高中数学竞赛辅导第一讲 集合与抽屉原理

1 Y
2 k 1
＝－2 (K＝0,1，2，……)，
X2K＋
1 2 k ＝2 (K＝1,2，……), Y
故所求代数式的值为0.
例6．一个集合含有10个互不相同的两位数。试证，这个集合必有2个无公共元素 的子集合，此两子集的各数之和相等。
解：已知集合含有10个不同的两位数，因它含有10个元素，故必有210＝1024个 子集，其中非空子集有1023个，每一个子集内各数之和都不超过90＋91＋…98 ＋99＝945<1023， 根据抽屉原理，一定存在2个不同的子集，其元素之和相等。如此2个子集无公共 元素，即交集为空集，则已符合题目要求； 如果这2个子集有公共元素，则划去它们的公共元素即共有的数字，可得两个无 公共元素的非空子集，其所含各数之和相等。
U B X 30-X 33-X X +1 3
A
3 解 赞成A的人数为50× 5 =30，赞成B的人数为30+3=33， 如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A； 赞成事件B的学生全体为集合B x 设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为 +1, 3 赞成A而不赞成B的人数为30－ x ，赞成 B 而不赞成 A 的人数为 33 － x x 依题意(30－x)+(33－x)+x+( +1)=50, Байду номын сангаас 解得x=21 所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人
1 X X X X 1 或 1 1 X X
X
当X＝1时，M＝{1,1，0}，S＝{0,1，1}，这与同一个集合中元素的互异性矛盾，故 X＝1不满足题目要求； 当X＝－1时，M＝{－1,1，0}，S＝{0,1，－1}，M＝S，从而X＝－1满足题目要 求，此时Y＝－1， 于是X2K＋1＋
2 4k 8k 1 0, 2 k 2 k 3 0
例2 向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果 赞成A的人数是全体的 五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对 A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人 问对A、B都 赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
例4．设A＝{X∣X=a2+b2,a、b∈Z}，X1，X2∈A，求证：X1X2∈A。
证明：设X1＝a2+b2，X2=c2+d2，a、b、c、d∈Z, 则X1X2＝(a2+b2)(c2+d2) ＝a2c2+b2d2+b2c2+a2d2 ＝a2c2+2ac· bd+b2d2+b2c2-2bc· ad+a2d2 ＝(ac+bd)2+(bc-ad)2 又a、b、c、d∈Z，故ac+bd、bc-ad∈Z， 从而X1X2∈A
1 例5．已知集合M＝{X，XY，lg(xy)}，S＝{0，∣X∣，Y}，且M＝S，则(X＋ ) Y 1 1
＋(X2＋
Y
2
)＋……＋(X2002＋
Y
2002
)的值等于 ____.
解：由M＝S知，两集合元素完全相同。这样，M中必有一个元素为0，又由对数 的性质知，0和负数没有对数，所以XY≠0，故X，Y均不为零，所以只能有lg(XY) 1 ＝0，从而XY＝1.∴M＝{X，1，0}，S＝{0，∣X∣， }.再由两集合相 等知
第一讲
集合与简易逻辑
例1设A={(x,y)|y2－x－1=0},B={(x,y)|4x2+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是 否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C= ，证明此结论. 解 ∵(A∪B)∩C= ，∴A∩C= 且B∩C= y2 x 1 ∵ y kx b ∴k2x2+(2bk－1)x+b2－1=0 ∵A∩C= ∴Δ1=(2bk－1)2－4k2(b2－1)<0 ∴4k2－4bk+1<0,此不等式有解， 其充要条件是16b2－16>0, 2>1 即 b2 ① ∵ 4 x 2 x 2 y 5 0 y kx b ∴4x2+(2－2k)x+(5+2b)=0 ∵B∩C= ,∴Δ2=(1－k)2－4(5－2b)<0 ∴k2－2k+8b－19<0, △>0从而8b<20, 即 b<2.5 ② 由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得 ∴k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=
例3已知集合A={(x,y)|x2+mx－y+2=0},B={(x,y)|x－y+1=0,且0≤x≤2},如果 A∩B≠ ,求实数m的取值范围
x 2 mx y 2 0 解由 得x2+(m－1)x+1=0 x y 1 0(0 x 2)
①
∵A∩B≠ ∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解 首先，由Δ=(m－1)2－4≥0,得m≥3或m≤－1, 当m≥3时，由x1+x2=－(m－1)＜0及x1x2=1>0知，方程①只有负根， 不符合要求; 当m≤－1时，由x1+x2=－(m－1)>0及x1x2=1>0知，方程①只有正根， 且必有一根在区间(0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0， 2］内 故所求m的取值范围是m≤－1