走向高考8-2

第八章第二讲
一、选择题 1．(2009·泰州模拟)“月球勘探者号”空间探测器运用高科技手段对月球进行了近距离勘探，在月球重力分布、磁场分布及元素测定方面取得了新的成果．月球上的磁场极其微弱，通过探测器拍摄电子在月球磁场中的运动轨迹，可分析月球磁场的强弱分布情况，如图是探测器通过月球表面①、②、③、④四个位置时，拍摄到的电子运动轨迹照片(尺寸比例相同)，设电子速率相同，且与磁场方向垂直，则可知磁场从强到弱的位置排列正确的是 ( )
A ．①②③④
B ．①④②③
C ．④③②①
D ．③④②① [答案] A
[解析] 由图可知带电粒子做圆周运动的半径r 1<r 2<r 3<r 4，根据带电粒子在匀强磁场中
轨道半径公式r ＝m v
qB
可得：B 1>B 2>B 3>B 4，故选项A 正确．
2．(2009·南通模拟)在赤道处，将一小球向东水平抛出，落地点为a ；给小球带上电荷后，仍以原来的速度抛出，考虑地磁场的影响，下列说法正确的是 ( )
A ．无论小球带何种电荷，小球仍会落在a 点
B ．无论小球带何种电荷，小球下落时间都会延长
C ．若小球带负电荷，小球会落在更远的b 点
D ．若小球带正电荷，小球会落在更远的b 点 [答案] D
[解析] 从南向北观察小球的运动轨迹如图所示，如果小球带正电荷，则洛伦兹力斜向右上，该洛伦兹力竖直向上和水平向右均有分力，因此，小球落地时间会变长，水平位移会变大；同理，若小球带负电，则小球落地时间会变短，水平位移会变短，故选项D 正确．
3．真空中两根长直金属导线平行放置，其中一根导线中通有恒定电流．在两导线所确定的平面内，一电子从P 点运动的轨迹的一部分如图中的曲线PQ 所示，则一定是( )
A ．ab 导线中通有从a 到b 方向的电流
B ．ab 导线中通有从b 到a 方向的电流
C ．cd 导线中通有从c 到d 方向的电流
D ．cd 导线中通有从d 到c 方向的电流 [答案] C
[解析] 注意观察图象的细节，靠近导线cd 处，电子的偏转程度大，说明靠近cd 处运
动的半径小，洛伦兹力提供电子偏转的向心力，Bq v ＝m v 2r ，B ＝m v
qr
.由于电子速率不变，偏
转半径变小，说明B 变强，一定是cd 导线中通有电流，再由左手定则判出安培力的大致方向是偏向左方．最后利用安培定则判断出cd 中电流方向应由c 到d ，所以正确答案是C.
4．如图，在x >0、y >0的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy 平
面向里，大小为B .现有一质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，在x 轴上到原点的距离为x 0的P 点，以平行于y 轴的初速度射入此磁场，在磁场作用下沿垂直于y 轴的方向射出此磁场．不计重力的影响．由这些条件可知 ( )
A ．不能确定粒子通过y 轴时的位置
B ．不能确定粒子速度的大小
C ．不能确定粒子在磁场中运动所经历的时间
D ．以上三个判断都不对 [答案] D
[解析] 带电粒子以平行于y 轴的初速度射入此磁场，在磁场作用下沿垂直于y 轴的方
向射出此磁场，故粒子在磁场中运动了14周期，从y 轴上距O 为x 0处射出，v ＝qBx 0
m
，回旋
角为90°.
5．如图所示，MN 为两个匀强磁场的分界面，两磁场的磁感应强度大小的关系为B 1＝2B 2，一带电荷量为＋q 、质量为m 的粒子从O 点垂直MN 进入磁感应强度为B 1的磁场，则经过多长时间它将向下再一次通过O 点 ( )
A.2πm
qB 1
B.2πm qB 2
C.2πm q (B 1＋B 2)
D.πm q (B 1＋B 2)
[答案] B
[解析] 粒子在磁场中的运动轨迹如右图所示．由周期公式T ＝
2πm
qB
知，粒子从O 点进入磁场到再一次通过O 点的时间t ＝2πm qB 1＋πm qB 2＝2πm
qB 2
，
所以B 选项正确．
6．(2009·福建泉州质检)如图是某粒子速度选择器的示意图．在一半径为R ＝10cm 的圆
柱形桶内有B ＝10－
4T 的匀强磁场，方向平行于轴线，在圆柱桶某一直径的两端开有小孔，作为入射孔和出射孔．粒子束以不同角度入射，最后有不同速度的粒子束射出．现有一粒子
源发射比荷为q
m
＝2×1011C/kg 的阳离子，粒子束中速度分布连续．当角θ＝45°时，出射粒
子速度v 的大小是 ( )
A.2×106
m/s B ．22×106
m/s C ．22×108m/s D ．42×106m/s
[答案] B
[解析] 由题意，粒子从入射孔以45°角射入匀强磁场，粒子在匀强磁场中做匀速圆周
运动．能够从出射孔射出的粒子刚好在磁场中运动1
4
周期，由几何关系知r ＝2R ，
又r ＝m v qB ，v ＝qBr
m
＝22×106m/s.
