材料力学——第一章 轴向拉伸和压缩

形象表示轴力随截面的变化情况，发现危险面；
材料力学
例题1-1 已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画 出图示杆件的轴力图。 1 B 2 C 3 D A 解：1、计算各段的轴力。
F1 F1 F1
FN kN
1 F2
2
F3 3
F4
AB段 BC段
FN1 FN2
F
F
F
F
d变） 拉伸ε＇<0、 压缩ε’>0 ；

'
d
d
材料力学
2、泊松比 实验证明：


称为泊松比；
注意
（１）由于ε、ε‘总是同时发生，永远反号， 且均由
（２）
s 产生，
故有
＝－
‘
0 FN 1 F1 10kN
x x
F
0 FN 2 F2 F1
FN 2 F1 F2
F2
FN3
10

CD段
F4
25
10 20 10kN Fx 0
FN 3 F4 25kN
2、绘制轴力图。
10
x
材料力学
画轴力图步骤
1、分析外力的个数及其作用点； 2、利用外力的作用点将杆件分段； 3、截面法求任意两个力的作用点之间的轴力； 4、做轴力图； 5、轴力为正的画在水平轴的上方，表示该段杆件发生 拉伸变形
材料力学
例题1-3 起吊钢索如图所示，截面积分别为 A2 4 cm2， A1 3 cm2，
l1 l 2 50 m， P 12 kN， 0.028 N/cm3，
试绘制轴力图，并求
s max
C L2 B L1 A P
材料力学
（1）计算轴力 AB段：取任意截面 x2
N2
C L2 N1 x1
F
lOB
FN 1l 3Fl EA1 2 EA
l BC
Fl 2 EA
lCD
2 Fl EA
3、总变形
3 Fl ( Fl ) 2 Fl 3Fl l E( 2 A ) E( 2 A ) EA EA
材料力学
三、横向变形、泊松比
1、横向线应变 F 纵向变形的同时，横 向尺寸也发生变化。 横向的绝对变形
杆为1杆，水平杆为2杆）用截面法取 节点B为研究对象
B
C
2
Fx 0 F
y
FN 1 cos 45 FN 2 0 FN 1 sin 45 F 0
FN 2 20kN
FN 1
y
F
0
FN 2 45° B
F
FN 1 28.3kN
x
材料力学
A 1
45°
FN 1 28.3kN
12.98KN C L2 B L1 12KN N A P
NB sB 41.4 MPa A1
NC sC A2
36.8 MPa
s max 41.4 MPa
材料力学
§1-4 轴向拉伸和压缩时的变形
轴向尺寸变化
横向尺寸变化
材料力学
一、轴向伸长（纵向变形）
F
F
F
F
纵向的绝对变形
l l1 l
拉压变形虎克定律的适用范围
1、材料在线弹性范围，即 2、在长度
s sp
、材料的弹性模量 E
l
内，轴力 FN
、杆件的横截面面积A 均为常量； 3、当以上参数沿杆轴线分段变化时，则应分段计算变形， 然后求代数和得总变形，即： n F l
l
i 1
Ni i
4、当轴力
FN
、杆件的横截面面积A
E i Ai
还必须用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。
材料力学
§1-3 应力· 拉(压)杆内的应力
Ⅰ.应力的概念 受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积ΔA上分布
F ，其方向和大小一般 A
内力的平均集度即平均应力， p
m
而言，随所取ΔA的大小而不同。
材料力学
该截面上M点处分布内力的集度为 p lim
材料力学
画轴力图注意事项
1、两个力的作用点之间轴力为常量； 2、轴力只随外力的变化而变化； 与材料变化，截面变化均无关； 3、只有沿轴线方向的外力才产生轴力； 4、x轴永远与轴线平行，且用外力的作用点将x轴分段； 5、每一次求内力时必须严格用截面法； 且在整个杆件上分二留一；
材料力学
材料力学
２、图示结构中，AB为钢材，BC为铝，在P力作用 下 。 A：AB段轴力大
材料力学
Ⅱ.拉(压)杆横截面上的应力
FN s d A
A
(1) 与轴力相应的只可能是正应力s，与切应力无关； (2) s在横截面上的变化规律横截面上各点处s 相等时 可组成通过横截面形心的法向分布内力的合力——轴力FN； 横截面上各点处s 不相等时，特定条件下也可组成轴力FN。
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第二章 轴向拉伸和压缩
材料力学
3、 确定节点A的新位置 在节点点A处拆开 各自自由伸缩； 该伸长的伸长，该缩短的缩短；
分别以B、C为圆心，变形后杆长为半径作弧 ，
两弧线的交点为节点A的新位置 。
l AB 1mm
lBC 0.6 mm
A’
材料力学
4、节点A的位移（以切代弧） 小变形条件下: 在变形后杆件的端点作杆件轴线 的垂线，两垂线的交点A’’近似代 替变形后节点的新位置A’
是材料的力学性能 总是 0.5
对于大多数金属材料
0.25 0.35
材料力学
讨论
1、当杆件内 s max s p 时，

