最新水平井油水两相渗流理论研究

摘要
本文根据拟三维原理，将理论分析方法和一维油水两相渗流理论相结合，求解分支水平井单井和井网三维两相非活塞渗流问题。

采用适当的保角变换，将XY 平面二维两相复杂渗流问题转化为一维两相问题求解，从而确定出水平井在油水两相流条件下XY平面内的渗流阻力和水平井的水驱油前缘推进方程；根据一维渗流条件下见水前后的无因次时间和无因次见水时间，确定出水平井见水前后的无因次时间和无因次见水时间。

根据W平面内水平井见水前及见水后产量和时间的计算公式，确定分支水平井见水前和见水后产量随时间的变化规律。

该理论的建立为水平井注水开发油田的动态分析和预测提供了依据；利用保角变换还建立了含启动压力梯度的水平井两相渗流的数学模型。

关键词：水平井；油水两相；渗流理论
Abstract
The article use the pseudo three-dimensional methodology combine the theoretical analysis and the 1-D and 2-phase percolation theory of oil and water, solve a problem of horizontal well and well patterns and the 3-D and 2-phase flow of oil and water in non piston-like transfusion . Adopting a suitable conformal transformation, change the complex 2-D and 2-phase flow in XY plane of horizontal wells into a simple 1-D and 2-phase flow problem determine seepage resistance and water-flooding front equation in this plane. According to the pre-water breakthrough dimensionless time and dimensionless water breakthrough time in 1-D and 2-phase flow, determining the pre-water breakthrough dimensionless time and dimensionless water breakthrough time of horizontal well. According the calculate equation of water breakthrough and after outcome and time in W plan to determine the rule that breakthrough and after outcome change with time of branch horizontal well. This theory can provide valuable basis for dynamic analysis and prediction of water-flooding development field for horizontal well, adopting conformal transformation establish a startup pressure gradient of the horizontal wells two-phase flow mathematical model.
Key words：horizontal well; oil-water 2-phase; flow theoretical
目录
第1章概述 (1)
1.1 立论依据及研究的目的意义 (1)
1.2 国内外研究现状 (2)
1.3 本文主要研究内容 (4)
第2章水平井开发渗流理论 (5)
2.1 水平井开发渗流理论 (5)
2.2 分支水平井产能研究 (9)
2.3 产能的影响因素 (13)
2.4 小结 (14)
第3章水平井水驱两相渗流理论 (15)
3.1 水平井油水两相渗流数学模型及模型的解 (15)
3.2 水平井油水两相渗流非活塞驱替理论 (19)
3.3 水平井油水两相渗流开发指标计算 (19)
3.4 小结 (20)
第4章水平井井网渗流理论 (21)
4.1 井网布井方式（一）—四井底水平井及直井联合开采 (21)
4.2 井网布井方式（二）—水平井及水平井联合开采井网 (25)
4.3 井网布井方式（三）—两井底水平井及直井联合开采 (27)
4.4 三种井网的对比分析 (27)
第5章低渗透油藏中水平井两相渗流分析 (31)
5.1 两相流体水平井椭球渗流模型 (31)
5.2 小结 (35)
结论 (36)
参考文献 (37)
致谢 (38)
第1章概述
1.1 立论依据及研究的目的意义
水平井用于提高油气井的产量和提高采收率的试验开始于二十世纪的二十年代末。

二十世纪五十年代，在前苏联钻成水平井40余口，这一时期主要就钻井工艺技术进行研究，而忽视了水平井渗流理论的研究，由于水平井渗流理论研究的滞后，导致了油藏工程研究的缓慢发展，因此得出水平井在钻井技术上可行而经济上不可取的结论。

随着科学技术的进步，人们对能源需求的增大，水平井的各项技术也得到较快发展，目前水平井己经成为开发油气田、提高采收率的一项先进的重要技术。

自80年代以来，在世界主要产油国中，形成了用水平井开采油田较大的工业规模，到2000年底，世界上的水平井井数已超过20000口，而其中以美国和加拿大钻水平井数最多。

