(五年高考真题)2018届高考数学复习 第二章 第二节 函数的基本性质 理(全国通用)

第二节 函数的基本性质

考点一 函数的单调性

1.(2015·天津，7)已知定义在R 上的函数f (x )＝2

|x －m |

－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝

f (lo

g 0.53)，b ＝(log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )

A.a ＜b ＜c

B.a ＜c ＜b

C.c ＜a ＜b

D.c ＜b ＜a

解析 因为函数f (x )＝2

|x －m |

－1为偶函数可知，m ＝0，

所以f (x )＝2|x |

－1，当x ＞0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23，∴log 25＞|－log 0.53|＞0，

∴b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )，故选C. 答案 C

2.(2017·北京，2)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A.y ＝x ＋1 B.y ＝(x －1)2

C.y ＝2－x

D.y ＝log 0.5(x ＋1)

解析 显然y ＝x ＋1是(0，＋∞)上的增函数；y ＝(x －1)2

在(0，1)上是减函数，在(1，

＋∞)上是增函数；y ＝2－x

＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x

在x ∈R 上是减函数；y ＝log 0.5(x ＋1)在 (－ 1，＋∞)上是减函数.故选A. 答案 A

3.(2017·陕西，7)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A.f (x )＝x 1

2

B.f (x )＝x 3

C.f (x )＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x

D.f (x )＝3x

解析 根据各选项知，选项C 、D 中的指数函数满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y ).又f (x )＝3

x

是增函数，所以D 正确. 答案 D

4.(2017·山东，5)已知实数x ，y 满足a x

(0

1x 2

＋1>1

y 2＋1

B.ln(x 2＋1)>ln(y 2

＋1) C.sin x >sin y

D.x 3

>y 3

解析 根据指数函数的性质得x >y ，此时x 2

，y 2

的大小不确定，故选项A 、B 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，

选项D 中的不等式恒成立. 答案 D

5.(2012·广东，4)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A.y ＝ln(x ＋2)

B.y ＝－x ＋1

C.y ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x

D.y ＝x ＋1

x

解析 函数y ＝ln(x ＋2)在(－2，＋∞)上是增函数；函数y ＝－x ＋1在[－1，＋∞)上是减函数；函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x

在(0，＋∞)上是减函数，函数y ＝x ＋1x 在(0，1)上是减函数，在

(1，＋∞)上是增函数.综上可得在(0，＋∞)上是增函数的是y ＝ln(x ＋2)，故选A. 答案 A

6.(2012·陕西，2)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A.y ＝x ＋1

B.y ＝－x 3

C.y ＝1

x

D.y ＝x |x |

解析 对于A ，注意到函数y ＝x ＋1不是奇函数；对于B ，注意到函数y ＝

－x 3

是在R 上的减函数；对于C ，注意到函数y ＝1x

在其定义域上不是增函数；对于D ，注

意到－x ·|－x |＋x |x |＝0，即函数y ＝x |x |是奇函数，且当x ≥0时，y ＝x |x |＝x 2

是增函数，因此函数y ＝x |x |既是奇函数又是R 上的增函数，选D. 答案 D

7.(2012·浙江，9)设a >0，b >0( ) A.若2a ＋2a ＝2b

＋3b ，则a >b B.若2a ＋2a ＝2b

＋3b ，则a

－3b ，则a >b D.若2a －2a ＝2b

－3b ，则a

解析 函数y ＝2x ＋2x 为单调递增函数，由题意可知2a ＋3a >2a ＋2a ＝2b

＋3b ，∴a >b . 答案 A

8.(2011·新课标全国，2)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A.y ＝x 3

B.y ＝|x |＋1

C.y ＝－x 2＋1

D.y ＝2

－|x |

解析 A 中y ＝x 3

是奇函数，不满足题意；由y ＝|x |＋1的图象可

知B 满足题意；C 中y ＝－x 2

＋1在(0，＋∞)上为减函数，故不 满足题意；D 中y ＝2－|x |

在(0，＋∞)上为减函数，故不满足题意.

故选B. 答案 B

9.(2017·新课标全国Ⅱ，15)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若

f (x －1)>0，则x 的取值范围是________.

解析 由题可知，当－20.f (x －1)的图象是由f (x )的图象向右平移1个单位长度得到的，若f (x －1)>0，则－1

考点二 函数的奇偶性与周期性

1.(2015·福建，2)下列函数为奇函数的是( ) A.y ＝x B.y ＝|sin x | C.y ＝cos x

D.y ＝e x

－e －x

解析 由奇函数定义易知y ＝e x

－e －x

为奇函数，故选D. 答案 D

2.(2015·广东，3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A.y ＝x ＋e x

B.y ＝x ＋1

x

C.y ＝2x

＋12

x

D.y ＝1＋x 2

解析 令f (x )＝x ＋e x

，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e －1

，即f (－1)≠f (1)，

f (－1)≠－f (1)，所以y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而B 、C 、D 依次是奇函数、

偶函数、偶函数，故选A. 答案 A

3.(2015·安徽，2)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A.y ＝cos x B.y ＝sin x C.y ＝ln x

D.y ＝x 2

＋1

解析 由于y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 是非奇非偶函数；y ＝x 2

＋1是偶函数但没有零点；只有y ＝cos x 是偶函数又有零点. 答案 A

4.(2017·湖南，3)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3

＋x 2

＋1，则f (1)＋g (1)＝( ) A.－3

B.－1

C.1

D.3

解析 用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3

＋(－x )2

＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3

＋x 2

＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C. 答案 C

5.(2017·新课标全国Ⅰ，3)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )