第八章 结构的动力学模型修正

第八章结构的动力学模型修正
§8.1 概述
随着科学技术的进步，人们对工程结构设计的要求越来越高，因此在进行结构静、动力分析时，要求反映结构力学特征的模型正确可靠，就成为顺理成章的事，结构建模问题因而显得越来越重要。

对结构振动分析而言，一个良好的数学模型是保证固有特性和振动响应计算、载荷预计、稳定性分析等得到可靠结果的前提。

上一世纪中期发展起来的有限元素法，为结构动力学建模提供了一个有力的手段。

但由于各种原因，根据结构的力学模型用有限元素法建立的数学模型，常常不能准确反映实际结构的动力学特征。

虽然在后来随着振动测试技术、信号处理技术的发展，使得以参数识别技术为基础的试验模态方法获得了大的发展，但由于参数识别也是以参数模型存在为前提条件，如果参数模型本身不能反映结构的本质与特征，则再好的数学识别技术也不能提高结构模型的精度。

而且由参数识别得到的模态数据，往往远少于建模的需要。

结构的动力学建模仍然有许多需要解决的问题。

要得到一个与实际结构动力学特性符合较好的模型，可以从两个途径来解决这个问题：一个途径是用理论分析（如有限元素法）建立模型，再用实测数据进行模型修正，称为结构动态修改或动力学模型修正；另一个途径是仅用测试数据，以参数模型为依据求得物理坐标下表征结构动态特性的质量、刚度、阻尼矩阵，即所谓物理参数识别问题。

因此，结构动力学模型修正的工程含义可以从两方面来阐述：
（1）计算模型的动力学模型修正。

对于实际结构运用有限元法建立的数学模型，由于它不能准确反映实际结构的动态特性，需用实测数据进行修正，以获得能用于计算的数学模型。

（2）结构的动力学修改。

结构动力学修改的正问题是指：对已有结构做了局部修改后，在原结构模态参数已知的情况下，用快速简易的方法获得改动后结构的模态参数。

即所谓结构重分析问题。

结构动力学修正的反问题是指：已知的原结构模态参数不符合要求，在
对结构模态参数的要求已给定的情况下，对结构进行修改，使改动后的结构模态参数符合要求。

如果将结构视为一个系统，则结构动力学模型修正的实质是：根据系统某些动态特性的要求（对计算模型的动力学模型修正就是实测数据），对已有系统进行有约束有目标的修改。

从原理上看，这是一个有约束的结构优化设计问题。

由于具体工程结构千差万别，结构动力学模型修正的具体方法也就各不相同。

§8.2 结构动力学模型修正的若干问题
本章所讨论的结构动力学模型修正问题，其对象是模态密度不高且已经用有限元方法离散后的结构。

因此，当结构的刚度矩阵、质量矩阵等的元素有微小变化时，结构的固有频率、振型等也发生微小的变化。

当模态密集或有重频时，上述结论就不再成立了。

1． 灵敏度分析
灵敏度的定义有两种：“因变量的变化”除以“自变量的变化”；“因变量的相对变化”除以“自变量的相对变化”。

为了便于比较各个参数对动力学特性的影响，本章采用后一种定义。

对于有限元模型，结构的可修改参数体现在模型的物理参数中，易于用数学方法计算出动态特性对修改参数的灵敏度。

由复模态理论知，结构的质量矩阵][M 、刚度矩阵][K 和阻尼矩阵][C 的元素都是实数，而其动态特性则是复数。

当然对于无阻尼系统的动态特性是实数，故可设函数
)
,,(21 x x y y =R x i ∈（实数域），C y ∈（复数域） （8－1）
则灵敏度定义为：
)0,0(ln ln //lim
)/(0≠≠∂∂=
∂∂⋅=∆∆=→∆y x x y
x y y x x x y y x y i i i
i i i x i i η （8－2）
由于y 为复数，故η也是复数，大小由其模决定，灵敏度的倒数称为稳定度。

灵敏度具有如下性质：
（1） 设∏==n
i i x y u 1
)(，
则 ∑∑===∂∂=∂∂=n
i i n i i x y x y x u x u 1
1)/()(l n )
(l n )(l n )(l n )/(ηη （8－3）
（2） 设)(/1x y u =， 则)/()/(x y x u ηη-= （8－4） （3） 若a ，b 为常数， 则)/()/()/(x y bx y x ay ηηη== （8－5） （4） 设)(y u u =，)(x y y =， 则)/()/()/(x y y u x u ηηη⋅= （8－6） （5） 设)(x y u m =，其中m 为非零的有理数，
则 )/()/(x y m x u ηη⋅= （8－7）
（6） 若∑==n
i i x y u 1)(，),2,1(0n i y =≥，
且)/(max m ax x y i ηη=及)/(min m in x y i ηη=，由：
u y
x y x y x y u x x y u x x u u x x u i n
i i i n i i n i i ∑∑∑=====∂∂=∂∂⋅=111)/()/()/(ηηη
所以有：∑∑∑===≤≤n
i i i n i i i n
i i i u y
x y u y x y u y x y 1
max 11min )/()/()/(ηηη
即： m a x m i n ηηη≤≤ （8－8）
上述灵敏度定义和性质可以用于振动系统灵敏度分析，得到特征值变化与特征向量、质量矩阵及刚度矩阵变化间的关系。

