圆的标准方程可以帮助我们解决各种与圆相关的数学 问题。
多边形
圆可以与多边形的外接圆或内切 圆相交或相切。
圆的重要性及应用领域
1 数学基础
圆是几何学的基本概念之一，对于数学的发展起到了重要的推动作用。
2 物理学
圆的运动和旋转是物理学中许多现象的基础，如行星的轨道和自转。
3 计算机科学
圆的标准方程在计算机图形学中用于绘制圆形的图像和动画。
圆的标准方程与其他方程型的比较
圆的标准方程在物理学中的应用
物理学中的许多现象可以用圆的标准方程进行建模和描述。例如，行星的轨道可以用圆形或椭圆 形来表示，而物体的旋转运动也可以用圆的方程来描述。
圆的标准方程在工程 中用于设计圆形物体 的尺寸和位置。
通过圆的标准方程解决方程组
圆的标准方程可以与其他方程组合使用，解决多元方程组中与圆有关的问题。例如，我们可以通 过圆的标准方程和直线方程的系统来求解直线和圆的交点。
圆和其他图形的关系
1
三角形
2
圆可以与三角形的外接圆或内切
圆有关。
3
矩形
圆可以与矩形相切或包围，形成 有趣的图案。
步骤2
将圆心的坐标(h, k)代入圆的标准方程的x 和y的变量位置。
步骤4
整理方程，得到圆的标准方程。
圆的一般方程和标准方程之间 的关系
圆的一般方程和标准方程都可以用来表示圆形，但它们的形式不同。一般方 程是多项式形式，而标准方程是平方项的和。通过变换，可以将一般方程转 化为标准方程，反之亦然。
圆的标准方程ppt课件
通过配方，可以将其 转化为标准形式，进 而确定圆心和半径。
一般形式下圆的方程 为 $x^2+y^2+Dx+Ey +F=0$，其中 $D^2+E^2-4F>0$。
拓展延伸
与直线方程联立，可以求解交点。
极坐标形式下圆的方程及其求解 方法
极坐标形式下圆的方程为 $rho=a(1+costheta)$或 $rho=a(1+sintheta)$，其中
圆的面积
S = πr²。
弧长与扇形面积计算
ห้องสมุดไป่ตู้弧长公式
l = θ/360° × 2πr，其中θ 为圆心角的度数。
扇形面积公式
S = θ/360° × πr²，其中θ 为圆心角的度数。
弓形面积计算
弓形面积 = 扇形面积 - 三 角形面积，其中三角形面 积可通过底和高计算得出。
02 圆的标准方程及其推导
数学建模竞赛
在数学建模竞赛中，圆的方程常常作为数学模型的基础，用于解决 各种实际问题，如城市规划、交通流量分析等。
06 总结回顾与拓展延伸
总结回顾本次课程重点内容
01
圆的标准方程的定义和形式
02
圆心和半径的确定方法
03
圆的方程与直线方程联立求解交点
04
圆的方程在实际问题中的应用
拓展延伸
一般形式下圆的方程 及其求解方法
圆的要素
圆心、半径。
03
圆的表示方法
一般用圆心和半径表示，如圆O（r）。
圆心、半径与直径
01
02
03
圆心
圆的中心，用字母O表示。
半径
连接圆心和圆上任意一点 的线段，用字母r表示。
圆的标准方程完整ppt课件(2024)
r^{2}$。
2024/1/30
9
方程中参数的意义
2024/1/30
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。
$r$
02
半径，表示圆的大小。
$x, y$
03
圆上任意一点的坐标，满足方程 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
10
03
圆的图形特征与性质
2024/1/30
圆关于经过圆心的任意直 线都是对称的。
2024/1/30
周期性
圆上任意一点绕圆心旋转 360度后回到原位，具有 周期性。
应用
利用对称性和周期性可以 简化一些复杂的几何问题 。
13
切线与法线的性质
切线
与圆有且仅有一个公共 点的直线。
2024/1/30
法线
过切点且与切线垂直的 直线。
切线与半径垂直
切线长定理
已知圆与直线相切求参数
利用圆心到直线的距离等于半径，可以列出方程求解参数 。
24
判断点与圆的位置关系
计算点到圆心的距离与半径比较
若距离小于半径，则点在圆内；若距离等于半径，则点在圆上；若距离大于半 径，则点在圆外。
利用点与圆方程的关系判断
将点的坐标代入圆方程，若得到的值小于0，则点在圆内；若得到的值等于0， 则点在圆上；若得到的值大于0，则点在圆外。
圆与双曲线的关系
双曲线的一种特殊情况是等轴双曲线，其渐近线方程就是圆的方程。此外，双曲线的焦点 到任意一点的距离之差为定值，这个定值也可以和圆的半径建立联系。
圆与抛物线的关系
抛物线的一种特殊情况是顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线，其准线方程就是圆的方程 。同时，抛物线的焦点到任意一点的距离等于该点到准线的距离，这个性质也可以和圆的 性质进行类比。
2024/1/30
9
方程中参数的意义
2024/1/30
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。
$r$
02
半径，表示圆的大小。
$x, y$
03
圆上任意一点的坐标，满足方程 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
10
03
圆的图形特征与性质
2024/1/30
圆关于经过圆心的任意直 线都是对称的。
2024/1/30
周期性
圆上任意一点绕圆心旋转 360度后回到原位，具有 周期性。
应用
利用对称性和周期性可以 简化一些复杂的几何问题 。
13
切线与法线的性质
切线
与圆有且仅有一个公共 点的直线。
2024/1/30
法线
过切点且与切线垂直的 直线。
切线与半径垂直
切线长定理
已知圆与直线相切求参数
利用圆心到直线的距离等于半径，可以列出方程求解参数 。
24
判断点与圆的位置关系
计算点到圆心的距离与半径比较
若距离小于半径，则点在圆内；若距离等于半径，则点在圆上；若距离大于半 径，则点在圆外。
利用点与圆方程的关系判断
将点的坐标代入圆方程，若得到的值小于0，则点在圆内；若得到的值等于0， 则点在圆上；若得到的值大于0，则点在圆外。
圆与双曲线的关系
双曲线的一种特殊情况是等轴双曲线，其渐近线方程就是圆的方程。此外，双曲线的焦点 到任意一点的距离之差为定值，这个定值也可以和圆的半径建立联系。
圆与抛物线的关系
抛物线的一种特殊情况是顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线，其准线方程就是圆的方程 。同时，抛物线的焦点到任意一点的距离等于该点到准线的距离，这个性质也可以和圆的 性质进行类比。
圆的标准方程 课件
yl
A
Co
x
B
几何法（确定圆心和半径）
例4.若A(-1,0),B(5,0),其中角C为直角， 求点C所满足的方程（轨迹方程）.
C
轨迹法
A
B
( x a)2 ( y b)2 r2
思考:在平面几何中，点与圆有哪几种位置
关系？ 如何判定点与圆的位置？
A
A ( x0 , y0 )
A
O
O
O
点在圆内
点在圆上
(2)若P是C上 任 一 点,求 | PA |2 | PB |2 的 最 大 值 和 最 小 值.
例6:已知圆的方程为: x2 y2 25 ,求
(1)过 点A(4,3)的 切 线 方 程;
(2)过 点B(5,2)的 切 线 方 程;
(3)斜 率 等 于1的 切 线 方 程;
(4)在y轴 上 的 截 距 是10的 切 线 方 程.
2、写出下列各圆的方程： （1）圆心在原点，半径是3； （2）圆心在点C(3,4)，半径是 5 ；
（3）经过点 P(5,1)，圆心在点 C(8,3) ;
（4）以点(3, 4)为圆心，且与y轴相切.
例1:求下列圆的标准方程 待定系数法
(1) 以AB为直径,A(-4,-5),B(6,-1)
(2) 过点A(-4，3)，圆心C在直线 2x-y+1=0上，且半径为5.
点在圆外
|OA|<r
|OA|=r
|OA|>r
( x0 a)2 ( y0 b)2 r 2
( x0 a)2 ( y0 b)2 r 2
( x0 a)2 ( y0 b)2 r 2
( x a)2 ( y b)2 r2
思考:在平面几何中，点与圆有哪几种位置
A
Co
x
B
几何法（确定圆心和半径）
例4.若A(-1,0),B(5,0),其中角C为直角， 求点C所满足的方程（轨迹方程）.
C
轨迹法
A
B
( x a)2 ( y b)2 r2
思考:在平面几何中，点与圆有哪几种位置
关系？ 如何判定点与圆的位置？
A
A ( x0 , y0 )
A
O
O
O
点在圆内
点在圆上
(2)若P是C上 任 一 点,求 | PA |2 | PB |2 的 最 大 值 和 最 小 值.
例6:已知圆的方程为: x2 y2 25 ,求
(1)过 点A(4,3)的 切 线 方 程;
(2)过 点B(5,2)的 切 线 方 程;
(3)斜 率 等 于1的 切 线 方 程;
(4)在y轴 上 的 截 距 是10的 切 线 方 程.
2、写出下列各圆的方程： （1）圆心在原点，半径是3； （2）圆心在点C(3,4)，半径是 5 ；
（3）经过点 P(5,1)，圆心在点 C(8,3) ;
（4）以点(3, 4)为圆心，且与y轴相切.
例1:求下列圆的标准方程 待定系数法
(1) 以AB为直径,A(-4,-5),B(6,-1)
(2) 过点A(-4，3)，圆心C在直线 2x-y+1=0上，且半径为5.
点在圆外
|OA|<r
|OA|=r
|OA|>r
( x0 a)2 ( y0 b)2 r 2
( x0 a)2 ( y0 b)2 r 2
( x0 a)2 ( y0 b)2 r 2
( x a)2 ( y b)2 r2
思考:在平面几何中，点与圆有哪几种位置
圆标准方程课件
4
如何应用标准方程解决相关问题。
介绍圆的一般方程的概念和求解方法，以及 一般方程与标准方程之间的转化。
圆与直线的交点
圆与直线的位置关系
讨论圆与直线的位置关系，包 括相离、相切和相交，并给出 对应的几何判断条件。
交点的求解
详细讲解如何求解圆与直线的 交点坐标，包括代数方法和几 何方法。
切线方程
介绍如何求解圆的切线方程， 包括水平方向切线和垂直方向 切线。
圆标准方程ppt课件
本PPT课件旨在深入讲解圆的标准方程知识，包括圆的基本概念、标准方程求 解、与直线的交点等内容。通过典型例题分析，帮助学生巩固所学知识。
圆的基本概念
定义、特征、性质
介绍圆的定义、特征和性质，包括圆心、半径、弧长、圆周角等基本概念。
周长和面积公式
探讨圆的周长和面积的计算公式，以及如何应用这些公式进行计算。
切线和法线
讨论圆的切线和法线的定义与性质，以及如何求解切线和法线的方程。
圆的标准方程
1ห้องสมุดไป่ตู้
圆心坐标的求解
详细介绍如何根据已知条件求解圆的圆心坐
半径的求解
2
标，包括几何方法和代数方法。
讲解如何根据已知条件求解圆的半径，包括
几何方法和代数方法。
3
标准方程的概念和解法
探究圆的标准方程的含义和求解方法，以及
一般方程
圆的参数方程
1
参数方程的概念和求解
解释参数方程的含义，讲解如何建立圆的参数方程，并应用参数方程进行计算。
2
参数方程的推导和应用
详细推导圆的参数方程的公式，包括极坐标方程的应用。
典型例题分析与解答
1 综合应用各种知识点
针对典型例题，通过综合应用圆的基本概念、标准方程等知识点，进行分析与解答。
圆的标准方程公开课PPT
圆的扩展知识
圆的参数方程
参数方程定义
圆的参数方程是另一种 表示圆的方式，通常使 用三角函数来表示圆上 的点。
参数方程形式
圆的参数方程一般形式
为
(x=a+r*cosθ,
y=b+r*sinθ)，其中
(a,b) 是圆心的坐标，r
是半径，θ 是参数。
应用场景
