牛顿 莱布尼兹 微积分 哲学思想
微积分的发展
微积分的发展微积分的产生是数学上的伟大创造。
它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。
如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。
从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。
作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。
比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。
”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。
归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。
第二类问题是求曲线的切线的问题。
第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。
第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。
为微积分的创立做出了贡献。
十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。
他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。
1605 年 5 月20 日，在牛顿手写的一面文件中开始有“流数术”的记载，微积分的诞生不妨以这一天为标志。
莱布尼兹和牛顿关于微积分的贡献
莱布尼兹和牛顿关于微积分的贡献：17世纪下半叶，欧洲科学技术迅猛发展，由于生产力的提高和社会各方面的迫切需要，经各国科学家的努力与历史的积累，建立在函数与极限概念基础上的微积分理论应运而生了。
微积分思想，最早可以追溯到希腊由阿基米德等人提出的计算面积和体积的方法。
1665年牛顿创始了微积分，莱布尼茨在1673—1676年间也发表了微积分思想的论著。
以前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题，是分别的加以研究的。
卡瓦列里、巴罗、沃利斯等人得到了一系列求面积(积分)、求切线斜率(导数)的重要结果，但这些结果都是孤立的，不连贯的。
只有莱布尼茨和牛顿将积分和微分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的直接联系：微分和积分是互逆的两种运算。
而这是微积分建立的关键所在。
只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学。
并从对各种函数的微分和求积公式中，总结出共同的算法程序，使微积分方法普遍化，发展成用符号表示的微积分运算法则。
因此，微积分“是牛顿和莱布尼茨大体上完成的，但不是由他们发明的”。
然而关于微积分创立的优先权，在数学史上曾掀起了一场激烈的争论。
实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼茨，但莱布尼茨成果的发表则早于牛顿。
莱布尼茨1684年10月在《教师学报》上发表的论文《一种求极大极小的奇妙类型的计算》，是最早的微积分文献。
这篇仅有六页的论文，内容并不丰富，说理也颇含糊，但却有着划时代的意义。
牛顿在三年后，即1687年出版的《自然哲学的数学原理》的第一版和第二版也写道：“十年前在我和最杰出的几何学家莱布尼茨的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，……这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。
他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外”（但在第三版及以后再版时，这段话被删掉了）。
莱布尼兹的哲学思想
彻底独立的实体。所以他的运动变化来源于内在的原则，而非外在的机械推动。
因为单子作为精神，精神具备能动性。
连续性
每一个单子都在反映宇宙，犹如镜子反映着自然一样。那么不同的单子，由于他的知觉能 力的不同，必然反映出不同程度的清晰程度的宇宙。可以说，宇宙就被包含在这些单子之 中。那么单子数量是无限的，单子和单子之间可以插入无限多（无数等级）的单子。那么， 单子和单子之间就形成了既有差别，又是紧密联系的。 所以，自然界从不飞跃。是一个低级向高级的连续体，这就解决了不可分和连续性问题。
上 帝
天使 人类
动物
植物
3.前定和谐论
单子论解决一切问题了吗？
理论再精妙，也要和经验事实相融洽。 经验事实告诉我们，世界是运动的，是 变化发展的。而莱布尼兹认为，事物是 在“欲望”的推动下不断发展的 那么单子和单子是孤立的，假如其中一 个单子动，其他单子不动，那么这个连 续的序列就破产了，这个序列就不具备 连续性可言了。
启后
莱布尼茨的理论欧洲大陆唯理论发展的一大台阶，为后继人沃尔夫提供了最 直接的理论资源。“菜布尼茨在德国本土的声望总比在法、英强。他的形而上学 通过后来的独断论哲学家克里斯蒂安·沃尔夫获得了传承“这就为实现哲学在德国 生根发芽和开花结果的本土化发展创造了重要前提。此后，黑格尔作为德国哲学 发展的巅峰代表，以绝对精神本体论吸收和改造了莱布尼茨单子本体论的传统和 精神并构造了恢宏的形而上学体系。黑格尔之后，德国哲学家胡塞尔、海德格尔 批判性地吸收和改造菜氏的理论资源而构造了现象学的本体论体系，也见证了莱 氏本体论作为推进德国哲学发展之思想资源的重要价值。
罗素
2. 单子论
从原子论的缺点说起
原子，是古希腊哲学家德谟克里特提出，指的是一种不可分的最小物质 其一、原子论主张有一个不可分的物质。可是只要是物质，就一定有广延。 而有广延就一定可以分。但是实体的概念必须意味着不可分，才能具备统一性。 这是充满矛盾的 其二、连续性问题。原子论者认为，万物都是有由原子构成的，那么万物 就是原子的堆集。那么原子和原子之间是由虚空隔开的，这就是非连续性。如 果要承认原子和原子具备连续性，那么就必须否定虚空，但是一旦否定了虚空， 原子是连续的，那么原子又具备广延，他就必然可分。而连续性和不可分要同 时具备，这就成了一个很矛盾的问题。 其三、机械唯物论无法说明经验事实。例如，一个足够大的静止的东西， 让一个运动的物体冲撞他，那么会减慢速度。但是在机械论看来，理论上不会 出现减慢速度。这说明，还是有别的什么东西影响了速度。
牛顿-莱布尼茨公式
• 牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula），通常也 被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函 数或者不定积分之间的联系。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增 量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了 这一公式，[2] 1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了 这一公式。[1] 因为二者最早发现了这一公式，于是命名 为牛顿-莱布尼茨公式。