可以这样说，水平井已成为新油田开发、老油田挖潜以及提高采收率的重要技术。

在“八五”、“九五”及“十五”期间，我国开展了对各项水平井技术的研究和应用，取得了一些成果。

到2000年底，我国已完钻水平井数已经超过300口，这些水平井基本上覆盖了我国所有的油藏类型，绝大部分水平井较直井显示了巨大的优越性，并取得了良好的经济效益。

从油藏工程和采油工程的观点来看，水平井有比直井更加显著的特点主要表现在油井泄油面积增大，渗流阻力减小，从而大幅度地提高了单井产量以及油藏的采收率，增加可采储量，研究表明，用水平井开发油田，采收率可达到60%~80%；有效减缓气顶、底水油藏的气、水锥进，提高了临界产量和见气、见水时间，延长无水开采期；提高二次采油和三次采油的注入能力和驱油效率；改善注水油藏的注水开发效果；改善低渗透油藏的开发效果并提高产量；减少海上油藏平台的数量。

由于这些特点使其在开采裂缝性油藏、低渗透油藏、活跃气顶或底水油藏、稠油油藏、薄层油藏、海上边际油藏、地域空间受限制的油藏及老油田的挖潜改造等特殊油气藏的开采方面，显示出比直井更好的优越性，这些优越性从我国水平井开采油藏的实践中已经得到证实，用水平井开采这类特殊油藏的经济效益远高于直井。

虽然水平井己经在世界和我国得到应用，但水平井开采油藏的问题属于复杂的系统工程，涉及地质、渗流力学、油藏工程及采油等许多方面，而其中水平井的渗流力学问题是开采油藏的基本理论问题，目前这方面的研究不是完全的透彻，因此全面系统地研究水平井的渗流力学理论及在油藏工程中的应用，就可以为水
平井开发油藏提供重要的理论基础，对于高效开采油藏具有重要的理论和实际意义。

1.2 国内外研究现状
关于水平井的稳定渗流理论及应用研究方面，在解析方法研究方面，前苏联学者首次发表了计算水平井产量的解析公式；另一位前苏联学者在他的专著中，系统地总结了水平井的发展历程和生产原理，提出了水平井稳态产量计算方程，这些工作标志着水平井产能分析理论和分析方法由此开始。

Giger利用水电相似原理推导出均质各向同性油藏水平井与直井的产能比方程，同时将视为非均质性影响的各向异性引入到所推导的产能比方程中，获得了渗透率各向异性影响下，水平井与直井产能比的方程，由此比较了水平井与直井的产能；利用相同的方法Giger还研究了低渗透油藏中压裂水平井的产能，获得了水平井的渗流场及压降分布规律。

Joshi是将水平井的三维渗流问题简化为垂直及水平面内的二维渗流问题，利用势能理论首先推导了均质各向同性油藏中水平井稳态的产能方程，利用平均透率的概念，引入渗透率的各向异性，将各向同性情形下的产能方程修正为各向异性影响的产能方程，该方程考虑了水平井偏离油层中部对产能的影响，同时提出水平井有效井筒半径的概念，研究了影响水平井产能的因素，指出了水平井开采油藏的优越性，该文提出的产能方程目前得到了广泛应用。

Karcher论述了具有网状裂缝的油藏中水平井及压裂井拟稳定流动时的产能分析方法，并与直井的产能进行了比较；Giger论述了利用水平井开采低渗透油藏的可能性，假设油藏均质各向同性，将水平井的三维渗流问题简化为垂直及水平面内的二维渗流问题，采用水电相似原理研究低渗透油藏的产量方程和生产压差，给出了水平井的渗流场分布；Joshi从钻井完井及油藏工程的角度，对水平井技术进行了全面系统地综述；Josh考虑地层单相流动、溶解气驱、天然裂缝等情况，比较了水平井与未压裂直井及压裂直井的产能，目的在于为水平井措施的评价提供依据。

Babu针对任意盒型封闭油藏，建立了水平井三维不稳定渗流的数学模型，在获得解的基础上，结合物质平衡原理，推导出拟稳定流动情形下的产能方程，该方程形式比较复杂，考虑的影响因素较多，在实际应用中的效果不是很好。

