广东省普宁市2020~2021学年高一第一学期期末考试数学试卷及答案
2023-2024学年广东省高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省高一（上）期末数学试卷一、单选题1．已知集合A ＝{x |x ＞﹣1}，B ＝{x |x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，3）B ．（﹣∞，3）C ．（﹣1，+∞）D ．φ2．函数y ＝2x ﹣4的零点为（ ） A ．0B ．﹣4C ．2D ．（2，0）3．函数f(x)=√2x −3+1x−3的定义域为（ ） A ．[32，+∞)B ．（﹣∞，3）∪（3，+∞）C ．[32，3)∪(3，+∞)D ．(32，3)∪(3，+∞)4．若函数f （x ）＝x 2﹣x +m （2x +1）在（1，+∞）上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[12，+∞)B ．(−∞，12]C ．[−12，+∞)D ．(−∞，−12]5．已知sin(θ−π6)=13，则sin(2θ+π6)的值为（ ）A ．−79B ．79C ．−89D ．136．已知函数f(x)=cos(2x −3π4)，先将f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π4个单位长度，得到g （x ）的图象，则g （x ）的解析式为（ ）A ．g （x ）＝sin xB ．g （x ）＝﹣sin xC ．g （x ）＝﹣cos xD ．g(x)=cos(4x +π4)7．函数f （x ）＝﹣10x 3ln |x |的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．关于x 的方程x 2﹣ax +b ﹣1＝0有两个相等的正根，则3a+2b a+b（ ）A ．有最大值115B ．有最大值52C ．有最小值115D ．有最小值52二、多选题9．下列函数中为奇函数的是（ ） A ．f （x ）＝|x | B ．f(x)=x +1xC ．f （x ）＝x 3+2xD ．f （x ）＝x 2+x +110．2x 2﹣5x ﹣3＜0的必要不充分条件可以是（ ） A ．−12＜x ＜3B ．﹣1＜x ＜4C ．0＜x ＜2D ．﹣2＜x ＜311．已知函数f(x)=Acos(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图像如图所示，将f （x ）的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数g （x ）的图像，则（ ）A ．f(x)=2cos(2x −π3)B ．g(x)=2cos(2x −π12)+1 C ．g （x ）的图像关于点(π6，0)对称D ．g （x ）在[−π12+kπ，5π12+kπ](k ∈Z)上单调递减 12．已知α，β是锐角，cosα=√55，cos(α−β)=3√1010，则cos β＝（ ） A ．√22B ．7√210C ．√210D ．−√22三、填空题13．如果函数f （x ）=a⋅3x+4−a4(3x−1)是奇函数，则a ＝ ． 14．函数y =(13)1+2x−x 2的值域是 ．15．已知sin2θ＝a ，cos2θ＝b ，0＜θ＜π4，给出tan （θ+π4）值的五个答案：①b 1−a ；②a 1−b ；③1+b a；④1+a b；⑤a−b+1a+b−1．其中正确的是 ．（填序号）16．已知函数f （x ）＝a sin ωx ﹣cos ωx （a ＞0，ω＞0）的最大值为2，则a ＝ ，若函数f （x ）图象的一条对称轴为直线x =πm，m ∈N *，则当ω取最小整数时，函数f （x ）在（0，10）之间取得最大值的次数为 ． 四、大题17．（10分）求实数m 的取值范围，使关于x 的方程x 2﹣2x +m +1＝0有两个正根． 18．（12分）设函数f(x)=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)，其中0＜ω＜3，已知f(π6)=0．（1）求ω；（2）将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）的单调递减区间．19．（12分）已知函数f （x ）＝4x ﹣2•2x +1+a ，其中x ∈[0，3]． （1）若f （x ）的最小值为1，求a 的值；（2）若存在x ∈[0，3]，使f （x ）≥33成立，求a 的取值范围．20．（12分）已知函数f(x)=sinωx(sinωx +cosωx)−12(ω＞0)的图象相邻对称轴之间的距离为2π．（1）当x ∈[﹣π，π]时，求f （x ）最大值与最小值及相应的x 的值； （2）是否存在锐角α，β，使a +2β=2π3，f(α+π2)⋅f(2β+3π2)=√38同时成立？若存在，求出角α，β的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f （x ）=√|x +1|+|x −3|−m 的定义域为R ． （Ⅰ）求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足23a+b +1a+2b=n 时，求7a +4b 的最小值．22．（12分）（1）已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＜0的解集是{x|x ＜−2或x ＞13}，求cx 2﹣bx +a ≥0的解集；（2）求关于x 的不等式ax 2﹣2x +a ＜0的解集．2023-2024学年广东省高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．已知集合A ＝{x |x ＞﹣1}，B ＝{x |x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，3）B ．（﹣∞，3）C ．（﹣1，+∞）D ．φ解：∵集合A ＝{x |x ＞﹣1}，B ＝{x |x ＜3}，∴A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜3}＝（﹣1，3）． 故选：A ．2．函数y ＝2x ﹣4的零点为（ ） A ．0B ．﹣4C ．2D ．（2，0）解：令y ＝2x ﹣4＝0，解得x ＝2． 故选：C ．3．函数f(x)=√2x −3+1x−3的定义域为（ ） A ．[32，+∞)B ．（﹣∞，3）∪（3，+∞）C ．[32，3)∪(3，+∞)D ．(32，3)∪(3，+∞)解：由题意得：{2x −3≥0x −3≠0，解得：x ≥32且x ≠3，故函数的定义域是[32，3）∪（3，+∞）．故选：C ．4．若函数f （x ）＝x 2﹣x +m （2x +1）在（1，+∞）上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[12，+∞)B ．(−∞，12]C ．[−12，+∞)D ．(−∞，−12]解：函数f(x)=x 2+(2m −1)x +m =(x +2m−12)2+m −(2m−1)24的单调增区间为(−2m−12，+∞)，∴−2m−12⩽1，∴m ⩾−12．故实数m 的取值范围为[−12，+∞)． 故选：C ．5．已知sin(θ−π6)=13，则sin(2θ+π6)的值为（ ）A ．−79B ．79C ．−89D ．13解：由sin(θ−π6)=13，得sin （π6−θ）=−13，∴sin(2θ+π6)=cos （π3−2θ）＝cos2（π6−θ）=1−2sin2(π6−θ)=1−2×(−13)2=79．故选：B．6．已知函数f(x)=cos(2x−3π4)，先将f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π4个单位长度，得到g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）A．g（x）＝sin x B．g（x）＝﹣sin xC．g（x）＝﹣cos x D．g(x)=cos(4x+π4)解：先将f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cos(x−3π4)的图象，再向左平移π4个单位长度，则g(x)=cos(x−3π4+π4)=sinx．故选：A．7．函数f（x）＝﹣10x3ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．解：因为f（﹣x）＝10x3ln|x|＝﹣f（x），所以函数为奇函数，故排除A、D；当x→+0时，f（x）→0，故排除B，故选：C．8．关于x的方程x2﹣ax+b﹣1＝0有两个相等的正根，则3a+2ba+b（）A．有最大值115B．有最大值52C．有最小值115D．有最小值52解：因为关于x 的方程x 2﹣ax +b ﹣1＝0有两个相等的正根， 所以{a ＞0b −1＞0Δ=a 2−4(b −1)=0，故b ＝1+a 24，a ＞0， 则3a+2b a+b=2+a a+b =2+a 1+a+a24=2+11+1a +a 4≤1+2√a 4⋅1a2=52， 当且仅当a ＝b ＝2时取等号，所以3a+2ba+b 有最大值52． 故选：B ． 二、多选题9．下列函数中为奇函数的是（ ） A ．f （x ）＝|x | B ．f(x)=x +1xC ．f （x ）＝x 3+2xD ．f （x ）＝x 2+x +1解：对于A ，f （x ）＝|x |的定义域为R ，关于原点对称，而f （﹣x ）＝|﹣x |＝f （x ），为偶函数， 对于B ，f(x)=x +1x 的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，且f(−x)=−x −1x=−f(x)，为奇函数，对于C ，f （x ）＝x 3+2x 的定义域为R ，关于原点对称，且f （﹣x ）＝（﹣x ）3+2（﹣x ）＝﹣f （x ），为奇函数，对于D ，f （x ）＝x 2+x +1的定义域为R ，关于原点对称，而f （﹣x ）＝x 2﹣x +1≠﹣f （x ），不是奇函数， 故选：BC ．10．2x 2﹣5x ﹣3＜0的必要不充分条件可以是（ ） A ．−12＜x ＜3B ．﹣1＜x ＜4C ．0＜x ＜2D ．﹣2＜x ＜3解：2x 2−5x −3＜0⇔(2x +1)(x −3)＜0⇔−12＜x ＜3，即2x 2﹣5x ﹣3＜0的充要条件是−12＜x ＜3，其必要不充分条件必须满足，其集合的一个真子集是充要条件的集合， 观察选项发现{x|−12＜x ＜3}是{x |﹣2＜x ＜3}，{x |﹣1＜x ＜4}的真子集．故选：BD ．11．已知函数f(x)=Acos(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图像如图所示，将f （x ）的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数g （x ）的图像，则（ ）A ．f(x)=2cos(2x −π3)B ．g(x)=2cos(2x −π12)+1 C ．g （x ）的图像关于点(π6，0)对称D ．g （x ）在[−π12+kπ，5π12+kπ](k ∈Z)上单调递减 解：由图象可知函数f （x ）的最大值为2，最小值为﹣2，所以A ＝2，T 2=2π3−π6=π2，故T ＝π；又T =2πω⇒ω=2，又f(π6)=2⇒2cos(2×π6+φ)=2，所以π3+φ=2kπ(k ∈Z)，φ=2kπ−π3，(k ∈Z)；又|φ|＜π2，所以φ=−π3，所以f(x)=2cos(2x −π3)，故A 正确，将f （x ）的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得g(x)=2cos(2x +π6)+1，故B项错误． 由2x +π6=π2+kπ(k ∈Z)，x =π6+kπ2，(k ∈Z)；所以g （x ）的图像关于点(π6，1)对称，故C 错误． 由2kπ≤2x +π6≤2kπ+π，(k ∈Z)，即−π12+kπ≤x ≤5π12+kπ，(k ∈Z)； 故选项D 正确． 故选：AD ．12．已知α，β是锐角，cosα=√55，cos(α−β)=3√1010，则cos β＝（ ） A ．√22B ．7√210C ．√210D ．−√22解：由α是锐角，cosα=√55，则sinα=√1−cos 2α=2√55， 又α，β是锐角，则−β∈(−π2，0)，得α−β∈(−π2，π2)，又cos(α−β)=3√1010，则sin(α−β)=±√1010， 则cos β＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cos αcos （α﹣β）+sin αsin （α﹣β）=√55×3√1010±2√55×√1010=3√2±2√210得cos β=√22或cos β=√210．故选：AC ． 三、填空题13．如果函数f （x ）=a⋅3x+4−a4(3x−1)是奇函数，则a ＝ 2 ． 解：函数f （x ）=a⋅3x +4−a4(3x−1)是奇函数，则f （﹣x ）+f （x ）＝0， 即有a⋅3−x +4−a4(3−x −1)+a⋅3x +4−a4(3x −1)=0，则a 2+13−x −1+13x −1=0，化简得到，a2+3x1−3x +13x −1=0，即a 2=1，故a ＝2．故答案为：214．函数y =(13)1+2x−x 2的值域是 [19，+∞） ．解：∵t ＝1+2x ﹣x 2＝﹣（x ﹣1）2+2≤2，且y =(13)t 为定义域内的减函数，∴y =(13)1+2x−x 2≥(13)2=19．即函数y =(13)1+2x−x 2的值域是[19，+∞）．故答案为：[19，+∞）．15．已知sin2θ＝a ，cos2θ＝b ，0＜θ＜π4，给出tan （θ+π4）值的五个答案：①b 1−a ；②a 1−b ；③1+b a ；④1+a b；⑤a−b+1a+b−1．其中正确的是 ①④⑤ ．（填序号）解：∵tan （θ+π4）=sinθ+cosθcosθ−sinθ=1+sin2θcos2θ=cos2θ1−sin2θ=b 1−a =1+ab，∴①④是正确的，将sin2θ＝a ，cos2θ＝b 代入⑤验证知，此代数式也是正确的答案． 故答案为：①④⑤．16．已知函数f （x ）＝a sin ωx ﹣cos ωx （a ＞0，ω＞0）的最大值为2，则a ＝ √3 ，若函数f （x ）图象的一条对称轴为直线x =πm，m ∈N *，则当ω取最小整数时，函数f （x ）在（0，10）之间取得最大值的次数为 3 ．解：由已知，函数f （x ）＝a sin ωx ﹣cos ωx =√a 2+1sin （ωx ﹣φ），其中tan φ=1a（a ＞0，ω＞0），由于f （x ）的最大值为2，所以√a 2+1=2，得a =√3（a =−√3舍去）； tanφ=13，取φ=π6，则f （x ）＝2sin （ωx −π6），由ωx −π6=kπ+π2（k ∈Z ），得ωm π=kπ+2π3（k ∈Z ），即ω=m(k +23)，k ∈Z ， 由于m ∈N *，则正数ω的最小整数值为2，从而f(x)=2sin(2x −π6)，当2x −π6=π2+2kπ，k ∈Z ，即x =π3+kπ，k ∈Z 时， 函数f （x ）取得最大值， 若k ＝0，则x =π3∈(0，10)， 若k ＝1，则x =4π3∈(0，10)， 若k ＝2，则x =7π3∈(0，10)， 若k ＝3，则x =10π3＞10， 从而有3次取得最大值． 故答案为：√3，3． 四、大题17．（10分）求实数m 的取值范围，使关于x 的方程x 2﹣2x +m +1＝0有两个正根． 解：设两个实根分别是x 1，x 2，则有两个正根的条件是：{Δ=4−4(m +1)≥0x 1+x 2=2＞0x 1x 2=m +1＞0解得﹣1＜m ≤0．18．（12分）设函数f(x)=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)，其中0＜ω＜3，已知f(π6)=0．（1）求ω；（2）将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）的单调递减区间．解：（1）由f(x)=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)得：f(x)=√32sinωx −12cosωx −cosωx =√32sinωx −32cosωx =√3(12sinωx −√32cosωx)=√3sin(ωx −π3)．由f(π6)=0知(sin π6ω−π3)=0，则ωπ6−π3=kπ，k ∈Z ，故ω＝6k +2，k ∈Z ， 又0＜ω＜3，所以ω＝2．（2）由（1）知f(x)=√3sin(2x−π3)，将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得y=√3sin（x−π3）的图象；再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y＝g（x）=√3sin（x−π12）的图象．由π2+2kπ≤x−π12≤3π2+2kπ，k∈Z解得7π12+2kπ≤x≤19π12+2kπ，k∈Z，所以g（x）的单调递减区间为[7π12+2kπ，19π12+2kπ]（k∈Z）．19．