债券定价原理教学

3.麦考利久期
• （1）定义 • 相对于麦考利久期，前面定义的久期为调整的
久期（modified duration） • 当采用的收益率为半年复利一次的名义年收益
率， • 麦考利久期＝（1＋y/2）×调整的久期； • 当采用的是一年复利一次的名义年收益率， • 麦考利久期＝（1＋y）×调整的久期。
（3）实例分析
• 一个资产组合由B1和B2组成，它们所占的份额 均为0.5，它的价格，收益率，久期分别是 B1=100，y1=7%，D1=0.483092，B2=100, y2=8.8%,D2=1.797968
• 则资产组合的价格：0.5×100＋0.5×100＝100
• 资产组合的久期：(0.5×100)/100×0.483092＋ (0.5×100)/100×1.797968＝1.14053
• （1）当收益率上升一个百分点，变为8％ 债券的价格：960.07＝ 70/(1+0.08)+......+70/(1+0.08)5+1000/(1+0.08)5 价格波动幅度：1000－960.07＝39.93美元
• （2）当收益率下降一个百分点，变为6％ 债券的价格：1042.12＝ 70/(1+0.06)+......+70/(1+0.06)5+1000/(1+0.06)5 价格的波动幅度：1042.12－1000＝42.12美元 42.12美元>39.93美元
• 924.06＝ 60/(1+0.09)+...+60/(1+0.09)3+1000/(1+0.09)3
• 债券价格的波动幅度由116.69美元减 小到97.119美元，又减小到75.94美元， 第二年与第三年的差额为21.25美元， 占面值的比率为2.125％。所以，第一 年与第二年的市场价格的波动幅度小
（2）麦考利久期的直观解释
• A.一个证券的麦考利久期是其现金流的 平均到达时间
• 对于一个付息债券，半年期息票率为6％， 半年付息一次，面值是100，10年后到底， 现价是100，它的现金流的平均到达时间 7.66年
• B.麦考利久期是债券价格关于其收益 率的弹性。
• 如果采用的收益率是一年复利一次的 年收益率，麦考利久期的计算公式为：
• 例：某5年期的债券B，面值为1000美元，每 年支付利息60美元，即息票率为6％。
• 如果它的发行价格低于面值，为883.31美元， 意味着收益率为9％，高于息票率；
• 如果一年后，该债券的收益率仍维持在9％不 变，他的价格为902.81美元。
• 883.31＝ 60/(1+0.09)+...+60/(1+0.09)5+1000/(1+0.09)5
于第二年与第三年的市场价格波动幅 度。
定理4
• 对于期限既定的债券，由收益率下降 导致的债券价格上升的幅度大于同等 幅度的收益率上升导致的债券价格下 降的幅度。换言之，对于同等幅度的 收益率变动，收益率下降给投资者带 来的利润大于收益率上升给投资者带 来的损失。
• 例：某5年期的债券C，面值为1000美 元，息票率为7％。假定发行价格等于 面值，那么，它的收益率为7％。当收 益率变动一个百分点，收益将如何变 动？
• 债券价格的变化和收益率的变化 近似有：
• 其中，ΔP表示债券价格的变化， Δy表示收益率的变化。等式两边
P dP y dy
除以价格P，则得到债券的价格
变化率：
P/
P(dP/
P)y
• 若以D表示久期，则久期定义为：
dy
• 反映了收益率的单位变化导致价 • 格则的的百ΔP变分/P化 比＝率 ＝D－Δy久，期债×券收价益格率变的化变DddP y/PdP/P/dy
化
• 或者ΔP＝PDΔy ，债券价格的变
化＝－久期×价格×收益率的变 化
2．久期的计算
• 假定一个债券的面值为1，年息票率是c，到期日 前还有N次利息支付，利息半年支付一次，收益率 为y（半年计算一次时的年收益率）。现在离下一 次支付还有6个月，久期的计算公司推导如下：
• 债券的价格为：
N
P
c/2
• 也可以讲资产组合看成一个证券，通过久期的定 义计算出资产组合的久期。
2．久期的匹配