原函数存在定理
• 原函数是指已知函数f(x)是一个定义在某区间的函 数，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的 任一点都 举例dF(x)=f(x)dx。 则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。
原函数的定义
• 已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存 在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有 • 若F'(x)=f(x)，dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函 数F(x)为函数f(x)的原函数。 • 例：sinx是cosx的原函数。
公式应用
• 牛顿-莱布尼茨公式简化了定积分的计算，利用该公式可 以计算曲线的弧长，平面曲线围成的面积以及空间曲面围 成的立体体积，这在实际问题中有广泛的应用，例如计算 坝体的填筑方量。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式在物理学上也有广泛的应用，计算运 动物体的路程，计算变力沿直线所做的功以及物体之间的 万有引力。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式促进了其他数学分支的发展，该公式 在微分方程，傅里叶变换，概率论，复变函数等数学分支 中都有体现。
不等式证明
• 积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式,当 积分区间相同时,先合并同一积分区间上的不同积分,根据 被积函数所满足的条件,灵灵活运用积分中值定理,以达到 证明不等式成立的目的。 • 在证明定积分不等式时, 常常考虑运用积分中值定理, 以便 去掉积分符号, 如果被积函数是两个函数之积时, 可考虑用 积分第一或者第二中值定理。对于某些不等式的证明, 运 用原积分中值定理只能得到“≥”的结论, 或者不等式根本 不能得到证明。而运用改进了的积分中值定理之后, 则可 以得到“>”的结论, 或者成功的算中, 如果 含有定积分式, 常常可以运用 定积分的相关知识, 比如积分 中值定理等, 把积分
牛顿—莱布尼茨与微积分
贵州师范大学研究生作业（论文）专用封面作业（论文）题目：牛顿—莱布尼兹与微积分课程名称：《自然辩证法概论专题讲座》任课教师姓名：龙健研究生姓名：熊胜兰学号：4200910600254年级：2009级研专业：课程与教学论学院（部、所）：数计学院任课教师评分：年月日牛顿—莱布尼茨与微积分（数计学院课程与教学论熊胜兰4200910600254）【摘要】微积分的创立，被誉为是“人类精神的最高胜利”，是由常量数学向变量数学转变的一件具有划时代意义的大事。
16世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨在许多数学家所做的大量准备工作的基础上，各自独立地创立了微积分。
【关键词】牛顿莱布尼茨微积分0．引言微积分的出现是由常量数学向变量数学转变的一件具有划时代意义的大事，时至今日，它不仅成了学习高等数学各分支必不可少的基础，而且也是学习和掌握近代的任何一门自然科学和工程技术的工具。
提起微积分，人们自然会想到英国的牛顿（1642~1727）和德国的莱布尼茨（1646~1716），这主要是因为他们提出了微积分的基本概念和运算方法，发现了微积分的内在联系，建立了著名的牛顿—莱布尼茨公式。
在历史上微积分的萌芽出现得比较早，中国战国时代的《庄子·天下篇》中的“一尺之棰，日取其半，万事不竭”，就蕴含了无穷小的思想。
古希腊物理学、数学两栖科学大师阿基米德在公元前三世纪依据前人的穷竭法，用“切片”方法并借助杠杆原理建立了球体的体积公式，这其中就包含了定积分的思想。
但在当时，微积分并没有受到人们的广泛关注。
直到公元17世纪，在欧洲资本主义开始萌芽、科学和生产技术开始发展的情况下，航海、天文、力学、军事、生产等科学技术给数学提出了一系列迫切需要解决的问题。
从数学角度归纳起来主要集中在以下4个方面：①由距离和时间的函数关系，求物体在任意时刻的速度和加速度；反之，由物体的加速度和时间的函数关系，求速度和距离。
②确定运动物体在其轨道上任一点处的运动方向，以及研究光线通过透镜的通道而提出求曲线的切线问题。
牛顿-莱布尼茨公式
05
牛顿-莱布尼茨公式的扩展
变上限的牛顿-莱布尼茨公式
总结词
变上限的牛顿-莱布尼茨公式是针对积分上限变化的情况进行扩展的公式。
详细描述
当积分的上限是一个变量时，传统的牛顿-莱布尼茨公式不再适用。为了解决这 个问题，变上限的牛顿-莱布尼茨公式被引入，它允许积分上限在一定范围内变 化，从而更准确地计算定积分。
感谢观看
THANKS
04
牛顿-莱布尼茨公式的证明
利用不定积分证明
总结词
通过不定积分和原函数的概念，证明牛 顿-莱布尼茨公式。
VS
详细描述
首先，根据不定积分的定义，我们知道对 一个函数进行不定积分可以得到其原函数 。然后，利用不定积分的基本性质，我们 可以将一个定积分转化为不定积分的形式 。最后，通过计算不定积分的结果，得到 定积分的值，从而证明了牛顿-莱布尼茨 公式。
要点一
总结词
通过微积分基本定理，证明牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
详细描述
微积分基本定理指出，如果一个函数在闭区间上可积，那 么其定积分等于其在该区间上所有分割点的函数值的积分 和的极限。利用这个定理，我们可以将定积分转化为求和 的形式，其中每个项表示函数在某个分割点的函数值。通 过计算这些项的和的极限，可以得到定积分的值，从而证 明了牛顿-莱布尼茨公式。
原函数是指一个函数，其导数等于给定的函数。例如，对于函数f(x)=x^2，其原 函数为F(x)=x^3/3。
牛顿-莱布尼茨公式的重要性
牛顿-莱布尼茨公式是微积分学 中的基本定理之一，它为计算定
积分提供了一种简便的方法。
通过使用牛顿-莱布尼茨公式， 我们可以将复杂的定积分问题转 化为求原函数的问题，从而简化
浅谈牛顿、莱布尼茨对微积分的贡献[权威资料]
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浅谈牛顿、莱布尼茨对微积分的贡献本文档格式为WORD,感谢你的阅读。
摘要：如今微积分的应用无论是在科学研究，还是生产生活中都有着不可忽视的地位。
微积分也正是在解决一些科学问题的需要下而产生的，其创立与发展离不开两位时代巨匠牛顿和莱布尼茨的贡献。
莱布尼茨与牛顿在创立微积分过程中殊途同归，最终完成了创建微积分的盛业。
本文便详细论述了微积分的产生、牛顿和莱布尼茨对微积分的贡献以及他们在创立微积分时的异同。