（12分）已知函数f（x）＝4x﹣2•2x+1+a，其中x∈[0，3]．（1）若f（x）的最小值为1，求a的值；（2）若存在x∈[0，3]，使f（x）≥33成立，求a的取值范围．解：（1）因为f（x）＝4x﹣2•2x+1+a，其中x∈[0，3]，令t＝2x，则t∈[1，8]，原式化为g（t）＝t2﹣4t+a＝（t﹣2）2+a﹣4，当t＝2时，g（t）min＝a﹣4＝1，解得a＝5；（2）若存在x∈[0，3]，使f（x）≥33成立，即f（x）max≥33，由（1）可知g（t）＝（t﹣2）2+a﹣4，t∈[1，8]，即g（t）max≥33，当t＝8时，g（t）max＝a+32≥33，解得a≥1，即a∈[1，+∞）．20．（12分）已知函数f(x)=sinωx(sinωx+cosωx)−12(ω＞0)的图象相邻对称轴之间的距离为2π．（1）当x∈[﹣π，π]时，求f（x）最大值与最小值及相应的x的值；（2）是否存在锐角α，β，使a+2β=2π3，f(α+π2)⋅f(2β+3π2)=√38同时成立？若存在，求出角α，β的值；若不存在，请说明理由．解：（1）因为f(x)=sin2ωx+sinωxcosωx−12=1−cos2ωx2+12sin2ωx−12=12sin2ωx−12cos2ωx=√22sin(2ωx−π4)，∵f（x）图象相邻对称轴之间的距离为2π，∴T=4π=2π2ω，ω=14，f(x)=√22sin(12x−π4)，∵﹣π≤x≤π，∴−3π4≤12x−π4≤π4，∴−1≤sin(12x−π4)≤√22，∴f(x)min=−√22，此时12x−π4=−π2，x=−π2，f(x)max=12，此时12x−π4=π4，x＝π；（2）存在，理由如下：∵f(α+π2)=√22sinα2，f(2β+3π2)=√22sin(β+π2)=√22cosβ，∴f(α+π2)⋅f(2β+3π2)=12sinα2cosβ=√38，∴sin α2cosβ=√34，又∵α+2β=2π3，α=2π3−2β，∴sinα2cosβ=sin(π3−β)cosβ=√34，∴(√32cosβ−12sinβ)cosβ=√34，∴√32cos2β−12sinβcosβ=√34，∴√32×1+cos2β2−14sin2β=√34，即√3cos2β−sin2β=0，∴tan2β=√3，又∵β为锐角，0＜2β＜π，∴2β=π3，β=π6，从而α=2π3−2β=π3．21．（12分）已知函数f（x）=√|x+1|+|x−3|−m的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足23a+b +1a+2b=n时，求7a+4b的最小值．解：（1）∵函数定义域为R，∴|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）＝|x+1|+|x﹣3|，则m不大于函数g（x）的最小值，又|x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣（x﹣3）|＝4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4．（2）由（1）知n＝4，∴7a+4b=14(6a+2b+a+2b)(23a+b+1a+2b)=14(5+2(3a+b)a+2b+2(a+2b)3a+b)≥14(5+2×2√3a+ba+2b⋅a+2b3a+b)=94，当且仅当a+2b＝3a+b，即b＝2a=310时取等号．∴7a+4b的最小值为9 4．22．（12分）（1）已知关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集是{x|x＜−2或x＞13}，求cx2﹣bx+a≥0的解集；（2）求关于x的不等式ax2﹣2x+a＜0的解集．解：（1）由题意知{−2+13=−ba−2×13=caa＜0，则有{b=53ac=−23aa＜0，代入不等式cx2﹣bx+a≥0，得−23ax2−53ax+a≥0(a＜0)，即﹣2x2﹣5x+3≤0，解得x≤﹣3或x≥1 2，所以所求不等式的解集为{x|x≤−3或x≥12 }；（2）①当a＝0时，不等式为﹣2x＜0，解得x＞0，则此时解集为（0，+∞），②当a＞0时，令ax2﹣2x+a＝0，Δ＝4﹣4a2，（i）若Δ＝4﹣4a2≤0，即a≥1时，此时不等式解集为∅，（ii）若Δ＝4﹣4a2＞0，即0＜a＜1时，ax2﹣2x+a＜0，解得1−√1−a2a＜x＜1+√1−a2a，则此时不等式解集为(1−√1−a2a＜x＜1+√1−a2a)，③当a＜0时，（i）若Δ＝4﹣4a2＜0，即a＜﹣1时，此时不等式解集为R，（ii）若Δ＝4﹣4a2＝0，即a＝﹣1时，此时不等式为﹣x2﹣2x﹣1＜0，解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），（iii）若Δ＝4﹣4a2＞0，即﹣1＜a＜0时，则不等式解集为(−∞，1+√1−a2a)∪(1−√1−a2a，+∞)．综上所述，当a＜﹣1时，不等式解集为R；当﹣1≤a＜0时，则不等式解集为(−∞，1+√1−a2a)∪(1−√1−a2a，+∞)；当a＝0时，则不等式解集为（0，+∞）；当0＜a＜1时，则不等式解集为(1−√1−a2a＜x＜1+√1−a2a)；当a≥1时，此时不等式解集为∅．。
广东省2020-2021学年高一数学上册期末模拟试卷汇编(含答案)
'x 'y 'A 'O'B广东省高一数学上册期末模拟试卷（含答案）一、选择题（单选题，每小题5分，共60分，请将答案填在答题卷上） 1．设集合12345{,,,,}U =，123{,,}A =，234{,,}B =，则()U C A B ⋂=（ ）A ．145{,,}B ．23{,}C ．45{,}D ．15{,}2．下列各式正确的是（ ）A ．3334<B . 6log 4log 5.05.0<C . 33) 21() 21 (>-D .4.1lg 6.1lg <3．在空间直角坐标系中，点(2,1,5)-关于x 轴的对称点的坐标为（ ） A ．(2,1,5)-- B ．(2,1,5)--- C ．(2,1,5)- D ．(2,1,5)-4．如图所示的直观图中，''''2O A O B ==，则其平面图形的面积是（ ） Ａ ４ Ｂ 42 Ｃ 22 Ｄ ８5．圆0144:0882:222221=---+=-+++y x y x C y x y x C 与圆的位置关系是（ ） A 外离B 外切C 相交D 内含6．如图，正方体111ABCD AB C D -中，异面直线11BD 与A D 所成角等于（ ） A ．030 B ．045 C ．060 D ．0907．下列命题中正确的是（ ）A ．过三点确定一个平面B ．四边形是平面图形C ．三条直线两两相交则确定一个平面D ．两个相交平面把空间分成四个区域8．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则与故事情节相吻合是（ ）9.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）A.①②B.②④C.①③D.①④10．若偶函数)(x f 在[)1,+∞上是减函数，则下列关系式中成立的是（ ）A ．)1()23()2(-<-<f f fB ． )2()1()23(f f f <-<-C ．)23()1()2(-<-<f f fD ．)2()23()1(f f f <-<-11．由直线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为（ ）A 17B 32C 19D 512．直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于（ ） A ．20πB ．10πC ．5πD ．55π二、填空题（每小题5分，共20分，请将答案填在答题卷上）13．已知函数22233x x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩()()()ln () 2 ，则))2((-f f = ．14．函数()f x 是3x y =的反函数，则函数()1f =_____ ___．15．两条直线022=++y x 与024=-+y ax 互相垂直，则a = .16．如图，在正方形1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交1AA 于E ，交1CC 于F ，① 四边形1BFD E 一定是平行四边形 ② 四边形1BFD E 有可能是正方形③ 四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形1BFD E 有可能垂直于平面1BB D以上结论正确的为 ．（写出所有正确结论的编号）三、解答题（本大题共6小题，共70分，请将答案填在答题卷上）17．（本小题满分10分）已知集合A 是函数()()12log 1f x x =-的定义域，集合B 是函数()[]2,1,2x g x x =∈-的值域． （1）求集合A ； （2）求集合B ．EPDCBA18．（本小题满分12分）已知直线l 经过两条直线0243:1=-+y x l 与022:2=++y x l 的交点P ，且垂直于直线012:3=--y x l ． （1）求直线l 的方程；（2）求直线l 与两坐标轴围成三角形的面积．19．（本小题满分12分）如图，矩形ABCD 中，AD ⊥平面,2,ABE AE EB BC ===F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ，BD （1）求证：AE ⊥平面BCE ； （2）求三棱锥E ADC -的体积．20．（本小题满分12分）如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==,点E 在棱PC 上。
广东省揭阳市普宁市2020-2021学年高一上学期期末数学试题
2020-2021学年度第一学期期终高中一年级质量测试数学科试题本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟说明：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上，并在“考场号”、“座位号”栏内填涂考场号、座位号。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁，考试结束后，将答题卡交回，试题卷自己保存。
一、单项选择题（8小题，每小题5分，共40分；在每小题提供的4个选项中，只有一项符合题目要求）1．设集合，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知命题p ：，．那么为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，3．若，则下列不等式中成立的是（ ）AB．C ．D ．4．己知函数，，的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．B ．C ．D ．5．在平面直角坐标系xOy 中，角与角均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若，则（ ）A ．B ．C ．D{}1,2,3,4U ={}1,2,3M ={}2,3,4N =()U M N ⋂=ð{}1,2{}2,3{}2,4{}1,4n ∈N 22021n>p ⌝n ∀∈N 22021n≤n ∀∈N 22021n>n ∃∈N 22021n ≤n ∃∈N 22021n<0a b <<<11a b<a b>-1a b<ay x =by x =xy c =c b a <<a b c <<c a b <<a c b<<αβ1sin 3a =sin β=13-136．已知奇函数在上是增函数．若，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．7．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：x5根据表格中的数据，函数的解析式可以是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知a ，，函数的图象经过点，则的的最小值为（ ）A ．B ．6C ．D ．8二、不定项选择题（4小题，每小题5分，共20分；在每小题提供的4个选项中，有不少于一项符合题目要求）9．若集合，，，则满足条件的实数x 可以是（）AB ．C ．D．010．已知函数，则（ ）A ．在其定义域内单调递增B ．在其定义域内存在最大值C ．有两个零点D ．的图像关于直线对称11．已知，均为定义在上的函数，以下论断正确的是（ ）A ．若，均是奇函数，则是奇函数()f x R 21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2log 4.1b f =()0.82c f =a b c<<b a c<<c b a<<c a b<<()()πsin 0,2f x A x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭x ωϕ+π2π3π22ππ35π6()sin A x ωϕ+5-()f x ()π5sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭()π5sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()π5sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭()π5sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0,b ∈+∞()2log f x a x b =+()4,112a b+6-4+{}0,1,2,A x ={}21,B x =A B A ⋃=1-()()ln ln 2f x x x =+-()f x ()f x ()y f x =()y f x =1x =()f x ()g x R ()f x ()g x ()()f x g x +B ．若，均是奇函数，则是奇函数C ．若，均是增函数，则是增函数D ．若，均是增函数，则是增函数12．下列说法正确的是（）A ．函数是奇函数B ．函数在区间上是增函数C ．函数的最小正周期为D ．函数的一个对称中心是三、填空题（4小题，每小题5分，共20分）13．设且，函数的图像恒过定点______．14．已知角A 为的内角，，则______．15．若函数在上的最大值为4，最小值为m ，且函数上是增函数，则______．16．已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数a 满足，则a 的取值范围是______．四、解答题（6道大题，共70分）17．（本小题满分10分）已知．（1）求的值；（2）求的值．18．（本小题满分12分）已知函数，关于x 的不等式的解集为．（1）求不等式的解集；（2）如果函数在上具有单调性，求m 的取值范围．()f x ()g x ()()f x g x ()f x ()g x ()()f x g x +()f x ()g x ()()f x g x ()()sin πy k x k =-+∈Z π2sin 23y x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭22cos sin y x x =-ππ2tan 24x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭0a >1a ≠()11x f x a-=-ABC △4cos 5A =-sin A =()()0,1xf x aa a =>≠[]1,2-()(14g x m =-[)0,+∞a =()f x R (),0-∞()(12a f f ->π1tan 42a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan a 2sin 2sin sin cos cos 21aa a a a +--()2f x x bx c =-++()0f x >{}12x x <<210cx bx +->()()g x f x mx =-[]1,219．（本小题满分12分）已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值．20．（本小题满分12分）已知a 、且都不为1，函数．（1）若，，解关于x 的方程；（2）若，是否存在实数t ，使得函数为上的偶函数？若存在，求出t 的值，若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）某地区今年1月、2月、3月患某种传染病的人数分别为52、54、58；为了预测以后各月的患病人数，根据今年1月、2月、3月的数据，甲选择了模型，乙选择了模型，其中y 为患病人数，x 为月份数，a ，b ，c ，p ，q ，r 都是常数．（1）如果4月、5月、6月份的患病人数分别为66、82、115，你认为谁选择的模型较好？请说明理由；（2）至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过2000人？试用你认为比较好的模型解决上述问题．（参考数据：）22．