(完整版)2018中考总复习平行四边形专题

25.（10分）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF=60° .

线段AE，EF，AF之间的数量关系；

（1）如图12-1，当点E是线段CB的中点时，直接写出

．．．．

（2）如图12-2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；

（3）如图12-3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离。

(2016·济宁)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF＝CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO.

(1)EO＝2，求正方形ABCD的边长；

(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．

(2016·玉林)如图1，菱形ABCD对角线AC，BD的交点O是四边形EFGH对角线FH

的中点，四个顶点A，B，C，D分别在四边形EFGH的边EF，FG，GH，HE上．

(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；

(2)如图2，若四边形EFGH是矩形，当AC与FH重合时，

已知AC

BD

＝2，且菱形ABCD的面积是20，求矩形EFGH的长与宽．

9．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）

A．B．C．5 D．4

17．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B=﹣1 ．

【考点】旋转的性质．

【分析】连接BB′，根据旋转的性质可得AB=AB′，判断出△ABB′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AB=BB′，然后利用“边边边”证明△ABC′和△B′BC′全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C′D，然后根据BC′=BD﹣C′D计算即可得解．

【解答】解：如图，连接BB′，

∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，

∴AB=AB′，∠BAB′=60°，

∴△ABB′是等边三角形，

∴AB=BB′，

在△ABC′和△B′BC′中，

，

∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），

∴∠ABC′=∠B′BC′，

延长BC′交AB′于D，

则BD⊥AB′，

∵∠C=90°，AC=BC=，

∴AB==2，

∴BD=2×=，

C′D=×2=1，

∴BC′=BD﹣C′D=﹣1．

故答案为：﹣1．

【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．

24．如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=6，∠BAD=60°，且AB＞6．

（1）求∠EPF的大小；

（2）若AP=10，求AE+AF的值；

（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．

【考点】菱形的性质；几何问题的最值．

【分析】（1）根据锐角三角函数求出∠FPG，最后求出∠EPF．

（2）先判断出Rt△PME≌Rt△PNF，再根据锐角三角函数求解即可，

（3）根据运动情况及菱形的性质判断求出AP最大和最小值．

【解答】解：（1）过点P作PG⊥EF于点G，如图1所示．

∵PE=PF=6，EF=6，

∴FG=EG=3，∠FPG=∠EPG=∠EPF．

在Rt△FPG中，sin∠FPG===，

∴∠FPG=60°，

∴∠EPF=120°．

（2）过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥AD于点N，如图2所示．

∵AC为菱形ABCD的对角线，

∴∠DAC=∠BAC，AM=AN，PM=PN．

在Rt△PME和Rt△PNF中，PM=PN，PE=PF，

∴Rt△PME≌Rt△PNF，

∴ME=NF．

又AP=10，∠PAM=∠DAB=30°，

∴AM=AN=APcos30°=10×=5，

∴AE+AF=（AM+ME）+（AN﹣NF）=AM+AN=10．

（3）如图，

当△EFP 的三个顶点分别在AB ，AD ，AC 上运动，点P 在P 1，P 之间运动，

∴P 1O=PO=3，AO=9，

∴AP 的最大值为12，AP 的最小值为6，

【点评】此题是菱形的性质题，主要考查了菱形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数，解本题的关键是作出辅助线．

(2015·柳州T24·10分)如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AB ＝8 cm ，AD ＝12 cm ，BC ＝18 cm ，点P 从点A 出发以2 cm/s 的速度沿A→D→C 运动，点P 从点A 出发的同时点Q 从点C 出发，以1 cm/s 的速度向点B 运动，当点P 到达点C 时，点Q 也停止运动．设点P ，Q 运动的时间为t 秒．

(1)从运动开始，当t 取何值时，PQ ∥CD?

(2)从运动开始，当t 取何值时，△PQC 为直角三角形？

【思路点拨】 (1)已知AD∥BC，添加PD ＝CQ ，即可判断以P ，Q ，D ，C 为顶点的四边形是平行四边形；(2)点

P 处可能为直角，点Q 处也可能是直角，故需要分类讨论求解．

解：(1)当PQ∥CD 时，四边形PDCQ 是平行四边形，此时PD ＝QC ，2分

∴12－2t ＝t.解得t ＝4.

∴当t ＝4时，PQ ∥CD.4分

(2)过D 点作DF⊥BC 于F.

∴DF ＝AB ＝8，FC ＝BC －AD ＝18－12＝6，

由勾股定理得CD ＝10.

①当PQ⊥BC 时，则BQ ＋CQ ＝18，

即2t ＋t ＝18，解得t ＝6；6分

②当QP⊥PC 时，此时P 一定在DC 上，

CP 1＝10＋12－2t ＝22－2t ，CQ 1＝t ，

易知△CDF∽△CQ 1P 1.

∴22－2t 6＝t 10.解得t ＝11013

；8分 ③当PC⊥BC 时，