数学物理方程的分类

双曲型 抛物型 椭圆型
7
方程（1）的系数可以是x和y的函数，所以一个方程在自变数
的某个区域属于某一类型，在另一个区域上可能属于另一个类型
可以验证：
2 2 A12 A11 A22 (a12 a11a22 )( xy yx )2
也就是说，作变量代换时，方程类型不变！
（1）双曲型方程
同理，取另一个特解作新自变数 , 从而A22＝0 此时方程（5）得到简化！ 而方程（7）的求解可以化成常微分方程的求解！
2 2 a11zx 2a12 zx z y a22 z y 0
（7）
2 可以写成： zx zx a11 2a12 a22 0 （8） z z y y
2 a a dy 12 12 a11a22 dx a11 （10） 2 dy a12 a12 a11a22 dx a11
则特征方程（10）变为：
dy a12 dx a11
只能给出一族特征线
2
zx zx a11 2a12 a22 0 z z y y
( x, y) C1
2 a12 a11a22 0
方程（10）给出一族实特征线
( x, y) C2
取 ， 作为新的自变数 则 A11＝0 A22＝0
2 a a dy 12 12 a11a22 dx a11 （10） 2 dy a12 a12 a11a22 dx a11
代换后方程变为：
8
1 u [ B1u B2u Cu F ] 2 A12
如果再作变量代换：
（11）
1 ( ) 2 , 1 ( ) 2
方程（11）化成：
u u
(四) 常系数线性方程
例（传输线方程）：
如果线性方程的系数都是常数，则化成标准形式后还可以简化：
LCutt uxx LG RCut RGu 0
u( x, t ) ex t v( x, t )
（16）
作函数变换 u ( x, t ) v( x, t )
13
其中 , 为待定常数 则有：
dy a12 a a11a22 dx a11
2 12
（10）
dy a12 a a11a22 dx a11
2 12
通常根据根式下的符号划分偏微分方程的类型！
2 a12 a11a22 0 2 a12 a11a22 0 2 a12 a11a22 0
( x, y) . 作新的自变数，则A11＝0，A22＝0，则：
代换后的方程称为：
1 u [ B1u B2u Cu F ] (14) 2 A12 跟双曲型的方程不同！这里 ， 是复变数。
i , 为此作代换： i 1 Re ( ) 2 Im 1 ( ) 2i
u x e x t (v x v) u ( x , t ) x t u e (vt v) t x t 2 u e ( v 2 v v) xx xx x x t u e (v xt vt v x v) xt x t 2 u e ( v 2 v v) tt t tt
2
叠加原理
如果泛定方程和定解条件都是线性的，可以把定解问题的解 看成几个部分的线性叠加，只要这些部分各自所满足的泛定 方程和定解条件的相应的线性叠加正好是原来的泛定方程和
定解条件就行。此原理称为叠加原理。
（二）两个自变数的方程分类
先来看两个自变数x和y的二阶线性偏微分方程
a11uxx 2a12uxy a22u yy b1ux b2u y cu f 0
（4）
4 把上两个式子代入偏微分方程(1)，可得到新自变量 ， 的新的方程如下：
A11u 2 A12u A22u B1u B2u Cu F 0 （5）
A11 a11 x2 2a12 x y a22 y2 A12 a11 x x a12 ( x y y x ) a22 y y 2 2 A a 2 a a 22 11 x 12 x y 22 y B1 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y B2 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y C c F f
12
则方程（14）化为：
u u
1 [( B1 B2 )u i( B2 B1 )u 2Cu F ] （15） A12
方程（14）或（15）是椭圆型方程的标准形式，平面稳定场方程
如稳定浓度分布，稳定温度分布，静电场方程，无旋稳恒电流场
方程和无旋稳恒流动方程，在二维时都是标准形式的椭圆型方程。
