组合数学(第6章6.2)

1! 2! 3! n!
证明：应用容斥原理。 证明 设S是全部排列集合，而Aj是ij=j的组合集合，那 么，Dn= | A1 I A2 I L I An | 注意到|A1|=|A2|=…=|An| |A1∩A2|=…=|An−1∩An| …
A1是第一位置为1的排列，因此 |A1|=(n−1)! 类似地， |A1∩A2|=(n−2)! 一般的， |A1∩A2 ∩…∩Ak|=(n−k)! 1 ≤k ≤n 应用容斥原理： n n n (n−1)!+ (n−2)!+…+(−1) 0! Dn=n!− 1 n 2
定义1: 设X={1,2,…,n}, 它的排列用i1, i2…,in表示, 错位排列使得 i1≠1, i2≠2,…, in ≠n 的排列。用Dn表示错位排列个数，显然 D1=0, D2=1。 例 3 2 1 1 2 4 3 2 3 4
错位排列
定理6.3.1 对n≥1， 1 1 1 1 (1 − + − + K + ( − 1) n ) Dn=n!
容斥原理在多重集组合的应用
例1: 确定多重集T={3.a, 4.b, 5.c}的10-组合 的个数.
解：令多重集T*={∞⋅a, ∞⋅b, ∞⋅c}的所有10-组合的集 合为S，设： A1是S中包含多于3个a的组合的集合 A2是S中包含多于4个b的组合的集合 A3是S中包含多于5个c的组合的集合 那么，T的10-组合数等于 | A I A2 I A | 1 3
应用容斥原理：
| A1 I A2 I A3 |= 66 − (28 + 21 + 15) + (3 + 1 + 0) − 0 = 6
应用2
例2: 求满足1≤x1≤5, −2≤x2≤4, 0≤x3≤5, 3≤x4≤9 的方程x1+x2+x3+x4=18的整数解个数. 解 ： 作 变 量 替 换 y1=x1−1, y2=x2+2, y3=x3, y4=x4−3得到方程： y1+y2+y3+y4=16 （*） 满足0≤y1≤4, 0≤y2≤6, 0≤y3≤5, 0≤y4≤6的整数解。
递推关系的组合解释
Dn是集合{1,2,…,n}的错位排列数。考查这些 排列特点： （1）第1位可以是2,…,n的任一个，划分为 n−1个部分： i2≠2,…, in≠n n 3 2 i2…,in 设 dn是2在第1位的错位排列数，则Dn=(n−1)dn
(2) 排列2i2…,in可进一步划分两种情况： 2 1 i3…,in i3≠3,…, in≠n 和 2i2…,in i2≠1, i3≠3,…, in≠n 设d′n是第1种排列数；而d″n是第2种排列数。 则 dn= d′n+d″n , 因此Dn=(n−1)(d′n+d″n) （3）d′n与集合{3,4,…,n}错位排列相等，即 d′n=Dn−2; d″n与集合{1, 3,4,…,n}错位排列相等，即 d″n=Dn−1 因此，Dn=(n−1)( Dn−2+Dn−1)
作业
6.6 习题：4, 7, 9, 15, 21
4) 确定多重集S={4·a, 3·b, 4·c, 5·d}的12-组合的个 数。 7）确定在非负整数x1, x2, x3和x4不超过8时方程 x1+ x2+ x3+ x4=14的整数解的个数。 9）确定方程x1+ x2+ x3+ x4=20满足 1≤x1≤6; 0≤x2≤7; 4≤x3≤8; 2≤x4≤6 的整数解的个数。
第六章 容斥原理应用
6.2 容斥原理的应用
引入：两个例子
一般多重集r-组合数？（重数为1或者无穷 重数的组合计数） 假设有150位同学，如果大家今天随机选择 座位，没有人与上次课坐同一个座位的概 率是多少？如果只有20位同学呢，两者概 率比较？
6.2 具有重复的组合 6.3 错位排列
6.2 多重集的组合
1 + 3 − 1 3 | A1 I A2 |= 1 = 1 = 3
类似的
0 + 3 − 1 2 | A1 I A3 |= 0 = 0 = 1 | A2 I A3 |= 0
| A1 I A2 I A3 |= 0
…wk.baidu.com类似方法可解。
小结
• 应用容斥原理将一般多重集的组合计数转 化为无限重数多重集计数。 化为无限重数多重集计数。