7．如图所示，长为L 的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B ，板间距离也为L ，板不带电．现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是
( )
A ．使粒子的速度v <BqL
4m
B ．使粒子的速度v >5BqL
4m
C ．使粒子的速度v >BqL
m
D ．使粒子的速度BqL 4m <v <5BqL
4m
[答案] AB
[解析] 由左手定则判得粒子在磁场中间向上偏，做匀速圆周运动．很明显，圆周运动的半径大于某值r 1时粒子可以从极板右边穿出，而半径小于某值r 2时粒子可从极板的左边穿出
现在问题归结为求粒子能从右边穿出时r 的最小值r 1以及粒子从左边穿出时r 的最大值r 2.在图中由几何知识得，粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O 点，有
r 21＝L 2
＋(r 1－L 2)2，得r 1＝5L 4
. 由于r 1＝m v 1Bq ，得v 1＝5BqL
4m ，
所以v >5BqL
4m
时粒子能从右边穿出．
粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O ′点，有r 2＝L
4
，
由r 2＝m v 2Bq ，得v 2＝BqL 4m ，
所以v <BqL
4m
时粒子能从左边穿出．
8．(2010·吉林市统考)摆线是数学中众多迷人曲线之一，它是这样定义的：一个圆沿一直线无滑动地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线．在竖直平面内有xOy 坐标系，空间存在垂直xOy 平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，一质量为m ，电荷量为＋q 的小球从坐标原点由静止释放，小球的轨迹就是摆线．小球在O 点速度为0时，可以分解为一水平向右的速度v 0和一水平向左的速度v 0两个分速度，如果v 0取适当的值，就可以把摆线分解成以v 0的速度向右做匀速直线运动和从O 点向左速度为v 0的匀速圆周运动两个分运动．设重力加速度为g ，下列式子正确的是 ( )
A ．速度v 0所取的适当值应为mg
qB
B ．经过t ＝πm
qB
第一次到达摆线最低点
C ．最低点的y 轴坐标为y ＝－2m 2g
q 2B 2
D ．最低点的y 轴坐标为y ＝－m 2g
q 2B
2
[答案] ABC
[解析] 以匀速直线运动分析，应有mg ＝q v 0B ，则速度v 0所取的适当值应为v 0＝
mg qB
，选项A 正确；以匀速圆周运动分析，经过12周期到达最低点，则t ＝T 2＝πm qB ，经过t ＝πm
qB
第一
次到达摆线最低点，选项B 正确；最低点的y 轴坐标为y ＝－2R ＝－2m v 0qB ＝－2m 2
g
q 2B
2，选项C
正确；选项D 错误．
二、非选择题
9．如图MN 表示垂直纸面的平板，它的一侧有匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B .一带电粒子从平板上的狭缝O 处以垂直于平板的初速度v 射入磁场区域，最后到达平板上的P 点．已知B 、v 以及P 到O 的距离l .不计重力，则此粒子的比荷为________．
[答案] 2v
Bl
[解析] 因粒子经O 点时的速度垂直于OP ，故OP ＝2R ，
又R ＝m v qB ，所以q m ＝2v Bl
.
10．如图所示，直线MN 上方有磁感应强度为B 的匀强磁场．正、负电子同时从同一点O 以与MN 成30°角的同样速度v 射入磁场(电子质量为m ，电荷为e )，它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？
[答案]
2m v eB 4πB
3eB
[解析] 由公式轨道半径R ＝
m v qB 和周期T ＝2πm qB
知，它们的半径和周期是相同的．只是偏转方向相反．先确定圆心，画轨迹，后由几何关系求半径，由对称性知：射入、射出点和
圆心恰好组成正三角形．所以两个射出点相距2R ＝2m v
eB
.
由图还可看出，经历时间相差2T 3＝4πm
3eB
.
11．一匀强磁场，磁场方向垂直于xOy 平面．在xOy 平面上，磁场分布在以O 为圆心的一个圆形区域内．一个质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，由原点O 开始运动，初速度为v ，方向沿x 轴正方向．后来，粒子经过y 轴上的P 点，此时速度方向与y 轴的夹角为30°，P 点到O 点的距离为L ，如图所示．不计重力的影响，求磁场的磁感应强度B 的大小和xOy 平面上磁场区域的半径R .