§8.3 实模态参数的灵敏度
无阻尼振动系统的特征方程为：
}0{}]){[]([2=-i i M K φω （8－9）
假定固有振型已经对质量归一化，记动态修改参数为j b ，将式（8－9）两端对j b 求偏导，并用到
T i T i M K }0{])[]([}{2=-ωφ （8－10）
}0{}{])[]([}){][][2][(
22=∂∂-+∂∂-∂∂-∂∂j
i i i j i j i i j b M K b M b M K b φωφωωω （8－11） 两端乘以T i }{φ，并利用（8－10）得到：
}0{2}){][][(
}{2=∂∂-∂∂-∂∂j
i i i j i j T i b b M K b ω
ωφωφ （8－12） 故得到：
}){]
[][(}{212i j
i j T i i j i b M b K b φωφωω∂∂-∂∂=∂∂ （8－13） 根据展开定理：
}{}{1
k n
k ijk j i a b φφ∑==∂∂ （8－14） 其中，ijk a 为常数。

代入（8－11）两边前乘T k }{φ，得到：
}0{)(}){][][(
}{222=-+∂∂-∂∂ijk i k i j
i j T k a b M K b ωωφωφ （8－15） 故有：
)(}){][][(}{1222k i b M b K a i j
i j T k k i ijk ≠∂∂-∂∂-=
φωφωω （8－16） 根据正交性
1}]{[}{=i T i M φφ （8－17）
两边对j b 求偏导，并将（8－14）代入得到：
0}{]
[}{}{][}{21=∂∂+∑=i j
T
i n
k k ijk T
i b M a M φφφφ （8－18） 当k i =时，有
}{]
[}{21i j
T i ijk b M a φφ∂∂-= （8－19）
根据灵敏度定义及（8－13）、（8－14）式，得到:
)
,2,1,()/(}
){]
[][(}{2)/(1
22n r i a
b b b b b M b K b b b b n
k kr
ijk ir
j
j ir ir j j ir i j i j T i i j j i i j j i ==
∂∂=
∂∂-∂∂=∂∂=∑=φφφφφηφωφωωωωη （8－20）
§8.4 粘性阻尼系统的复模态参数灵敏度
粘性阻尼系统的运动方程
}{}]{[}]{[}]{[f x k x c x
m =++ （8－21） 相应的特征方程为：
}0{}]{[}]{[}]{[2=++ψψλψλk c m （8－22）
当阻尼矩阵不满足（7－1）的条件时，对方程（8－22）要用复模态理论来处理，根据（7－10）（7－14）（7－18），于是特征值问题写为：
}0{}]){[][(=ψ+i i K M λ （8－23）
两端对j b 求偏导，得：
}0{}
{])[][(}){][][][(
=∂ψ∂++ψ∂∂+∂∂+∂∂j
i i i j j i j i b K M b K b M M b λλλ （8－24） 左乘T i }{ψ，并利用复模态的正交性，得到：
}){]
[][][(}{2i j
j i j i T i j i b k b c b m b ψλλψλ∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂ （8－25） 由展开定理，
∑=ψ=∂ψ∂n
k k ijk j i a b 21
}{}{ （8－26） 代入（8－24）并前乘T k }{ψ得到：
)(}){][][][(}{1}){][][(}{12k i b k b c b m b K b M a i j
j i j i T i i k i j
j i T k i k ijk ≠∂∂+∂∂+∂∂-=ψ∂∂+∂∂ψ-=
ψλλψλλλλλ （8－27）
对1}]{[}{=ψψi T i M 的两端对j b 求偏导，并引用（7－31）可得：
}){]
[][2(}{21i j
j i T i ijk b c b m a ψλψ∂∂+∂∂-= （8－28）
在复模态情况下，可设：
21i i i i i i i j j ζωωζβαλ-±-=±= （8－29）
其中，22/i i i i i i βαωωαζ+=-=
令：
)
1/1(22i j
i i i i j i j i i i j i i i j
i
b b j b b je d b ζζ
ζωζωωζωζλ-∂∂--∂∂±∂∂-∂∂-=±=∂∂ （8－30）
从而
i
i i i j
i
i i i i i i j
i
d e b d e b ζζωωζζζζ--=∂∂-+--=∂∂2221/)1(1 （8－31）
从而，根据上述公式得到：
)
,2,1,(/)/(/)1()/(/)1(1)/(21222n r i a b b d e b b d e b b ir
kr n
k ijk j j ir i i i i i j j i i i i i i i i j j i =ψψ=ψ--=-+--=∑=ηωζζωηζωζζζζη （8－32）
§8.5 频响函数及频域响应的灵敏度
根据（6－121）式得到系统在拉氏域的运动方程为：
)}({)}(]{[)}(]{[)}(]{[2s F s X k s X c s s X m s =++ （8－33）
记
][][][)]([2k c s m s s Z ++=
（8－34）
令ωj s =，传递函数为：
121])[][]([)]([)]([--+-==c j m k Z H ωωωω （8－35）
从而有：
)]([)]
([)]([)]([ωωωωH b Z H b H j
T j ∂∂-=∂∂ （8－36） 当)]([ωH 为对称阵时，
n j n s r H b Z H b H s j
T r j rs ,2,1,2,1,}{)]([}{==∂∂-=∂∂ω （8－37）
如果j b 是刚阵中的元素，ij j k b =，则：
][)]
([ij ij
e k Z =∂∂ω （8－38） ][ij e 表示仅第i 行第j 列元素为1，其它元素均为零的方阵。