（本小题满分12分）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类似奇函数”．（1）若函数，试判断是否为“类似奇函数”？并说明理由；（2）若是定义在上的“类似奇函数”，求实数m 的最小值；（3）若为其定义域上的“类似奇函数”，求实数m 的取值范围．2020－2021学年度第一学期期终高中一年级质量测试数学科试卷参考答案题号123456789101112()π4cos sin 16f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()f x ()f x ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦0b >()xxf x a b =+2a =12b =()()1f x f x =+2b a =()()2log xf xg x tx a =+R ()2f x ax bx c =++x y p q r =⋅+1021024=88.28≈()f x 0x ()()000f x f x -+=()f x ()πsin 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()f x ()2xf x m =+[]1,1-()()22log 2,23,2x mx x f x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩答案D A C A B C A D AB BD AC ACD三、13．14．15．16．四、解答题17．解：（1）由，解得；（2）．18．解：（1）因为关于x 的不等式的解集为，故1，2是方程的两个根，所以，，解，，不等式即为，即，解得，即不等式的解集为；（2）由（1）可得，函数，因为在上具有单调性，故或，解得或．19．解：（1）因为，所以的最小正周期为；（2）因为，所以，所以，()1,0351413,22⎛⎫⎪⎝⎭πtan tanπ14tan π421tan tan 4ααα-⎛⎫-== ⎪⎝⎭+tan 3α=2sin 2sin sincos cos 21ααααα+--()222sin cos sin sin cos 2cos 11αααααα=+---222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+-22tan 3tan tan 25ααα==+-()0f x >{}12x x <<20x bx c -++=12b +=12c ⨯=-3b =2c =-210cx bx +->22310x x -+->22310x x -+<112x <<210cx bx +->12,1⎛⎫⎪⎝⎭()232f x x x =-+-()()()232g x f x mx x m x =-=-+--()g x []1,2312m -≤322m-≥1m ≥1m ≤-()π4cos sin 16f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭14cos cos 12x x x ⎫=+-⎪⎪⎭222cos 1x x =+-2cos 2x x =+π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x πππ64x -≤≤ππ2π2663x -≤+≤π1sin 216x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭当，即时，取得最大值2；当，即时，取得最小值．20．解：（1）因为，，所以，方程即为，化简得，所以，解得；（2）因为，故，，因为是偶函数，故对任意的实数x 成立，而，于是对任意的实数x 成立，解得．21．解（1）由题意，把，2，3代入得：解得，，，所以，所以，，，则，，；把，2，3代入，得：解得，，，所以，所以，，，则，，因为，，更接近真实值，所以应将作为模拟函数；（2）令，解得ππ262x +=π6x =()f x ππ266x +=-π6x =-()f x 1-2a =12b =()22x xf x -=+()()1f x f x =+112222xxx x -+--+=+122x x --=1x x =--12x =-2b a =()()()212xxxxf x a a a =+=+()()()22log log 12x xf xg x tx tx a=+=++()g x ()()g x g x -=()()()()22212log 12log 1log 122xxx x g x tx tx t x -+-=-++=-+=-+++()1tx t x =-+12t =-1x =()f x 52,4254,9358,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩1a =1b =-52c =()252f x x x =-+()24445264f =-+=()25555272f =-+=()26665282f =-+=()4662f -=()58210f -=()611533f -=1x =()xy g x p q r ==⋅+2352,54,58,pq r pq r pq r +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩1p =2q =50r =()250xg x =+()4425066g =+=()5525082g =+=()66250114g =+=()4660g -=()5820g -=()61151g -=()4g ()5g ()6g 250xy =+2502000x+>2log 1950x >由于即，所以至少经过11个月患该传染病的人数将会超过2000人．22．解（1）由，得，所以存在满足，所以函数是“类似奇函数”；（2）因为是定义在上的“类似奇函数”，所以存在实数满足，即方程在上有解，令，则，因为在上单调递增，在上单调递减，所以当或时，m 取最小值；（3）由对恒成立，得，因为为其定义域上的“类似奇函数”．所以存在实数，满足，①当时，，所以，所以，因为函数是增函数，所以，②当时，，所以，③当时，，所以，所以，因为函数是减函数，所以．综上所述，实数m 的取值范围是．101121024195020482=<<=()2log 195010,11∈()()0f x f x -+=ππsin sin 33x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0x =0π2x =∈R ()()000f x f x -+=()πsin 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()2xf x m =+[]1,1-[]01,1x ∈-()()000f x f x -+=2220x xm -++=[]1,1-,1222xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦112m t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()112g t t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,212t =2t =54-220x mx ->2x ≥1m <()()22log 2,2,3,2x mx x f x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩0x ()()000f x f x -+=02x ≥02x -≤-()22003log 2x mx -=--00142m x x =-()1422y x x x=-≥1m ≥-022x -<<022x -<-<()()00f x f x -≠-02x ≤-02x -≥()2200log 23x mx +=00142m x x =-+()1422y x x x =-+≤-1m ≥-[)1,1-。
2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案
2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案1.集合A和B分别表示y=x+1和y=2两个函数的图像上所有的点，求A和B的交集。
答案：A={(-∞,1]}。
B={2}。
A∩B=A={(-∞,1]}2.已知函数y=(1-x)/(2x^2-3x-2)，求函数的定义域。
答案：分母2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)，所以函数的定义域为x∈(-∞,-1/2]∪(2,∞)。
3.如果直线mx+y-1=0与直线x-2y+3=0平行，求m的值。
答案：两条直线平行，说明它们的斜率相等，即m=2.4.如果直线ax+by+c=0经过第一、第二，第四象限，求a、b、c应满足的条件。
答案：第一象限中x>0.y>0，所以ax+by+c>0；第二象限中x0，所以ax+by+c0.y<0，所以ax+by+c<0.综上所述，应满足ab<0.bc<0.5.已知两条不同的直线m和n，两个不同的平面α和β，判断下列命题中正确的是哪个。
答案：选项A是正确的。
因为如果m与α垂直，n与β平行，那么m和n的夹角就是α和β的夹角，所以m和n垂直。
6.已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面半径。
答案：设底面半径为r，侧面的母线长为l，则圆锥的侧面积为πrl。
根据题意，πrl=6π，所以l=6/r。
而侧面展开图是一个半圆，所以底面周长为2πr，即底面直径为2r，所以侧面母线长l=πr。
将上述两个式子代入公式S=πr^2+πrl中，得到r=2.7.已知两条平行线答案：两条平行线的距离等于它们的任意一点到另一条直线的距离。
我们可以先求出l2上的一点，比如(0,7/8)，然后带入l1的方程，得到距离为3/5.8.已知函数y=ax-1/(3x^2+5)，如果它的图像经过定点P，求点P的坐标。
答案：点P的坐标为(1,2)。
因为当x=1时，y=a-1/8，所以a=17/8.又因为当x=2时，y=1/13，所以17/8×2-1/13=2，解得a=17/8，所以y=17x/8-1/(3x^2+5)，当x=1时，y=2.9.已知a=3/5，b=1/3，c=4/3，求a、b、c的大小关系。
2023-2024学年广东省高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年广东省高一上册期末数学试题一、单选题1．已知角2022,Z 180k k α-⋅∈= ，则符合条件的最大负角为（）A ．–42B ．–220C ．–202D ．–158【正确答案】A【分析】直接代入k 的值即可求解.【详解】依题意，2022,Z 180k k α-⋅∈= ，取11k =时，有最大负角01118420222α-=⋅=- .故选：A.2．若函数243x y a +=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则3πsin 2θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．B ．CD 【正确答案】C【分析】求出点A 的坐标，利用三角函数的定义以及诱导公式可求得3πsin 2θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】当240x +=，即2x =-时，4y =，所以()2,4A -，所以cos 5θ=-，由诱导公式可得3πsin cos 2θθ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭故选：C.3．已知12cos(),cos()33αβαβ+=-=，则cos cos αβ的值为（）A ．0B ．12-C ．12D ．0或±12【正确答案】C【分析】利用两角和差的余弦公式结合条件即得.【详解】因为()1cos cos cos sin sin 3αβαβαβ+=-=()2cos cos cos sin sin 3αβαβαβ-=+=两式相加可得2cos cos 1αβ=，即1cos cos 2αβ=.故选：C.4．设集合{}2|42A y y x x a ==-+，{}2|sin 2sin B y y x x ==-+，若A B A ⋃=，则a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(],1-∞D ．[)7,+∞【正确答案】A【分析】分别求出集合A 、B 的范围，利用A B A ⋃=的性质即可求解.【详解】依题意，对于A 集合：()224222424y x x a x a a =-+=-+-≥-，所以{}|24A y y a =≥-；对于B 集合：()22sin 2sin sin 11y x x x =-+=--+，因为1sin 1x -≤≤，所以31y -≤≤，所以{}|31B y y =-≤≤；因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，所以243a -≤-，解得12a ≤，故选：A.5．已知函数()2log f x x =，()2sin g x a x =-，若[]11,2x ∃∈，[]20,2πx ∃∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是（）A ．()(),23,-∞-⋃+∞B ．(][),23,-∞-+∞C ．()2,3-D ．[]2,3-【正确答案】D【分析】求出函数()f x 在[]1,2上的值域为[]0,1，求出函数()g x 在[]0,2π上的值域为[]2,2a a -+，分析可知，[][]0,12,2a a -+≠∅ ，结合补集思想可求得实数a 的取值范围.【详解】当[]11,2x ∈时，()[]121log 0,1f x x =∈，当[]20,2πx ∈时，()[]222sin 2,2g x a x a a =-∈-+，因为[]11,2x ∃∈，[]20,2πx ∃∈，使得()()12f x g x =，所以，[][]0,12,2a a -+≠∅ ，考查[][]0,12,2a a -+=∅ 的情形，则20a +<或21a ->，解得2a <-或3a >，故当[][]0,12,2a a -+≠∅ 时，23a -≤≤.故选：D.6．已知5πsi 2n 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．2125-B ．1725-C ．D 【正确答案】B【分析】利用诱导公式和倍角公式即可求解.【详解】依题意，πππcos 2cos 2πcos 2333ααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22π21712135252sin α=⎛⎫⎛⎫--=⨯-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B.7．函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+>对任意实数x ，都有()8πf x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则ϕ的最小值为（）A ．πB ．π3C ．π4D ．π6【正确答案】C【分析】由已知()8πf x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭得π8f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是最大值或最小值，π8x =是函数图象的对称轴，利用正弦函数的对称轴可得结论．【详解】解：由()8πf x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭知π8f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是最大值或最小值，所以，π8x =是()f x 的一条对称轴的方程，所以，满足ππ2π82k ϕ⨯+=+，Z k ∈，所以()ππZ 4k k ϕ=+∈，因为0ϕ>，所以最小值为π4.故选：C.8．已知定义在R 上的奇函数，满足()()20f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，若函数()()()sin πF x f x x =-，在区间[]1,m -上有10个零点，则m 的取值范围是（）A ．[)3.5,4B ．(]3.5,4C ．(]5,5.5D ．[)5,5.5【正确答案】A【分析】根据题意可知()f x 和()sin πx 都是周期为2的周期函数，因此可将()()()sin πF x f x x =-的零点问题转换为()f x 和()sin πx 的交点问题，画出函数图形，找到交点规律即可找出第10个零点坐标，而m 的取值范围就在第10个零点和第11个零点之间.