[答案]
3m v qL 3
3
L [解析] 粒子在磁场中受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动，设其半径为r ， q v B ＝m v 2r
① 据此并由题意知，粒子在磁场中的轨迹的圆心C 必在y 轴上，且P 点在磁场区域之外．过P 沿速度方向作反向延长线，它与x 轴相交于Q 点．作圆弧过O 点与x 轴相切，并且与PQ 相切，切点A 即粒子离开磁场区域的点．这样可得到圆弧轨迹的圆心C ，如图所示．
由图中几何关系得L ＝3r .②
由①②求得，B ＝3m v
qL
.③
图中OA 即为圆形磁场区域的半径R ，由几何关系得R ＝
33
L . 12．(2010·天津市高三十校联考)如图所示，在空间中固定放置一绝缘材料制成的边长为
L 的刚性等边三角形框架△DEF ，DE 边上S 点⎝
⎛⎭⎫DS ＝L
4处有一发射带正电的粒子源，发射粒子的方向皆在图中截面内且垂直于DE 边向下．发射的电荷量皆为q ，质量皆为m ，但速度v 有各种不同的值．整个空间充满磁感应强度大小为B ，方向垂直截面向里的均匀磁场．设粒子与△DEF 边框碰撞时没有能量损失和电荷量传递．求：
(1)带电粒子速度的大小为v 时，做匀速圆周运动的半径； (2)带电粒子速度v 的大小满足什么条件时，可使S 点发出的粒子最终又垂直于DE 边回到S 点？
(3)这些粒子中，回到S 点所用的最短时间是多少？
[答案] (1)m v qB (2)qBL 4(2n －1)m
(n ＝0,1,2,3，…) (3)8πm
qB
[解析] (1)带电粒子从S 点垂直于DE 边以速度v 射出后，做匀速圆周运动，其圆心一
定位于DE 边上，其半径R 可由q v B ＝m v 2R 求得，R ＝m v
qB
①
(2)要求此粒子每次与△DEF 的三条边碰撞时都与边垂直，且能回到S 点，则R 和v 应满足以下条件：
DS ＝L
4
＝(2n －1)R (n ＝1,2,3，…)②
由①②得v ＝qBL
4(2n －1)m
(n ＝1,2,3，…)③
(3)这些粒子在磁场中做圆周运动的周期为
T ＝2πR v 将①式代入，得T ＝2πm qB
④
可见在B 及q
m
给定时T 与v 无关．粒子从S 点出发最后回到S 点的过程中，与△DEF
的边碰撞次数越少，所经历的时间就越短，所以应取n ＝1，由图可看出该粒子的轨迹包括3个半圆和3个圆心角为300°的圆弧，故最短时间为
t ＝3×T 2＋3×5T 6＝4T ＝8πm qB ⑤
13．如图所示，在空间有一坐标系xOy ，其第一象限内充满着两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，直线OP 是它们的边界．区域Ⅰ中的磁感应强度为B ，方向垂直于纸面向外；区域Ⅱ中的磁感应强度为2B ，方向垂直于纸面向内，边界上的P 点坐标为(4L,3L )．一质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子从P 点平行于y 轴负方向射入区域Ⅰ，经过一段时间后，粒子恰好经过原点O .忽略粒子重力，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：
(1)粒子从P 点运动到O 点的时间至少为多少？ (2)粒子的速度大小可能是多少？
[答案] (1)53πm 60qB (2)25qBL
12nm
(n ＝1,2,3，…)
[解析] (1)设粒子的入射速度为v ，用R 1、R 2、T 1、T 2分别表示粒子在磁场Ⅰ区和Ⅱ区中运动的轨道半径和周期，则有
q v B ＝m v 2R 1，q v ·2B ＝m v 2
R 2，
T 1＝2πR 1v ＝2πm qB ，T 2＝2πR 2v ＝πm qB
.
粒子先在磁场Ⅰ区中做顺时针的圆周运动，后在磁场Ⅱ区中做逆时针的圆周运动，然后从O 点射出，这样粒子从P 点运动到O 点所用的时间最短．
粒子运动轨迹如图所示
tan α＝3L
4L ＝0.75，
得α＝37°，α＋β＝90°.
粒子在磁场Ⅰ区和Ⅱ区中的运动时间分别为
t 1＝2β360°·T 1，t 2＝2β360°·T 2
，
粒子从P 点运动到O 点的时间至少为t ＝t 1＋t 2，
由以上各式解得t ＝53πm
60qB
.
(2)当粒子的速度大小满足一定条件时，粒子先在磁场Ⅰ区中运动，后在磁场Ⅱ区中运动，然后又重复前面的运动，直到经过原点O .这样粒子经过n 个周期性的运动到达O 点，每个周期的运动情况相同，粒子在一个周期内的位移为
s ＝OP
n ＝(4L )2＋(3L )2n ＝5L n
(n ＝1,2,3，…)．
粒子每次在磁场Ⅰ区中运动的位移为s 1＝R 1R 1＋R 2s ＝2
3
s ，
由图中的几何关系可知 s 12
R 1
＝cos α，
由以上各式解得粒子的速度大小为 v ＝25qBL 12nm
(n ＝1,2,3，…)．。