1.4等腰梯形的性质和判定
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1.4 等腰梯形的性质和判定
兴化市板桥初级中学初二备课组
学习目标：
1、会能证明等腰梯形的性质定理和判定定理。 2、逐步学会分析和综合的思考方法，发展思考能力。
3、经历证明的过程，不断感受证明的必要性、感受合情 推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径。 4、感受探索活动中所体现的转化的数学思想方法。
6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°， CD ＝2，BD⊥CD ．过点C作CE⊥AB于E，交对角线 BD于F．点G为BC中点，连结EG、AF． (1)求EG的长； (2)求证：CF ＝AB ＋AF．
小结与思考：
解决梯形问题常用的方法：
（1）平移腰：构造平行四边形 （2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中． （3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中． （4）“延长两腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形． （5）取一腰的中点：构造全等三角形，将上底下移
A
D
E
B
C
例题分析：
2.已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC 边的中点， EM⊥AB，EN⊥CD，垂足分别为M、N且 EM=EN． 求证：梯形ABCD是等腰梯形。 A D
N
M
B
E
C
例题分析：
3.如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC和BD相 交于点O，E是BC边上的一个动点（点E不于B、C两点重合）， EF∥BD交AC于点F。EG∥AC交BD于点G。 （1）、求证：四边形EFOG的周长等于2OB； （2）、请将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC”改 为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG的周 长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、 求证，不必证明。
3. 如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC， BD相交于点O，△AOD与△BOC的面积之比为1： 9，若AD=1，则BC的长是 ．
4.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分 线与∠BCD的平分线的交点E恰在AB上．若AD＝ 7cm，BC＝8cm，则AB的长度是 cm．
5.已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=900， BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC. （1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如 图①），求证：△AOE∽△COF （2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE于点G （如图②），求证：四边形EFDG是菱形。
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三角形或特 殊四边形
思路1：转化方向——等腰三角形．
证明：延长BA，CD相交于点E. ∵∠B=∠C， ∴BE=CE.
∵四边形ABCD是梯形，
∴AD∥BC. ∴∠EAD=∠B,∠EDA=∠C. ∴∠EAD=∠EDA. ∴AE=DE.
∴AB=CD．
∴梯形ABCD是等腰梯形.
等腰梯形的性质定理：
定理1、等腰梯形同一底上的两底角相等。 定理2、等腰梯形的两条对角线相等。
证明定理2： 已知：
A
D
B
C
求证：
思路1：转化方向——全等三角形． A D
思路2：转化方向——平行四边形． A D
C B C
B
例题分析：
1.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD 延长线上一 点，DE＝BC． （1）求证：∠E＝∠DBC； （2）判断△ACE的形状
则有∠AEB=∠DFC.
∵AD∥BC，
∴AE=DF，
∵∠B=∠C， ∴△AEB≌△DFC(AAS)． ∴AB=CD. ∴梯形ABCD是等腰梯形.
在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
已知：在梯形ABCD中，AD//BC， ∠B=∠C． 求证：梯形ABCD是等腰梯形． 思路1：转化方向——等腰三角形． 思路2：转化方向——平行四边形． B C A D
思路3：转化方向——全等三角形．
等腰梯形的判定定理：
在同一底上的两个角相等的梯形 是等腰梯形．
1．等腰梯形概念： _______________________________的图形叫做等腰梯形
2．等腰梯形的判定： ______________________________ 3．等腰梯形的性质： _______________________________ _______________________________
A
O F G
D
B
E
C
练习
1.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分 别是BD、AC、DC的中点.已知两底差是6，两腰 和是12，则△EFG的周长是（ ） A.8 B.9 C.10 D.12
A E D G B F C
2.已知直角梯形ABCD中， AD∥BC，∠BCD=90°, BC = CD=2AD , E、F分别是BC、CD边的中点，连 接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q， 连接AF，则下列结论不正确的是（ ） A . CP 平分∠BCD B. 四边形 ABED 为平行四边形 C. CQ将直角梯形 ABCD 分为面积相等的两部分 D. △ABF为等腰三角形
思路2：转化方向——平行四边形．
证明：过点A作AE∥DC，交BC 于点E. 此时四边形AECD是平行四边形. 则AE∥CD且AE=CD，
∴∠AEB=∠C.
又∵∠B=∠C， ∴∠B=∠AEB. ∴AB=AE. ∴AB=CD. ∴梯形ABCD是等腰梯形.