y y 2 x x A12 y [a11 ( ) x a12 ( y x ) a22 y ] [ a12 a11 a22 ] 0 y y a11 x 2 x x 2 A22 [a11 ( ) 2a12 a22 ] y [ a11 ( ) a22 ]2 y y y
1
数学物理方程的分类
(一) 线性二阶偏微分方程
把所有自变数（空间和时间坐标）依次记作：x1,x2,…xn 二阶偏微分方程可以写为：
a u
j 1 i 1
n
n
ij xi x j
bi u xi cu f 0
i 1
n
其中aij,bi,c,f只是x1,x2,…xn的函数，叫做线性方程。 若 f 0 则方程称为齐次的，否则为非齐次的。 一般的有源（外力，热源，电荷）的方程为非齐次的，无源 的方程为齐次的，但也不是绝对的, 如扩散方程。
作自变量的代换如下：
（1）
其中上述系数都只是x和y的函数，在以下讨论假定它们是实数。
x x( , ) ( x, y ) 即 y y ( , ) ( x, y )
（2）
( , ) 0 ( x, y)
3
通过代换，u(x,y)成为
，
u ( x, t ) e
LG RC 2 LC
源自文库
v( x, t )
则：
14 一阶偏导数
LCvtt vxx
vt , vx 消失，方程就简化为： 2 LG RC
4 LC v0
的函数，同时把方程改
为新变量的方程，为此计算：
u x u x u x （3） u y u y u y u xx (u x2 u x x u xx ) (u x x u x2 u xx ) 2 2 u 2 u u x x x x u xx u xx u xy (u x y u x y u xy ) (u x y u x y u xy ) u x y u ( x y y x ) u x y u xy u xy 2 2 u ( u u u ) ( u u y y y u yy ) yy y y y yy u 2 2u u 2 u u y y y y yy yy
其中系数
（ 6）
并且代换后，方程（5）仍然是线性的.
2 2 a11zx 2a12 zx z y a22 z y 0
从（6）可以看出，如果取 以下方程的一个特解作新自变数
（7）
5 则有 a 2 2a a 2 0, 11 x 12 x y 22 y
从而A11＝0
代入方程（16）约去公因子
e
x t
v( x, t )
e
x t
得：
LCvtt vxx 2vx [2LC ( LG RC)]vt [ LC 2 2 ( LG RC) RG]v 0
若选择 即：
0, ( LG RC) / 2LC
如果把z(x,y)＝常数, 当做定义隐函数y(x)的方程，则
dy / dx zx / z y
2
则（8）变为：
（9）
dy dy a11 2a12 a22 0 dx dx
6
常微分方程（9）叫做二阶线性偏微分方程（1）的特征方程
特征方程的一般积分 ( x, y) C1 和 ( x, y) C2 叫做特征线 特征方程可以化成两个方程：
(13)
11
（3）椭圆型方程
a a11a22 0
2 12
2 a a dy 12 12 a11a22 a11 此时各给出一族复数的特征线： dx （10）
( x, y) C1, ( x, y) C2 , 取 ( x, y), 且
2 dy a12 a12 a11a22 dx a11
( x, y) C1 则 ( x, y) 是方程
的解，取 为新自变数 代入（6）
把 x / y dy / dx a12 / a11, a12 a11 a22 得方程前三个系数为：
10
2 2 A11 y2 [a11 ( x ) 2 2a12 x a22 ] y [ a12 a11 a22 ] 0 y y a11
2 y
此时只要取
( x, y), 使得 x / y a22 / a11 即不满足
特征方程，则 A22 0 则代换后的方程为：
u
这是抛物型方程的标准形式，一维输运问题，如扩散方程， 热传导方程都是标准形式的抛物型方程。
1 [ B1u B2u Cu F ] A22
1 [(B1 B2 )u ( B1 B2 )u 2Cu 2 F ] （12） A12
方程（11）或（12）是双曲型方程的标准形式，一维波动方程 如弦振动方程，杆纵振动方程，电报方程都是标准形式的双曲型 方程。
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（2）抛物型方程
由于 a a11a22 0
2 12