【详解】由()()()()()2022f x f x f x f x f x -+=⇒=--=-得()f x 是一个周期为2的奇函数，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，因此211log 122f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()10f =因为()f x 是奇函数，所以()00f =，112⎛⎫-=- ⎪⎝⎭f ，()10f -=且()()sin πg x x =的周期为2π2πT ==，且()10g -=，112g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()00g =，112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10g =求()()()sin πF x f x x =-的零点，即是()f x 与()g x 的交点，如图：为()f x 与()g x 在[]1,1-区间的交点图形，因为()f x 与()g x 均为周期为2的周期函数，因此交点也呈周期出现，由图可知()F x 的零点周期为12，若在区间[]1,m -上有10个零点，则第10个零点坐标为()3.5,0，第11个零点坐标为()4,0，因此3.54m ≤<故选：A二、多选题9．下列函数中，既为偶函数又在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减的是（）A ．sin y x =B ．sin y x=C ．πcos 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．tan cos y x x=-【正确答案】AB【分析】逐项研究函数的奇偶性与单调性即可.【详解】对于A ，∵sin sin x x -=，且函数sin y x =的定义域为R ，∴函数sin y x =为偶函数，又0x >时，sin sin x x =，且函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，∴函数sin y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故A 符合题意；对于B ，∵()sin sin x x -=，且函数sin y x =定义域为R ，∴函数sin y x =为偶函数，当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，sin sin y x x ==-，且函数sin y x =-在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，∴函数sin y x =在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故B 符合题意；对于C ，∵πcos sin 2y x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴函数πcos 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故C 不符合题意；对于D ，记()tan cos y f x x x ==-，则()()()tan cos tan cos f x x x x x -=---=--，∴()()f x f x -≠，∴函数tan cos y x x =-不是偶函数，故D 不符合题意.故选：AB.10．已知0log 2022log 2022a b <<，则下列说法正确的是（）A ．1b a >>B ．22a b --<C ．222b a a b+>D ．若0m >，则b b ma a m+<+【正确答案】BCD【分析】根据题干条件得到1a b >>判断A ；由2y x -=在()0,∞+上单调性判断B ；由基本不等式得到222b a a b+>判断C ；作差法比较出b b m a a m +<+ D.【详解】解：因为0log 2022log 2022a b <<，所以1,1a b >>，不妨令0log 2022log 2022a b m <<=，则2022,2022m m a b >=，故1a b >>，故A 错误，因为2y x -=在()0,∞+上单调递减，故22a b --<，B 正确；因为22b a a b +>2>，故C 正确；若0m >，因为()()()()()0b a m a b m b a m b b m a a m a a m a a m +-+-+-==<+++，故b b ma a m+<+，D 正确.故选：BCD11．若函数()f x ，()g x 分别是R 上的偶函数、奇函数，且()()()2sin cos f x g x x x +=+，则（）A ．()cos 2f x x =B ．()sin 2g x x =C ．()()()()f g x g f x <D ．()()()()f g x g f x >【正确答案】BD【分析】根据函数的奇偶性列出方程组即可分别求出()f x ，()g x 即可求解.【详解】依题意，因为函数()f x ，()g x 分别是R 上的偶函数、奇函数，所以()()=f x f x -，()()g x g x -=-，因为()()()2sin cos 1sin 2f x g x x x x +=+=+，所以()()1sin 2f x g x x -+-=-，所以()()1sin 2f x g x x -=-，由()()()()1sin 21sin 2f x g x x f x g x x ⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩，解得()1f x =，()sin 2g x x =，所以A 选项错误，B 选项正确；因为()()()sin 21f g x f x ==，()()()1sin 21g f x g ==<，所以()()()()f g x g f x >，所以C 选项错误，D 选项正确；故选：BD.12．下列说法正确的是（）A ．()lg ,f x x =且()(),f m f n =则10m n ⋅=B ．πcos 34πlog 3,sin ,23a b c -===的大小关系为b a c>>C ．请你联想或观察黑板上方的钟表：八点二十分，时针和分针夹角的弧度数为13π8D ．函数2()ln(1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是(,2)(1,)-∞-+∞ 【正确答案】BD【分析】根据函数()lg ,f x x =的图象性质可求解A ，根据对数函数的性质结合三角函数的定义可比较B ，结合钟表图形可判断C ，利用函数的单调性和奇偶性解不等式可判断D.【详解】由()(),f m f n =可得lg lg m n =，不妨设m n <，则有lg lg m n -=，所以1⋅=m n ，A 错误；π1cos 32πsin 223b c --=====所以b c >，因为3223<=，所以44log log 32=<，所以c a <，因为02<<，所以2>，所以2444log log log32b ==>=，所以b a >，所以b a c >>，B 正确；八点二十分，如图，1812π25π32π,2π331218AOB AOC ∠=⨯=∠=⨯=,所以25π2π13π18318BOC ∠=-=，C 错误；2()ln(1)22x x f x x -=-++中，令210x ->解得1x <-或1x >，所以定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，2()ln(1)22()x x f x x f x --=-++=，所以函数为偶函数，当1x >时，设22x t =>，此时122x xy t t-=+=+单调递增，再结合复合函数单调性可知2ln(1)y x =-单调递增，所以2()ln(1)22x x f x x -=-++在(1,)+∞单调递增，则在(),1-∞-单调递减，所以由(1)(2)f x f x +<可得112x x <+<即22321020x x x x ⎧-->⎨+>⎩，解得<2x -或1x >，故D 正确，故选:BD.三、填空题13．πtan8=______．1-##1-【分析】利用同角三角函数的商数关系及二倍角的正弦余弦公式，结合特殊角的三角函数值即可求解.【详解】ππππsin2sin sin1cos1π8884tan1ππππ8cos2cos s4in sin8882⋅-===-⋅.故答案为114．e 2.71828= 为自然对数的底数，则2ln sin30e︒=____________．【正确答案】14##0.25【分析】根据对数运算求解即可.【详解】解.2111ln2ln ln2ln sin302241e e e e4⎛⎫⎪︒⎝⎭====故1415．已知,αβ∈R，且满足22sin1αβ-=，则4sinαβ+的值域为______.【正确答案】1⎡-+⎣【分析】根据已知条件22sin1αβ-=，运用三角函数的有界性，可得α，再结合三角函数的单调性，即可求解值域．【详解】解：22sin1αβ-=，则22si1nαβ=-∴21112α--，可得α，2114sin422αβαα+=+-，α，设211()422fααα=+-，α()fα的对称轴为4α=-，()fα∴在区间⎡⎣上单调递增，∴()(1min f f α==-，()1max f f α==+4sin αβ∴+的值域为1⎡-+⎣．故1⎡-+⎣．16．鲁洛克斯三角形是一种特殊的三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.它的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来.如图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧 AB 的长度为2π，则该鲁洛克斯三角形的面积为______.【正确答案】(18π【分析】由弧长公式可求得等边ABC 的边长，再根据该鲁洛克斯三角形的面积等于三个扇形的面积减去2个ABC 的面积，结合扇形和三角形的面积公式即可得解.【详解】解：由题意可知π3ABC ACB BAC ∠=∠=∠=，设AB r =，则弧 AB 的长度为π2π3r =，所以6r =，设弧 AB 所对的扇形的面积为S ，1πsin23ABC S AB AC =⋅⋅⋅=则该鲁洛克斯三角形的面积为(21π3236218π23ABC S S -=⨯⨯⨯-⨯= .故答案为.(18π四、解答题17．已知ABC 为斜三角形．(1)证明：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；(2)若1sin cos 2A A +=，求tan A 的值．【正确答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）直接利用诱导公式与正切函数的和差公式即可求解.（2）式子1sin cos 2A A +=两边同时平方，求出3sin cos 8A A =-，再求出sin cosA A -=.【详解】（1）依题意，证明：180ABC +=- ，所以()tan tan A B C +=-．因为90C ≠ ，所以tan tan 1A B ≠，所以()tan tan tan 1tan tan A B A B A B ++=-．由tan tan tan 1tan tan A B C A B+=--，可得tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=．（2）因为1sin cos 2A A +=，所以221sin cos 2sin cos 4A A A A ++=，则3sin cos 8A A =-，又0πA <<，所以sin 0,cos 0A A ><，所以sin cos 2A A -=则sin ,cos tan A A A =⇒=18．已知函数()e cos 0x f x =-，e 为自然对数的底数e 2.71828= ．(1)写出()f x 的单调区间；(2)若()()()1212f x f x x x =≠时，证明：120x x +<．【正确答案】(1)单调减区间为(,0)-∞，单调增区间为(0,)+∞(2)证明见解析【分析】根据()e 1,01e ,0x x x f x x ⎧-≥=⎨-<⎩，结合指数函数单调性求解即可；（2）不妨设12x x <，进而根据12e 1e 1x x t -=-=，结合指对互化得()()12ln 1,ln 1x t x t =-=+，01t <<，再结合t 的范围即可得答案.【详解】（1）解：因为函数()e 1,0e cos 0e 11e ,0x x xx x f x x ⎧-≥=-=-=⎨-<⎩所以，根据指数函数的单调性得，当0x ≥时，()f x 单调递增；当0x <时，()f x 单调递减；所以，()f x 的单调减区间为(,0)-∞，单调增区间为(0,)+∞（2）解：由（1）知，当0x <时，()()0,1f x ∈，当0x ≥时，()[)0,f x ∈+∞()()12f x f x = ，不妨设12x x <，∴120x x <<∴12e 1e 1x x t -=-=，01t <<，∴121e e 1x x t -=-=，即12e 1,e 1x x t t =-=+，∴两边取以e 为底的对数得()()12ln 1,ln 1x t x t =-=+，()212ln 1x x t ∴+=-01t << ，()2ln 10t-<，∴120x x +<19．已知函数()2ππ2cos cos 33f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R ．(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)若12π,,,3x x m ⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦()()12122()f x f x x x ==≠，求m 的最小值．【正确答案】(1)π(2)4π3【分析】（1）根据倍角公式、和差公式化简，代入周期公式即可求解.（2）利用整体换元思想，代入正弦函数最大值的相关性质即可求解.【详解】（1）依题意，由已知2π()cos 21)3f x x x =++2π2πcos 212coscos 2sin33x x x =++1π2cos 21sin(2)126x x x -+=-+，所以最小正周期是2ππ2T ==；（2）π,3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π5ππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，12π,,,3x x m ⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦()()12122()f x f x x x ==≠，等价于()f x 在区间π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的有两最大值为2，则ππ22π62m -≥+，4π3m ≥，所以m 的最小值是4π3．20．已知函数()212x xf x a =++(1)若(1cos10tan10sin 50a ︒=︒︒，证明()f x 为奇函数；(2)若()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立，求a 的取值范围．【正确答案】(1)证明见解析(2)1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据三角恒等变换得12a =-，()11212x f x =-+，再判断函数奇偶性即可；（2）由题知()min 0f x ≥，再令2x t =，进而得111y a t -=+++，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，再根据单调性求最值即可得答案.【详解】（1）解：(()a 1sin10cos10t n10tan 60sin 50sin n 5ta 100a ︒︒︒︒︒︒-⋅=-= sin10sin 60sin10cos10cos 60sin 50︒︒︒︒︒︒⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭sin10cos 60sin 60cos10cos10cos 60cos10sin 50︒︒︒︒︒︒︒︒-=⋅sin(6010)cos1012cos 60cos10sin 50cos 60︒︒︒︒︒︒︒-=-⋅=-=-．所以，12a =-，即()21211111122122212x x x x xf x +-=-==-+++，定义域为R ，所以，()()2111122122x x x f x f x ---=-=-=-++，所以，()f x 为奇函数.（2）解：∵()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立，∴()min 0f x ≥．令2x t =，因为[]1,1x ∈-，所以1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以，1111t y a a t t -=+=++++，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因为111y a t -=+++在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以min 1111312y a a -=++=++，即()min 13f x a =+，所以103a +≥，解得13a ≥-，所以a 的取值范围是1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．