关键词：牛顿莱布尼兹微积分一、微积分的产生微积分是微分学和积分学的总称。
微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等，积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。
如今，微积分已成为基本的数学工具而被广泛地应用于自然科学的各个领域。
主要有四种类型的问题：第一类，变速运动求即时速度的问题；第二类，求曲线的切线的问题；第三类，求函数的最大值和最小值问题；第四类，求曲线长、曲边梯形面积、不规则物体的体积、物体的重心、压强等问题。
解决这些科学问题的需要是促使微积分产生的因素。
许多著名的科学家，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多有建树的理论，为微积分的创立做出了贡献。
17世纪下半叶，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。
他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题）。
时代的需要与个人的才识，使他们完成了微积分创立中最后也是最关键的一步。
微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，对过去很多束手无策的数学问题运用微积分就会迎刃而解。
同时微积分也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展，并在这些学科中应用越来越广泛。
二、莱布尼茨对微积分的贡献莱布尼茨创立微积分首先是出于几何问题的思考。
牛顿与莱布尼兹创立微积分之解析的论文
牛顿与莱布尼兹创立微积分之解析的论文牛顿与莱布尼兹创立微积分之解析的论文摘要:文章主要探讨了牛顿和莱布尼兹所处的时代背景以及他们的哲学思想对其创立广泛地应用于自然科学的各个领域的基本数学工具———微积分的影响。
关键词:牛顿;莱布尼兹;微积分;哲学思想今天,微积分已成为基本的数学工具而被广泛地应用于自然科学的各个领域。
恩格斯说过:“在一切理论成就中,未有象十七世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了,如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩,那就正是在这里。
”[1](p.244)本文试从牛顿、莱布尼兹创立“被看作人类精神的最高胜利”的微积分的时代背景及哲学思想对其展开剖析。
一、牛顿所处的时代背景及其哲学思想“牛顿(isaa cnewton,1642-1727)1642年生于英格兰。
,1661年,入英国剑桥大学,1665年,伦敦流行鼠疫,牛顿回到乡间,终日思考各种问题,运用他的智慧和数年来获得的知识,发明了流数术(微积分)、万有引力和光的分析。
”[2](p.155) 1665年5月20日,牛顿的手稿中开始有“流数术”的记载。
《流数的介绍》和《用运动解决问题》等论文中介绍了流数(微分)和积分,以及解流数方程的方法与积分表。
wWW..1669年,牛顿在他的朋友中散发了题为《运用无穷多项方程的分析学》的小册子,在这里,牛顿不仅给出了求一个变量对于另一个变量的瞬时变化率的普遍方法,而且证明了面积可以由求变化率的逆过程得到。
因为面积也是用无穷小面积的和来表示从而获得的。
所以牛顿证明了这样的和能由求变化率的逆过程得到(更精确地说,和的极限能够由反微分得到),这个事实就是我们现在所讲的微积分基本定理。
这里“,牛顿使用的是无穷小方法,把变量的无限小增量叫做“瞬”,瞬是无穷小量,是不可分量,或是微元,牛顿通过舍弃“瞬”求得变化率。
数学史第七章巨人的杰作——微积分的创立讲义
巨人的杰作——微积分的创立
7.3 科学巨人—— 7.4 多才多艺的数学大师莱布尼茨
7.3 科学巨人——牛顿
牛顿
Isaac Newton
数学家 物理学家 天文学家 自然哲学家 英国皇家学会会员
艾萨克·牛顿简介
艾萨克·牛顿（1642--1727）出生于英格兰林肯郡的一 个小镇乌尔斯索普。他出生之前，他的父亲就已去世 。在牛we顿lco3m岁e时to ，us他e th的es母e P亲ow改e嫁rPo给in一t te个mp牧lat师es，, N把ew牛顿托 付给了Co他nt的ent祖de母sig抚n,养10。ye8a年rs后ex，per牧ien师ce病故，牛顿的母亲 又回到了乌尔斯索普。牛顿自幼沉默寡言，性格倔强， 这种习性可能来自他的家庭环境。
主要贡献
微积分的创立 二项式定理
运动的三个基本定 律（牛顿三定律）：
光学、哲学、 天文学
数学其他方面
微积分的创立
牛顿关于微积分问题的研究起始于1664年，当时 笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他的 影响最大。他对笛卡尔求曲线切线的方法产生了浓厚 的兴趣并试图寻找更好、跟一般的方法。
1666年10月他写的第一篇关于微积分的论文《 论数短论》，其中首次提出了流数的概念，所谓流数 就是速度，在变速运动中速度是路程对事件的微商， 至于速度的变化状况就要用速度的微商来反映，即加 速度是速度的微商。
艾萨克·牛顿简介 牛顿墓碑铭文：此地安葬的是艾撒克·牛顿勋爵，他 用近乎神圣的心智和独具特色的数学原则，探索出行 星的运动和形状、彗星的轨迹、海洋的潮汐、光线的 不同谱调和由此而产生的其他学者以前所未能想像到 的颜色的特性。以他在研究自然、古物和圣经中的勤 奋、聪明和虔诚，他依据自己的哲学证明了至尊上帝 的万能，并以其个人的方式表述了福音书的简明至理。 人们为此欣喜：人类历史上曾出现如此辉煌的荣耀。 他生于1642年12月25日，卒于1727年3月20日。
莱布尼兹和牛顿微积分故事给我们的启示
莱布尼兹和牛顿微积分故事给我们的启示
这是一个伟大的故事，有关勒莱布尼兹和牛顿的微积分故事，我们可以从它学到很多。
勒莱布尼兹历史上最伟大的计算机，也可以说是世界上最伟大的数学家之一，他一生研究许多领域的数学，例如微积分。
他把数学研究从一种抽象的活动变成了一种实际的应用，开创了自己的理论，证明了许多原先不可能的数学推论，使数学变得更加实用。
另一位伟大的数学家牛顿也深受勒莱布尼兹的影响，他建立了几何推理，着眼于应用数学来描述世界的规律，从而奠定了物理学的基础。
从这个伟大的故事中，我们可以得到一个重要的启示：要有坚定的信念、勇于探索，不断发现自己的见解、设想和声明，并以此来实现自身的理想。
另外，要以目标为导向，坚持追求卓越，坚持自己的想法，保持持之以恒的精神，勇于不断挑战与拓展自己的极限，能够在最大限度发挥自己的能力和智慧。
总而言之，从勒莱布尼兹和牛顿微积分故事中，我们可以得出“坚持创新，勇于挑战，坚持追求卓越”的重要启示。
莱布尼茨与微积分
中西文化交 流之倡导者
莱布尼茨对中国的科学、 文化和哲学思想十分关注，他 是最早研究中国文化和中国哲 学的德国人。他向耶稣会来华 传教士格里马尔迪了解到了许 多有关中国的情况，包括养蚕 纺织、造纸印染、冶金矿产、 天文地理、数学文字等等，并 将这些资料编辑成册出版。他 认为中西相互之间应建立一种 交流认识的新型关系。
