第1节 函数及其表示 (3)

第1节函数及其表示

考试要求 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段).

知识梳理

1.函数与映射的概念

2.函数的定义域、值域

(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

4.分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

[常用结论与微点提醒]

1.函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射.

2.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点.

3.判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致.

4.注意以下几个特殊函数的定义域

(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.

(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.

(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.

(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.

(5)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫x |x ≠k π＋π

2，k ∈Z .

诊 断 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数.( ) (2)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B .( ) (3)f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数.( )

(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( )

解析 (1)错误.函数y ＝1的定义域为R ，而y ＝x 0的定义域为{x |x ≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.

(2)错误.值域C ⊆B ，不一定有C ＝B . (3)错误.f (x )＝x －3＋2－x 中x 不存在.

(4)错误.若两个函数的定义域、对应关系均相同时，才是相等函数. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×

2.(老教材必修1P25B2改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是()

解析A中函数定义域不是[－2，2]；C中图象不表示函数；D中函数值域不是[0，2].

答案 B

3.(新教材必修第一册P66例3改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是()

A.y＝(x＋1)2

B.y＝3x3＋1

C.y＝x2

x＋1 D.y＝x

2＋1

解析对于A，函数y＝(x＋1)2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义

域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应关系分别相同，是相等函数；对于C ，函数y ＝x 2

x ＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域x ∈R 不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数. 答案 B

4.(2020·厦门质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x >0，

2x ，x ≤0，则f (f (1))＝( )

A.0

B.12

C.1

D.2

解析 由题意，知f (1)＝12－2×1＝－1，所以f (f (1))＝f (－1)＝2－1＝1

2. 答案 B

5.(2020·九江联考)函数f (x )＝

1－ln x

2x －2

的定义域是________.

解析 依题意，得⎩⎨⎧1－ln x ≥0，

2x －2≠0，解得0

答案 (0，1)∪(1，e]

6.已知函数f (x )满足f (x )＋2f (－x )＝e x ，则函数f (x )的解析式为________________. 解析 因为f (x )＋2f (－x )＝e x ，①

所以将x 用－x 替换，得f (－x )＋2f (x )＝e －x ，② ①②联立消去f (－x )得3f (x )＝2e －x －e x ， ∴f (x )＝23e －x －1

3e x .

答案 f (x )＝23e －x －1

3e x

考点一 求函数的定义域

【例1】 (1)(2020·安徽江南十校期末检测)函数y ＝－x 2＋2x ＋3

lg （x ＋1）的定义域为

( ) A.(－1，3] B.(－1，0)∪(0，3] C.[－1，3]

D.[－1，0)∪(0，3]

(2)(2020·济南质检)已知函数f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

12x ＋8－2x 的

定义域为( ) A.[0，3]

B.[0，2]

C.[1，2]

D.[1，3]

解析

(1)要使函数有意义，x 需满足⎩⎨⎧

－x 2＋2x ＋3≥0，

x ＋1>0，

x ＋1≠1，

解得－1

所以函数的定义域为(－1，0)∪(0，3]. (2)因为f (x )的定义域为[0，2]，

所以要使g (x )有意义，x 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤12x ≤2，

0≤8－2x ，解得0≤x ≤3.

∴g (x )的定义域为[0，3]. 答案 (1)B (2)A