单调性与最大值最小值

单调性与最大值最小值(一)

【教学目标】

1理解增函数、减函数的概念

2掌握判断某些函数增减性的方法

3渗透数形结合的数学方法

教学重点：函数单调性概念的理解及应用教学难点：函数单调性的判定及证明

【探求新知】

1.观察下列函数图像从左到右升降如何变化的?

_ 2.在上面的四幅函数图象中，有的图象由左至右是上升的；有的图象是下降的；还有的图象有的部分是下降的，有的部分是上升的.函数图象的“上升” “下降”反映了函数的一个基本性质---单调性.

如何描述函数图象的“上升”“下降”呢？以二次函数f(X)=x为例, 列出x，的对应值表：--------------------------------------------------------

x ・・・-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ・・・f(x)=x2・・・16 9 4 1 0 1 4 9 16 ・・・

思考：对比上图和上表，可以发现 在y 轴左侧，当X 增大时f(x) 在y 轴右侧，当X

增大时f(x)

探究1 :有同学这样认为“在(0,畑)上，当X i C X 2时，f(X i ) < f(X 2)

则说明随着X 的增大，相应的f(x)增大”你认为对吗?

探究2:根据以上探究，如何利用数学语言描述f(X)= X 2 “随着X 的增大,相应的 f(x)随着增大”

试一试你能仿照这样的描述说明函数f(x)=x 2在区间(-=0,0］上是减函数吗??

【概念生成】

1. 增函数的概念：

一般地，设函数f(x)的定义域为I :

如果对于定义域I 内某个区间 D 上的

2. 总结归纳

请同学们自己归纳一下减函数的定义。

3探索判断题：

(1定义在［-2,2］上的函数f (X)若f (0)

(2定义在［-2,2］上的函数f (X)满足f (0) >f (1),则函数 增函数()

4.单调区间

如果函数y=f(x)在区间D 上是 _______________ ,那么就说函数y=f(x)在这一区间 具有(严格的)单调性,区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间.

①函数的单调区间只能是其定义域的子集 ②在单调区间上，增函数的图象自左向右看是上升的，减函数的图象自左向右看是 下降的.

都有

那么就说函数f(x)在区间D 上是___函数.

两个自变量的值Xp%当 f(X)在［-2,2］上是增函数

f(X)在［-2,2］上一定不是

【典例分析】

例1.如图是定义在闭区间［-5,5］上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单 调区间，以及在每一个单调区间上,y=f(x)是增函数还是减函数.

I-

j r

i 严 A ■

兰丄“ Is — ■ _______ ■―

i a 3 4 夢

例2物理学中的波意耳定律 定量的气体，当其体积V 减小

时,压强P 将增大.试用函数的单调性 证明之.

思路探究：

(1 )证明依据

(2 )当v ^v 2则需要判定P(vj, p(v 2)的 (3)如何比较p(v i ), p(V 2)的大小

变式练习:

1

证明函数f(x) =1 在区间(0,+ =0)上是单调增函数

变式练习:

求y 二丄的单调区

间

p=k/V(k 为正常数)告述我们，对于 -■.存 11

5 ■3 ■■■

x

试一试：总

结一下根据

定义证明单

调函数的步

骤第一步:

第二步: 第

三步: 第四

步:

【达标检测】

1.y=kx+b是增函数，贝U k的取值范围 _____

2.函数y=f(x)在定义域R上增函数，且满足f(X i)>f(X2),则x i

X2 3.证明f(x)=-2x+1 在R上是减函数。

【课堂小结】

作业布置】

学案P21 第3．8 题