三、其他成就 （一）、数学方面
• 高等数学上的众多成就 • 1、莱布尼茨在数学方面的成就是巨大的，他的研 究及成果渗透到高等数学的许多领域。他的一系 列重要数学理论的提出，为后来的数学理论奠定 了基础。 • 2、莱布尼茨曾讨论过负数和复数的性质，得出复 数的对数并不存在，共扼复数的和是实数的结论。 在后来的研究中，莱布尼茨证明了自己结论是正 确的。他还对线性方程组进行研究，对消元法从 理论上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念， 提出行列式的某些理论，此外，莱布尼茨还创立 了符号逻辑学的基本概念。
十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英 国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在 自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立 工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最 大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一 起，一个是切线问题（微分学的中心问题）， 一个是求积问题（积分学的中心问题）。 牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直 观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷 小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支 返回 名称的来源。
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二、智者的奋斗史
(一)、少年天才 从幼年时代起，莱布尼茨就明显展露出 一颗灿烂的思想明星的迹象。他13岁时就像 其他孩子读小说一样轻松地阅读经院学者的 艰深的论文了。 他提出无穷小的微积分算法，并且他发 表自己的成果比伊萨克·牛顿爵士将它的手 稿付梓早三年，而后者宣称自己第一个做出 了这项发现。
论牛顿的研究方法及其哲学思考
论牛顿的研究方法及其哲学思考牛顿是17世纪最著名的数学家、哲学家和科学家。
他在《自然哲学的数学原理》一书中提出了著名的万有引力定律和牛顿运动学三定律，奠定了经典力学的基石。
同时，他还和莱布尼茨各自独立地从不同的出发点发明了微积分，为数学分析这一数学分支的发展做出伟大的贡献。
当然，牛顿对人类的贡献不止这两方面，他在光学、热学、天文学和哲学等方面都有着杰出的成就。
牛顿在伽利略等人工作的基础上进行深入研究，总结出了物体运动的三个基本定律（牛顿三定律）。
这三个非常简单的物体运动定律，为力学奠定了坚实的基础，并对其他学科的发展产生了巨大影响。
第一定律的内容伽利略曾提出过，后来R.笛卡儿作过形式上的改进，伽利略也曾非正式地提到第二定律的内容。
第三定律的内容则是牛顿在总结C·雷恩、J·沃利斯和C·惠更斯等人的结果之后得出的。
牛顿是万有引力定律的发现者。
在开普勒行星运动定律以及其他人的研究成果上，他用数学方法导出了万有引力定律。
牛顿把地球上物体的力学和天体力学统一到一个基本的力学体系中，创立了经典力学理论体系。
正确地反映了宏观物体低速运动的宏观运动规律，实现了自然科学的第一次大统一。
这是人类对自然界认识的一次飞跃。
除此之外，牛顿在声的速度以及流体运动方面也有着不小的贡献。
在数学方面，牛顿从物体运动的角度出发，创建了微积分学（1684年莱布尼兹从对曲线的切线研究中也创建了微积分学），而且在1767年公布了它发明的二项式定理，并用来计算面积、积分、解方程等。
最重要的是，他把数学运用到他所有的研究领域中。
牛顿用极大的兴趣和热情对光学进行研究。
1666年，牛顿在家休假期间，得到了三棱镜，他用来进行了著名的色散试验。
一束太阳光通过三棱镜后，分解成几种颜色的光谱带，牛顿再用一块带狭缝的挡板把其他颜色的光挡住，只让一种颜色的光在通过第二个三棱镜，结果出来的只是同样颜色的光。
这样，他就发现了白光是由各种不同颜色的光组成的，这是第一大贡献。
微积分思想的产生与发展历史
并深刻地指出：“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣。” 我国南北朝时期的数学家祖暅（中国古代数学家祖冲之之子）发 展了刘徽的思想， 在求出球的体积的同时， 得到了一个重要的结论 （后 人称之为“祖暅原理”)：“夫叠基成立积，缘幂势既同，则积不容异。” 用现在的话来讲，一个几何体(“立积”)是由一系列很薄的小片(“基”) 叠成的；若两个几何体相应的小片的截面积(“幂势”)都相同，那它们 的体积(“积”)必然相等。 利用祖暅原理求球体的体积：取一个几何体为上半球体 { x 2 y 2 z 2 R 2 , z 0 }；将圆柱体 { x 2 y 2 R 2 , 0 z R }减去（即挖 去） 倒立的圆锥{ x 2 y 2 z 2 , 0 z R }视为另一个几何体。 则对任意的
函数的极大、极小问题。法国数学家费尔马（P. Fermat, 1744-1825） 在这两个问题上作出了主要贡献。费尔马在处理这两个问题时，都是 先对自变量取增量，再让增量趋于零，这就是微分学的本质所在。费 尔马也在积分学方面做了许多工作，如求面积、体积、重心等问题。 但可惜的是他没有发现微分学与积分学这两类问题之间的基本联系。 另一位已经走到了微积分基本定理的门口的是英国数学家巴罗 （I. Barrow, 1630-1677） ， 他是牛顿的老师， 是剑桥大学卢卡斯讲座教授， 后来他认为牛顿已经超过了他， 就把这一讲座教授的位置让给了牛顿。 他在《光学和几何学讲义》一书中，已经把求曲线的切线与求曲线下 区域的面积问题联系了起来，也就是说，他把微分学和积分学的两个 基本问题联系了起来。 但可惜的是巴罗没有从一般概念的意义下进一 步深入地研究它们。 三．牛顿和莱布尼兹对微积分学科的功绩 微积分学科的建立，归功于两位伟大的科学先驱：牛顿和莱布尼 兹。关键在于他们认识到，过去一直分别研究的微分和积分这两个运 算，是彼此互逆的两个过程，它们是由牛顿—莱布尼兹公式联系起来 的。 1669年英国大数学家牛顿（I. Newton, 1643-1727）提出微积分学 说存在正反两个方面的运算， 例如面积计算和切线斜率计算就是互逆 的两种运算，即微分和积分互为逆运算，从而完成了微积分运算的决 定性步骤。但由于种种原因，他决定不向外界公开他的数学成果，他 的成果只是以手稿的形式在少数几个同事中传阅， 而这一决定在以后
谈牛顿——莱布尼兹公式
