江苏省江阴市山观高级中学高二数学选修4-2.2《几种常见的平面交换》导学案

§2.2 几种常见的平面变换

学习目标

1. 掌握恒等变换与伸压变换的表示及其几何意义，了解单位矩阵.

2. 恒等变换与伸压变换的规律及其变换矩阵；

3. 理解反射变换的矩阵表示及其几何意义

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一、课前准备 复习1：矩阵的概念

复习2：二阶矩阵与平面列向量的乘法

二、预习思考

通过预习（课本P 12—22）初步掌握恒等变换、伸压变换、反射变换等平面变换. 提炼新知： 1．恒等变换

对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤1

00

1对应的变换，都能把自身变成自身．因此，我们把这

种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵，所实施的对应变换称为恒等变换．我们把矩阵⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1 00 1称

为恒等变换矩阵或单位矩阵，可记为E . 2．伸压变换

矩阵M 1＝⎣

⎢⎢

⎡⎦⎥⎥

⎤

1

00 12把平面上每一个点P 都向x 轴方向垂直压缩为原来的一半，只有x 轴上的点没变； 矩阵M 2＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤2 00

1把平面上每一个点P 都沿x 轴方向伸长为原来的2倍，只有y 轴上的点没变．

像矩阵⎣

⎢⎢

⎡⎦

⎥⎥⎤

1 00 12，⎣⎢⎡⎦

⎥⎤2 00 1这种将平面图形作沿y 轴方向伸长或压缩，或作沿x 轴方向伸长或压缩的变换

矩阵，通常称为沿y 轴或x 轴的垂直伸压变换矩阵，对应变换为垂直伸压变换，简称伸压变换． 3．反射变换

(1)反射变换的概念像⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，⎣⎢

⎡⎦⎥⎤－1

0 0 1，⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－1 0 0 －1这样将一个平面图形F 变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵，我们称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换．关于定直线或定点对称的反射又分别称为轴反射和中心反射，其中定直线称为反射轴，定点称做反射点．

(2)反射变换的分类

与矩阵M1＝

⎣

⎢

⎡

⎦

⎥

⎤

1 0

0－1

对应的变换是关于x轴的轴反射变换．

与矩阵M2＝

⎣

⎢

⎡

⎦

⎥

⎤

－10

0 1

对应的变换是关于y轴的轴反射变换．

与矩阵M3＝

⎣

⎢

⎡

⎦

⎥

⎤

－10

0－1

对应的变换是关于原点的中心反射变换．

与矩阵M4＝⎣⎢

⎡

⎦⎥

⎤

01

10

对应的变换是关于直线y＝x的轴反射变换．

4．线性变换

一般地，二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线，这种把直线变为直线的变换，通常叫做线性变换．

三、知识应用

例1、如图所示，已知曲线y = sin x经过变换T作用后变为新的曲线C，试求变换T对应的矩阵M，以及曲线C的解析表达式.

例2、验证圆C：x2 + y2 = 1在矩阵A = ⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

2

1

对应的伸压变换

下变为一个椭圆，并求此椭圆的方程.

小结：将平面图形F作沿x轴方向的伸压变换，其变换矩阵的一般形式是什么？沿y轴方向的呢？

例3、求出矩形ABCD在矩阵⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

1

6.0

作用下得到的图形，并画出示意图，其中A（-1，0），B

（1，0），C （1，1），D （-1，1）.

例4、求出曲线y =

x （x ≥0）在矩阵⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡-1001

作用下变换得到的曲线.

例5、设a 、b ∈R ，若M = ⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡-b a

1

0所定义的线性变换把直线l ：2x + y – 7 = 0变换成另一直线l ＇：x + y – 3 = 0，求a 、b 的值.

练一练：1、研究直角坐标平面内正方形OBCD 在矩阵M = ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡1001

对应的变换作用下得到的几何图形，其中O （0，0），B （2，0），C （2，2），D （0，2）.

2、考虑以下各向量在矩阵⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡21001

对应的变换作用下的结果，并从几何变换的角度解释所得结果：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡0a ；（2）⎥⎦

⎤⎢⎣⎡b 0.

四、总结提升

检测反馈：

1、求出平行四边形ABCD 在矩阵M = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡31001作用下变换得到的几何图形，并画出示意图，其中A （0，0），B （3，0），C （4，2），D （1，2）.

2、研究函数y = 2cos x 在矩阵M = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡31001

变换作用下的结果.

3、求△OBC 在矩阵M = ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡1002对应的变换作用下的结果，其中O 为原点，B （-1，0），C （0，1）.

4、求出△ABC 在矩阵⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎢

⎣⎡-

212

3232

1作用下变换得到的图形，并画出示意图。其中A （0，0），B （1，3），C （0，2）.

5、二阶矩阵M 对应的变换将(1，-1)与(-2，1)分别变换成(5，7)与(-3，6)．

(1) 求矩阵M ；

(2) 求直线l ：x – y = 4在此变换下所变成的直线l '的解析表达式．

6、研究△ABC ，A （1，1），B （2，3），C （3，-1）在矩阵⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡--212

12121

作用下所得到的图形.

7、直线x + y = 5在矩阵⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡0011

对应的变换作用下变成了什么图形？请作出此图形.