Kuchuk及Goode在水平井不稳定渗流解研究的基础上，推导出定压及不渗透顶底边界条件下水平井的流入动态方程，简要分析了水平井长度和水平井在油藏中的位置对水平井流入动态的影响。

Mukherjee利用Joshi的产能方程，运用等效井筒半径的概念，将无因次井筒半径和无因次裂缝导流能力、裂缝半长联系起来，研究了水平井与压裂直井产能
的关系，获得了裂缝半长与等效井筒半径的关系。

Goode研究了顶底为恒压或不渗透边界情形的矩形油藏中部分打开水平井的流入动态。

Renard利用势能理论研究了地层损害情形下水平井的产能方程，在定义与直井相似的流动效率后，提出了水平井的流动效率公式，比较了直井与水平井的流动效率，结果表明，当水平与垂直渗透率比值增大到一定数值后，地层损害对直井的影响比对水平井的影响更严重，而水平井的严重损害会降低水平井的流动效率。

Thomas提出了裸眼、割缝衬管或套管完井情况下，水平井附近的表皮系数、非达西流动系数影响下水平井产能的计算公式。

郎兆新应用拟三维方法获得水平井在平面和剖面上的解析解后，再运用等值渗流阻力法得到三维空间的解和二维空间中流场变化，提出了多井底水平井渗流问题产能的计算公式。

曲德斌等人应用等值渗流阻力法获得了水平井和直井五点法布井方式下的产能方程。

宋付权等基于水平井椭球流动的思想，推导出具有椭球面供液外边界油藏中一口水平井的产能方程。

范子菲等应用镜像反映和势函数叠加原理，推导出无限大底水油藏中水平井排的产能方程，分析了影响水平井产能的因素，该产能方程形式复杂，不便在实际中使用。

李培等应用镜像反映原理将二维单井排水平井渗流问题等效为带状区域中单一水平井渗流问题，利用多次保角变换将此二维带状区域穿透比小于1的单一水平井映射为穿透比为1的带状地层，从而求解出二维地层中水平单井排的稳态压力分布函数的解析表达式和产能公式，该公式实际上是Muskat公式在水平井段长度趋于0的推广。

刘想平应用镜像反映原理获得了底水驱油藏中水平井三维稳态渗流的产能公式。

李远钦在获得水平井三维不稳定渗流数学模型解后，得到形式复杂，与上述产能方程完全不相似的产能方程，对水平井段上的产量分布进行了探讨，结果表明，水平井产量在井段上是非均匀分布的，因此，假设产量在井段上的均匀分布是不合理的，其产量分布受油藏边界、油层厚度、导压系数的影响，只有在拟稳定流动的情况下，当油层较厚时，水平井段上的产量分布才是均匀的。

王卫红用保角变换和等值渗流阻力法推导了分枝水平井的产能计算公式，并与Joshi的产能公式进行比较，指出后者没有注意到均匀流和无限导流的区别，同时文中还讨论了分枝井筒数及水平井长度对产能的影响，一口长水平井的产能比总长度与之相等的分枝水平井的产能高。

张望月从均质各向异性单相流油藏中水平井稳定渗流满足的Poisson方程的定解问题出发，利用格林函数方法直接求出了水平井三维稳态解，由此导出均匀流和无限导流两种情形下无限油藏中水平井产能公式。

姚约东首先对郎兆新和曲德斌提出的五点井网产能公式进行评述后，利用相同的方法推导出更为精确的水平井五点井网产能公式。

在利用数值模拟方法研究方面，Platen通过48个油藏的数值模拟，研究了各向异性溶解气驱油藏中水平井的生产动态，建立起水平井无因次产量随无因次时间变化的标准曲线，用以预测各向同性油藏水平井在定压生产情况下的原油产量。

Cheng利用NIPER模拟器模拟了各向异性矩形封闭油藏中溶解气驱条件下水平井的动态，结果表明，水平井的流入动态与V ogel的流入动态类似，但若用V ogel 的方程来预测水平井的流入动态，则误差可达27% ；Kabir也得到类似的结论；Bendalchlia采用数值模拟的方法研究溶解气驱油藏中水平井的产能，得到与V ogel 方程类似的水平井产能方程；Chang利用BOAST模型对水平井单相流动时的产能进行模拟，主要研究了水平段长度、水平井在油层中的位置，垂直和水平渗透率等对水平井产能的影响，其研究结果与Joshi的结果吻合，误差小。