谈牛顿——莱布尼兹公式一茉,,私分牛蔓承德民族师专1995年第2期f冯谈牛顿一莱布尼兹公式(=)J7滕文凯/7f微积分第二基本定理——牛顿——莱布尼兹公式把微分与积分从概念与计算上同时联系起来,是使微积分理论形成一个体系的一个重要标志.以下从几个方面出发,谈一谈对牛顿——莱布尼兹公式的认识.1把求定积分的问题化为求f(x)的原函数问题定理(微积分基本公式):设f(x)在[a,b]上连续,F(x)是f(x)的任何一个原函数,则有徽积分基本公式:rb上f(x)dx=F(b)-F(a)r微积分基本公式又称牛顿——莱布尼兹公式.这个公式告诉我们:要计算定积分土f(x)dx,只需先求f(x)的任何一个原函魏F(x),然后用F(x)的积分上限的值F(b)减去F(x)在积分下限的值F(a)而初等函数在定义区间上都是连续的,所以只要初等函数的原函数能够表为有限形式,要计算它的定积分,就可以用牛顿——莱布尼兹公式.这样,就把很广泛的一类函数的定积分计算问题,化成了求被积函数的原函数的增量问题2建立了微分中值定理和积分中值定理之间的关系利用牛顿——莱布尼兹公式易得微分中值定理和积分中值定理的关系.2.1由积分中值定理推导微分中值定理因为f(x)是[a’b]上的连续函数,F(x)是f(x)的原函数,即F(x)=f(x),由牛——莱公式及积分中值定理,jl∈(a.b),使fF(b)一F(a)=_lf(x)dx~(b—a)?f(1)=(b--a)?F(1)即推出了条件强一些的微分中值定理(Ff不仅存在而且连续).2.2由微分中值定理推导积分中值定理在[a,b3,F,且存在原函数.作为公式的应用当然是条件越弱越好.实际上,只要f(x)在[a.b]上可积,且存在F(x),F(x)在[a,b]上连续,在(a.b)可微,Fr(x)=f(x)则可以证明牛——莱公式成立.显然条件可积比连续要弱,这样可使牛——莱公式的使用范围扩大.一个函数可积与它存在原函数并不一致根据微积分第一基本定理(即连续函数的原函数的存在性定理),只有对连续函数,可积与存在原函数才是一致的..因为可积和原函数存在不是一致的概念,所在利用牛——莱公式计箩定积分时一定要注意判定被积函数f如)是否同时满足此两条件.如果两条件都不满足或仅满足条件之一就草率行事,滥用公式,只能得出错误结果.f,-倒1检验JtX_-dx应用牛——莱公式的正确性.(错解法)l~-{2dx一一÷l_Il一一2其错在于:f(x)一÷在[-1,1]无界,以x=0为无穷同断点,故不可积.另外一÷在x=0无意义,也不是在[_l,1]的一个原函数?牛一莱公式中的两个条件f(x)=都不满足,从而不能用公式求解.由直观判断也可知f(x)=击≥o,故若积分存在必非负.现积分为负,必为错r1解.利用瑕积分收敛性判别法知,作为l广义积分Jt击dx是发散的. …,f2xsi”j1一导c1当x≠0倒2巳知f(x):}”一i当≠【0当x一0以F(x)一{当≠.10当x一0f为一个原函数,判断能否用牛一莱公式求J.f(x)dx(错解法):』1f(x)dx=F(1)一F(一1)=sinI—sinI~0此题中,f(x)虽然存在原函数F(x),但f(x)在[-1,1]无界,不可积,不满足牛——莱公式的第一个条件.因为f(x)的积分不存在,如果还利用公式求解显然是错误的.倒t中f(x)=圭在[-1,1]既不可积又不存在原函数;例2中的f(x)在[一l,t3不可积,此两题的被积函数均不同时满足牛一一莱公式的两条件,此时若滥用牛——莱公式求定积分,必定得出错误结果,这在解题当中是应该时刻引起注意的.4以牛顿——菜布尼兹公式为基础,建立各种积分之间的关系4.1积分定义的统一形式定积分,重积分,曲线积分,曲面积分的基本思想是一致的,它们可以归结为一种统一的形式一几何形体Q上的黎曼积分:设Q为一可度量的几何形体,在0上定义了一个函数f(M).9——M60.将此几何形体0分为若干可以度量的小块△0一,△Q2’..?,△,且把它们的度量大小仍记为△q(k=I,2,…,n),令d=yxf△q的直径},在每一块△中任取一点,作黎曼和数_f(I~)Ac4,如果不论对于.的怎样分法及点M在△上如何取法,当d一0时这个和数恒有极限I,则称函数f(M)在O上黎曼可积,称此极限值I为函数f(M)在几何形体O上的黎曼积分,f记为:I=Jf(M)dQ亦即}I=lim25f(Mt)△儡’此极限与O的分法及点M的取法无关.2利用含参量积分的中介,化二重积分为二次积分各种积分的定义形式可统一,在计算上也无本质差异.我们先看二重积分.二重积分的几何意义为xy平面区域D一{(x,y)la≤x-<<b,c(x)≤y≤d(x)}为底,以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶桂体体积ffV—JJf(x,y)曲其中c(x),d(x)为[a.b)上的连续函数,f(x,y)为D上的非负连续函数.将横坐标为x的截面投射到yz平面得到曲边梯形RI={(y,zlc(x)≤y≤d(x),O≤z≤f(x,y)),此曲边梯形面积为:’fA(x)=Jf(x,y)dy这就是曲顶柱体的截面面积函数,x为参变量,Y为积分变量,利用牛顿一莱布尼兹公式计算此定积分可得A(x)以此截面面积函数为被积函数,利用牛顿一莱布尼兹公式求定积分即可得曲顶柱体体积d”)v:v—A(x)dx:.【dxJf(x,y)dy即,,:『I:fdx『f(x.y)从以上讨论可知道,二重积分的计算就是利用含参量积分的中介,化二重积分为两次定积分,两次利用牛顿一莱布尼兹公式得出最后结果,所以计算二重积分的基础也为牛顿一莱布尼兹公式.4.3化三重积分为逐次积分定理:若f(x,Y,z)在v={(x,Y,z)la≤x≤b,c(x)≤y≤d(x),e(x,y)≤z≤g(x,y))上连续,e(x,y),g(x,y)在D一{(x,y)la≤x≤b,c(x)≤y≤d(x))上连续,c(x),d(x)在Ca,b]上连续,R={(y.z)lc(x)≤y≤d(x),e(x.Y)≤z≤g(x,y)),则20驭州z=』fdx』a』咄踟z肛枷zf f.”州z三重积分的物理意义为定义的空间立体V上密度函数为f(x,y,z)的非均匀密度物体的质量.上述三种求质量的方法可分别简述为:由点到线,由线到面,由面到体”;”由点到线,由线到柱(d妇yI(x,y,z)dz),由柱到体”及”由点到面(JJc(,y,z)dydz),由面到片dxJJf(x,ytz)dydz),由片到体”.不论是将三.4.3曲面积分化为二重积分曲面积分是沿曲面进行的,被积函数都是三元函数,但只有两个变元是相互独立的,故曲rr面积分是二重积分问题.仍用二重积分号.上I”来表示.两类曲面积分的计算都是通过投影而归结为二重积分的计算,计算时,必须按曲面方程化为两个变量的显式,如将曲面积分化为xy面上的二重积分,就要将曲面方程化成关于变量x,Y的显式z=z(x,y),代入披积表达式中:ffff——JJf(x,y,z)do=JJfCx,y,z(x,y)3】+z?+z~dxdyff在JJp(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy中ffff.JJR(x.Y-z)dxdy~±JJR:x.y,z(x.y)]dxdy当∞s,0时,取”+号?当.osY<0时.取.一号.Y为曲面S的正侧外法线与z轴正向的夹角.rr同理可有;J(x,y,z)dxdy:士J[x(y,z),y,z]dydzrr’rrJ-IQ(x,Y,z]dzdx:士JJQ[x,y(z,x),z]dzdx.,口h4-4?4两类曲面积分之间的关系在第二型曲面积分.rrr.’』Jydz+Qdzdx+Rdxdy一』J(P.osa+Qoo审+Rco~y)d口中,是把P,Q,R 看成被积函数的,若把Pco+Qc0sB+R.osY看成被积函数t它就是第一型曲面积分.