将其代入（8
－37）式，得到：
js ri s ij T r ij
rs
H H H e H k H -=-=∂∂}]{[}{ （8－39） 同理可得
ij rs m H ∂∂，ij
rs
c H ∂∂，由此得到： rs
ij js ri ij rs rs ij js ri ij rs rs
ij js ri ij rs H c H H j c H H m H H m H H k H H k H /)/(/)/(/)/(2ωηωηη-==-= ),2,1,,,(n s r j i = （8－40） 频域的位移响应为：
)}()]{([)}({ωωωF H X = （8－41）
故有：
}]{[)]
([][}{][}{F H b Z H F b H b X j
T j j ∂∂-=∂∂=∂∂ω （8－42） }{)]
([}{X b Z H b X j
T r j r ∂∂-=∂∂ω （8－43） 与（8－40）的推导相同，可以得到：
r
ij j ri ij r r ij j ri ij r r
ij j ri ij r X c X H j c X X m X H m X X k X H k X /)/(/)/(/)/(2ωηωηη-==-=),2,1,,(n r j i = （8－44）
§8.6 结构振动灵敏度分析的一些规律
假定振动系统的质量、刚度和阻尼阵分别是P 个集中质量、Q 个独立弹簧和R 个粘性阻尼器的线性组合，即：
∑∑∑======R
r r Q
q q
P
p p
c c k k m m 1
1
1][][][][][][ （8－45）
式中，p m ][、q k ][、r c ][分别表示][m 、][k 、][c 中仅第p 个集中质量p m 、第q 个弹簧刚度系数q k 、第r 个粘性阻尼系数r c 不为零，其余元素皆为零。

此时有：
r r
r
q
q
q
p
p
p
c c c c k k k k m m m m ][]
[][]
[][]
[=∂∂=∂∂=∂∂ （8－46） 对无阻尼系统，由（8－20）式得到：
)2/(}{][}{)2/(}{]
[}{)/(2/}{][}{2/}{]
[}{)/(22i i q T i i i q
T
i q q i i p T i i p
T i p p i k k k k k m m m m m ωφφωφφωηφφφφωη=∂∂=-=∂∂-= （8－47）
于是有：
)/()/(2
/1)2/(}]{[}{)2/(}{][}{)/(2
/12/}]{[}{2/}{][}{)/(1
1
21211
1=+===-=-=-=∑∑∑∑∑∑======Q
q q i P p p i i
i T
i Q
q i
i q T
i Q
q q i
i T i P
p i p T i P
p p i
k m k k k m m m ωηωηωφφωφφω
ηφφφφω
η （8－48）
上式说明，固有频率对质量的灵敏度恒为负，而对刚度的灵敏度恒为正，且它们的数值均为有限值，最大不超过2/1。