参数方程在解决与圆相 关的问题时非常有用， 特别是在涉及极坐标或 三角函数的问题中。
圆的极坐标方程
极坐标定义
01
极坐标是一种描述点在平面上的位置的方式，通过距离和角度
来表示。
极坐标方程
02
圆的极坐标方程是 ρ=a，其中 ρ 是点到原点的距离，a 是半径。
应用场景
03
在解析几何和物理学中，极坐标方程经常用于描述和研究圆和
其他曲线。
圆的离心率和焦点
1 2
离心率的定义
离心率是描述一个椭圆或圆偏离中心的程度的量。 对于圆来说，离心率等于0。
不在同一直线上的三个点可以确定一 个圆，且该圆通过这三个点。
圆的定义
圆的方程
圆的标准方程为$(x-a)^2+(yb)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心， $r$为半径。
圆是平面内到定点距离等于定长的所 有点的集合。
圆的对称性
圆关于原点对称
圆心在原点的圆关于原点对称，即如果$(x,y)$在圆上，则$(-x,y)$也在圆上。
交通工具
汽车、火车和飞机的轮胎 都是圆形的，因为圆可以 保证车辆平稳行驶，减少 摩擦和阻力。
餐具和厨具
碗、盘子、杯子等日常用 品通常设计成圆形，因为 圆角可以防止划伤，并且 方便清洗和堆叠。
建筑和装饰
圆的参数方程
参数方程定义
圆的参数方程是另一种 表示圆的方式，通常使 用三角函数来表示圆上 的点。
参数方程形式
圆的参数方程一般形式
为
(x=a+r*cosθ,
y=b+r*sinθ)，其中
(a,b) 是圆心的坐标，r
是半径，θ 是参数。
应用场景
参数方程在解决与圆相 关的问题时非常有用， 特别是在涉及极坐标或 三角函数的问题中。
圆的极坐标方程
极坐标定义
01
极坐标是一种描述点在平面上的位置的方式，通过距离和角度
来表示。
极坐标方程
02
圆的极坐标方程是 ρ=a，其中 ρ 是点到原点的距离，a 是半径。
应用场景
03
在解析几何和物理学中，极坐标方程经常用于描述和研究圆和
其他曲线。
圆的离心率和焦点
1 2
离心率的定义
离心率是描述一个椭圆或圆偏离中心的程度的量。 对于圆来说，离心率等于0。
不在同一直线上的三个点可以确定一 个圆，且该圆通过这三个点。
圆的定义
圆的方程
圆的标准方程为$(x-a)^2+(yb)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心， $r$为半径。
圆是平面内到定点距离等于定长的所 有点的集合。
圆的对称性
圆关于原点对称
圆心在原点的圆关于原点对称，即如果$(x,y)$在圆上，则$(-x,y)$也在圆上。
交通工具
汽车、火车和飞机的轮胎 都是圆形的，因为圆可以 保证车辆平稳行驶，减少 摩擦和阻力。
餐具和厨具
碗、盘子、杯子等日常用 品通常设计成圆形，因为 圆角可以防止划伤，并且 方便清洗和堆叠。
建筑和装饰
圆的标准方程精品课件
3
证明
设P和Q是圆上关于任意直线l对称的两点，则 AP=BQ，且PO=QO。由于PQ与l垂直，所以 △APO≌△BQA，从而证明了P和Q关于l对称。
06 圆的实际应用
生活中的圆的应用
交通工具
车轮、自行车轮胎、火车 铁轨等都采用了圆形的结 构，使得运动更加平稳和 高效。
建筑学
建筑物的窗户、门洞、柱 基等常采用圆形或圆弧形， 不仅美观大方，而且符合 结构力学原理。
圆的弦长定理
总结词
弦长与半径的关系
详细描述
在圆中，通过圆心的弦被平分，并且弦长等于两个半径之和。如果弦不经过圆心，则弦长小于两个半径之和。这 个定理用于计算弦的长度以及与半径之间的关系。
04 圆的面积与周长
圆的面积计算公式
圆的面积计算公式
$S = pi r^{2}$，其中$S$表示圆的面积，$r$表示圆的半径。
圆的标准方程的图形表示
以圆心为坐标原点，以半径为长度单 位，在平面直角坐标系中画出的圆形。
圆的标准方程推导
推导过程
通过将圆上任一点的坐标表示为$(x, y)$，利用点到圆心 的距离等于半径的性质，将圆的方程转化为标准形式。
推导步骤