上式恰好表明了两曲面积分之间的相互转换关系.在许多场合之下,把第二型曲面积分的计算转化为第一型曲面积分的计算是十分方便的.例3计算曲面积分:dydz+yd:d】(+:d其中S为平面x+y+z=I被三坐标面所截一f(a)把f(x)的导数在区间[a,b]上的定积分变为f(x)沿边界(端点)的值的差:格林公式(一)dxdy一}Pdx+Qdy把P(x?y),Q(x?y)的偏导数在区域D上的二重积分变成P(x,y),Q(x,y)措区域D的边界闭曲线C上的曲线积分;奥高公式皿舞+等+-)dxdydz~+删z¨R把P.Q,R的偏导数在有界闭体V上的三重积分变为P(x,y,z),Q(x,y.z),R(x.Y,z)沿闭体V的边界闭曲面S上的曲面积分;靳托克斯公式{J(嚣.署)aaz+(一蓑)azdx+筹)axa’=Y oP【x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R【x,Y.z)dz把P,Q,R的偏导数在空间曲面S上的曲面积分变为P(x,Y,z),Q(x,Y,z),R(x,Y,z)沿曲面S的边界闭曲线C上的曲线积分.以上几式说明格林公式,奥高公式以及斯托克斯公式都是牛一莱公式的推广,它们的思想是完全一致的.从根本上说,它们都不过是在不同形式下应用微积分基本定理的结果,而且不论是哪个公式在推导的过程中,其关键步骤都是用了牛一莱公式.运用一些近代的代数和几何概念,比如向量的外积,微分形式等.可以把上述公式统一起来,把它们看成更一般的斯托克斯公式的特倒一即:k+1阶外微分形式dw在k维区域所目的k+1维区域上的积分等于k阶外微分形式W在k维区域上的积分.格林公式的作用是将第二型曲线积分的计算转化为二重积分,相反可用曲线积分求平面图形的面积.而奥高公式将三重积分和第二型曲面积分联系起来,化第二型曲面积分为三重积分,对简化第二型曲面积分的计算起着重要作用.相反地.借助奥高公式还可用曲面积分求空间立体的体积.斯托克公式联系空间曲面积分和沿曲面的边界曲线的曲线积分之间的关系,化空间第二型曲线积分为空间第二型曲面积分,它可以简化某些空间曲线积分的计算问题.综上所述,我们可得各种积分之间的关系图如下:PP牛一莱公式.LfI(x)dxffiJ.dt(x)一f【x)1.~ffif(b)一f(a)肯定了积分与微分是同一个量(原函数的增量f(b)一f(a))的整体形式与局部形式,积分是徽分的积累,微分是积分的分解,积分与微分是整体与局部的关系,这是积分与微分的最基本关系.我们已经看到二重积分,三重积分都是建立在牛一莱公式这个共同基础之上的,而曲线积分,亡阔J曲面积分都要化为定积分和重积分,因而这个定理在多元函数积分理论中也有意义.虽然从牛一莱公式的表面看,这个定理反映的是一元函数积分与微分之间的基本关系,但是整个微积分除了微分和积分还有什么呢?面由线组成,体由面组成与线由点组成一佯,都是整体和局部之间的关系.因此,二重积分和定积分,三重积分和二重积分也可以说是积分和微分的关系.这种观点也可以推广到高维空间.所以,无论是微分和积分的关系.还是低维的积分和高准的积分之间的关系,都包含在这个定理之中.总而言之,它确实是名副其实的整个徽积分的基本定理,是微积分理论,特别是积分学理论的基础.。
2-2-2牛顿和莱布尼兹的微积分(下)
牛顿和莱布尼兹的微积分
他们殊途同归都找到了牛顿－莱布利兹公式
b a
f ( x )d x F (b ) F ( a )
抽象——于纷繁中找联系
牛顿和莱布尼兹的微积分
如图（摘自牛顿《自然哲学的数学原理》）： · 用B,C,D等分AE，并且进一步细分得到曲边形面积； · 给AB增量BF, 其相应面积的增量与BF之比牛顿称为 最初比(prime ratio）；
· 当BF逐步消失（牛顿称它为消失的量(evanescent
quantities)）时，最初比就变成了最末比(ultimate ratio)。
牛顿和莱布尼兹的微积分
莱布尼兹(G.W. Leibniz，1646-1716) 的微积分
原来从事法律事务，服务于美因兹选帝侯的宫廷中。 他开始接触数学是在1672年，在巴黎见到了惠更 斯的时候。 关于积分，莱布尼兹的说法与牛顿不同，倒是更加 接近卡瓦列里。他同样认为积分就是函数图像下的
面积，由一些面积的不可分量相加而成。
牛顿和莱布尼兹的微积分
莱布尼兹认为x轴是由不可分量构成的，而面积 则由矩形的不可分量构成，把它们加起来（莱布 尼兹用符号 表示加法）就得到面积 。 给x一个不可分量，用今天的记号为dx,相应面积 不可分量为：dF=f(x)dx，二者之比为：
dF dx
f (x)
牛顿和莱布尼兹的微积分
莱布尼兹独自发现了微积分，而且使用了更好的记号（积分号）； 莱布尼兹引进了“函数”（function）这个词，更青睐无穷级数的
“闭形式”，即
求 f ( x ) d x 的值乃是去找一个导数为 f ( x ) 的已知函数。
牛顿和莱布尼兹的微积分
把牛顿和莱布尼兹做个比较
浅谈牛顿、莱布尼茨对微积分的贡献
浅谈牛顿、莱布尼茨对微积分的贡献作者：薄彤来源：《新教育时代》2014年第20期摘要：如今微积分的应用无论是在科学研究，还是生产生活中都有着不可忽视的地位。
微积分也正是在解决一些科学问题的需要下而产生的，其创立与发展离不开两位时代巨匠牛顿和莱布尼茨的贡献。
莱布尼茨与牛顿在创立微积分过程中殊途同归，最终完成了创建微积分的盛业。
本文便详细论述了微积分的产生、牛顿和莱布尼茨对微积分的贡献以及他们在创立微积分时的异同。
关键词：牛顿莱布尼兹微积分一、微积分的产生微积分是微分学和积分学的总称。
微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等，积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。
如今，微积分已成为基本的数学工具而被广泛地应用于自然科学的各个领域。
主要有四种类型的问题：第一类，变速运动求即时速度的问题；第二类，求曲线的切线的问题；第三类，求函数的最大值和最小值问题；第四类，求曲线长、曲边梯形面积、不规则物体的体积、物体的重心、压强等问题。
解决这些科学问题的需要是促使微积分产生的因素。
许多著名的科学家，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多有建树的理论，为微积分的创立做出了贡献。
17世纪下半叶，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。
他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题）。
时代的需要与个人的才识，使他们完成了微积分创立中最后也是最关键的一步。
微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，对过去很多束手无策的数学问题运用微积分就会迎刃而解。
同时微积分也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展，并在这些学科中应用越来越广泛。