即某一处的质量和刚度的改变对固有频率的影响不大，这是因为固有频率反映的是结构系统的总体特性。

对粘性阻尼系统，由（8－24）～（8－28）式，可以推得：
i p
i T i p i m m m }{]
[}{2ψλψλ∂∂-=∂∂ （8－49） 故：
∑=-=P
p i T i i p
i
m m
1
}]{[}{)/(ψψλλη （8－50）
同理有：
∑=-
=Q
q i T i i
q i
k k 1
}]{[}{1
)/(ψψλλ
η （8－51）
∑=-=P
r i
T
i
r
i
c c 1
}]{[}{)/(ψψλη （8－52）
从而：
∑∑∑====++R
r r i Q q q i P
p p
i
c k m
1
1
1
0)/()/()/(ληληλη （8－53）
按照同样的方法，可以推出：
ω
ηηωη]][[)/]([]][[)/]([]][[)/]([1
12
1H c j c H H k k H H m m
H R
r r
Q q q P
p p
-=-==∑∑∑=== （8－54）
][)/]([)/]([)/]([1
1
1
I c H k H m
H R
r r Q q q P
p p
-=++∑∑∑===ηηη （8－55）
通过对结构振动特性参数的灵敏度分析可知，频响函数无论对质量、刚度和阻尼的灵敏度的模的曲线，在共振峰附近的值最大，即共振峰附近频响函数的变化最能反映系统物理参数的变化情况，多自由度系统存在多个共振峰，频响函数的敏感区域也有相应的个数。

在共振区外，频响函数对阻尼的变化不敏感。

振型是比较敏感的参数，尤其在节点附近，但节点附近信号的信噪比小，在实际测试中难以应用。

§8.6 结构动力学模型修正方法的分类
1958年，S.I. Graviz 为解决飞机地面共振试验中测量振型的正交化问题，提出了用测试数据求得飞机结构柔度矩阵，并予以修正使之对称。

这可以看作是最早报道的结构动力学模型修正工作。

而且结构动力学模型修正研究从一开始就与振型正交化研究联系在一起。

五十多年来，结构动力学模型修正的方法层出不穷，但工程上迄今尚无一种公认的、很有效的普遍方法，目前对结构的动力学模型修正仍然是一个在不断发展的研究课题。

按照不同
的观点，现有的结构动力学模型修正方法可以进行不同的分类。

按照模态是否完全，可分为完全模态方法和非完全模态方法； 按照结构模态性质，可以分为实模态方法和复模态方法； 按照所采用的数学方法分，可以分为优化法和迭代法； 按照修改对象分，可以分为矩阵型修改法和元素型修改法； 按照修改方式，可以分为直接修改法和间接修改法。

本章不可能详细介绍每一种方法，只能简要介绍一些代表性的方法，重点在于这些方法的概念和对问题的处理思路。

【矩阵摄动法】 1． 一阶矩阵摄动法 假定
]][[][0A Φ=∆Φ （8－56）
且][A 的对角元素),2,1(0n i a ii ==，于是：
])[]]([[][][][00A I +Φ=∆Φ+Φ=Φ （8－57）
由瑞利商式，有：
]
[]
[]][[][]][[][][2i i T T i
M diag K diag M K diag ≡ΦΦΦΦ=ω （8－58）
若只保留一阶微量，则：
])
[])([(])[])([][(])
[][])([][(]
[][][202002
2000i i i i i i i i i i i i diag M diag diag M diag M diag diag diag M diag M diag K diag K diag K diag ωωωω∆+∆+≈∆+∆+=∆+=（8－59）
])
[(][]][[][]])[[(][]][[][]][[][]][[][]][[][])[]])([[]([])[]([][][000000000000000000i T T i i T T T T T i i K diag A K A K diag K diag K K K K K K K diag K diag +Φ∆Φ++=Φ∆Φ+Φ∆Φ+∆ΦΦ+ΦΦ≈∆Φ+Φ∆+∆Φ+Φ=∆+ （8－60）
同理可得：
])
[(][]][[][]])[[(][])[]])([[]([])[]([][][000000000i T
T
i i T i i M diag A M A M diag M diag M M M diag M diag +Φ∆Φ++≈∆Φ+Φ∆+∆Φ+Φ=∆+ （8－61）
将（8－60）（8－61）代入（8－59），保留一阶微量，并注意到：
])[]([][2
000i i i diag M diag K diag ω= （8－62）
得到：
])[])([(])])[[(])[](])([[(])
[](][[][]][[][2
0202002
00000i
i i
i i i T T diag M diag A diag diag A M diag diag M K ωωωω∆+-=Φ∆Φ-Φ∆Φ（8－63）
若记：
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Φnn n n n n ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ 21
22221112110][ （8－64） ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆∆∆∆∆∆∆=∆nn n n n n k k k k k k k k k K 212222111211][ （8－65）
故有：
⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡∆∆∆∆∆∆∆∆∆=Φ∆Φ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑i j nj ij ni i
j
j
ij ni
i j j ij ni i j
nj ij i i
j
j ij i
i j
j
ij i i
j
nj ij i
i
j j ij i
i j
j ij i T
k k k k k k k k k K ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
21222121211100]][[][（8－66） 第l 行第k 列元素为ij kj i
j
li k ∆∑∑ϕϕ，故有：
][]][[][00ij kj i
j
li T k K ∆≡Φ∆Φ∑∑ϕϕ （8－67）
不失一般性，假定质量矩阵为集中质量阵，则][M ∆和][0M 均为对角阵，即)(0][j i M ij ≠=∆。