此外，还有一些文章报道了水平井稳定渗流理论及应用研究的问题，但基本的方法与思想都是与上述方法类似，或者是上述方法的评述和应用分析。

1.3 本文主要研究内容
采用保角变换方法将XY平面二维两相复杂渗流问题转化为一维两相问题求解，预测了水平井产能；研究了水平井单相渗流和两相渗流理论；建立了油水两相非活塞驱替条件下水平井渗流问题的解，为水驱油藏用水平井开发的动态预测和分析提供理论依据；水平井油水两相渗流数学模型的建立以及模型的解，获得了油水两相渗流的特征线解，推导出含水饱和度、见水时间及见水前后开发指标的计算公式；对三种水平井网的稳定渗流理论进行了对比分析，找到影响水平井网产能的因素；建立含启动压力梯度的水平井两相渗流的数学模型。

第2章 水平井开发渗流理论
在油田实际开发中，油藏中往往存在油水两相或油气两相甚至油气水三相渗流，水平井开发油藏也不例外，尤其在油田开发的中后期。

因此，研究水平井水两相或油气两相渗流理论对于水驱油藏中水平井开发指标的计算、水平井产能预测以及水平井油藏和采油工程的研究都具有重要的意义。

2.1 水平井开发渗流理论
水平井渗流理论的研究是研究分支井、多井的渗流理论的基础。

利用拟三维求解思想及基本渗流规律，推导了水平井流场分布及产能计算公式。

这些公式简单，利于油藏工程计算。

2.1.1 XY 平面渗流规律研究
设XY 平面内有一口水平井，水平井长度为2L ，油井半径为w r ，油层厚度为h ，水平井距油层底部距离为d 。

图2-1 水平井保角变换示意图
取如下保角变换：
ch i i z L w z x y w ξη=⎧⎪=+⎨⎪=+⎩
（2-1）
此变换将上半Z 平面变换为W 平面中宽度为π的带状油层（ξ>0），长度为2L 的水平井变换为W 平面上位于η轴，长度为π的排油坑道。

图2-1中Z 平面上
的A 、O 、B 点与W 平面上的A '、O '、B '一一对应对。

变换后坐标对应关系为：
ch cos sh sin x L y L ξηξη=⎧⎨=⎩
（2-2） 由（2-2）式可以得出水平井的流线方程及等势线方程：
流线方程为：
22
22221cos sin x y L L ηη
-= （2-3） 等势线方程为：
22
22221ch sh x y L L ξξ
+= （2-4） 由（2-3）、（2-4）式可知：流线方程为一族双曲线，等势线方程为一族椭圆，椭圆的长半轴ch a L ξ=，短半轴为 sh b L ξ=，则焦距c =L 。

势函数为：
c 2π
q Φξ=
+ （2-5） 得：
1
1222222222214arch{[1(1)]}c 2π2q x y x y x L L L Φ++=+++-+ （2-6） 当ξ很大时，21ch sh 2
e ξξ==，此时等势线为圆形有： 222212
x y L e += 水平井的产能公式可以通过椭圆供给边缘上的势与水平井井底的势差来确定。

2.1.2 XY 平面的产能计算
从上面推导可知，水平井的等势线为椭圆，焦距为水平井井筒半长。

由（2-5）式，椭圆供给边界ξ与水平井井底的势差为：
2π
q Φξ∆=
（2-7） 则水平井的产量为：
2πKh p Q μξ∆= （2-8）
若水平井的等势线长半轴a 已知,则： 2222arch ln{[()1]}ln
a a a a a L L L L L
ξ+-==+-= 水平井的产量公式为：
22ln
Q a a L
μ=+- （2-9） 若水平井的供给半径为e R ，根据水平井泄油面积关系：
222e 1πππch sh πsh22
A R ab L L ξξξ====
则：2e 221arsh 2R L ξ=，带入（2-8）式： 2e 22π21arsh 2Kh p Q R L
μ∆= （2-10） 当e R >>L 时：
e 2π2ln Kh p Q R L
μ∆= （2-11） 2.1.3 YZ 平面内的渗流
以上推导了XY 平面内的渗流问题，下面利用镜象反映和势叠加原理推导YZ 平面渗流问题。