二、莱布尼茨对微积分的贡献莱布尼茨创立微积分首先是出于几何问题的思考。
微积分思想的产生与发展历史
陈纪修 在微积分产生之前，数学发展处于初等数学时期。人类只能研究 常量，而对于变量则束手无策。在几何上只能讨论三角形和圆，而对 于一般曲线则无能为力。 到了17世纪中叶， 由于科学技术发展的需要， 人们开始关注变量与一般曲线的研究。在力学上，人们关心如何根据 路程函数去确定质点的瞬时速度， 或者根据瞬时速度去求质点走过的 路程。在几何上，人们希望找到求一般曲线的切线的方法，并计算一 般曲线所围图形的面积。令人惊讶的是，不同领域的问题却归结为相 同模式的数学问题：求因变量在某一时刻对自变量的变化率；因变量 在一定时间过程中所积累的变化。前者导致了微分的概念；后者导致 了积分的概念。两者都包含了极限与无穷小的思想。 一．极限、无穷小、微分、积分的思想在中国古代早已有之 公元前4世纪， 中国古代思想家和哲学家庄子在 《天下篇》 中论述： “至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一。”其中大一和小一就是 无穷大和无穷小的概念。而“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”更是 道出了无限分割的极限思想。 公元3世纪，中国古代数学家刘徽首创的割圆术，即用无穷小分割 求面积的方法，就是古代极限思想的深刻表现。他用圆内接正多边形 的边长来逼近圆周，得到了
18世纪被称为数学史上的英雄世纪。 数学家们把微积分应用于天文学、 力学、光学、热学等各个领域，获得了丰硕的成果。在数学本身，他 们把微积分作为工具，又发展出微分方程、微分几何、无穷级数等理 论分支，大大扩展了数学研究的范围。 四．微积分严格理论体系的完善 微积分建立之后，出现了两个极不协调的情景；一方面是微积分 广泛应用于各个领域，取得了辉煌的成就；另一方面是人们对于微积 分的基本概念的合理性提出了强烈的质疑。19世纪以前，无穷小量概 念始终缺少一个严格的数学定义，因此导致了相当严重的混乱。1734 年英国哲学家红衣主教贝克莱（G. Berkeley, 1685-1753）对微积分基 础的可靠性提出强烈质疑，从而引发了第二次数学危机。他认为微积 分的发展包含了偷换假设的逻辑错误。例如对 y x 3 求导数（当时称 为求流数），要先假设自变量有一个无穷小增量“0”，它不能为零， 但在计算后半部，又要把这增量取为零：
微积分基本公式的创始人
微积分基本公式的创始人
微积分是莱布尼兹、牛顿创立的。
牛顿从研究物理问题出发创立了微积分，牛顿称之为“流数术理论”。
莱布尼兹从几何角度出发独立创立了微积分，莱布尼兹把微积分称之为“无穷小算法”。
十七世纪以来，微积分的概念和技巧不断扩展并被广泛应用来解决天文学、物理学中的各种实际问题，取得了巨大的成就。
但直到十九世纪以前，在微积分的发展过程中，其数学分析的严密性问题一直没有得到解决。
十八世纪中，包括牛顿和莱布尼兹在内的许多大数学家都觉察到这一问题并对这个问题作了努力，但都没有成功地解决这个问题。
整个十八世纪，微积分的基础是混乱和不清楚的，许多英国数学家也许是由于仍然为古希腊的几何所束缚，因而怀疑微积分的全部工作。
这个问题一直到十九世纪下半叶才由法国数学家柯西得到了完整的解决，柯西极限存在准则使得微积分注入了严密性，这就是极限理论的创立。
极限理论的创立使得微积分从此建立在一个严密的分析基础之上，它也为20世纪数学的发展奠定了基础。
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摘 要:文章主要探讨了牛顿和莱布尼兹所处的时代背景以及他们的哲学思想对其创立广泛地应用于自然科学的各个领域的基本数学工具———微积分的影响。
关键词:牛顿;莱布尼兹;微积分;哲学思想今天,微积分已成为基本的数学工具而被广泛地应用于自然科学的各个领域。
恩格斯说过:“在一切理论成就中,未有象十七世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了,如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩,那就正是在这里。
”[1 ] (p. 244) 本文试从牛顿、莱布尼兹创立“被看作人类精神的最高胜利”的微积分的时代背景及哲学思想对其展开剖析。
一、牛顿所处的时代背景及其哲学思想“牛顿( Isaac Newton ,1642 - 1727) 1642 年生于英格兰。
⋯⋯,1661 年,入英国剑桥大学,1665 年,伦敦流行鼠疫,牛顿回到乡间,终日思考各种问题,运用他的智慧和数年来获得的知识,发明了流数术(微积分) 、万有引力和光的分析。
”[2 ] (p. 155)1665 年5 月20 日,牛顿的手稿中开始有“流数术”的记载。
《流数的介绍》和《用运动解决问题》等论文中介绍了流数(微分) 和积分,以及解流数方程的方法与积分表。
1669 年,牛顿在他的朋友中散发了题为《运用无穷多项方程的分析学》的小册子,在这里,牛顿不仅给出了求一个变量对于另一个变量的瞬时变化率的普遍方法,而且证明了面积可以由求变化率的逆过程得到。
因为面积也是用无穷小面积的和来表示从而获得的。
所以牛顿证明了这样的和能由求变化率的逆过程得到(更精确地说,和的极限能够由反微分得到) ,这个事实就是我们现在所讲的微积分基本定理。
这里“, 牛顿使用的是无穷小方法,把变量的无限小增量叫做“瞬”,瞬是无穷小量,是不可分量, 或是微元, 牛顿通过舍弃“瞬”求得变化率。
”[3 ] (p. 199) 1671 年牛顿将他关于微积分研究的成果整理成《流数法和无穷级数》(1736) ,在这里,他认为变量是连续运动产生的,他把变量叫做流,变量的变化率叫做流数。
牛顿更清楚地陈述了微积分的基本问题:已知两个流之间的关系,求它们流数之间的关系,以及它的逆问题。
《流数法和无穷级数》是一部较完整的微积分著作。
书的后半部分通过20 个问题广泛地介绍了流数法各无穷级数的应用。
1676 年,牛顿写出了《求曲边形的面积》(1704) ,在这里,牛顿的微积分思想发生了重大变化,他放弃了微元或无穷小量,而采用了最初比和最后比的方法。
1687 年牛顿发表了它的划时代的科学名著《自然哲学的数学原理》,流数术(即微积分) 是其三大发现之一。
正如爱因斯坦所说的:“牛顿啊⋯⋯你所发现的道路在你的那个时代是一位具有最高思维能力和创造能力的人所发现的唯一道路,你所创造的概念即使在今天仍然指导着我们的物理学思想”。
[4 ] (p. 192)牛顿生活的时代正是英国发生变化的时代,当时英国发生了国内战争,资产阶级和贵族的阶级妥协,使英国资产阶级革命明显的带上了不彻底性。
当时的英国资产阶级正在为现存的剥削阶级的一切上层建筑做永恒存在的论证,因此绝对化的思想成为占统治地位的主导思想,它也影响到当时的自然科学家们把形而上学的思想方法绝对化。
牛顿的思想也受到了英国资产阶级革命不彻底性的影响,因而牛顿也往往不能从自然界本身或事物的本身来寻找最初的原因,而借助于外来的推动力。
牛顿在30 岁以前发现了微积分,并建立了经典力学体系,而他的后半生在自然科学的研究上几乎一事无成。