设圆上任一点$P(x, y)$，圆心$O(h, k)$，半径为$r$，则 $OP = r$，即$sqrt{(x - h)^{2} + (y - k)^{2}} = r$，平 方两边得到标准方程。
自然界
自然界中许多物体呈现圆 形或类圆形，如星球、花 朵、叶子等。
02 圆的标准方程
圆的标准方程形式
圆的标准方程
圆的标准方程的应用
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$， 其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半径。
圆标准方程PPT课件
(3)经过点 P ( 5 , 1 )，圆心在点 C ( 8 , －3 ). ( x －8 ) 2 + ( y + 3 ) 2 (1) ( x －3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 4. (2) ( x + 4 ) 2 + ( y －2 ) 2 = 7. (3) x 2 + ( y + 1 ) 2 = 16.
3、圆心在原点，半径为 r 的圆方程： ___x_2__+_y__2 _=_r__2 ____
4、圆的标准方程给定了 __圆__心__坐_标__、__圆__半_径____
5、圆心和半径确定了圆的什么特征？ ____圆__心__确__定__位__置__、__半__径__确__定__大__小________
（1）方程中参数 a、b、r 的意义是什么？
（2）当圆心在原点时圆的方程的形式是什么？
（3）要确定一个圆的方程，至少需要几个独
立条件？
x 2 + y2 = r2
三个
三、知识巩固 例1 写出下列各圆的方程
(1)圆心在原点，半径是 3. x 2+ y 2= 9
(2)圆心在 ( 3 , 4 )，半径是 5 . ( x －3 ) 2 + ( y －4 ) 2 = 5
分析(一)：设切线斜率为k，OM斜率为k
y
1，
则k 1即kx0
k1
y0
O
∴切线方程为： x o x + y o y = r 2
M x
y
分析(二)：设 P 为切线上任意一点， •P
则OM⊥MP，
M
OM MP 0
O
x
( x o，y o )·( x －x o，y －y o ) = 0
3、圆心在原点，半径为 r 的圆方程： ___x_2__+_y__2 _=_r__2 ____
4、圆的标准方程给定了 __圆__心__坐_标__、__圆__半_径____
5、圆心和半径确定了圆的什么特征？ ____圆__心__确__定__位__置__、__半__径__确__定__大__小________
（1）方程中参数 a、b、r 的意义是什么？
（2）当圆心在原点时圆的方程的形式是什么？
（3）要确定一个圆的方程，至少需要几个独
立条件？
x 2 + y2 = r2
三个
三、知识巩固 例1 写出下列各圆的方程
(1)圆心在原点，半径是 3. x 2+ y 2= 9
(2)圆心在 ( 3 , 4 )，半径是 5 . ( x －3 ) 2 + ( y －4 ) 2 = 5
分析(一)：设切线斜率为k，OM斜率为k
y
1，
则k 1即kx0
k1
y0
O
∴切线方程为： x o x + y o y = r 2
M x
y
分析(二)：设 P 为切线上任意一点， •P
则OM⊥MP，
M
OM MP 0
O
x
( x o，y o )·( x －x o，y －y o ) = 0
圆的标准方程ppt课件完整版x
圆的基本要素
圆心、半径、直径、弧、弦等。
圆心、半径与直径
01
02
03
圆心
圆的中心，用字母O表示 。
半径
连接圆心和圆上任意一点 的线段，用字母r表示。
直径
通过圆心且两端点都在圆 上的线段，用字母d表示 ，且d=2r。
圆的周长和面积公式
圆的周长公式
C=2πr，其中π为圆周率，约等于3.14159。
圆的面积公式
02
其中，$(a, b)$ 为圆心坐标，$r$ 为圆的半径。
标准方程中各参数意义
$a$ 和 $b$ 分别表 示圆心的横坐标和纵 坐标。