于是，
]
[])[](][[][2
02000i ki i
li k i T M diag M ∆≡Φ∆Φ∑ϕϕωω （8－68） 20k ω为][20i diag ω的第k 个对角元素，i M ∆为][M ∆的第i 个对角元素。

记
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 21222
21
112
11][ （8－69） 并注意到0=ii a ，则式（8－63）右端可以写为：
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡∆---∆---∆=⎪⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆+
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n nn n n n n n n n m m a m a m a m m a m a m a m a a a a a a a a a a a a a a a a a a m m m 02022020201202010222
0220022202212022010112012001122
01202012122
2
21202
022*******
02
22202212
01
12
01
1220111202
022********
022220121201202122011100201)()()()()()(ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω
（8－70）
其第l 行k 列的元素可以写成：
)
()()(022
002
02020k l m m k k l m a m k l l
i
i ki
li k
ij i
j
kj
li
l
l k lk i
i ki li k ij i
j
kj
li
=∆=∆-∆≠-=∆-∆∑∑∑∑∑∑ωϕ
ϕωϕ
ϕωωϕϕωϕ
ϕ（8－71）
令：
⎩⎨⎧≠-=∆=∆)(2/)()(2/2
020202
02k l a k l k l k
lk k
k lk ωωωωω （8－72） 从而，（8－70）式可表示为：
l k i j
ki li k ij kj i j li lk m m k 02020/)(21ωϕϕωϕϕ∆-∆=
∆∑∑∑ （8－73） 【例】 图示质量-弹簧系统，当m m m m ===321时，特征方程为
0]2)2)[(2(222=---k m k m k ωω
故有
m k /)22(01-=ω
m k /202=ω m k /)22(03+=ω
相应的振型列阵为（按1}{}{=i T i φφ归一化）：
⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=2/112/1212/12/12/1}{1φ ⎪
⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=101212/102/1}{2
φ ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧-=2/112/1212/12/12/1}{3φ
现欲使第一阶振型下质量1m 的振幅减小，质量2m 的振幅增大，具体数值为：
⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=∆+8.016.021}{11φφ，并限定固有频率01ω不改变，即01=∆ω
上述要求相当于加上三个约束,,,312111∆∆∆需要修改三个结构参数。

现修改三个质量。

此时式（8-73）退化为：
∑=∆-=∆3
1
)/(21i i ik il lk m m ϕϕ
于是有：
⎪⎭⎪
⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧∆∆∆⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎪⎭⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∆∆∆m m m m m m ///2/112
/12/102/12/11
2
/141321312111
故得：
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧∆∆∆⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎪⎭⎪
⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧∆∆∆3121113212/12/12/12/102/12/12/12/14///m m m m m m
由（8-72）式算得：
⎪⎩⎪
⎨⎧--=∆--=∆=∆3131
212111)21(2/)21(0a
a 再由（8-57）式得到：⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧Φ=∆+31210111][}{a a φφ
或 ⎪⎭⎪
⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣⎡--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧312112/112/1101
2/11
2/18.016.0a a
这是一个矛盾方程组，用广义逆法求其最小二乘解，可以解得：
⎩⎨
⎧-=-=01
.010
.03121a a 于是可以得到：
⎪⎩⎪⎨⎧=∆=∆=∆024.0120.00312111， ⎪⎩
⎪
⎨⎧=∆=∆-=∆29
.0/05.0/39.0/321m m m m m m 修改后的特征方程为：
0)29.12(])29.12)(05.12)[(61.02(22222=-+----ωωωωm k k k m k m k m k
用特征值计算方法如迭代法，可以求出系统修正后的特征值和特征向量：
⎪⎩⎪
⎨⎧='='='0303
0202
0101
10.101.1993.0ω
ωωωωω ⎪⎩
⎪
⎨⎧=∆=∆-=∆10
.0/01.0/007
.0/033022011ωωωωωω ⎪⎭
⎪
⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧-='⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-='⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧='16.053.000.121}{,00.165.088.021}{,81.000.161.021}{3
21φφφ 由以上结果可知，经过对系统质量的修改，从工程精度上达到了预期的对系统进行动力修改的目的。