• 我们在进行风险管理时，有时需要构造一 个资产组合，其价值与某个债券或者债券 组合相同，并且在利率发生波动的情况下， 两者的价值变动也相同。如果一个是多头， 一个是空头，两者的风险就可以对冲。久 期可以帮助构造这样一个资产组合，只要 求两者的现价相同，两者的久期也相同就 可以近似地做到这一点。
• （2）如果两种债券的收益率都上升到8％ 债券C的市场价格：960.07美元 960.07＝ 70/(1+0.08)+...+70/(1+0.08)5+1000/(1+0.08)5 债券D的市场价格：1039.93美元 1039.93＝ 90/(1+0.08)+...+90/(1+0.08)5+1000/(1+0.08)5
• （3）两种债券价格的下降幅度
债券C的下降幅度：（1000－960.07） /1000=3.993%
债券D的下降幅度：（1082－ 1039.93）/1082=3.889%
• 债券D的价格波动幅度小于债券C的 价格波动幅度
二、久期duration
• （一）久期的定义和计算
• 1.久期的定义
一个债券的价格取决于现金流和当前的利率。 由于债券的现金流是事先决定的，利率的波动 是债券价格变化的主要风险来源。利率的变化 导致人们对要求的收益率的变化，也导致债券 价格的变化。如果以P表示债券的价格，y表示 债券的收益率，债券价格的利率风险可以简单 地表示为－∂P/∂y，它表示收益率的单位变化导 致价格变化的数量。负号表示普通债券的收益 率变化与价格变化方向相反。
• B.如果市场价格上升到1100美元，它的 收益率下降为5.76％，低于息票率8％
• C.如果市场价格下降到900美元，它的收 益率上升到10.98％，高于息票率8％。
市场价格 900 美元 1000 美元 1100 美元
收益率 10.98％
8％ Βιβλιοθήκη Baidu.76％
定理2
• 当债券的收益率不变，即债券的息票率与 收益率之间的差额固定不变时，债券的到 期时间与债券价格波动幅度之间成正比关 系。换言之，到期时间越长，价格波动幅 度越大；反之，到期时间越短，价格波动 幅度越小。或债券价格的折扣或升水随着 到期日的临近而减少，债券的价格日益接 近面值。
• MD=－(dP/dy)×[(1+y)/p] =－(dP/P)/[dy/(1+y)] =－(dP/P)/[d(1+y)/(1+y)]
（二）久期与风险管理
• 资产免疫管理是指通过适当的方式，来 避免利率的非预期波动对资产价值的影 响。
• 根据久期的定义 dP/P=－Ddy 则， Var(dP/P)=Var(－Ddy)=D2Var(dy) 波动率即标准差为 Vol(dP/P)=DVol(dy)
• 所以，收益率下降导致的债券价格上升幅度大于 收益率上升导致的债券价格下降幅度。
定理5
• 对于给定的收益率变动幅度，债券的 息票率与债券价格的波动幅度之间成 反比关系。换言之，息票率越高，债 券价格的波动幅度越小。
• 例：某5年期的债券C，面值为1000美元，息 票率为7％。另一5年期的债券D，面值为 1000美元，息票率为9％。
定理3
• 随着债券到期时间的临近，债券价格 的波动幅度见效，并且是以递增的速 度减小；反之，到期时间长，债券价 格波动幅度增大，并且是以递增的速 度增大
• 例：某5年期的债券B，面值为1000美元，每年 支付利息60美元，即息票率为6％。
• 如果它的发行价格低于面值，为883.31美元， 意味着收益率为9％，高于息票率；
• 即在收益率的微小变动下，债券价格变 化率的标准差是收益率标准差的D倍。
1．资产组合的久期
• （1）定义
• 对于单个资产，久期这个概念并不是很重要，因 为他的现金流比较清晰。但作为价格风险的度量 对于一个资产组合来说，其优越性就显现出来了。
• 一个资产组合的久期的标准定义为：资产组合的 久期等于组成资产组合的各个资产的久期的加权 平均。
如果债券具有相同的收益率 y,则