水平井在YZ 平面的位置如图2-2所示。

图2-2 YZ 平面内水平井示意图
其中水平井距油层底部距离为d ，强度为/(2)q Q L =的点汇。

其中Q 为水平井的产量，根据镜象反映原理，图 2-2 中的一点汇可反映为YZ 平面一排无限口生
产井的问题。

根据带状油藏中一口井势的分布,YZ 平面内的势分布为：
1ππππ
ln{[ch cos (-)][ch cos ()]c 4πq y z d y z d h h h h Φ=--++ （2-12）
分别取井壁一点w (0,)d r -，和远离井壁一点Y ，带入到（2-12）式。

在井壁处：
w w w 1π2π(0,)ln(1cos )(1cos )c 4πq d
d r r h h
Φ-=
--+ 2w w w 1ππ(0,)ln(sin )c 4πr q d
d r h h
Φ-=+ （2-13）
在较远处（Y >>1）,其势为：
11ππππ
ln{[ch cos ()][ch cos ()]}c 4πq Y z d Y z d h h h h
Φ=---++ （2-14）
因为Y 取得很大,因而：
2
11πln(ch )c 4πq Y h
Φ≈+ （2-15）
势差：
2
1w 2w π(ch
)
ln
ππ4π(sin )Y q h r d h h
ΦΦΦ∆=-= （2-16） 当πY h
>>1时，上式可以简化为：
w
πsin
π(ln )2π2πd
h q Y
h h
r Φ∆=+ （2-17）
则有：
w
πsin
π(ln
)/(2)2π2πd
h p Y
h Q L K h
r μ∆=+ （2-18）
从等值渗流阻力法的基本概念出发，可知公式（2-18）中的线性部分是从较远处以线性流动流向Y 轴时的阻力，可称为外阻；而另一部分为自然对数项，是从裂缝流向井底时的阻力，称为内阻。

若考虑地层各向异性，对于水平井长度为2L 的水平井，其内阻表达式为：
i w
πsin
ln
2π22πd
h h R K L
r βμβ
=
（2-19）
2.1.4 XYZ 三维空间的产能
由公式（2-9），水平井在XY 平面的渗流阻力为：
0ln 2πR Kh μ
= （2-20） 根据渗流阻力法，由（2-19）、（2-20）式可以确定出水平井的产量公式为：
w
Q =
（2-21）
当e R >>L 时，由（2-11）式，e
02ln 2πR R Kh
L
μ
=，则： e w
2π1
πsin
2ln ln 22πKh p
Q d
B
h R h h L L r μββ∆=
+ （2-22）
当（2-21）式中/2d h =时，水平井位于油层中部。

