数值分析第一章小结

第1章绪论
--------学习小结
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一、本章学习体会
通过对本章的学习，我发现原来好多科学技术都离不开数学。

首先，对于我们工科专业软件的计算过程中，我了解到数值分析已经被公认为与理论分析，实验分析并列的科学研究三大基本手段之一。

它有一个逻辑性很强的求解过程：提出实际问题，建立数学模型，提出数值问题，设计可靠、高效的算法，程序设计、上级实践计算结果，计算结果可视化。

这种严密的逻辑完全可以应用在我们的生活中，正如我们去解决好多问题都可以通过提出问题，假设方法，验证正确性，解决问题。

当然对于本章的一些相关概念还理解的不是十分明白，希望在今后的学习中真正能从学过了变成会学了。

二、本章知识梳理
1.1数值分析的研究对象
研究对象：利用计算机求解各种数学问题的数值方法及有关理论. 数值问题:输入与输出均为数据的问题.
数值方法: 求解数值问题时，在计算机上可执行的系列计算公式. 数值算法: 有步骤地完成求解数值问题的过程。

规定了怎样从输入数据计算出数值问题解的一个有限的基本运算序列。

1.2误差知识与算法知识
1.2.1误差的来源与分类
1.2.2绝对误差，相对误差与有效数字
(1)绝对误差：精确值与近似值的差.
(2)相对误差:绝对误差在原数中所占比例.
(3)有效数字：有效数字=可靠数字+存疑数字.
1.2.3函数求值的误差估计
误差估计的一般运算
一元函数:
x ≈a,f(x)≈f(a)
e(a)=x-a
e(f(a))=f(x)-f(a)≈f ’(a)(x-a)
二元函数：
(,)(,)((,))()()f a b f a b e f a b e a e b x y
∂∂≈⋅+⋅∂∂ (,)(,)((,))|
|()||()f a b f a b f a b a b x y ∂∂ε≈⋅ε+⋅ε∂∂ 1.2.4算法及其计算复杂性
1.算法：有步骤地完成解数值问题的过程。

规定了怎样从输入数据计算出数值问题解的一个有限的基本运算序列。

2.好算法的标准：（1）有可靠的理论基础，包括正确性、收敛性、数值稳定性以及可作误差分析。

（2）有良好的计算复杂性。

3.数值运算中的一些原则
1. 要有数值稳定性
2. 合理安排两级相差悬殊输间的运算次序，防止“大数”吃“小数”；
3. 避免两个相近的数相减
4. 避免接近于0的数做除数，防止溢出
5. 简化计算步骤，减少运算次数
1.3向量范数与矩阵范数
1.3.1向量范数
向量范数是向量大小的量，又称为向量的模。

1.定义满足以下三个条件
（1）非负性（2）齐次性（3）成立三角不等式
2.常用的向量范数
1-范数（列范数）： 2-范数（欧式范数）： ∞-范数（行范数）: P-范数（行范数）： 3.范数的等价性 向量x 的某一种范数可以任意大小时，改响亮的其他任何一种范数也会任意大小。

即 m||x ||α≤||x||β≤M||x||α，任意x ∈R n
1.3.2矩阵范数
1．定义满足以下四种条件：
（1）非负性（2）齐次性（3）成立三角不等式（4）相容性 2.矩阵范数与向量范数的相容性
3.诱导矩阵范数（矩阵的算子范数） ||A||=max||Ax||
||x||=1
4.常用的矩阵范数
∑==n
i i
x x 1
1x
x x x T n i i =∑==122i n i x x
≤≤∞=1max p
n i p i p x x
11)(∑==
（1）A的P-范数（2）A的F-范数（3）A的P-范数
三、本章思考题
近似数和有效数的区别？
通常的近似数有一定位数的有效数字，但并非所有的近似数都是有效数，仅当末位是有效数位的近似数才是有效数，因此有效数的末位之后不能随意补零。

对精确值进行四舍五入得到的近似数一定是有效数。

如作为π的近似值，x*1=3.141不是有效数（仅有三位有效数字），x*2=3.142则是有效数。

当确认近似数是有效数时，它具有有的有效数字位数就和中学里介绍的概念相同。

四、本章测验题
下列数据作为x=π的近似数，是确定它们各有几位有效数字，并确定其相对误差限。

x*1=3.141，x*2=3.14，x*3=3.15，x*4=22/7 解：对于x*i的规格化形式均有m=1，首位非零数字x1=3
（1）由|x-x*
|=|π-3.141|=0.0005…≤0.005=1/2×101-3知x*1有3位有
1
效数字，进而εr（x*1）=1/2×3×101-3≈0.0017
（2）由|x-x*
|=|π-3.14|=0.001…≤0.005=1/2×101-3知x*2有3位有效
2
数字，进而εr（x*2）=1/2×3×101-3≈0.0017
（3）由|x-x*
|=|π-3.15|=0.008…≤0.05=1/2×101-2知x*3有2位有效数
3
字，进而εr（x*3）=1/2×3×101-2≈0.017
（4）由|x-x*
|=|π-22/7|=0.001…≤0.005=1/2×101-3知x*4有3位有效
4
数字，进而εr（x*4）=1/2×3×101-3≈0.0017
（5）评注：这道题是用绝对误差限除以近似值来求解相对误差限，如εr（x*1）=|π- x*1|/| x*1|≈0.00019 同样的εr（x*2）≈0.0005，εr（x*3）≈0.003，εr（x*4）≈0.0004这么着算出来的误差限
偏大，所以用此题所述的方法可以使误差限偏小。