dP＝dN1B1＋dN2B2＝N1dB1＋N2dB2 dP/dy=N1(dB1/dy)＋N2(dB2/dy)＝N1B1(－1/B1)×(dB1/dy)＋N2B2(－1/B2)×(dB2/dy) (－1/P)dP/dy=(N1B1/P)×(－1/B1×dB1/dy)＋(N2B2/P)×(－1/B2×dB2/dy) 即：Dp=(N1B1/P)×DB1＋(N2B2/P)×DB2
• 902.81＝ 60/(1+0.09)+...+60/(1+0.09)4+1000/(1+0.09)4
• 说明在维持收益率不变的条件下，随 着债券到期时间的临近，债券价格的 波动幅度从116.69美元（1000－ 883.31）减小到97.119（1000－ 902.81）美元，两者的差额为19.5美 元，占面值的1.95％
D (11 y/2 )[kN 1(1 tk (c y//2 2 ))k(1y tN /2 )N]/P
• 在不考虑1/(1+y/2)的条件下，久期可以这样来理 解：久期是现金流到达时间tk的加权平均，权数 是单位现金流的现值。
• 例：一个10年期，面值为100，息票率为6％的债 券，每年付息一次，投资者要求的收益率也是6 ％，即它是一个平价债券，计算它的久期。
一、债券定价原理
• 1962年，麦尔奇(Malkiel)最早提出 • 定理1
债券的价格与债券的收益率成反比 例关系。换句话说，当债券价格上升 时，债券的收益率下降；反之，当债 券价格下降时，债券的收益率上升。
• 例：某5年期的债券A，面值为1000美元， 每年支付利息89美元，即息票率为8％。
• A.如果现在的市场价格等于面值，意味 着它的收益率等于息票率，8％
• （1）如果债券C与债券D 的收益率都是7％
债券C的市场价格：1000美元
1000＝ 70/(1+0.07)+...+70/(1+0.07)5+1000/(1+0.07)5
债券D的市场价格：1082美元
1082＝ 90/(1+0.07)+...+90/(1+0.07)5+1000/(1+0.07)5
• 与资产组合的久期的定义相对应的是资产组合的 收益率。资产组合的收益率定义为：资产组合的 收益率是资产组合的现金流的到期收益率。
（2）推导
• 以两个资产的资产组合为例，资产组 合P由N1份债券B1，N2份债券B2组成， 债券组合、债券的现价仍分别记为P， B1，B2，则资产组合的价格为
• P＝N1B1＋N2B2
• 如果一年后，该债券的收益率仍维持在9％不变， 他的价格为902.81美元，
• 如果两年后，该债券的收益率仍维持在9％不变， 他的价格为924.06美元
• 883.31＝ 60/(1+0.09)+...+60/(1+0.09)5+1000/(1+0.09)5
• 902.81＝ 60/(1+0.09)+...+60/(1+0.09)4+1000/(1+0.09)4
Pk1 01(16 6%)k (1160% 0)10
• D= 7.44
• 如果利率发生变化，投资者对这个债 券的收益率增加0.5％，即Δy＝0.005
• 则ΔP=－7.44×100×0.005＝－3.72
• 价格下降到P+ΔP=100－3.72＝96.28
• 利用久期计算的价格变化相当于泰勒 展开式的一阶近似，所以96.28只是 一个近似值。收益率变化越小，近似 效果越好，反之，效果越差。
• 普通债券的收益率变化与价格变化方 向相反
• 例：假定一个10年期的债券，面值为100， 息票率为8％，在不同的收益率下，债券的 价格如下：
收益率（％） 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00
价格
132.70 123.38 114.87 107.11 100.00 93.49 87.54 82.57 77.06
1
k1(1y/2)k (1y/2)N
• 求价格对收益率的导数：
dP N (1/2)k(c/2) (1/2)N
dy
[
k1
(1y/2)k1
(1y/2)N1]
1
N
[
tk(c/2)
tN
]
(1y/2) k1(1y/2)k (1y/2)N
• 其中tk＝k/2,它是现在离第k个付息日的时间长度
• 久期为：D＝－dP/dy/P