注意到本例的约束数与修改参数的数目是相等的，是一个适定问题。

如果前者小于后者，则得到一个欠定方程，可以求其最小范数解，当前者大于后者，则仍可以用求最小二乘解的方法求解。

【矩阵小参数法】 若
][][][0M M M ∆+=、][][][0K K K ∆+= （8－74）
设：
]
][[][])[(])[(][][][][][][0122102210αελελελλεεΦ=Φ+++=+Φ+Φ+Φ=Φ
diag diag diag diag （8－75）
利用归一化条件：
]
[]][[][][]][[][λΦΦΦΦdiag K I M T T == （8－76）
可以推得：
)
(]][[][][][]][[][)
(]][[][][][2
00001200ελααλλεααO K diag diag diag O M T
T
T T +Φ∆Φ++=∆+Φ∆Φ-=+（8－77）
略去二阶小量，得到：
]
][[][][][]][[][]
][[][][][0000100Φ∆Φ++=∆Φ∆Φ-=+K diag diag diag M T
T
T T λααλλαα （8－78）
知道了质量阵和刚度阵的摄动量，就可以由上式解出新系统的特征对，而无需重新求解特征值问题。

当对系统取一阶摄动时，有：
]][[][][00αΦ+Φ=Φ （8－79）
从而，
][][][][10I -=-ΦΦα，][][][][0I T T -=-ΦΦα （8－80）
又因为：
][]][[][000I M T =ΦΦ （8－81）
所以：
1000000][][][][]][[--Φ=ΦΦ=ΦM M T T
（8－82）
将（8－79）～（8－82）代入（8－78）的第一式，得到：
][]])[][[][]][[][][2](][[][00000000M M M I M M T T T ΦΦΦ-ΦΦ-Φ=∆（8－83）
同理，由：
][]][[][000λdiag K T =ΦΦ （8－84）
得到：
100000000]])[[(][][])[(][]][[--Φ=ΦΦ=Φλλdiag K diag K T T （8－85）
代入（8－78）的第二式，得到：
][]])[][[][]][[][][][](][[][0000001000M K K diag diag M K T T T ΦΦΦ-ΦΦ-+Φ=∆λλ
上述方法都要求需要知道全部的模态，因此属于完全模态方法。

其它模态修改方法，限于篇幅，这里不一一介绍，可以参阅相关文献，
早期的一些模型修正的代表性研究论文：
【1】Berman,A. Mass Matrix Correction Using an Incomplete Set of Measured Modes. AIAA J. Vol.17,No.10, 00114-1148,1979.
（利用测试得到的不完全模态修正质量矩阵）
【2】Fu-Shang Wei, Stiffness Matrix Correction From Incomplete Test Data. AIAA J. Vol.18,No.10, pp1274-1275, 1980
（利用测试得到的不完全模态修正刚度矩阵）
【3】Bugeat,L. et al, Adjustment of a Conservative Non Gyroscopic Mathematical Model from Measurement, Shock and Vibration
Bullitin, Proc. 48, Pt.3 pp1431-1432,1985.
(局部物理参数修改)
【4】彭晓洪等，用模态参数识别结果对实际结构有限元动力模型的修正。

振动与冲击，1984(3),pp8-15.
(元素型修改——限定带宽法)
【5】Zhang D.W., Li J.J. A New Method for Updating the Dynamic Mathematical Model of a Structure, Part 1 Quasi-Complete
Modified Model, DFVLR 232-87 J05, Gottingen, 1987.
(元素修改法)
结构动力学模型修正的论文远不止所列这几篇，读者可以从中外各种学术期刊上查阅到大量有关结构动力学模型修正的论文。

而且，各种结构动力学模型修正方法都有优点和不足，目前还没有一个可以对任何结构都能进行满意的动力学模型修正的方法。

因此，对结构动力学模型修正的研究一直没有停止，不断有新的方法被提出。

附录中对近十年来的结构动力学模型修正（结构动力学模型修正）的研究进展进行了述评，可以帮助大家对结构动力学模型修正的研究现状有一个初步的了解。

【附录】
结构动力学有限元模型修正的研究进展
一、概述
在复杂结构的动力学分析中，建立一个较高质量的结构动力学有限元模型是解决问题的关键，因此结构的动力学有限元模型修正是结构动力学领域的一个热点问题。

许多工程领域，如飞行器颤振特性分析、损伤检测、健康检测、结构控制和结构评估都需要一个准确的结构动力学模型。

然而，通过设计方案直接建立的有限元模型，由于其对真实结构作了相当大的力学简化，在通常情况下并不能准确的反映结构真实的动力学特性，因而，直接根据建立的有限元模型计算得到的固有频率和固有模态等动力学特性往往与实验结果不一致，这时就需要对该有限元模型进行修正。

通常情况下，动力学模型修正就是在一定的范围内修改建立初始的理论模型时采用的某些不确定参数，包括理论模型的边界条件、材料本构关系以及结构部件连接属性等，以使得由理论模型计算得到的动力学特性尽可能与实际结构一致。