$(x - a)^{2}$ 和 $(y - b)^{2}$ 分别表示 点 $(x, y)$ 到圆心 $(a, b)$ 的水平和垂 直距离的平方。
$r$ 表示圆的半径， 即从圆心到圆上任一 点的距离。
分析物体的受力情况
在某些物理问题中，可以通过分析物体运动轨迹的形状（如圆形 或椭圆形）来推断物体所受的力。
其他领域应用举例
工程测量
在工程测量中，经常需要确定一 些圆形结构（如管道、井盖等） 的位置和大小，这时可以利用圆 的方程来进行精确测量和计算。
经济学
在经济学中，有时会用圆形来表示 市场供需平衡的状态，通过圆的方 程可以分析市场价格的波动和变化 趋势。
3. 将以上两部分相加，并加 上常数项 12，得到 $(x 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 1$ 。
04
05
4. 从中可以看出，圆心坐标 为 $(2, -3)$，半径 $r = 1$
。
03
圆的图像与性质分析
圆心位置对图像影响
圆心决定圆的位置
圆心、半径、直径、弧、弦等。
圆心、半径与直径
01
02
03
圆心
圆的中心，用字母O表示 。
半径
连接圆心和圆上任意一点 的线段，用字母r表示。
直径
通过圆心且两端点都在圆 上的线段，用字母d表示 ，且d=2r。
圆的周长和面积公式
圆的周长公式
C=2πr，其中π为圆周率，约等于3.14159。
圆的面积公式
02
其中，$(a, b)$ 为圆心坐标，$r$ 为圆的半径。
标准方程中各参数意义
$a$ 和 $b$ 分别表 示圆心的横坐标和纵 坐标。
$(x - a)^{2}$ 和 $(y - b)^{2}$ 分别表示 点 $(x, y)$ 到圆心 $(a, b)$ 的水平和垂 直距离的平方。
$r$ 表示圆的半径， 即从圆心到圆上任一 点的距离。
分析物体的受力情况
在某些物理问题中，可以通过分析物体运动轨迹的形状（如圆形 或椭圆形）来推断物体所受的力。
其他领域应用举例
工程测量
在工程测量中，经常需要确定一 些圆形结构（如管道、井盖等） 的位置和大小，这时可以利用圆 的方程来进行精确测量和计算。
经济学
在经济学中，有时会用圆形来表示 市场供需平衡的状态，通过圆的方 程可以分析市场价格的波动和变化 趋势。
3. 将以上两部分相加，并加 上常数项 12，得到 $(x 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 1$ 。
04
05
4. 从中可以看出，圆心坐标 为 $(2, -3)$，半径 $r = 1$
。
03
圆的图像与性质分析
圆心位置对图像影响
圆心决定圆的位置
圆的方程ppt课件
圆的方程
圆的标准方 程
一、知识梳理 1. 圆的方程
标准方程
走进教材
(x—a)²+(y—b)²=r²(r>0)
圆心 半径为r
一般方程
x²+y²+Dx+Ey+F=0
条 件 ：D²+E²—4F>0 圆心：
半径：
2.点与圆的位置关系 点M(x₀,y₀) 与圆(x—a)²+(y-b)²=r²的位置关系. (1)若M(x₀,yo) 在圆外，则(x₀—a)²+(y₀—b)²> r². (2)若M(x₀,yo) 在圆上，则(x₀—a)²+(yo—b)²= r². (3)若M(xo,yo)在圆内，则(x₀—a)²+(y₀—b)²<
解得k=±√3
所 的最大值为 √3
图1
(2)y-x 可看作是直线y=x+b 在y轴上的截距，当直线y=x+b 与圆相切时，
纵截距b取得最大值或最小值，此时
解得b=-2±√6
所以y-x 的最大值-2+ √6,最小值-2- √6
(3)x²+y² 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知， 在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心与原点的距离为(2-0)²+(0-0)²=2
答案：C