21．已知函数ππ()sin sin(π)4242x x f x x ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线π4x =对称．(1)若R θ∃∈，使得()2cos g x θ<成立，求x 的集合；(2)若存在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使等式2[()]()20g x mg x -+=成立，求实数m 的最大值和最小值【正确答案】(1)π|2π(Z)3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭(2)最小值为.3【分析】（1）根据对称性求得()π2sin 6y g x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，进而将问题转化为πsin 16x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭求解即可；（2）令()π2sin 6y g x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，进而将问题转换为方程2m y y =+，[]1,2y ∈有解,再结合基本不等式求解即可.【详解】（1）π()sin 2f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭sin x x =+π2sin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．函数()y g x =的图象上取点(,)x y ，其关于直线π4x =对称点的坐标为π,2x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得()5πππ2sin 2sin π2sin 666y g x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=--=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为R θ∃∈，使得()2cos g x θ<成立，所以，()2g x <，即πsin 16x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，故πsin 16x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，所以，ππ2π,Z 62x k k +≠+∈，解得π2π(Z)3x k k ≠+∈所以，x 的集合为π|2π(Z)3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭（2）解：因为()π2sin 6y g x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以，ππ2π,,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦[]1,2y ∈，所以，等式2[()]()20g x mg x -+=，可化为2m y y =+，[]1,2y ∈，所以，存在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使等式2[()]()20g x mg x -+=成立时，方程2m y y=+，[]1,2y ∈有解,所以，由基本不等式的性质知，当y m 的最小值为1y =或2时，m 的最大值为3；所以，实数m 的最大值为3，最小值为.22．已知函数()ln f x x =，以下证明可能用到下列结论：(0,1)x ∈时，①sin tan <<x x x ；②ln 1x x <-．(1)(0,1)x ∈，求证：1ln1x x <-；(2)证明：()111sin sin sin ln 2,N 23n n n n+++<≥∈ ．【正确答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用(0,1)x ∈时，ln 1x x <-，通过多次代换即可证明；（2）首先（1）得1sin ln 1x x x <<-，令12x =，13x =L 1x n=得到一系列不等式，相加即可.【详解】（1）由已知(0,1)x ∈时，ln 1x x <-，用1x +代换x 得()ln 1x x +<，再以x -代换x 得()ln 1x x -<-，即()ln 1x x -->，即1ln 1x x>-，得证1ln .1x x <-（2）由（1）可知(0,1)x ∈时，1sin ln 1x x x<<-则1sin ln ,1(0,1)x x x <-∈，令12x =得11sin ln ln 21212<=-，令13x =得113sin ln ln 13213<=-，令x n =得11sin ln ln 111n n n n<=--，相加得111111sin sin sin ln ln ln 1112311123n n +++<+++--- 33ln 2ln ln ln 2ln 2121n n n n n =+++=⨯⨯⨯=-- ，（2,N n n ≥∈）。
2020-2021学年广东省六校联盟高一上学期期末考试数学试题(解析版)
2020-2021学年广东省六校联盟高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】A【分析】根据三角形全等和相似的特点直接判断即可.【详解】若两个三角形全等，则这两个三角形相似；若两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等，故“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的充分非必要条件. 故选：A.2．函数)(3ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（ ） A ．)(1,2 B ．)(2,eC ．)(,3eD ．)(,e +∞【答案】C【分析】由题意，函数3()f x lnx x=-在(0,)+∞上连续且单调递增，计算()f e ，()3f ，根据零点存在性定理判断即可． 【详解】解：函数3()f x lnx x=-在(0,)+∞上连续且单调递增， 且()310f e e=-<，()3310f ln =->，所以()()30f e f ⋅< 所以)(3ln f x x x=-的零点所在的大致区间是)(,3e故选：C ．3．下列各组表示同一函数的是（ ）A ．)(1f x x =-，)(21xg x x=-B ．lg 2y x =-，lg100x y = C ．)(f x =)(g x =D ．12xy ⎛⎫=⎪ ⎭⎝，12y x =【答案】B【分析】两个函数若是同一函数，需定义域和对应关系相同，根据定义判断选项.【详解】A.()1f x x =-的定义域为R ，()21x g x x=-的定义域是{}0x x ≠，两个函数的定义域不相同，所以不是同一函数； B.lg 2y x =-和lg100x y =的定义域是R ，且lglg 2100xy x ==-，两个函数的解析式相同，所以是同一函数； C.()2f x x x ==，()33g x x x ==，两个函数的定义域都是R ，两个函数的对应关系不同，所以不是同一函数；D.()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域是R ，12y x =的定义域是[)0,+∞，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数. 故选：B4．设21.1a -=， 1.11.1b =，0.7log 4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．b a c << D ．c a b <<【答案】D【分析】对a ，b ，c 进行化简，分别和中量进行比较，即可得解. 【详解】由2111.1 1.21a ==，所以01a <<， 1.11.11b =>，0.70.7log 4log 10c =<=，所以c a b <<， 故选：D.5．设全集U =R ，{3M x x =<-或}3x >，}{24N x x =≤≤，如图，阴影部分所表示的集合为（ ）A ．}{32x x -≤< B ．}{34x x -≤≤ C ．{2x x ≤或}3x > D ．}{33x x -≤≤【答案】A【分析】根据venn 图，求出()UM N 即可得出结果.【详解】全集U =R ，{3M x x =<-或}3x >，}{24N x x =≤≤， 由图可得阴影部分所表示的集合为()}{U32M N x x ⋃=-≤<，故选：A6．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是( )A ．21()1f x x =- B ．21()1f x x =+ C ．1()|1|f x x =-D ．1()|||1|f x x =-【答案】D【分析】直接利用排除法和函数的单调性，对称性及函数的定义域的应用求出结果． 【详解】根据函数的图象，对于选项A ：当0x =时，(0)1f =-，所以与图象相矛盾，故舍去；对于选项：B 当1x =时，函数f （1）12=与函数在1x =时，1x =为函数的图象的渐近线相矛盾故舍去；对于选项C ：由于函数的图象的渐近线为1x =，而原图象中的渐近线为1x =或1-，所以与原图相矛盾，故舍去．对于选项D ：函数的图象的渐近线为1x =或1-，且单调性与原图象相符， 故选：D ．【点睛】本题考查的知识要点：函数的图象的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7．定义域为R 的函数)(2log 1,151x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，若关于x 的方程)()(30f x m m R +=∈恰有3个不同的实数解1x ，2x ，3x ，则)(123f x x x ++（ ）A ．1B ．2C ．2log 5D ．22log 5【答案】A【分析】作出)(f x 的图象，转化为)(f x 与13y m =-有三个交点，根据函数的对称性，从而求解)(123f x x x ++的值．【详解】定义域为R 的函数)(2log 1,151x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，作出)(f x 的图象，关于x 的方程)()(30f x m m R +=∈恰有3个不同的实数， 则转化为)(f x 与13y m =-有三个交点，即15m =-， 不妨设123x x x <<，此时21x =， 根据图象1x 与3x 关于1x =对称， 所以1233x x x ++=则()23log 21f ==． 故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题的关键是将关于x 的方程)()(30f x m m R +=∈恰有3个不同的实数，则转化为)(f x 与13y m =-有三个交点，同时通过图象判断21x =， 1x 与3x 关于1x =对称，这也是本题的突破点.8．手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在（0，1）间，设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机的外观，则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化？ A ．“屏占比”不变 B ．“屏占比”变小 C ．“屏占比”变大 D ．变化不确定【答案】C【详解】分析：先根据条件转化为比较,(0,0)b b m a b m a a m+>>>+ 大小，再根据比较法得结果.详解：设升级前“屏占比”为,b a 升级后“屏占比”为(0,0)b m a b m a m+>>>+， 因为()0()b m b a b ma m a a a m +--=>++，所以手机“屏占比”和升级前比“屏占比”变大， 选C.点睛：本题考查实际应用能力，考查利用比较法判断两数大小.二、多选题9．已知集合}{1,1,2.4M =-，}{1,2,4.16N =，请根据函数定义，下列四个对应法则能构成从M 到N 的函数的是（ ） A ．2y x = B ．y x =C ．2y x =+D ．2yx【答案】BD【分析】根据函数的概念逐一判断即可.【详解】A ，集合M 中1-在集合N 中没有对应元素，故A 不选.B ，由函数的定义集合M 中的每一个元素在集合N 中都有唯一元素与之对应，故B 可选；C ，集合M 中1、4在集合N 中没有对应元素，故C 不选.D ，由函数的定义集合M 中的每一个元素在集合N 中都有唯一元素与之对应，故D 可选； 故选：BD10．如图所示，4个长为a ，宽为b 的长方形，拼成一个正方形ABCD ，中间围成一个小正方形1111D C B A ，则以下说法中正确的是（ ）A ．2()4a b ab +≥B ．当a b =时，1A ，1B ，1C ，1D四点重合C ．2()4a b ab -≤D ．22()()a b a b >+-【答案】ABD【分析】根据图形的构成，结合面积之间的关系即可求出答案.【详解】由图可知正方形ABCD 的面积不小于4个长方形的面积之和，即有2()4a b ab +≥，故A 正确；因为正方形1111D C B A 的面积为2()a b -，结合图形可知22()()a b a b >+-，且当α=b 时1A ，1B ，1C ，1D四点重合，故BD 正确； 但是正方形1111D C B A 的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定，因此选项C 错误. 故选：ABD【点睛】本题考查了2()a b -，2()a b +，4ab 的几何意义，利用图形可得到面积之间的关系，考查了数形结合思想，属于中档题.11．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用]x ⎡⎣表示不超过x 的最大整数，则称]y x ⎡=⎣为高斯函数，如：]2.53⎡-=-⎣，]2.12⎡=⎣．若函数)(22112x f x x =-+，则关于函数)()(g x f x ⎡⎤=⎦⎣的叙述中正确的有（ ） A ．)(g x 是偶函数 B ．)(g x 是奇函数 C ．)(g x 的值域是}{1,0- D ．)(g x 是R 上的增函数【答案】AC【分析】分类讨论求出()f x 的值域，利用高斯函数的定义求出()g x 的解析式，根据解析式可得答案.【详解】因为221()21x f x x =-+2211112x x +-=-+21121x =-+， 所以当212x +≥，即1x ≤-或1≥x 时，1()[0,)2f x ∈，()[()]0g x f x ==，当212x +<，即11x -<<时，1()[,0)2f x ∈-，()[()]1g x f x ==-，所以0,11()1,11x x g x x ≤-≥⎧=⎨--<<⎩或， 所以()g x 为偶函数，()g x 的值域为{1,0}-. 故选：AC【点睛】关键点点睛：理解高斯函数的定义，求出()f x 的值域是解题关键，考查了分类讨论的思想以及数学运算能力.12．函数)(y f x =的图像关于点)(,P a b 成中心对称的充要条件是函数)(y f x a b =+-为奇函数，以下选项正确的有（ ）A ．)(31f x x =+关于1,03⎛⎫⎪ ⎭⎝中心对称B ．)(32613f x x x =-+关于)(2,3-中心对称C ．函数)(y f x =的图象关于点)(,P a b 对称，则)()(22f x b f a x =-- D ．函数)(y f x =的图象关于x a =对称的充要条件是)(y f x a =+为偶函数 【答案】BCD【分析】根据函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，即可判断A 错误，B 正确.对选项C ，根据充要条件的定义即可判断C 正确，对选项D ，根据函数的对称性、偶函数的定义以及充要条件的定义即可判断D 正确.【详解】对选项A ，()31f x x =+，13a =，0b =， ()+2231333+142f x b f x x x -+⎛⎫⎛⎫+=≠ ⎪ ⎪+-+⎭=⎝⎭⎝，故A 错误.对选项B ，由)(32613f x x x =-+，若2,3a b ==-，则()()()()32326134641364x x f x x x x f -+++-=---+=-，故B 正确.对选项C ，因为函数()y f x a b =+-为奇函数， 所以()()f x a b f x a b -+-=-++， 即()()2f x a f x a b +-+=+，令t a x =+，则有()()22f t f a t b +-=， 即)()(22f x b f a x =--，故C 正确.