结构动力学有限元模型修正技术发展至今，大致可分为三个层次：人工修改，计算模型修正（computational model updating，CMU）以及模型确认（model validation）。

人工修改就是建模人员通过一些工程经验，人工调整初始模型中一些受不确定因素影响的参数。

人工修改不需要复杂的理论推导和大量的计算，但只有在建模人员具有相当丰富的有限元建模工程经验并对结构的动力学特性有一定了解的前提下，才能得到较高质量的理论模型。

而且，在经验和信息不足的情况下对模型进行人工修改，有时不仅达不到所需要的模型质量，反而会导致模型质量下降，造成工作量的浪费。

因此，人工修改一般应用于一些简单结构的动力学模型修正，或者用于模型修正的初期阶段。

计算模型修正，也就是通常所说的模型修正，它是建模人员利用结构动力
学理论和某种优化算法，编程后由计算机自动完成模型修正过程。

计算模型修正一般需要较为复杂的优化计算过程，但随着计算机技术的迅速发展，这些问题大部分均都得到了很好的解决，同时计算模型修正由于使用了优化算法，所以能得到质量更高的理论模型。

图1 模型确认的基本步骤
模型确认是近几年提出的一个新概念，它是指通过计算和试验两个方面的分析，对有限元模型在设计空间的响应预报精度进行评价和确认，并在此基础上进行模型修正，为进一步的应用，提供精确可信的有限元模型以及响应的计算方法。

文献[1]对此进行了较为详细的论述，Göge等[2]也给出了模型确认的五个基本步骤，如图1所示。

这里，引用Link等[3]提出的模型确认的四个指标来对有限元理论模型进行描述：
1）理论模型必须能重现模型修正过程中所使用的频带内的测试数据；
2）理论模型可以估计在模型修正过程中所使用的频带以外的测试数据；
3）理论模型可以估计不同加载条件下的频响函数，而不局限于模型修正过程中使用的加载条件；
4）理论模型可以估计结构变化以后的测试数据（如添加质量、添加子结构或者改变边界条件）。

其中第一个指标是对理论模型最低的要求，后面三个可以根据模型的用途来判断是否需要满足。

模型确认是模型修正的最高层次，而计算模型修正（图1中的第四步）是模型确认的一个最重要的环节，目前对于模型修正的研究仍主要集中于计算模
型修正，因此本文中所提到的模型修正，在没有特殊说明的情况下均指计算模型修正。

二、结构动力学有限元模型修正的基本理论
有限元模型修正，本质上属于一种优化问题，因此设计变量，目标函数以及修正算法是有限元模型修正的三大要素。

设计变量就是模型修正的所要修改的模型的参数；目标函数就是模型修正所建立的描述理论模型特性与试验模型特性的相关程度的一个表达式；修正算法就是模型修正所采用的计算方法。

基于这三大要素，我们可以对目前所发展的有限元模型修正方法进行不同的分类。

根据模型修正所使用的设计变量，可以分为几何尺寸的修正方法，单元属性的修正方法以及边界条件的修正方法；根据模型修正所使用的目标函数可以分为基于模态参数（如频率，振型）的修正方法，基于频响函数的修正方法，基于动力学响应得修正方法；根据所使用的修正算法可以分为直接修正算法和迭代修正算法。

本章就通过这三个方面，对近几年来模型修正方法的研究进展进行总结，并讨论了目前应用到实际结构模型修正的一些计算策略，最后给出了一些结论及展望。

2.1 模型修正所使用的设计变量
模型修正的目的就是尽量缩小理论模型与实际结构之间的误差，获得能准确表示结构特性的有限元模型。

而通常由于一些假设及简化，初始的有限元模型往往包含了模型结构误差，模型参数误差以及模型阶次误差[4]，不能准确地描述实际模型。

随着计算机技术及结构动力学分析技术的发展，模型阶次误差可以通过有限元网格的细分以及相应的模型缩聚技术进行减小。

模型结构误差通常与选择的数学模型有关，是一种较为复杂的模型误差，一般只能通过较为合理的模型假设来降低，例如针对GARTEUR SM-AG19基准模型，将其简化为梁单元[5-8]或简化为板单元[9,10]，均得到了较好的修正结果。