思路3：转化方向——全等三角形．
证明：过点A作AE⊥BC， DF⊥BC，垂足分别为点E，F，
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学习目标：
1、会能证明等腰梯形的性质定理和判定定理。 2、逐步学会分析和综合的思考方法，发展思考能力。
3、经历证明的过程，不断感受证明的必要性、感受合情 推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径。 4、感受探索活动中所体现的转化的数学思想方法。
6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°， CD ＝2，BD⊥CD ．过点C作CE⊥AB于E，交对角线 BD于F．点G为BC中点，连结EG、AF． (1)求EG的长； (2)求证：CF ＝AB ＋AF．
小结与思考：
解决梯形问题常用的方法：
（1）平移腰：构造平行四边形 （2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中． （3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中． （4）“延长两腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形． （5）取一腰的中点：构造全等三角形，将上底下移
A
D
E
B
C
例题分析：
2.已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC 边的中点， EM⊥AB，EN⊥CD，垂足分别为M、N且 EM=EN． 求证：梯形ABCD是等腰梯形。 A D
N
M
B
E
C
例题分析：
3.如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC和BD相 交于点O，E是BC边上的一个动点（点E不于B、C两点重合）， EF∥BD交AC于点F。EG∥AC交BD于点G。 （1）、求证：四边形EFOG的周长等于2OB； （2）、请将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC”改 为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG的周 长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、 求证，不必证明。
3. 如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC， BD相交于点O，△AOD与△BOC的面积之比为1： 9，若AD=1，则BC的长是 ．
4.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分 线与∠BCD的平分线的交点E恰在AB上．若AD＝ 7cm，BC＝8cm，则AB的长度是 cm．
5.已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=900， BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC. （1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如 图①），求证：△AOE∽△COF （2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE于点G （如图②），求证：四边形EFDG是菱形。
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三角形或特 殊四边形
思路1：转化方向——等腰三角形．
证明：延长BA，CD相交于点E. ∵∠B=∠C， ∴BE=CE.
∵四边形ABCD是梯形，
∴AD∥BC. ∴∠EAD=∠B,∠EDA=∠C. ∴∠EAD=∠EDA. ∴AE=DE.
∴AB=CD．
∴梯形ABCD是等腰梯形.
等腰梯形的性质定理：
定理1、等腰梯形同一底上的两底角相等。 定理2、等腰梯形的两条对角线相等。
证明定理2： 已知：
A
D
B
C
求证：
思路1：转化方向——全等三角形． A D
思路2：转化方向——平行四边形． A D
C B C
B
例题分析：
1.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD 延长线上一 点，DE＝BC． （1）求证：∠E＝∠DBC； （2）判断△ACE的形状
则有∠AEB=∠DFC.
∵AD∥BC，
∴AE=DF，
∵∠B=∠C， ∴△AEB≌△DFC(AAS)． ∴AB=CD. ∴梯形ABCD是等腰梯形.
在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
已知：在梯形ABCD中，AD//BC， ∠B=∠C． 求证：梯形ABCD是等腰梯形． 思路1：转化方向——等腰三角形． 思路2：转化方向——平行四边形． B C A D
思路3：转化方向——全等三角形．
等腰梯形的判定定理：
在同一底上的两个角相等的梯形 是等腰梯形．
1．等腰梯形概念： _______________________________的图形叫做等腰梯形
2．等腰梯形的判定： ______________________________ 3．等腰梯形的性质： _______________________________ _______________________________
A
O F G
D
B
E
C
练习
1.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分 别是BD、AC、DC的中点.已知两底差是6，两腰 和是12，则△EFG的周长是（ ） A.8 B.9 C.10 D.12
A E D G B F C
2.已知直角梯形ABCD中， AD∥BC，∠BCD=90°, BC = CD=2AD , E、F分别是BC、CD边的中点，连 接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q， 连接AF，则下列结论不正确的是（ ） A . CP 平分∠BCD B. 四边形 ABED 为平行四边形 C. CQ将直角梯形 ABCD 分为面积相等的两部分 D. △ABF为等腰三角形
思路2：转化方向——平行四边形．
证明：过点A作AE∥DC，交BC 于点E. 此时四边形AECD是平行四边形. 则AE∥CD且AE=CD，
∴∠AEB=∠C.
又∵∠B=∠C， ∴∠B=∠AEB. ∴AB=AE. ∴AB=CD. ∴梯形ABCD是等腰梯形.
思路3：转化方向——全等三角形．
证明：过点A作AE⊥BC， DF⊥BC，垂足分别为点E，F，