2018年春湘教版九年级数学下2.5.3切线长定理ppt公开课优质教学课件
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6 3 ________cm.
7.如图，PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，
在弧AB上任取一点C，过点C作☉O的切线，分别交PA、
PB于点D、E.已知PA=7，∠P=40°.则
⑴ △PDE的周长是 ⑵ ∠DOE= ____ .
；
P
D
C
A
O
解析：连接OA、OB、OC、OD和OE.
E
∵PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，
切线长问题辅助线添加方法 （1）分别连接圆心和切点； （2）连接两切点； （3）连接圆心和圆外一点.
来自百度文库
例2 如图，菱形ABCD的边长为10，圆O分别与AB、 AD相切于E、F两点，且与BG相切于G点．若AO=5， 且圆O的半径为3，则BG的长度为何？（ A．4 B．5 C．6 D．7 ）
解析：连接OE， ∵⊙O与AB相切于E，∴∠AEO=90°， ∵AO=5，OE=3，
A
.
O
B 第 1题
P
3.PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3. （1）若AP=4,则OP= 5 ;
（2）若∠BPA=60 °,则OP=6
.
A P
O B
4.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点
C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是
20 ________ 度．
A
P
B
PA = PB ∠OPA=∠OPB
注意 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新
的方法.
典例精析
例1 如图，AD是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA 和CB是⊙O的切线，A和B是切点，连接BD. 求证：CO∥BD. 分析：连接AB，因为AD为直径， 那么∠ABD＝90°即BD⊥AB.因此 要证CO∥BD，只要证CO⊥AB即可.
提供了证线段和 角相等的新方法 ① 分别连接圆心和切点； ② 连接两切点； ③ 连接圆心和圆外一点.
切线长 定 理
作用
辅助线
课后作业
见本课时练习
1 ∴∠DOC=∠DOA= ∠AOC. 2 P 1 同理可得∠COE= ∠COB. 2 1 ∠DOE=∠DOC+∠COE= 2（∠AOC+
D C E
A O B
∠COB）=70°.
课堂小结
切线长
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点 之间的线段的长. 内容
过圆外一点所画的圆的两条切线长 相等，圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角.
AE AO2 OE 2 4,
∵AB=10，∴BE=6， ∵BG与⊙O相切于G， ∴BG=BE=6， 故选C．
当堂练习
1.PA、PB是☉O的两条切线，A、
B为切点，直线OP交☉O于点D、 A
E，交AB于C. （1）写出图中所有的垂直关系；
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP. （2）写出图中与∠OAC相等的角；
O
A P
B
A O. B 直径所对的圆周 P 角是直角.
讲授新课
一 切线长的定义
1.切线长的定义： 经过圆外一点作圆的 切线，这点和切点之间的 线段的长叫作切线长． 2.切线长与切线的区别在哪里？ ①切线是直线，不能度量. ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是 圆外一点和切点，可以度量．
O A
第2章 圆
2.5 直线与圆的位置关系
2.5.3 切线长定理
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.理解和掌握切线长定理；(重点) 2.初步学会用切线长定理进行计算与证明．(难点)
导入新课
复习引入
问题1 通过前面的学习，我们了解到如何过圆上一 点作已知圆的切线（如左图所示），如果点P是圆外 一点，又怎么作该圆的切线呢？ 问题2 过圆外一点P作圆的切线，可以作几条？请欣 赏小颖同学的作法（如右下图所示）！
P
二 切线长定理
合作探究
在透明纸上画出下图，设PA， PB是圆O的两条切线，A，B是 切点，沿直线OP对折图形，PA 与PB，∠APO与∠BPO分别有 什么关系？
A O B P
PA=PB，∠APO=∠BPO
我们猜测过圆外一点所作的 圆的两条切线长相等，这点 和圆心的连线平分两条切线 的夹角.接下来我们验证这个 猜测.
A O B P
推导与验证 如图，连接OA，OB. ∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90° ∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
O B P A
要点归纳 切线长定理: 过圆外一点引所画的圆 的两条切线，它们的切线长 相等.这一点和圆心的连线 平分这两条切线的夹角. 几何语言: PA、PB分别切☉O于A、B O
证明：连接AB. ∵CA、CB是⊙O的切线，点A、 B是切点, ∴CA＝CB，∠ACO＝∠BCO. ∴CO⊥AB. ∵AD是⊙O的直径, ∴∠ABD＝90°, 即BD⊥AB. ∴CO∥BD.
拓展结论 若连结两切点A、B，AB交OP于点M.可以得到结论： OP垂直平分AB.
B O M P
A
方法归纳
5.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B,
∠P= 50 °，点C是⊙O上异于A、B的点，则
∠ACB= 65 °或115 ° . A O B 第 3题 P
6.如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把
直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放
置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的直径是
E
O C D B
P
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.
（3）写出图中所有的全等三角形； △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP. （4）写出图中所有的等腰三角形.
△ABP
△AOB E
A O C D B P
2.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，
如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO=20 ° ,PB= 4
∴PA=PB=7.∠PAO=∠PBO=90°.
B
∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠P=140°.