在模型结构假设已经确立的前提下，模型修正过程中一般处理的就是模型参数误差，也就是初始模型建立时的一些不确定的参数，而这些不确定的参数就是潜在的模型修正设计变量。

这些不确定的参数一般存在于模型的物理参数（如密度、弹性模量），几何尺寸（如截面面积），边界条件等参数中。

在这些参数中，一般认为质量矩阵的
模拟相对准确一些，因而大部分模型修正方法都是以结构的局部刚度为修改对象，这样弹性模量及几何尺寸成为了使用最为广泛的设计变量。

建立结构连接处的动力学模型时需要特别注意，由于其局部刚度相当大，假如对结构的这种局部部分采用刚性单元建模，则在这种情况下，可以用刚性单元的尺寸作为设计变量[5,11]；而对于悬臂结构的模型修正，一般其不确定因素多存在于其固支根部，也就是边界条件的不确定性，这时可以用其根部单元的尺寸为设计变量[12]。

其实这些设计变量均是以弹性模量为设计变量的另一种表达方式。

选择合理的设计变量，不仅能提高模型修正的效率，也是获得一个可靠的理论模型的重要因素之一。

例如，使用不合理的设计变量，有可能得到满足目标函数的理论模型，然而它只能重现优化过程中所使用的表示结构动力学特性的参数，而不能较为准确的描述表示该结构的动力学特性的其它参数。

众所周知，模型修正中的直接算法，通常没有一个明确的设计变量的选取过程，这也是导致一般直接算法修正精度不高的一个原因。

这样，不论针对于哪一种模型修正方法，都应当有一个明确的设计变量的选取过程。

而设计变量的选取原则应基于灵敏性分析，并兼顾初始模型的不确定因素的来源，选择那些对目标函数较为灵敏的不确定参数[53]。

2.2 模型修正所使用的目标函数
在选取了能描述有限元建模误差的设计变量以后，合适的目标函数是结构动力学有限元模型修正的另一个重要因素。

目标函数是描述理论模型特性与试验模型特性的相关程度的一个表达式，由结构的动力学特性参数组成，表示了实验模型与理论模型之间的误差，一般结构动力学有限元模型修正归结为一个目标函数的最小化问题。

近年来，目标函数所使用的动力学参数主要包括模态参数、频响函数以及动力学响应。

2.2.1 基于模态参数的模型修正方法
模态参数主要包括固有频率、模态振型、模态阻尼等等，然而由于模态阻尼受测量条件及环境的影响较大，当今基于模态参数的模型修正研究，主要集中在以固有频率及模态振型为目标函数的修正方法之中。

固有频率是结构的固有特性，其测量方法较为简单且精度较高，因而，理
论及实验固有频率的误差组成了模型修正中最常用的一种目标函数，如（2-1）式所示：
∑=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=n i i m i m i a i fre fre f f f w J 12
,,,,)()(p p （2-1） 其中，p 表示设计变量，i f 表示第i 阶固有频率，下标m a ,分别表示理论值及试验值，i fre w ,表示第i 阶固有频率的权值，也就是第i 阶固有频率对目标函数的贡献的大小。

文献[13]中建议取2,/1i i fre w σ=，2i σ表示多次测量后得到的第i 阶固有频率的方差；笔者认为，在各阶固有频率的测量误差比较相似或者没有进行多次测量的情况下，可取1,=i fre w 。

Mottershead 等在以固有频率为目标函数的模型修正中作了大量的工作，首先对含接头模型、悬臂板[12]以及空间铝框架结构[14]进行了模型修正，之后将该方法应用到了GARTEUR 基准模型[11]的修正中，均得到了较好的修正结果。

Steenackers 等[13]使用固有频率，并考虑了测试误差，对一铝板模型进行了修正。

单独使用固有频率的误差作为目标函数的模型修正已经应用到了大型工程结构中，如李岩等[15]对大跨径斜拉桥模型的修正，丁幼亮等[16]及孙正华等[17]分别对润扬长江大桥及其索塔模型的修正。

针对这些大型结构的模型修正，有一个共同的特点，就是基于灵敏性分析并使用了大型商用软件。

由于固有频率包含的结构信息相对较少，这样就出现了以模态振型为目标函数的模型修正方法，如郑荣跃等[18]基于灵敏性分析的思想，利用实际测量的模态振型对招宝山大桥的有限元模型进行了修正，修正后的有限元模型可以全面反映成桥状态的固有动力特性。

然而，单独使用振型往往会丢掉较为准确的固有频率信息，这样一个更加合理的方法是联合使用固有频率和模态振型作为目标函数，而模态振型主要通过直接和间接两种模式加入到目标函数中去。

直接利用模态振型的模型修正又分为两种形式，第一种直接使用理论模型与实验模型的各阶模态振型的误差作为目标函数，如公式（2-2）所示：
∑∑==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=n i m i j ij m ij m ij a ij shap shap w J 12
,,,,)()(φφφp p （2-2） 其中，ij φ表示第j 阶模态振型的第i 个分量，ij shape w ,为相应的权值。

通常联合使。