求圆的方程的两种方法 (1)直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而得方程。 (2)待定系数法
①若已知条件与圆(a,b) 和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出 关于a,b,r 的方程组，从而求得圆的方程。 ②已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出 关于D,E,F 的程组，得圆的方程。
圆的标准方 程
一、知识梳理 1. 圆的方程
标准方程
走进教材
(x—a)²+(y—b)²=r²(r>0)
圆心 半径为r
一般方程
x²+y²+Dx+Ey+F=0
条 件 ：D²+E²—4F>0 圆心：
半径：
2.点与圆的位置关系 点M(x₀,y₀) 与圆(x—a)²+(y-b)²=r²的位置关系. (1)若M(x₀,yo) 在圆外，则(x₀—a)²+(y₀—b)²> r². (2)若M(x₀,yo) 在圆上，则(x₀—a)²+(yo—b)²= r². (3)若M(xo,yo)在圆内，则(x₀—a)²+(y₀—b)²<
解得k=±√3
所 的最大值为 √3
图1
(2)y-x 可看作是直线y=x+b 在y轴上的截距，当直线y=x+b 与圆相切时，
纵截距b取得最大值或最小值，此时
解得b=-2±√6
所以y-x 的最大值-2+ √6,最小值-2- √6
(3)x²+y² 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知， 在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心与原点的距离为(2-0)²+(0-0)²=2
答案：C
求圆的方程的两种方法 (1)直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而得方程。 (2)待定系数法
①若已知条件与圆(a,b) 和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出 关于a,b,r 的方程组，从而求得圆的方程。 ②已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出 关于D,E,F 的程组，得圆的方程。
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6
说出下列圆的圆心及半径： （1）x2＋y2＝1; （2）(x－3)2＋(y＋2)2＝16; （3）(x＋1)2＋(y＋1)2＝2; （4）(x－1)2＋(y－1)2＝4．
7
例 1 求过点 A(6，0)，且圆心 B 的坐标为(3，2)的 圆的方程．
解：因为圆的半径 r＝|AB|＝ (3 6)2 (2 0)2 13， 所以所求圆的方程是 (x－3)2＋(y－2)2＝13．
8
圆心为（2，-3），且过原点的圆C的方程。
解：因为圆C过原点，故圆C的半径
r 22 32 13
因此，所求圆C的方程为：
x 22 y 32 13
9
例2 求以直线 x－y＋1＝0 和 x＋y－1＝0 的交点为圆心，
半径为 3 的圆的方程．
解：由方程组
x y 1 0 x y 1 0
直线
圆
圆
直线
9.4.1 圆的标准方程
1
2
3
初中学过的圆的定义是什么？ 平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹． 定点是圆心，定长为半径．
A
半径
O
圆心
4
如何求以 C(a，b)为圆心，以 r 为半径的圆的方程？
y
设 M(x，y)是所求圆上任一点，
M（x，y） 点|＝ r，
有：AB 6 42 112 10
所以圆的半径为5
故圆的方程为： x 12 y 12 25
11
（1）求过点 A(3，0)，且圆心 B 的坐标为(1，－2) 的圆的方程；
（2）求以直线 x－y＝0 和 x＋y＝1 的交点为圆心， 半径为 2 的圆的方程．
