著名机构六年级数学春季班讲义7 长方体的再认识(三视图)

第7讲长方体的再认识（三视图）

（一）长方体直观图的画法

知识点1 数学中平面的特征

数学中的平面是平的，无边无沿，没有厚度，它是可以无限延伸的。

知识点2 数学中平面的画法和表示方法

数学中用一个平行四边形来表示平面，把水平放置的平面画成一边（AB边）是水平位置，

另一边（BC边）与水平线所成的角为45°且长度等于水平线一边的一半（

1

2

BC AB

=）的平

αD

C

B

A

行四边形。记作：平面ABCD或平面α。

知识点3 用斜二测画法画出长方体直观图。

1.注意线段的长度：使AB等于长方体的长，AD等于长方体宽的二分之一，AE等于长方体的高；

2.注意角度，45

DAB

∠=︒;

3.注意虚实线的应用：由于图中,,

AD DC DH被遮住的线段，因此要用虚线（隐藏线）表示。

长方体的每个面均为长方形，即对边相等，四个角均为直角。长方体的六个面可以分为三组（上下两个，左右两个，前后两个），每组中的两个面的形状和大小都相同。

H G

F

E

D

C

B

A

（三）长方体中棱与棱的位置关系的认识

知识点1 如果直线'',','C D A B DD 与直线CD 在同一平面内，具有唯一公共点，那么称这两条直线的位置关系为相交，读作：直线AB 与直线CD 相交。

知识点2 如果直线AB 与直线CD 在同一平面内，但无公共点，那么称这两条直线的位置关系为平行，读作：直线AB 与直线CD 平行，即AB 平行于CD ，CD 平行于AB 。

知识点3 如果直线AB 与直线1CC 既不平行，也不相交，那么称这两条直线的位置关系为异面，读作：直线AB 与直线1CC 异面。

（四）长方体中棱与平面位置关系的认识

知识点 1 直线PQ 垂直于平面ABCD ，记作：直线PQ ⊥平面ABCD ，读作：直线PQ 垂直于平面ABCD 。如图

Q

P A

B

C

D

D

C B

A

P Q

知识点2 直线PQ 平行于平面ABCD ，记作：直线//PQ 平面ABCD ，读作：直线 PQ 平行于平面ABCD 。如图

（五）长方体中平面与平面位置关系的认识

知识点1 平面α垂直平面β，记作：

平面α⊥平面β，读作：平面α垂直于平面β。如图①

β

α

D 1

C 1B 1

A 1

A

B C D

① ②

在长方体1111ABCD A B C D -中，相对的两个平面分别与夹在它们之间的四个平面互相垂直，如（图②）平面ABCD ⊥平面11A D DA ，平面ABCD ⊥平面11B C CB ，平面11AA B B ⊥平面11A D DA ，平面11AA B B ⊥平面11B C CB ，等等

知识点2 平面α平行于平面β，记作：

平面//α平面β，读作：平面α平行于平面β。如图

β

α

（一）三视图

定义：从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图。

主视图、左视图、俯视图统称三视图。一个长方体的三个视图都是长方形。

例如：

主视图

左视图 俯视图

（二）展开图

定义：空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形。同一个图形可以有不同的展开图。

【例题1】 1）空间两条直线没有公共点，那么它们的位置关系是（）

A.肯定平行；

B.可能相交；

C.可能异面；

D.以上说法都不对。

2）长方体的六个面（）

A.一定都是长方形；

B.有两个正方形，四个正方形；

C.一定都是正方形；

D.有四个正方形，两个长方形。

3）以下表述中，正确的是：（）

A.如果长方体的十二条棱都相等，那么这个长方体就是正方体；

B.桌面所在的平面的大小就是桌面的大小；

C.平面就是水平面；

D.水平面就是平面。

【例题2】 1. 如图，（1）、（2）、（3）(4)都是正方体。由于观察的角度不同，各图的虚线位置不同，你能看出它们的区别吗？说出你看到各个正方体的哪几个面。

（1）（2）（3）（4）图中四个图形，能看到的面都不一样：

图（1）看到上、前、右三个面；图（2）看到下、前、左三个面；

图（3）看到上、前、左三个面；图（4）看到下、前、右三个面。

2. 补画下列各图，使它成为长方体（虚线表示被遮住部分）

【例题3】 1. 经过长方体的三个顶点，切去长方体的一个角，得到一个几何体如图所示。

（1）写出与棱AC 平行的直线；（2）写出与棱AC 异面的直线；（3）写出与棱AC 平行的面；（4）写出与面ACFG 垂直的面。

G F

E

D

C

B

A

2. 连结长方体的一个顶点和与它最远的一个顶点，得到线段AG 如图所示,并连结AC EG 、。 （1）写出与线段AG 相交的直线；（2）写出与线段AG 异面的直线；（3）写出与棱DH 平行的面；（4）写出与面ABCD 垂直的面。

H

G F

E

D

C

B

A