对选项D ，若)(y f x a =+为偶函数，则()()f x a f x a =+-+， 令t x a =+，则有()()2f t f a t =-， 函数的图象关于x a =对称，故必要性成立，函数)(y f x =的图象关于x a =对称，则有()()2f x f a x =-， 令x t a =+，则有()()f t a f a t +=-，即)(y f x a =+为偶函数，故充分性成立，故D 正确. 故选：BCD三、填空题13．函数31x y a -=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点是______． 【答案】)(3,2【分析】利用指数函数的性质即可求解. 【详解】当3x =时， 3312y a -=+=， 所以函数恒过定点)(3,2. 故答案为：)(3,214．已知函数)(f x 是定义在R 上的奇函数，当)(0,x ∈+∞时，)(21f x x x =--，则当)(,0x ∈-∞时，)(f x =______． 【答案】21x x --+【分析】根据当(),0x ∈-∞时，()0,x -∈+∞，结合()0,x ∈+∞时函数的解析式以及奇偶性即可得结果．【详解】函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的奇函数，当)(0,x ∈+∞时，)(21f x x x =--，则当(),0x ∈-∞时，()0,x -∈+∞，()()()2211f x x x x x -=----=+-，故()()21f x f x x x =--=--+，故答案为：21x x --+． 15．若1x >，0y >，且1121x y+=-，则x y +的最小值为______． 【答案】3【分析】首先利用“1”的变换，转化为()()1111121x y x y x y ⎛⎫-+=-++⎡⎤ ⎪⎣⎦-⎝⎭，利用基本不等式求最值. 【详解】()()111111122121y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫--+=-++=++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦--⎝⎭⎝⎭1222⎛≥+= ⎝， 当11y x x y-=-，1,0x y ，即1y x =-时，等号成立1121x y+=-，2,1x y ∴==时，等号成立， 即1x y -+的最小值是2，那么x y +的最小值是3. 故答案为：3【点睛】关键点点睛：本题考查基本不等式求最值，本题的关键是利用“1”的妙用，转化为先求()1x y -+的最小值，即可求x y +的最小值.16．已知函数)())221,0,1,log ,,1,x x f x x x ⎧⎡-∈⎪⎣=⎨⎡∈∞⎪⎣⎩，若存在12x x <，使得)()(12f x f x =，则)(12x f x ⋅的取值范围为______．【答案】)0,1⎡⎣【分析】由题意画出图形，可得1x 的范围，再由1211()()x f x x f x ⋅=⋅，转化为关于1x 的二次函数求解．【详解】解：作出函数()f x 的图象如图，由12x x <，且12()()f x f x =，得11[2x ∈，1)，212111111()()(21)2x f x x f x x x x x ∴⋅=⋅=-=-，11[2x ∈，1)，∴2112[0x x -∈，1)．故答案为：[0，1)．四、解答题17．计算（1）)(322043116821281--⎛⎛⎫⎫-+-⎪⎪ ⎭⎭⎝⎝（2）)()(322log 2lg5lg 22lg 23-++【答案】（1）198；（2）3. 【分析】（1）利用指数的运算性质即可求解. （2）利用对数的运算性质即可求解.【详解】（1）))(332442204323311621982122128138---⎡⎤⎛⎛⎛⎫⎫⎫⎢-+-=-+-=⎥⎪⎪⎪⎭⎭⎭⎢⎝⎝⎝⎥⎦⎣． （2）)()()(32222log 210lg 5lg 22lg 23lg lg 22lg 222⎛⎫-++=-++⎪ ⎭⎝ )()(221lg 2lg 22lg 22=--++)()(2212lg 2lg 2lg 22lg 223=-+-++=．18．已知函数)()(log 21a f x x =++A ，不等式)()(110x m x m ⎡⎡⎤⎤-+⋅-->⎦⎦⎣⎣)(m R ∈的解集为集合B ．（1）求集合A 和B ；（2）已知“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）1324A x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎭⎩；{1B x x m =<-或}1x m >+；（2）32m ≤-或74m >． 【分析】（1）使式子有意义可得210340x x +>⎧⎨-≥⎩，解不等式可求出A ；解一元二次不等式可求出B ；（2）由题意可得集合A 是集合B 的真子集，再由集合的包含关系即可求解.【详解】（1）函数)()(log 21a f x x =++则210340x x +>⎧⎨-≥⎩，解得1324x -<≤，所以集合1324A x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎭⎩， 由不等式)()(110x m x m ⎡⎡⎤⎤-+⋅-->⎦⎦⎣⎣得1x m >+或1x m <-，所以集合{1B x x m =<-或}1x m >+． （2）因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件， 所以集合A 是集合B 的真子集， 所以112m +≤-或314m ->，所以32m ≤-或74m >． 19．已知函数)(23f x x ax =-+．（1）若不等式)(f x b <的解集为)(0,2，求实数a ，b 的值；（2）若函数)()()(212g x f x a x =+--在区间](0,2有零点，求实数a 的范围． 【答案】（1）2a =，3b =；（2）](,1-∞-.【分析】（1）根据一元二次不等式的解集可得方程230x ax b -+-=的两根分别为0，2，利用韦达定理即可求解.（2）方法一：使方程)(2110x a x +-+=在](0,2有实数根，分离参数即可求解；方法二：转化为函数)()(211g x x a x =+-+在](0,2有零点，利用二次函数根的分布即可求解.【详解】（1）因为)(f x b <的解集为)(0,2，且)(23f x x ax =-+，所以方程230x ax b -+-=的两根分别为0，2，故304230b a b -=⎧⎨-+-=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩，经检验：当2a =、3b =时，不等式)(f x b <的解集为)(0,2．（2）方法一：由)(23f x x ax =-+，函数)()()(212g x f x a x =+--在](0,2有零点．即方程)(2110x a x +-+=在](0,2有实数根．由)(21112x a x x x+-==+≥得1a ≤-，当且仅当1x =时取得等号．所以实数a 的范围](,1-∞-．方法二：由)(23f x x ax =-+，函数)()()(212g x f x a x =+--在](0,2有零点． 即函数)()(211g x x a x =+-+在](0,2有零点，注意到)(01g =，所以)(20g ≤或)()(2201022140g a a ⎧>⎪-⎪<<⎨⎪⎪∆=--≥⎩，即230a +≤或)(22301022140a aa ⎧+>⎪-⎪<<⎨⎪⎪--≥⎩， 所以32a ≤-或312a -<≤-，所以1a ≤-， 所以实数a 的范围](,1-∞-． 20．已知函数)(2log 1x af x x -=+为奇函数，且不为常函数． （1）求a 的值；（2）若)()()(2log g x f x x a =--，用定义法证明：)(g x 在)(1,+∞上单调递减； （3）若（2）中的)(g x 对]3,4x ⎡∀∈⎣，不等式)(g x x m <+恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1a =；（2）证明见解析；（3）)(5,-+∞．【分析】（1）利用函数为奇函数可得)()(f x f x -=-，代入解析式，根据对数的运算即可求解.（2）利用函数的单调性定义：取值、作差、变形、定号即可求解.（3）根据解析式将不等式化为)(2log 1m x x >-+-，记函数)()(2log 1h x x x =-+-，]3,4x ⎡∈⎣，利用函数的单调性求出()max h x 即可求解.【详解】解：（1）由)(y f x =为奇函数， 则对定义域内的每一个x 都有)()(f x f x -=-，所以22log log 11x a x a x x ---=--++，即2222log 01x a x -=-，所以1a =±．当1a =-时，函数)(21log 01x f x x +==+为常函数， 与已知矛盾，所以1a =． （2）任取121x x >>， 则)()(212222121111log log log 111x g x g x x x x +-=-=+++， ∵121x x >>，则12112x x +>+>， ∴211011x x +<<+，∴22211log log 101x x +<=+，即)()(12g x g x <，所以，函数)(21log 1g x x =+在)(1,+∞上为减函数； （3）对任意的]3,4x ⎡∈⎣，)(g x x m <+，即21log 1x m x <++， 得)(2log 1m x x >-+-．记函数)()(2log 1h x x x =-+-，]3,4x ⎡∈⎣， 则函数)(y h x =在区间]3,4⎡⎣上单调递减， ∴函数)(y h x =在区间]3,4⎡⎣上的最大值为)()(2max 3log 435h x h ==--=-，∴5m >-．因此，实数m 的取值范围是)(5,-+∞．21．经过考察，某公司打算对两个项目AB 、进行投资，经测算，投资A 项目x （百万元）与产生的经济效益1()f x 之间满足：211()3114f x x x =-++（百万元），投资项目B与产生的项目经济效益2()f x 之间满足：221()423f x x x =-++（百万元）.（1）公司现有1200万资金可供投资，应如何分配资金使得投资收益总额最大； （2）若投资x 百万元的某项目产生的经济效益为()f x 百万元，设投资该项目的边际效应函数为()(1)()F x f x f x =+-，其边际效应值小于0时，不建议投资该项目，那么对项目A 与B 应如何投资，才能使得经济效益最好？【答案】（1）A 、B 项目各6百万，收益最大为3400万；（2）A 、B 项目各550万. 【分析】（1）利用两种投资效益的和确定函数的解析式，利用二次函数配方法，得出结论；（2）利用投资边际效应函数()(1)()0F x f x f x =+-，分别解不等式求两种投资方案投资额度的范围，即可得结论．【详解】（1）投资A 项目x （百万元），则投资投资B 项目12x -（百万元）， 投资收益总额()()()()2212111231112412243y f x f x x x x x =+-=-+++--+-+27(6)3412x --+=，6x =时取最大值， 即投资A 项目6百万，投资B 项目6百万，收益总额最大为341003400⨯=万元．（2）若投资A 项目x （百万元），则111()(1)()(21)304F x f x f x x =+-=-++，解得112x，投资A 项目111002⨯=550万元，若投资A 项目x （百万元），则221()(1)()(21)403F x f x f x x =+-=-++，解得112x ，应投资B 项目111002⨯=550万元． 即两个项目各投资550万元时，经济效益最好.【点睛】本题考查函数在生产实际中的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，属于中档题．22．已知函数)(y f x =的定义域为)(0,+∞，当1x >时，)(0f x >，且对任意)(12,0,x x ∈+∞满足)()()(1212f x x f x f x ⋅=+．（1）求)(1f 的值；（2）判断)(y f x =的单调性，并加以说明；（3）当12x x ≠时，试比较)()(1212f x f x ⎡⎤+⎦⎣与122x x f ⎛+⎫⎪⎭⎝的大小． 【答案】（1）)(10f =；（2）)(y f x =在)(0,+∞上单调递增，证明见解析；（3）)()(1212122x x f f x f x ⎛+⎫⎡⎤>+ ⎪⎦⎣⎭⎝. 【分析】（1）取121x x ==，利用已知条件求解()1f 即可．（2）利用已知条件，结合函数的单调性的定义，转化求解判断即可．（3）推出1()2f x f =，2()2f x f =，然后求解121[()()]2f x f x +与12()2x x f +，利用函数的单调性，转化求解即可．【详解】解：（1）由题意对任意)(12,0,x x ∈+∞满足)()()(1212f x x f x f x ⋅=+． 取121x x ==得，)(10f =．（2）任取)(12,0,x x ∈+∞且12x x <，则211x x >，210x f x ⎛⎫> ⎪ ⎭⎝，∴)()(2221111x x f x f x f f x x x ⎛⎛⎫⎫=⋅=+ ⎪⎪ ⎭⎭⎝⎝，∴)()(22110x f x f x f x ⎛⎫-=> ⎪ ⎭⎝即)()(21f x f x >，所以)(y f x =在)(0,+∞上单调递增．（3）因为)(12f x fff f ==+=，同理)(22f x f=，所以)()(1222f x f x f f f ⎡⎤+=+=⎥⎢⎦⎣．又因为)(12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，所以12x x +> 又由（2）知)(y f x =在)(0,+∞上单调递增，所以122x x f f ⎛+⎫>⎪⎭⎝，即)()(1212122x x f f f x f x ⎛+⎫⎡⎤>=+ ⎪⎦⎣⎭⎝， 所以)()(1212122x x f f x f x ⎛+⎫⎡⎤>+⎪⎦⎣⎭⎝． 【点睛】本题考查抽象函数的应用，考查函数的单调性的应用，函数值的求法，考查转化思想以及计算能力．。
广东省揭阳市普宁城东中学2020-2021学年高一数学理期末试卷含解析
广东省揭阳市普宁城东中学2020-2021学年高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 是边上的中点，记，，则向量（）A．B．C．D．参考答案：C由题意得，∴．选C．2. 如图是求的乘积S的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( )．A．S＝S×(n＋1)B．S＝S×C．S＝S×nD．S＝S×参考答案：D3. 设全集，集合，集合，则（）A． B．C． D．参考答案：C4. 设集合A＝{x|a－1＜x＜a＋1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}，若A∩B＝，则实数a的取值范围是( )A．{a|0≤a≤6} B．{a}a≤2或a≥4}[ C．{a|a≤0或a≥6} D．{a|2≤a≤4}参考答案：C5. 已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是()A．命题﹁p是真命题B．命题p是存在量词命题C．命题p是全称量词命题D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题参考答案：C解析：命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故﹁p是假命题，命题p是全称量词命题．故选C.6. 设a=20.2，b=ln2，c=log0.32，则a、b、c的大小关系是( )A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b参考答案：B【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=20.2＞1，0＜b=ln2＜1，c=log0.32＜0，则a、b、c的大小关系是a＞b＞c．故选：B．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7. 若，则()A．B．C．D．1参考答案：B略8. （10）两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点. 上述四个结论中，可能成立的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个参考答案：C略9. 设,则下列不等式成立的是( )A. B.C. D.参考答案：C；；；,所以选C.10. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．15 B．105C．245 D．945参考答案：B运行程序框图中的程序，可得：第一次：，不满足条件，继续运行；第二次：，不满足条件，继续运行；第三次：．满足条件，停止运行，输出105．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若关于x的不等式的解集为{x|0＜x＜2}，则m＝．