江苏省江阴市山观高级中学高二数学选修4-2.2《几种常见的平面交换》导学案

§2.2 几种常见的平面变换
学习目标
1. 掌握恒等变换与伸压变换的表示及其几何意义，了解单位矩阵.
2. 恒等变换与伸压变换的规律及其变换矩阵；
3. 理解反射变换的矩阵表示及其几何意义
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一、课前准备 复习1：矩阵的概念
复习2：二阶矩阵与平面列向量的乘法
二、预习思考
通过预习（课本P 12—22）初步掌握恒等变换、伸压变换、反射变换等平面变换. 提炼新知： 1．恒等变换
对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤1
00
1对应的变换，都能把自身变成自身．因此，我们把这
种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵，所实施的对应变换称为恒等变换．我们把矩阵⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 00 1称
为恒等变换矩阵或单位矩阵，可记为E . 2．伸压变换
矩阵M 1＝⎣
⎢⎢
⎡⎦⎥⎥
⎤
1
00 12把平面上每一个点P 都向x 轴方向垂直压缩为原来的一半，只有x 轴上的点没变； 矩阵M 2＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2 00
1把平面上每一个点P 都沿x 轴方向伸长为原来的2倍，只有y 轴上的点没变．
像矩阵⎣
⎢⎢
⎡⎦
⎥⎥⎤
1 00 12，⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2 00 1这种将平面图形作沿y 轴方向伸长或压缩，或作沿x 轴方向伸长或压缩的变换
矩阵，通常称为沿y 轴或x 轴的垂直伸压变换矩阵，对应变换为垂直伸压变换，简称伸压变换． 3．反射变换
(1)反射变换的概念像⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，⎣⎢
⎡⎦⎥⎤－1
0 0 1，⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－1 0 0 －1这样将一个平面图形F 变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵，我们称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换．关于定直线或定点对称的反射又分别称为轴反射和中心反射，其中定直线称为反射轴，定点称做反射点．
(2)反射变换的分类
与矩阵M1＝
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
1 0
0－1
对应的变换是关于x轴的轴反射变换．
与矩阵M2＝
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
－10
0 1
对应的变换是关于y轴的轴反射变换．
与矩阵M3＝
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
－10
0－1
对应的变换是关于原点的中心反射变换．
与矩阵M4＝⎣⎢
⎡
⎦⎥
⎤
01
10
对应的变换是关于直线y＝x的轴反射变换．
4．线性变换
一般地，二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线，这种把直线变为直线的变换，通常叫做线性变换．
三、知识应用
例1、如图所示，已知曲线y = sin x经过变换T作用后变为新的曲线C，试求变换T对应的矩阵M，以及曲线C的解析表达式.
例2、验证圆C：x2 + y2 = 1在矩阵A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
1
对应的伸压变换
下变为一个椭圆，并求此椭圆的方程.
小结：将平面图形F作沿x轴方向的伸压变换，其变换矩阵的一般形式是什么？沿y轴方向的呢？
例3、求出矩形ABCD在矩阵⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
1
6.0
作用下得到的图形，并画出示意图，其中A（-1，0），B
（1，0），C （1，1），D （-1，1）.
例4、求出曲线y =
x （x ≥0）在矩阵⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-1001
作用下变换得到的曲线.
例5、设a 、b ∈R ，若M = ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-b a
1
0所定义的线性变换把直线l ：2x + y – 7 = 0变换成另一直线l ＇：x + y – 3 = 0，求a 、b 的值.
练一练：1、研究直角坐标平面内正方形OBCD 在矩阵M = ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡1001
对应的变换作用下得到的几何图形，其中O （0，0），B （2，0），C （2，2），D （0，2）.
2、考虑以下各向量在矩阵⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡21001
对应的变换作用下的结果，并从几何变换的角度解释所得结果：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡0a ；（2）⎥⎦
⎤⎢⎣⎡b 0.
四、总结提升
检测反馈：
1、求出平行四边形ABCD 在矩阵M = ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡31001作用下变换得到的几何图形，并画出示意图，其中A （0，0），B （3，0），C （4，2），D （1，2）.
2、研究函数y = 2cos x 在矩阵M = ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡31001
变换作用下的结果.
3、求△OBC 在矩阵M = ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡1002对应的变换作用下的结果，其中O 为原点，B （-1，0），C （0，1）.
4、求出△ABC 在矩阵⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎣⎡-
212
3232
1作用下变换得到的图形，并画出示意图。

其中A （0，0），B （1，3），C （0，2）.
5、二阶矩阵M 对应的变换将(1，-1)与(-2，1)分别变换成(5，7)与(-3，6)．
(1) 求矩阵M ；
(2) 求直线l ：x – y = 4在此变换下所变成的直线l '的解析表达式．
6、研究△ABC ，A （1，1），B （2，3），C （3，-1）在矩阵⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡--212
12121
作用下所得到的图形.
7、直线x + y = 5在矩阵⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡0011
对应的变换作用下变成了什么图形？请作出此图形.。