又∵DC、DA是☉O的两条切线，点C、A是切点， ∴DC=DA.同理可得CE=EB. l△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14. ∵OA=OC，OD=OD， ∴△AOD≌△COD，
7.如图，PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，
在弧AB上任取一点C，过点C作☉O的切线，分别交PA、
PB于点D、E.已知PA=7，∠P=40°.则
⑴ △PDE的周长是 ⑵ ∠DOE= ____ .
；
P
D
C
A
O
解析：连接OA、OB、OC、OD和OE.
E
∵PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，
切线长问题辅助线添加方法 （1）分别连接圆心和切点； （2）连接两切点； （3）连接圆心和圆外一点.
来自百度文库
例2 如图，菱形ABCD的边长为10，圆O分别与AB、 AD相切于E、F两点，且与BG相切于G点．若AO=5， 且圆O的半径为3，则BG的长度为何？（ A．4 B．5 C．6 D．7 ）
解析：连接OE， ∵⊙O与AB相切于E，∴∠AEO=90°， ∵AO=5，OE=3，
A
.
O
B 第 1题
P
3.PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3. （1）若AP=4,则OP= 5 ;
（2）若∠BPA=60 °,则OP=6
.
A P
O B
4.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点
C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是
20 ________ 度．
A
P
B
PA = PB ∠OPA=∠OPB
注意 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新
的方法.
典例精析
例1 如图，AD是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA 和CB是⊙O的切线，A和B是切点，连接BD. 求证：CO∥BD. 分析：连接AB，因为AD为直径， 那么∠ABD＝90°即BD⊥AB.因此 要证CO∥BD，只要证CO⊥AB即可.
提供了证线段和 角相等的新方法 ① 分别连接圆心和切点； ② 连接两切点； ③ 连接圆心和圆外一点.
切线长 定 理
作用
辅助线
课后作业
见本课时练习
1 ∴∠DOC=∠DOA= ∠AOC. 2 P 1 同理可得∠COE= ∠COB. 2 1 ∠DOE=∠DOC+∠COE= 2（∠AOC+
D C E
A O B
∠COB）=70°.
课堂小结
切线长
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点 之间的线段的长. 内容
过圆外一点所画的圆的两条切线长 相等，圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角.
AE AO2 OE 2 4,
∵AB=10，∴BE=6， ∵BG与⊙O相切于G， ∴BG=BE=6， 故选C．
当堂练习
1.PA、PB是☉O的两条切线，A、
B为切点，直线OP交☉O于点D、 A
E，交AB于C. （1）写出图中所有的垂直关系；
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP. （2）写出图中与∠OAC相等的角；
O
A P
B
A O. B 直径所对的圆周 P 角是直角.
讲授新课
一 切线长的定义
1.切线长的定义： 经过圆外一点作圆的 切线，这点和切点之间的 线段的长叫作切线长． 2.切线长与切线的区别在哪里？ ①切线是直线，不能度量. ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是 圆外一点和切点，可以度量．
O A
第2章 圆
2.5 直线与圆的位置关系
2.5.3 切线长定理
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.理解和掌握切线长定理；(重点) 2.初步学会用切线长定理进行计算与证明．(难点)
导入新课
复习引入
问题1 通过前面的学习，我们了解到如何过圆上一 点作已知圆的切线（如左图所示），如果点P是圆外 一点，又怎么作该圆的切线呢？ 问题2 过圆外一点P作圆的切线，可以作几条？请欣 赏小颖同学的作法（如右下图所示）！
P
二 切线长定理
合作探究
在透明纸上画出下图，设PA， PB是圆O的两条切线，A，B是 切点，沿直线OP对折图形，PA 与PB，∠APO与∠BPO分别有 什么关系？
A O B P
PA=PB，∠APO=∠BPO
我们猜测过圆外一点所作的 圆的两条切线长相等，这点 和圆心的连线平分两条切线 的夹角.接下来我们验证这个 猜测.
A O B P
推导与验证 如图，连接OA，OB. ∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90° ∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
O B P A
要点归纳 切线长定理: 过圆外一点引所画的圆 的两条切线，它们的切线长 相等.这一点和圆心的连线 平分这两条切线的夹角. 几何语言: PA、PB分别切☉O于A、B O
证明：连接AB. ∵CA、CB是⊙O的切线，点A、 B是切点, ∴CA＝CB，∠ACO＝∠BCO. ∴CO⊥AB. ∵AD是⊙O的直径, ∴∠ABD＝90°, 即BD⊥AB. ∴CO∥BD.
拓展结论 若连结两切点A、B，AB交OP于点M.可以得到结论： OP垂直平分AB.
B O M P
A
方法归纳
5.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B,
∠P= 50 °，点C是⊙O上异于A、B的点，则
∠ACB= 65 °或115 ° . A O B 第 3题 P
6.如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把
直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放
置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的直径是
E
O C D B
P
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.
（3）写出图中所有的全等三角形； △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP. （4）写出图中所有的等腰三角形.
△ABP
△AOB E
A O C D B P
2.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，
如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO=20 ° ,PB= 4
∴PA=PB=7.∠PAO=∠PBO=90°.
B
∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠P=140°.
又∵DC、DA是☉O的两条切线，点C、A是切点， ∴DC=DA.同理可得CE=EB. l△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14. ∵OA=OC，OD=OD， ∴△AOD≌△COD，