线性代数第二次讨论课内容

第二次讨论课线性代数的应用

“线性代数是最有趣、最有价值的大学数学课程”

---- 美国著名的数学家David C. Lay

●线性代数广泛地应用于工程学，计算机科学，物理学，数学，生物学，

经济学，统计学，力学，信号与信号处理，系统控制，通信，航空等学

科和领域。

●线性代数应用于理工类的后继课程，如电路、理论力学、材料力学、计

算机图形学、信号与系统、数字信号处理、系统动力学、自动控制原理、机械振动、机器人学等课程。

请同学们应用线性代数的知识建立下面实际问题的数学模型，并用MATLAB 编程求解。2011年6月21日上讨论课，同学们要积极准备、踊跃发言。

1.电路网络问题

在工程技术中所遇到的电路，大多数是很复杂的，这些电路是由电器元件按照一定方式互相连接而构成的网络。在电路中，含有元件的导线称为支路，而三条或三条以上的支路的会合点称为节点。电路网络分析，简单地说，就是求出电路网络种各条支路上的电流和电压。对于这类问题的计算，通常采用基尔霍夫（Kirchhoff）定律来解决。以图3-2所示的电路网络部分为例来加以说明。

设各节点的电流如图所示，则由基尔霍夫第一定律（简记为KCL）（即电路中任

一节点处各支路电流之间的关系：在任一节点处，支路电流的代数和在任一瞬时恒为零（通常把流入节点的电流取为负的，流出节点的电流取为正的），该定律也称为节点电流定律。现求出各个支路的电流。

2. 联合收入问题

已知三家公司X,Y,Z具有图2-1所示的股份关系，即X公司掌握Z公司50%的股份，Z公司掌握X公司30%的股份，而X公司70%的股份不受另两家公司控制等等。

现设X，Y和Z公司各自的营业净收入分别是12万元、10万元、8万元，每家公司的联合收入是其净收入加上在其他公司的股份按比例的提成收入、试确定各公司的联合收入及实际收入。

3. 决策问题

某大三学生的第一学期的必修课程只有1门(2个学分)；限选课程8 门，任选课程10门。由于有些课程之间有联系，所以可能在选修的某门课程时必须同时选修其课程，这18门课程的学分数和要求以及相应信息如表1所示。按学校规定, 每个学生每学期选修的总学分不能少于21学分，因此，学生必须在上述18门课程中至少选修19学分，任意选修课的学分不能少于3学分, 也不能超

过6学分。试为该学生确定一种选课方案。

预备知识 马尔可夫链

定义 1： (马尔可夫链) 随机过程{},0,1,2,n X n = 称为马尔科夫链，若它只取有限

或可列个值，012,,E E E （我们以{}0,1,2,3 ，

来标记012,,E E E ,并称它们是过程的状态，{}0,1,2,3 ，

或者其子集记为S ，称为过程的状态空间）. 马尔可夫链是一类特殊的随机过程，它广泛应用于许多领域，如教育、市场营销、医疗服务、金融和工业生产等，其重要特征为具备“无后效性”，即系统将来的状态只与它现在时刻的状况有关。

进一步地，我们假设对于所有的状态i 和j ，以及所有的t ，1()t t P X j X i +==只与状态i 和j 有关，而与t 无关，此时，称马尔可夫链为齐次马尔可夫链，简称马尔可夫链，并记

1()t t ij P X j X i p +===

其中ij p 为假设系统在时间t 的状态为i ，那么它在时间t+1时状态将为j 的概率.ij p 的值通常被称为马尔可夫链的一步转移概率，简称转移概率。

在应用中，我们通常将转移概率ij p 排成一个n ×n 阶的矩阵，令

11

121212221

2n n n n nn p p p p p p P p p p ⎛⎫ ⎪ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

称P 为转移概率矩阵，简称转移矩阵，容易得出P 有如下性质：

（1）0ij p ≥，,1,2,;i j n = （2）

1

1n

ij

i p

==∑，1,2,;i n =

除了一步转移概率，通常还需要研究以下问题：如果马尔可夫链在时间m 的状态为i ，那么n 个周期之后马尔可夫链的状态为j 的概率是多少?

定义2 (n 步转移概率)称条件概率

()()n ij m n m p P X j X i +===,,1,2,,0,1i j n m n =≥≥

为马尔可夫链的n 步转移概率，相应地称()

()()n n ij P p =为n 步转移概率矩阵.

显然，n 步转移概率()

n ij

p 指的就是系统从状态i 经过n 步后转移到j 的概率. 可以证

明, ij p 和 ()

n ij

p 存在如下关系：()

n ij

p =转移概率矩阵P 的n 次幂n

P 中的第i 行第j 列元素

在实际应用中，可以通过系统结构及相关数据确定其初始状态(0)

X

，然后根据各个状

态之间的关系或多个时间的相关数据确定其转移概率矩阵P ，以此建立马尔可夫模型，通过n 步转移概率矩阵即可用来来预测未来一段时间系统所处的状态，然后分析和调整系统.

4. 人口迁徙问题

设在一个大城市中的总人口是固定的。人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区。假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问10年后市区和郊区的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？并分析人口分布变化趋势。

5. 多对基因型的遗传选种

在常染色体遗传中,后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对.如人类眼睛颜色即是通过常染色体控制的,其特征遗传由两个基因A 和a 控制.基因对是AA 和Aa 的人,眼睛是棕色,基因对是aa 的人,眼睛为蓝色.