2.2 分支水平井产能研究
水平井可以大幅度提高油井的产量，水平井的产量通常与水平井段长度呈正比。

当水平井段长度增加时，钻井难度增加，沿井筒流量增加，导致较大的压力损失，并转化为产能的损失。

此时沿同一方向的双井底水平井或不同方向的分支水平井，将是长水平井一种极好的替代。

在各向异性地层中，在不知道渗透率方向的条件下，钻一口单方向的水平井将冒很大的风险。

如果钻在渗透率差的方向上，将造成很大的经济损失。

此时，分支水平井是具有吸引力的，分支水平井对储层渗透率各向异性的敏感性较低，可以降低盲目钻井造成的浪费，减小经济风险。

水平井的泄油面积大于直井，分支水平井的泄油面积比单一水平井还大。

由于泄油面积的增加，所以可采储量增加，特别是在渗透率各向异性较大的情况下，分支水平井增加的可采储量将十分明显。

另外，分支水平井还具有降低水气锥进，最大限度地开采薄油层的优势，可以在不同层位完井，降低钻井成本。

当然，钻分支水平井需要较高的投资，其钻井、完井和采油技术也较复杂，但这可以通过提高钻井技术水平，降低单位长度钻井成本，提高产量来提高经济效益。

由于分支水平井具有许多优点，因而对其渗流规律的研究具有十分重要的意义，并有助于分支水平井和直井混合井网产能的研究。

2.2.1 XY平面二维问题求解
运用拟三维的方法，将水平井三维渗流问题分解为两个二维问题求解。

假定分支水平井有n个井筒，各个井筒呈放射状均匀分布在XY平面内，如图2-3 所示：
图2-3 分支水平井示意图
相邻的分支井筒把XY平面分成n个相互独立的部分。

如二分支水平井把XY 平面分二部分，三分支水平井把XY平面分成三部分，四分支水平井把XY平面分为四部分，每部分流向井筒的产量相当于一支井筒的产量。

利用保角变换：
22ch
n n
z L w
=（2-23）将Z平面中流向水平井井筒的复杂流动，转化为W平面带状地层中简单的平行流动，长度为2L水平井井筒映射为长度为π的排油坑道，从而确定XY平面内
的流动阻力。

下面以四分支水平井为例研究XY平面内的渗流规律。

假定在XY平面内有一个正交四分支水平井（此时水平井可以看成裂缝高度等于油层厚度的垂
直裂缝），每支水平井筒长度为L，井筒半径为
w
r，油层厚度为h，水平井距油层
底部距离为d，井底压力为
w
p，井筒见图：
图2-4 多分支水平井保角变换示意图
取如下保角变换：
22ch
i
i
z L w
z x y
wξη
⎧=
⎪
=+
⎨
⎪=+
⎩
（2-24）
由（2-23）式：
()2
2i (ch cos ish sin )x y L ξηξη+=+ （2-25） 则：
222ch cos x y L ξη-= （2-26） 22sh sin xy L ξη= （2-27）
变换将 Z 平面上 A 、B ，C 点映射为W 平面上A '、B '、C '点，即Z 平面上四分之一的地层映射为W 平面上宽度为π的条带，Z 平面（L ,0）点映射为（0,0） 点，Z 平面（0,0）点映射为W 平面上（0,π2）点，Z 平面（0,L ）点映射为W 平面上（0,π）点。

由（2-25）式和（2-26）式分别消去ξ和η即可得到等势线方程和流线方程：
势线方程：
22222
42
42()41ch sh x y x y L L ξξ
-+= （2-28） 流线方程：
22222
2222()41cos sin x y x y L L ηη
--= （2-29）
对于四井筒水平井，在090夹角内的产量0Q 只相当于一个井筒的产量。

即总产量Q 的四分之一，而此产量0Q 在W 平面内相当于宽度π的带状排油坑道的产量，即：
04Q p
Q R
∆==
（2-30） πR Kh
μ
ξ=
（2-31）
当ξ很大时，ch ξ≈sh ξ，则等势线变为：
222222()(2)(ch )x y xy L ξ-+=
即： 442e x y R += （2-32） 其中：22e ch R L ξ=，由于ξ较大，有ch /2e ξξ≈，则：
2e e
22ln()2ln R L L
ξ== （2-33）
将（2-33）、（2-31）式代入（2-30）式得：
e
e 2πQ L
Kh
L
=
=
（2-34）
式中：e p —供给边缘处的压力MPa ；
w p —为分支水平井井底压力MPa 。

式（2-34）反映了XY 平面内四分支水平井的产量公式及其渗流阻力。

同理,可以确定二分支水平井、三分支水平井在XY 平面内的产能公式：
二分支水平井： e
2π2ln
Kh p
Q R L μ∆= （2-35）
三分支水平井： 1/3
e
2π4ln
Kh p
Q R L
μ∆=
（2-36） 综合（2-34）、（2-35）和（2-36）式，n 井筒分支水平井在 XY 平面的产量公式为：
n 分支水平井： 1/e
2π4ln
n Kh p
Q R L
μ∆=
（2-37） 2.2.2 XYZ 三维空间问题求解
根据上一节对YZ 平面内点源的理论研究，对于n 分支水平井，令点源强度为：
Q
q nL
= （2-38）
由（2-18）、（2-19）式，并考虑地层的各向异性，分支水平井在YZ 平面内的内部渗流阻力为：
i w
πsin
ln
2π2πd
h h R K nL
r βμβ
= （2-39）
产能公式为：
1/e w
2π1
πsin
4ln ln 2πn Kh p Q d h R h h L nL r μ
ββ∆=
+ （2-40）
2.3 产能的影响因素
影响分支水平井产能的因素很多，主要是油藏和油井特性。