• 将计数问题转化为较为简单的集合的交（或者 将计数问题转化为较为简单的集合的交（ 并）； • 应用容斥原理求出这些集合的交（或并）。 应用容斥原理求出这些集合的交（或并）。
6.3 错位排列
多重集T={n1⋅a1, n2⋅a2,…, nk⋅ak}的r-组合数。 回顾两个特别情形：
1）n1=n2=…=nk=1（即T是集合）： ) ( r r+k−1 2） n1=n2=…=nk=r（包括大于r情况）：( )
r k
对于一般情况呢？ 对于一般情况呢？
1)多重集T={n1⋅a1, n2⋅a2,…, nk⋅ak}的r-组合数, r是 正整数。 2) T的r-组合数相当于方程 1+x2+ …+xk=r的满足 相当于方程x 相当于方程 的满足 条件0≤ ≤ 条件0≤x1≤n1, 0≤x2≤n2, …, 0≤xk≤nk的整数解的个 ≤ ≤ 数。
类似于例1的解法，设S是方程(*)的 非负整数解集合。
16 + 4 − 1 19 | S |= 16 = 16 = 969
A1是满足y1≥5的非负整数解的集合，那么，|A1|与 方程z1+z2+z3+z4=11 =11的非负整数解个数相等。
11 + 4 − 1 14 | A1 |= 11 = 11 = 364 12 13 12 | A2 |= = 220 | A3 |= = 286 | A4 |= = 220 9 10 9
类似的
5 + 3 − 1 7 | A2 |= 5 = 5 = 21 4 + 3 − 1 6 | A3 |= 4 = 4 = 15
计算|A 计算 1∩A2|： A1∩A2中的每个组合a至少出现4次同 时b至少出现5次，剩下1个元素可是T*的任何1-组 合，因此

n! n! n! n n! =n! − + − + K + (−1) 1! 2! 3! n! =n! (1 − 1 + 1 − 1 + K + (−1) n 1 ) 1! 2! 3! n!
一个有趣结论
1 1 1 1 我们知道： = 1 − + − + − K (e=2.718…) e 1! 2! 3! 4! 那么， −1 = Dn + (−1) n +1 1 + (−1) n + 2 1 + K e n! (n + 1)! (n + 2)!
15）在一次聚会上，7位绅士检查他们的帽子。有多 在一次聚会上， 位绅士检查他们的帽子 位绅士检查他们的帽子。 在一次聚会上 少种方法使得这些帽子返还时满足： 少种方法使得这些帽子返还时满足 i) 没有绅士收到他自己的帽子？ ii) 至少一位绅士收到他自己的帽子？ iii) 至少两位绅士收到他们自己的帽子？ 21）证明 n是偶数当且仅当 是奇数。 证明D 是偶数当且仅当n是奇数 是奇数。 证明
Dn=nDn−1+(−1)n 利用递推关系推导： Dn−nDn−1=−[Dn−1−(n−1)Dn−2] =(−1)2 [Dn−2−(n−2)Dn−3] … =(−1)n−2(D2−2D1) 注意到： D1=0; D2=1进一步得到： Dn= nDn−1+(−1)n
递推关系用于计算错位排列
D5=44，那么， D6=6×44+(−1)6=265 D7=7×265+(−1)7=1854 D8=8×1854+(−1)8=14833 ……
应用容斥原理，计算： |S|= 10 + 3 −1=66
10
计算|A 计算 1|： A1中的每个组合a至少出现4次，剩下6个 元素可是T*的任何6-组合，因此
6 + 3 − 1 8 = = 28 | A1 |= 6 6
|A1∩ A2|与方程z1+z2+z3+z4=4的非负整数解个数
相等。
4 + 4 − 1 7 | A1 I A2 |= 4 = 4 = 35 8 7 | A1 I A3 |= = 56 | A1 I A4 |= = 35 5 4
−1
随着n增大，当n≥7时，e −1与Dn/n!的误差小于1/1000 用于计算概率时，发现具有稳定性。
错位排列的递推关系
Dn满足如下递推关系: (1) Dn=(n−1)( Dn−2+Dn−1), (n=3,4,…) (2) Dn=nDn−1+(−1)n D1=0; D2=1; D3=2; D4=3×(2+1)=9; D5=4×(9+2)=44 … (n=2,3,…)