参考答案：112. 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱锥A1﹣ABCD的体积与长方体的体积之比为．参考答案：考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：由棱锥A1﹣﹣ABCD的体积，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积V ABCD﹣A1B1C1D1=S ABCD×AA1，，能求出棱锥A1﹣﹣ABCD的体积与长方体的体积之比．解答：解：∵棱锥A1﹣﹣ABCD的体积，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积V ABCD﹣A1B1C1D1=S ABCD×AA1，∴棱锥A1﹣ABCD的体积与长方体的体积之比==．故答案为：．点评：本题考查棱柱和棱锥的体积的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．13. 过点A(－3,1)的直线中，与原点距离最远的直线方程为________________．参考答案：3x－y＋10＝0设原点为O，则所求直线过点A(－3,1)且与OA垂直，又k OA＝－，∴所求直线的斜率为3，故其方程为y－1＝3(x＋3)．即3x－y＋10＝0.14. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是________.参考答案：15. 按如图所示的算法框图运算，若输入x＝8，则输出k＝__________；若输出k＝2，则输入x的取值范围是__________．参考答案：4，(28,57].16. 已知集合A={0，1，log3（x2+2），x2﹣3x}，若﹣2∈A，则x= ．参考答案：2【考点】元素与集合关系的判断．【分析】由已知集合A={0，1，log3（x2+2），x2﹣3x}，﹣2∈A，只能得到x2﹣3x=﹣2，解不等式得到x；关键元素的互异性得到x值．【解答】解：因为集合A={0，1，log3（x2+2），x2﹣3x}，﹣2∈A，所以x2﹣3x=﹣2，解得x=2或者x=1（舍去）故答案为：2．【点评】本题考查了元素与集合的关系以及集合运算的性质；属于基础题．17. 若等比数列{a n}的各项均为正数，且，则等于__________．参考答案：50由题意可得，=，填50.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020-2021学年广东省高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年广东省高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x+2=0}，集合B={x|x 2−4=0}，则A∩B=()．A. {−2}B. {2}C. {−2,2}D.2.设函数f(x)={2−x,x≤0x12,x>0，则f(−2)+f(1)=()A. 1B. 2C. 4D. 53.一个扇形的弧长与面积的数值都是4，这个扇形的中心角的弧度数为()A. 4B. 2C. 3D. 14.在y=2x，y=log2x，y=x2，这三个函数中，当x2>x1>1时，使f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2恒成立的函数的个数是()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5.在内与终边相同的角是()A. B. C. D.6.在如图中，O为圆心，A，B为圆周上二点，AB弧长为4，扇形AOB面积为4，则圆心角∠AOB的弧度数为()A. 1B. 2C. 3D. 47.已知函数f(x)=√3sinwx+coswx(w>0)，y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是()A. [kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z B. [kπ+5π12,kπ+11π12]，k∈ZC. [kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z D. [kπ+π6,kπ+2π3]，k∈Z8.如图是某果园的平面图，实线部分DE、DF、EF游客观赏道路，其中曲线部分EF是以AB为直径的半圆上的一段弧，点O为圆心，△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，其中AB=2千米，∠EOA=∠FOB=2x(0<x <π4)，若游客在路线DE 、DF 上观赏所获得的“满意度”是路线长度的2倍，在路线EF上观赏所获得的“满意度”是路线的长度，假定该果园的“社会满意度”y 是游客在所有路线上观赏所获得的“满意度”之和，则下面图象中能较准确的反映y 与x 的函数关系的是( )A.B.C.D.9. 已知角α的终边经过点P(4,−3)，则sinα+cosα的值是( )A. 15B. −15C. 75D. −7510. 某企业为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的成本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为，为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)=(x >0).记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共将消耗的电费之和为F(x)(万元)，则F(40)等于( )A. 80B. 60C.D. 4011. 已知a ，b 是实数，关于x 的方程x 2+ax =b|x|−1有4个不同的实数根，则|a|+b 的取值范围为( )A. (2,+∞)B. (−2,2)C. (2,6)D. (−∞,2)12. 已知函数f(x)=3x−1+3−x+1−2cos(x −1)，则( )A. f(log 29)>f(log 312)>f(0.5−0.5) B. f(0.5−0.5)>f(log 29)>f(log 312) C. f(0.5−0.5)>f(log 312)>f(log 29)D. f(log 29)>f(0.5−0.5)>f(log 312)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 如图，在△ABC 中，D 为线段AB 上的点，且AB =3AD ，AC =AD ，CB =3CD ，则sin2BsinA = ______ ．14. 若函数f(x)=|x −1|+m|x −2|+6|x −3|在x =2时取得最小值，则实数m 的取值范围是______．15. log 78 ______ log 89(填“>”或者“<”)．16. 设函数f(x)={21−x ,x ≤0f(x −1),x >0，方程f(x)=x +a 有且只有两不相等实数根，则实数a 的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. (1)设集合A ={x|x 2−2x −3<0}，B ={x|x −a >0}，若A ∩B =A ，求a 的范围； (2)设集合M ={x ∈R|ax 2−3x −1=0}，若集合M 中至多有一个元素，求a 的范围． 18. 当时，求证：sin α< α<tan α．19. 已知函数f(x)=2cos(x +π3)[sin(x +π3)−√3cos(x +π3)]． (1)求f(x)的值域和最小正周期；(2)方程f(x)=m 在x ∈[0,π6]内有解，求实数m 的取值范围．20. 已知函数f(x)=ax 2−x +12，函数g(x)=a +12−|x −a|，其中实数a >0． (1)当0<a <1时，log a f(x)≥0对x ∈[1,2]恒成立，求实数a 的取值范围；(2)设F(x)=max{f(x),g(x)}，若不等式F(x)≤14在x ∈R 上有解，求实数a 的取值范围．21. (1)计算tan(−510°)cos(−210°)cos120°tan(−600°)⋅sin(−330°)．(2)已知sinα=1213，α∈(π2,π).求cos(π6−α)的值．22. 已知函数f(x)=2x +2x −alnx ，a ∈R ．(1)若函数f(x)在[1,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围．(2)记函数g(x)=x2[f ′(x)+2x−2]，若g(x)的最小值是−6，求a的值．参考答案及解析1.答案：A解析：由题意可得，A={−2}，B={−2,2}，∴A∩B={−2}.故选A．2.答案：D解析：解：∵函数f(x)={2−x,x≤0 x12,x>0，∴f(−2)=2−(−2)=4，f(1)=112=1，∴f(−2)+f(1)=4+1=5．故选：D．由函数性质先分别求出f(−2)，f(1)，由此能求出f(−2)+f(1)的值．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．3.答案：B解析：解：∵一个扇形的弧长与面积的数值都是4，∴{l=αR=4S=12αR2=4，解得R=2，∴这个扇形的中心角的弧度数α=lR =42=2．故选：B．利用弧长公式直接求解．本题考查扇形圆心角的求法，是基础题，解题时要注意弧长公式的合理运用．4.答案：B解析：本题考查根据函数的图象判断不等式，指数函数，对数函数，幂函数的图象，属于基础题．画出图象，数形结合可得答案．解：y=log2x的图象如下：f(x1)+f(x2)2表示的是梯形中位线的长度，f(x1+x22)表示的是中点处的函数值，由图像可知y=log2x满足f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2恒成立，同理可以验证y=2x，y=x2不符合题意．故选B．5.答案：B解析：试题分析：因为，那么对于与终边相同的角的集合为，故可知答案为，选B．考点：终边相同的角的表示点评：解决的关键是根据终边相同的角的集合的表示来得到，属于基础题。
2020-2021高一数学上期末试卷(含答案)
一、选择题
1．设 a，b，c
均为正数，且 2a
log 1
2
a
，
1 2
b
log 1
2
b
，
1 2
c
log2
c
．则（
）
A． a b c
B． c b a
C． c a b
D． b a c
2．已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，且在0, 上是增函数，若对任意
等于（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题
13．若15a 5b 3c 25 ，则 1 1 1 __________． abc
14．已知幂函数 y ( m 2)xm 在 (0, ) 上是减函数，则 m __________．
15．已知 a ， b R ，集合 D x | x2 a2 a 2 x a3 2a2 0 ，且函数
B． y x3
C． y 2|x|
D． y cos x
10．已知 a log3 2 ， b 20.1 ， c sin 789 ，则 a ， b ， c 的大小关系是
A． a b c
B． a c b
C． c a b
D． b c a
11．偶函数 f x 满足 f x f 2 x ，且当 x 1,0时， f x cos x 1，若函
【详解】
因为 a log23 , b
2
3 ,c e3
令 f x log2x , g x x
函数图像如下图所示:
则 f 4 log24 2 , g 4 4 2
所以当 x 3 时, 3 log2 3,即 a b
2020-2021学年广东省揭阳市普宁实验中学高一数学文期末试卷含解析
2020-2021学年广东省揭阳市普宁实验中学高一数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数f（x）=的定义域为（）A．[1，+∞） B．（1，+∞）C．[1，3）D．[1，3）∪（3，+∞）参考答案：D【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数成立的条件求函数的定义域即可．【解答】解：要使函数有意义，则，即，解得x≥1且x≠3，∴函数的定义域为{x|x≥1且x≠3}，即[1，3）∪（3，+∞）．故选D．2. 方程表示一个圆，则m的取值范围是（）A． B．m＜2 C．m＜ D．参考答案：C3. 一汽车厂生产甲，乙，丙三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有甲类轿车10辆，则的值为．A. 300B. 400C. 450D. 600参考答案：B【分析】根据甲类轿车抽取的数量可求得抽样比，从而构造出关于的方程，解方程求得结果. 【详解】由题意知抽样比为：则：，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查随机抽样中的分层抽样，属于基础题.4. 若函数，，的值域（）A．(2 , 8] B.[ 8] C．［2，＋∞） D．（，＋∞）参考答案：B5. 已知函数，当时，，则a的取值范围是（）A．B． C. D．参考答案：A6. 下列表示图形中的阴影部分的是（）A． B．C． D．参考答案：A阴影部分完全覆盖了C部分，这样就要求交集运算的两边都含有C部分；7. 若幂函数f（x）的图象过点，则f（x）的解析式（）A．f（x）=x﹣1 B．f（x）=3x﹣2 C．D．参考答案：A【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题．【分析】用待定系数法即可解得．解：设f（x）=x a，因为f（x）的图象过点，所以=3a，解得a=﹣1．所以f（x）=x﹣1．故选A．【点评】本题考查函数解析式的求法，已知函数类型求解析式，常用待定系数法．8. 已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，下列命题正确的是（）A．若α⊥β，则l∥m B．若l⊥m，则α∥βC．若l∥β，则m⊥αD．若α∥β，则l⊥m参考答案：D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】直接由空间中的点线面的位置关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：对于A、B，∵如图，由图可知A，B不正确；∵直线l⊥平面α，l∥β，∴α⊥β，对于C，∵m?平面β，∴m与α不一定垂直，C不正确．对于D，∵l⊥平面α，直线m?平面β．若α∥β，则l⊥平面β，有l⊥m，D正确；故选：D．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间中的点线面的位置关系，是中档题．9. 方程的根的个数是（）A. 7B. 8C. 6D. 5参考答案：A10. 已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3参考答案：C【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值．【分析】将原代数式中的x替换成﹣x，再结合着f（x）和g（x）的奇偶性可得f（x）+g （x），再令x=1即可．【解答】解：由f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，将所有x替换成﹣x，得f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣x3+x2+1，根据f（x）=f（﹣x），g（﹣x）=﹣g（x），得f（x）+g（x）=﹣x3+x2+1，再令x=1，计算得，f（1）+g（1）=1．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在直角坐标系中，直线的倾斜角▲．参考答案：略12. （1）的解集是；（2）的解集是．参考答案：（1）（2）试题分析：（1）不等式，可化为，解得.所以不等式的解集为；（2）不等式，可化为，解得，所以不等式的解集为．所以答案应填：；．考点：一元二次不等式的解法．13. 已知，且，则▲；▲ .参考答案：，，14. 已知数列中，，，则数列通项___________参考答案：是以为首项，以为公差的等差数列，.15. 过点(－1，6)与圆x+y+6x－4y+9=0相切的直线方程是________．参考答案：3x－4y+27=0或x=－116. 定义在R上的奇函数满足：①在内单调递增；②；则不等式的解集为_ ▲；参考答案：17. 已知关于x的函数y=（t∈R）的定义域为D，存在区间[a，b]?D，f （x）的值域也是[a，b]．当t变化时，b﹣a的最大值= ．参考答案：【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数的单调性可得a=f（a），且b=f（b），故a、b是方程x2+（t﹣1）x+t2=0的两个同号的实数根．由判别式大于0，容易求得t∈（﹣1，）．由韦达定理可得b﹣a==，利用二次函数的性质求得b﹣a的最大值．【解答】解：关于x的函数y=f（x）==（1﹣t）﹣的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且函数在（﹣∞，0）、（0，+∞）上都是增函数．故有a=f（a），且b=f（b），即 a=，b=．即 a2+（t﹣1）a+t2=0，且 b2+（t﹣1）b+t2=0，故a、b是方程x2+（t﹣1）x+t2=0的两个同号的实数根．由判别式大于0，容易求得t∈（﹣1，）．而当t=0时，函数为y=1，不满足条件，故t∈（﹣1，）且t≠0．由韦达定理可得b﹣a==，故当t=﹣时，b﹣a取得最大值为，故答案为：．【点评】本题主要考查求函数的定义域，以及二次函数的性质，求函数的最值，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2021年广东省揭阳市普宁高埔中学高一数学理期末试题含解析