12
1．圆的标准方程
以 C(a，b) 为圆心，以 r 为半径的圆的标准方程：
C
由距离公式，得
O
x
(x a)2 ( y b)2 r2，
两边平方，得
(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
5
说出下列圆的方程： （1）以 C（1，－2）为圆心，半径为 3 的圆的方程； （2）以原点为圆心，半径为 3 的圆的方程． 答案： （1）(x－1)2＋(y＋2)2＝9； （2）x2＋y2＝9．
解得：
x 0
y
1
所以所求圆的圆心坐标为 (0，1)，
又因为圆的半径为 3 ，
因此所求圆的方程为 x2＋(y－1)2＝3．
10
（4）以点A（-4，-1），B（6，-1）为 直径的圆的方程。 （分析：线段AB为直径，则圆心为线段 AB的中点，半径为线段AB的一半。） 解：以中点坐标公式有：圆心坐标 为（1，-1），又以两点距离公式
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
2．确定一个圆的标准方程的条件．
13
教材 P 101 练习 第 2 题； P 101 练习 第 6 题（选做）．
14
说出下列圆的圆心及半径： （1）x2＋y2＝1; （2）(x－3)2＋(y＋2)2＝16; （3）(x＋1)2＋(y＋1)2＝2; （4）(x－1)2＋(y－1)2＝4．
7
例 1 求过点 A(6，0)，且圆心 B 的坐标为(3，2)的 圆的方程．
解：因为圆的半径 r＝|AB|＝ (3 6)2 (2 0)2 13， 所以所求圆的方程是 (x－3)2＋(y－2)2＝13．
8
圆心为（2，-3），且过原点的圆C的方程。
解：因为圆C过原点，故圆C的半径
r 22 32 13
因此，所求圆C的方程为：
x 22 y 32 13
9
例2 求以直线 x－y＋1＝0 和 x＋y－1＝0 的交点为圆心，
半径为 3 的圆的方程．
解：由方程组
x y 1 0 x y 1 0
直线
圆
圆
直线
9.4.1 圆的标准方程
1
2
3
初中学过的圆的定义是什么？ 平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹． 定点是圆心，定长为半径．
A
半径
O
圆心
4
如何求以 C(a，b)为圆心，以 r 为半径的圆的方程？
y
设 M(x，y)是所求圆上任一点，
M（x，y） 点|＝ r，
有：AB 6 42 112 10
所以圆的半径为5
故圆的方程为： x 12 y 12 25
11
（1）求过点 A(3，0)，且圆心 B 的坐标为(1，－2) 的圆的方程；
（2）求以直线 x－y＝0 和 x＋y＝1 的交点为圆心， 半径为 2 的圆的方程．
12
1．圆的标准方程
以 C(a，b) 为圆心，以 r 为半径的圆的标准方程：
C
由距离公式，得
O
x
(x a)2 ( y b)2 r2，
两边平方，得
(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
5
说出下列圆的方程： （1）以 C（1，－2）为圆心，半径为 3 的圆的方程； （2）以原点为圆心，半径为 3 的圆的方程． 答案： （1）(x－1)2＋(y＋2)2＝9； （2）x2＋y2＝9．
解得：
x 0
y
1
所以所求圆的圆心坐标为 (0，1)，
又因为圆的半径为 3 ，
因此所求圆的方程为 x2＋(y－1)2＝3．
10
（4）以点A（-4，-1），B（6，-1）为 直径的圆的方程。 （分析：线段AB为直径，则圆心为线段 AB的中点，半径为线段AB的一半。） 解：以中点坐标公式有：圆心坐标 为（1，-1），又以两点距离公式
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
2．确定一个圆的标准方程的条件．
13
教材 P 101 练习 第 2 题； P 101 练习 第 6 题（选做）．
14