它们包括： （1）井筒长度和井筒数：
从（2-40）可以明显看出，分支水平井的产量随着水平井长度的增加而增加。

当分支水平井长度一定时，水平井的产量和井筒数有关。

（2-40）式分母可以看作无因次产量的倒数，令：
1/e w
πsin
4ln
ln 2πn
d
h R h
h R L nL
r ββ=+ （2-41）
对R 求偏导：
22w
πsin
ln 41ln 2πd
h R h
h n n n L
r ββ∂=--∂ （2-42）
从上式可以看出，R 是关于的n 递减函数。

随着n 的增加，R 减小，分支水平井产量增加。

R 减小的速率为：
2
223w
πsin
ln 41ln 2πd
h R h
h n n n L
r ββ∂=-+∂ （2-43）
从（2-43）式可以看出，随着n 值的增加，R 减小的速率急剧降低，即每增加1支井筒所获得的产量是迅速减小的。

因此，在采用分支水平井开发油藏时，只能从经济效益角度考虑选择合适的井筒数目。

（2）储层厚度
在厚油层中钻分支水平井可获得高的产能。

但从增产的角度来看，相对于直井而言，当水平段长度给定时，在薄油层中钻水平井可获得更大的产能比。

（3）渗透率的各向异性
一般情况下，地层的水平渗透率不等于垂向渗透率。

随着β增加，分支水平井的产能降低，随着井筒数n 增加，地层非均质性的影响减小。

（4）井位
从（2-40）可以看出，井位的影响较其它因素的影响要小。

当分支水平井长度和井筒数增加时，井位的影响会减小，井位于油层中部时分支水平井的产量最大。

2.4 小结
（1）运用保角变换和等值渗流阻力法对水平井及分支水平井的开发渗流理论进行了研究，推导出了水平井的产能公式，该公式对实际产能计算及理论分析具有一定的指导意义。

（2）水平井长度增加，产量增加；随着井筒数的增加，产量增量减小，应从经济角度，选择合适的井筒数。

（3）垂向渗透率高的薄油层，有利于水平井产能的提高。

（4）随着井筒数的增加，非均质性和井位对产能的影响减小，井位于油层中部产量最大。

第3章 水平井水驱两相渗流理论
水平井生产时在油藏中形成椭球三维渗流，即形成以其端点为焦点的共扼等压椭球面和双曲面流线族。

本文基于椭球的概念和等价的发展圆柱面的思想，建立油、水两相椭球三维渗流数学模型，它属于具有活动边界的拟线性问题。

分别用特征线法和有限差分法求解，以获得特征线解和差分解，研究含水饱和度分布和活动边界的变化规律，从而为水驱油藏用水平井开发的研究提供一种计算方法。

此外，还将研究水平井的非活塞驱替理论，为水驱油藏用水平井开发的动态预测和分析提供理论依据。

3.1 水平井油水两相渗流数学模型及模型的解
令水平井的井轴线位于直角坐标系的X 轴上。

当水平井生产或注入时，在其周围地层中形成对称的共焦点的旋转等压椭球面和双曲面流线族。

直角坐标系和椭球坐标系的关系为：
1
222
cos ()sin x a r y z b ηη
=⎧⎪
⎨⎪=+=⎩ （3-1） ch sh a L b L ξ
ξ=⎧⎨=⎩ （3-2）
式中：,,x y z —直角坐标； r —径向坐标； ηξ，—椭球坐标；
a ,
b —椭球的半长、短轴，m ；
L —水平井段半长，m 。

椭球的体积为：
23244
ππsh ch 33V ab L ξξ== （3-3）
式中：V —椭球体积，3m 。

其等价的表面积为：
24π8sh ch A ar L ξξ== （3-4）。