2021年广东省揭阳市普宁高埔中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在等差数列{a n}中,已知a3=2，=16，则a10为( )A. 8B. 128C. 28D. 14参考答案：D【分析】将已知条件转化为的形式列方程组，解方程组求得，进而求得的值.【详解】依题意，解得，故.故选：D.【点睛】本小题主要考查等差数列通项的基本量计算，属于基础题.2. 已知向量夹角为，且，则(A) (B) (C)(D)参考答案：D略3. 将函数，（）的图像所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位得到一个奇函数的图像，则（）A. B . C. D.参考答案：A 图像上的所有点的横坐标伸长到原来的倍得函数解析式为，再将所得到的图像向左平移个单位得函数解析式为，得到一个奇函数的图像，当时，,代入得，故故选4. 已知函数f（x）=，满足对任意的x1≠x2都有＜0成立，则a的取值范围是( )A．（0，] B．（0，1）C．上的函数f（x）满足：对于任意的x1，x2∈，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣2014，且x＞0时，有f（x）＞2014，f（x）的最大值、最小值分别为M，N，则M+N 的值为( )A．2014 B．2015 C．4028 D．4030参考答案：C【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据抽象函数的表达式，利用函数单调性的性质即可得到结论．【解答】解：∵对于任意的x1，x2∈，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣2014，∴令x1=x2=0，得f（0）=2014，再令x1+x2=0，将f（0）=2014代入可得f（x）+f（﹣x）=4028．设x1＜x2，x1，x2∈，则x2﹣x1＞0，f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）﹣2014，∴f（x2）+f（﹣x1）﹣2014＞2014．又∵f（﹣x1）=4028﹣f（x1），∴可得f（x2）＞f（x1），即函数f（x）是递增的，∴f（x）max=f，f（x）min=f（﹣2015）．又∵f+f（﹣2015）=4028，∴M+N的值为4028．故选：C．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用赋值法，证明函数的单调性是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．5. 的展开式中x的系数是（）A．-4 B．-2 C．2 D．4参考答案：B6. 不等式的解集是（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】由不等式可得或者，由此解得x的范围.【详解】解：由不等式可得或者不等式得解集为故选A.【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想.7. 已知内一点满足，若的面积与的面积之比为1：3，的面积与的面积之比为1：4，则实数的值为（）A． B． C． D．参考答案：A 8. 设f（x）是定义在实数集R上的函数，且y=f（x+1）是偶函数，当x≥1时，f（x）=2x﹣1，则f （），f（），f（）的大小关系是( )A．f（）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（）D．f（）＜f（）＜f（）参考答案：A【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】探究型；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】根据函数y=f（x+1）是偶函数得到函数关于x=1对称，然后利用函数单调性和对称之间的关系，进行比较即可得到结论．【解答】解：∵y=f（x+1）是偶函数，∴f（﹣x+1）=f（x+1），即函数f（x）关于x=1对称．∵当x≥1时，f（x）=2x﹣1为增函数，∴当x≤1时函数f（x）为减函数．∵f（）=f（+1）=f（﹣+1）=f（），且＜＜，∴f（）＞f（）＞f（），故选：A．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据条件求出函数的对称性是解决本题的关键．9. 已知函数f（x）=4x2﹣mx+5在区间[﹣2，+∞）上是增函数，在区间（﹣∞，﹣2]上是减函数，则f（1）等于（）A．﹣7 B．1 C．17 D．25参考答案：D【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知中函数的单调区间，可得函数f （x ）=4x 2﹣mx+5的图象关于直线x=﹣2对称，由对称轴直线方程求出m 值后，代入可得f （1）的值．【解答】解：∵函数f （x ）=4x 2﹣mx+5在区间[﹣2，+∞）上是增函数，在区间（﹣∞，﹣2]上是减函数，故函数f （x ）=4x 2﹣mx+5的图象关于直线x=﹣2对称； 故=﹣2 解得m=﹣16 故f （x ）=4x 2+16x+5 ∴f（1）=4+16+5=25 故选D【点评】本题考查的知识点是函数的单调性及应用，函数的值，其中根据函数的单调区间求出对称轴方程，进而确定函数的解析式是解答的关键．10. 下列哪组中的两个函数是同一函数 （ ）A f(x)=x-1，B CD参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数y=﹣lg （x+1）的定义域为 ．参考答案：{x|x≥1}【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质结合对数函数的性质得不等式组，解出即可． 【解答】解：由题意得：，解得：x≥1，故答案为：{x|x≥1}．12. 函数在区间[-3，0]上的值域为参考答案：[-4，0] 略13. 如图，函数f （x ）的图象是曲线OAB ，其中点O 、A 、B 的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），则f[f （3）]的值等于 ．参考答案：2【考点】函数的值．【分析】首先根据图形求出f （3）的值，由图形可知f （3）=1，然后根据图形判断出f （1）的值． 【解答】解：由图形可知，f （3）=1，f （1）=2， ∴f[f（3）]=2 故答案为：214. 已知，，，，则 的值是参考答案：15. 已知函数的图象过点A （3，7），则此函数的最小值是 . 参考答案：616. 一样本a,3,5,7的平均数是b ，且a,b 是方程的两根，则这个样本的方差为________. 参考答案： 517. 函数的定义域是____________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题及答案
2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题及答案2020-2021学年度第一学期高一数学期末质量监测第I卷（选择题共45分）一.选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1.已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={2,3,4}，B={1,3,4}，则(A∪B)′是()。
A.{1,2,5,6}B.{5,6}C.{2,3,5,6}D.{1,2,3,4}2.命题p:a>b,c>d。
命题q:ac>bc。
则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列幂函数在区间(0,+∞)内单调递减的是()A.y=xB.y=x^2C.y=x^3D.y=x^-14.设a=1.10.3，b=0.93.1，c=log3 0.2，则a,b,c大小关系正确的是()A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a5.若tanα=2，则tan2α=()A.4/5B.-4/3C.4/3D.-4/56.当a>1时，在同一坐标系中，函数y=a与y=logax的图象为()7.已知α是第一象限角，若|cos2α|=−cos2α，那么α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角8.已知函数f(x)=sin((x+3π)/π)，给出下列结论①f(x)的最小正周期为2π②f(x)在[-3π,π]上的最大值为1③把函数y=sinx的图象上所有点向左平移π个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象。
其中所有正确结论的序号是()A.①B.①③C.②③D.①②③9.下列结论正确的是()A.sin1<cos1B.cos(23π/5)>cos(17π/4)C.tan(-52)>tan(-47)D.sin(-π/18)>sin(-π/10)第II卷（非选择题共75分）二.填空题(每题5分,共30分)10.命题p:∃x∈R,x+1>0的否定形式p为____。
广东省普宁市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题及答案
高一级教学质量测试数学科试题（第1页 共3页）2020－2021学年度高中一年级教学质量测试数学科试题参考答案1．D 2．C 3．D 4．A 5．A 6．C 7．B 8．D9．ABD 10．CD 11．AD 12．ABC13．18 14．2 15．332 16．517．解：∵AB →＝AC →＋CB →＝AC →－BC →，………………………………………………………2分又因为AC →对应的复数是－2－4i ，BC →对应的复数是－4－i ，∴AB →表示的复数为－2－4i －(－4－i)＝2－3i ，……………………………………………4分 而OB →＝OA →＋AB →………………………………………………………………………………5分∵点A 对应的复数是3＋i ，OA →对应的复数是3＋i ，………………………………………6分∴OB →对应的复数为(3＋i)＋(2－3i)＝5－2i ，………………………………………………8分 ∴B 点对应的复数为z B ＝5－2i ．……………………………………………………………10分18．解：(1)从3个球中有放回的随机取两次，该试验的样本空间Ω＝{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}；……………………………………5分(2)证明：事件A 包含的样本点为(1,1),(1,2),(1,3)，P (A )＝39＝13；………………………7分 事件B 包含的样本点为(1,3),(2,2),(3,1)，P (B )＝39＝13；…………………………………9分 而事件AB 表示“第一次取出的球的数字是1且两次取出的球的数字之和是4”， …10分它包含的样本点为(1,3)，P (AB )＝19；……………………………………………………11分 故P (AB )＝P (A )P (B )．……………………………………………………………………12分19．解：(1)∵AB →＝a ，AC →＝b ，AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12(AC →－AB →)＝12(a ＋b )；……………………………2分BN →＝BA →＋AN →＝BA →＋12AC →＝－a ＋12b ；…………………………………………………4分 (2)AM →2＝14(a ＋b )2＝14(a 2＋2a ·b ＋b 2)＝394，………………………………………………6分 BN →2＝(－a ＋12b )2＝(a 2－a ·b ＋14b 2)＝214，………………………………………………8分高一级教学质量测试数学科试题（第2页 共3页）AM →·BN →＝12(a ＋b )·(－a ＋12b )＝－12a 2－14a ·b ＋14b 2＝3，…………………………………10分 cos ∠MPN ＝|cos<AM →,BN →>|＝|AM →·BN →|AM →||BN →||＝49191…………………………………………12分 【其它解法，请酌情给分】20．(1)证明：取PC 中点F ，连EF ，DF ，∵E 为PB 中点，故EF //BC ，且EF ＝12BC ，……………………………………………………………………1分 由已知，AD //BC ，且AD ＝12BC ， 故AD //EF ，且AD ＝EF ，……………………………………………………………………2分 四边形AEFD 是平行四边形，AE //DF ，……………………………………………………3分 ∵AE ⊄平面PCD ， DF ⊂平面PCD ，故AE //平面PCD ；……………………………………………………………………………4分(2)证明：因为AD ⊥平面PCD ，直线PD ⊂平面PCD ，所以AD ⊥PD ；………………………………………………………5分 又因为BC ∥AD ，所以PD ⊥BC ，……………………………………………………………6分 又PD ⊥PB ，BC ∩PB ＝B ，所以PD ⊥平面PBC ．…………………………………………………………………………8分(3)过点P 作CD 的垂线交CD 于点G ，易知PG ⊥平面ABCD ，………………………………………………………………………9分 由(2)知∠CPD ＝90°，故PC ＝CD 2－PD 2＝23， PG ＝PC ×PD CD＝3，…………………………………………………………………………10分 四棱锥P -ABCD 的体积V ＝13×S ABCD ×PG ＝13×AD ＋BC 2×CD ×PG ＝23．…………………12分 21．解：(1)由题图①知，选A 的人数为60，而图②显示，选A 的人数占总人数的30%，故本次调查的总人数为60÷30%＝200(人)；…………………………………………………4分(2)由题图②知，选B 的人数占总人数的50%，因此其人数为200×50%＝100(人)， (6)分 图①补充如图所示： ……………………………………………………………8分公众号：潍坊高中数学高一级教学质量测试数学科试题（第3页 共3页） (3)根据图②知：平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下的人数占统计人数的5%，以此估计得3 000×5%＝150(人)．……………………………………………………12分22．解：(1)f (x )＝a ·b ＝|x 2－1|＋x 2＋kx ，x ∈R ，…………………………………………1分 由于f (0)＝1≠0，故f (x )不可能为R 上的奇函数；……………………………………2分 若f (x )是R 上的偶函数，则f (x )＝f (－x )对任意的实数x 成立，即|x 2－1|＋x 2＋kx ＝|x 2－1|＋x 2－kx 对任意的实数x 成立，解得k ＝0；………………3分 综上所述，当k ＝0时，f (x )为偶函数；当k ≠0时，f (x )为非奇非偶函数；…………4分(2)当x ∈(0,2)时，f (x )＝⎩⎨⎧kx ＋1，0<x ≤1， 2x 2＋kx －1，1<x <2.…………………………………………5分 当x ∈(0,1]时，f (x )是单调函数，f (x )至多只有一个零点；……………………………6分当x ∈(1,2)时，假设f (x )有两个零点x 1、x 2，则x 1x 2＝－12<0，出现矛盾； 因此必有0<x 1≤1<x 2<2；…………………………………………………………………7分由f (x 1)＝0，得k ＝－1x 1，所以k ≤－1；………………………………………………8分 由f (x 2)＝0，得k ＝1x 2－2x 2， 显然函数y ＝1x －2x 在(1,2)上递减，故－72<k <－1；…………………………………9分故实数k 的取值范围是－72<k <－1；……………………………………………………10分又由k ＝－1x 1以及k ＝1x 2－2x 2，消去k ，整理得2x 1x 22－x 1－x 2＝0， 即1x 1＋1x 2＝2x 2， 由于x 2<2，故1x 1＋1x 2<4．…………………………………………………………………12分。