保持为一常数；
2、 各向同性材料的
0 0.5
3、各向同性材料；ε与ε‘恒为异号； 4、泊松比
表示某一方向伸长，
另外两个相互垂直方向上的收缩； 收缩比例随材料而变化。
FN 2 20kN
2、计算各杆件的应力。
B
C
2
FN 1
y
F
FN 1 28.3 103 s1 A1 20 2 10 6 4 90 106 Pa 90MPa
FN 2 45° B
F
x
FN 2 20 103 s2 2 6 A2 15 10 89 106 Pa 89MPa
响”。
材料力学
FN s A
该式为横截面上的正应力σ计 算公式。正应力σ和轴力FN同号。 即拉应力为正，压应力为负。
材料力学
材料力学
例题1-2 图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知 F=20kN； 斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15×15的 方截面杆。 A
1
45°
解：1、计算各杆件的轴力。（设斜
沿杆轴线连续变化时，取积分运算：
FN x dx l EA x 0
l
材料力学
例1-4：已知：OB段、BC段、CD段长度均为l
OC段横截面面积为2A，CD段横截面面积为A 计算杆件的总变形。
O B C D
4F
3F
2F
材料力学
1、杆件的内力图
O 4F
B
3F
C
D
2F
FN
3F
2F
2、计算各段变形
y
F F
x
0
FN1 cos FN 2 0
FN 1
FN 2
300
y
A
x
2、根据胡克定律计算杆的变形。 斜杆伸长
FN 1l1 20 103 2 F l1 1103 m 1mm 水平杆缩短 E1 A1 200 109 200 106 FN 2l2 17.32 103 1.732 l2 0.6 10 3 m 0.6mm E2 A2 200 109 250 10 6
x1 0 N A P 12KN
x1 l1 N B P A1l1 12.42KN
x2 0
x2 l2
N B P A1l1 A2 x2 12.42KN
P
NC P A1l1 A2l2 12.98KN
材料力学
（3）作轴力图
（4）应力计算
面上各点处的正应力s 都相等。
FN 4. 等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式 s 。 A
材料力学
注意： 1. 上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些 特定杆件,例如锲形变截面杆，受拉伸(压缩)时，平截面假
设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。
2. 即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面上的应 力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。 3. 圣维南(Saint-Venant)原理：“力作用于杆端方式的不 同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影
AA1 l1 1mm AA2 l2 0.6mm x l2 0.6mm A1 l1 l2 y AA3 A3 A4 sin 30 tan 30 2 1.039 3.039mm
B：BC段轴力大
C：轴力一样大
A B C
P
材料力学
3、作下列各杆件的轴力图
60KN 30KN
50KN
30KN
50KN
40KN
材料力学
10KN
30KN
90KN
20KN
50KN
20KN
P
P
2P
P 2P 2P
P
2P
P
材料力学
已知轴力的大小，是否就可以判定构件是否发生破坏？ 如果轴力很大，而杆件的横截面面积也很大，杆件是 否一定发生破坏？ 如果轴力很小，而杆件的横截面面积也很小，杆件是 否一定不发生破坏？ 不能只根据轴力就判断杆件是否有足够的强度；
特点：
作用在杆件上的外力合力的作用线与 杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸 长或缩短。
杆的受力简图为
拉伸
F F F
压缩
F
材料力学
材料力学
§1-2 轴力和轴力图
m F m F FN FN F
1、轴力：横截面上的内力
F 2、截面法求轴力
切: 假想沿m-m横截面将杆切开
留: 留下左半段或右半段
代: 将抛掉部分对留下部分的作 用用内力代替 平: 对留下部分写平衡方程求出 内力即轴力的值
材料力学
材料力学
材料力学
例题1-5 AB长2m, 面积为200mm2。AC面积为250mm2。E=200GPa。 F=10kN。试求节点A的位移。 解：1、计算轴力。（设斜杆为1杆，水 平杆为2杆）取节点A为研究对象
0 FN 1 sin F 0 FN1 F / sin 2F 20kN FN 2 FN1 cos 3F 17.32kN
A0
F dF ，其 A dA
方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为总应力。
材料力学
某一截面上法向分 法向分量 总应力 p 切向分量 应力量纲：ML-1T-2 应力单位：Pa(1 Pa = 1 N/m2，1 MPa = 106 Pa)。 切应力t 正应力s
布内力在某一点处
的集度 某一截面上切向分 布内力在某一点处 的集度
⊿L不反映构件的变形程度
纵向的相对变形（纵向线应变）
l l
拉伸时ε〉0 、
压缩时ε <0。
材料力学
二、拉压变形的虎克定律
线弹性范围内
s E
FN s A

l
l
FN l l （拉压变形的虎克定律） EA
EA： 杆件的抗拉(压)刚度
内力 杆件长度 l 抗变形刚度
材料力学
N 1 P A1 x1
B
L1
0 x1 l1
BC段：取任意截面
L1
P
P
A
P
N 2 P A1l1 A2 x2
0 x2 l2
材料力学
N 1 P A1 x1
C
L2 B L1 A
N 2 P A1l1 A2 x2
（2）计算控制截面的轴力
材料力学
第一章
§1－1 §1－2 §1－3 概
轴向拉伸与压缩
述
轴力和轴力图 截面上的应力
§1－4
§1－5 §1－6 §1－7
拉、压杆的变形 胡克定律
材料拉伸、压缩时的力学性质 拉、压杆的强度计算 拉、压超静定问题
§1－8
应力集中的概念
材料力学
§1-1
概述
§2-1
材料力学
材料力学
材料力学
材料力学
F
x
0 FN F 0 FN F
§2-2
材料力学
m F
m
F FN FN
由于外力的作用线与 杆件的轴线重合，内力的 F 作用线也与杆件的轴线重 合。所以称为轴力。 3、轴力正负号：拉为正、 F 压为负
F
§2-2
x
0 FN F 0 FN F
4、轴力图：轴力沿杆件轴 线的变化
为此： 1. 观察等直杆表面上相邻两条横向线在杆受拉(压)后 的相对位移：两横向线仍为直线，仍相互平行，且仍垂直 于杆的轴线。 2. 设想横向线为杆的横截面与杆的表面的交线。平 截面假设——原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对 于拉(压)杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。
材料力学
3. 推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段 的伸长(缩短)变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设 进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横截