这是由于在资本主义产生和形成的时期,资产阶级曾经向宗教神学发起冲击,帮助科学从神学中解放出来。
但是当资产阶级的地位巩固以后,阶级斗争逐渐激化之时,资产阶级就逐渐衰退,他们就抓住各种各样的宗教信念作为奴役人民的思想武器。
牛顿受其影响很大,其前半生由于自发的唯物主义的思想倾向,使他获得了巨大成就,而后半生则完全沉迷于神学的研究。
牛顿继承了培根的经验主义传统,特别重视实验和归纳推理的作用,他曾断言,自然科学只能从经验事实出发解释世界。
这在当时对打击经院哲学的崇尚空谈、妄称神意来歪曲自然界是起过积极作用的。
但是“, 牛顿却拘泥于经验事实,片面强调归纳的重要性。
只有大量的感性材料,一切停留在事物的现象上,单独依靠归纳的方法是得不出系统的普遍性的理性认识来的。
在分析和综合、演绎和归纳的问题上,形而上学使牛顿陷入了矛盾。
”[5 ] (p. 123)二、莱布尼兹所处的时代背景及其哲学思想“莱布尼兹(Gottfried Wilhelm Leibniz ,1646 - 1716)生于德国。
⋯⋯,1672 年赴巴黎,在那里接触到惠更斯等一些数学名流,引其进入了数学领域,开始微积分的创造性工作。
”[2 ] (p. 165)1684 年莱布尼茨发表了数学史上第一篇正式的微积分文献《一种求极限值和切线的新方法》。
这篇文献是他自1673 年以来的微积分研究的概括与成果,其中定义了微分,广泛地采用了微分符号dx、dy ,还给出了和、差、积、商及乘幂的微分法则。
同时包括了微分法在求切线、极大、极小值及拐点方面的应用。
两年后,又发表了一篇积分学论文《深奥的几何与不变量及其无限的分析》,其中首次使用积分符号“∫”,初步论述了积分(或求积) 问题与微分求切线问题的互逆问题。
即今天大家熟知的牛顿- 莱布尼茨公式∫ba f ( x) dx = f ( b) - f ( a) ,为我们勾画了微积分学的基本雏形和发展蓝图。
“牛顿建立微积分是从运动学的观点出发,而莱布尼兹则从几何学的角度去考虑,所创设的微积分符号远远优于牛顿符号,并有效地促进了微积分学的发展。
”[6 ] (p. 120) 牛顿发现微积分(1665 - 1666 年) 比莱布尼茨至少早了9 年,然而莱布尼茨公开发表它的微积分文章比牛顿早3 年。
据莱布尼茨本人提供的证据说明他是在1674 年形成了微分的思想与方法。
如果说,牛顿建立微积分主要是从运动学的观点出发,而莱布尼兹则是从哲学的和几何学的角度去考虑,特别是和巴罗的“微分三角形”有密切关系,莱布尼兹称它为“特征三角形”。
巴罗的微分三角形对莱布尼兹有着重要启发,对微分三角形的研究,使他意识到求切线和求积问题是一对互逆的问题。
莱布尼兹第一个表达出微分和积分之间的互逆关系。
莱布尼兹的许多研究成果和思想的发展,都包含在从1673 年起写的但从未发表过的成百页的笔记中。
1673 年左右,他看到求曲线的切线的正问题和反问题的重要性,他完全相信反方法等价于通过求和来求面积和体积。
1684 年,莱布尼兹发表第一篇微分学论文《一种求极大、极小和切线的新方法,它也适用于分式或无理量,以及这种新方法的奇妙类型的计算》,对他以往的研究作了初步整理,叙述了微分学的基本原理,认为函数的无限小增量是自变量无限小变化的结果,且把这个函数的增量叫做微分,用字母d表示。
1675 - 1676 年间,他从求曲边形面积出发得到积分的概念, 给出微积分基本定理∫baf ( x) dx = f ( b)- f ( a) 。
1686 年莱布尼兹发表积分学论文《潜在的几何与分析不可分和无限》。
1693 年,他给出了上述定理的一个证明。
以上这些都发表在《教师学报》上。
将微分和积分统一起来,是微积分理论得以建立的一个重要标志。
莱布尼兹出生在德国路德派诸侯与天主教诸侯之间的对立而引起的“三十年战争”结束前。
为了改变宗教纷争的局面,莱布尼兹立志要发现一种新的天主教和路德教都能适合的关于实体的学说,以成为两派教会得以联合的哲学基础。
虽然莱布尼兹的意图是不可能实现的,但他后来却因此提出了一种与笛卡尔不同的实体学说———单子论。
“单子论是莱布尼兹哲学的核心内容。
莱布尼兹认为一切事物都由单子这种精神的实体构成的,这种‘单子’既非物质的而又具有一定的质,它是精神性的,莱布尼兹就把它比之于灵魂。
只有精神的单子才是真实的存在的实体,从单子是不可分的,即没有部分的“单纯”实体这一点出发,莱布尼兹就推论出它的一系列特征:单子没有部分,它就不能以自然的方式通过各部分的组合而产生,或通过各部分的分解而消灭,因此它的生灭只能出于上帝的突然创造或毁灭;单子没有部分,就不能设想有什么东西可以进入其内部来造成变化,这样,单子就成了各自独立或彻底孤立的东西,各单子之间不能有任何真正的相互作用或影响。
单子之间没有量的差异, 而只有质的不同。
”[7 ] (p. 85)总之,莱布尼兹的基本观点是唯心主义的,也是形而上学的。
他把宇宙的秩序都归因于上帝的预先决定。
他肯定许多必然真理并非来自经验,他认为不但认识的对象都是由精神性的“单子”所构成。
而且认识的主体也只能作为精神实体的心灵这种“单子”。
他把一切发展变化都归因于上帝的“前定”,实际也就否定了真正的发展,这是他的观点的消极的一面。
但另一方面,莱布尼兹的哲学也有积极方面,它的哲学中含有丰富的辩证法思想,他肯定实体本身就具有力,因而是能动的,实质上肯定了物质与运动不可分的思想,他试图解决“不可分的点”和“连续性”的矛盾问题,接触到了个别与全体、间断性与连续性的对立统一问题,对促进理性和经验的辩证结合做出了一定的贡献。
三、牛顿、莱布尼兹创立微积分之比较牛顿和莱布尼兹用各自不同的方法,创立了微积分学。
如果说牛顿接近最后的结论要比莱布尼兹早一些,那么莱布尼兹发表自己的结论要早于牛顿。
虽然牛顿的微积分应用远远超过莱布尼兹的工作,刺激并决定了几乎整个十八世纪分析的方向,但是莱布尼兹成功地建立起更加方便的符号体系和计算方法。
两位微积分的奠基人,一位具有英国式的处事谨慎,治学严谨的风度,一位具有德国人的哲理思辨心态,热情大胆。
由于阴阳差错的时代背景, 过分追求严谨的牛顿迟迟未将自己的发现发表,让莱布尼茨抢了一个发表的头筹。
牛顿和莱布尼兹的哲学观点的不同导致了他们创立微积分的方法不同。
牛顿坚持唯物论的经验论,特别重视实验和归纳推理。
他在研究经典力学规律和万有引力定律时,遇到了一些无法解决的数学问题,而这些数学问题用欧几里德几何学和16 世纪的代数学是无法解决的,因此牛顿着手研究新的以求曲率、面积、曲线的长度、重心、最大最小值等问题的方法———流数法。
“牛顿的研究采用了最初比和最后比的方法。
他认为流数是初生量的最初比或消失量的最后比。
初生量的最初比就是在初生的瞬间的比值,消失量的最后比就是量在消失的瞬间的比值。
”[4 ] (p. 180) 这个解释太模糊了,算不上精确的数学概念,只不过是一种直观的描述。
最初比和最后比的物理原型是初速度与末速度的数学抽象,在物体作位置移动的过程中的每一瞬间具有的速度是自明的,牛顿就是从这个客观事实出发提出了最初比和最后比的直观概念。
这样他就给出了极限的观点。
莱布尼兹的微积分创造始于研究“切线问题”和“求积问题”,他从微分三角形认识到:求曲线的切线依赖于纵坐标之差与横坐标之差的比值;求曲边图形的面积则依赖于在横坐标的无限小区间上的纵坐标之和或无限薄的矩形之和。