例题与练习题-第八章_狭义相对论

2 2 2 2
E h mc
2
E c
2

h c
2

h c
p光 子
E c

h c

h

旧教材:与P185例2类似
例2(与P185例2类似): 一个静质量为 m 0 的粒子，以 v 0.8c的速率运动，并 与静质量为 3m0的静止粒子发生对心碰撞以后粘在一 起，求合成粒子的静止质量。
旧教材:P172 例3
此时在S 系中A 钟的读数是
s
。
x
A v
x
s
A
x
B
s
A v
x
x
s
x
A
v
x
x
s
s
x
A
B
'
A
B
事件Ⅰ: t 1 t 1 0
t t2 x v
'
事件Ⅱ: t 2 t ;
t2 t
'
'
非原时
1 t
x v
t t2
m（v） v=0.8c 3m0 M（u） u＝？
问题：合成粒子的静止质量是 思路： 动量守恒 能量守恒
4m 0 吗？
M（u）＝？ M0＝？ u＝？
非弹性碰撞，为什么能量守恒？－－总能守恒
解： 设合成粒子的运动质量为
M ，速率为 u
由动量守恒 和能量守恒得：
mv Mu
3m0 c mc Mc
旧教材:P205 8.12
例4(P194 8.11):
一宇宙飞船的船身固有长度为 L0 90m 相对，
地面以 v 0.8c 的匀速率在一观测站的上空 飞过。 （1）观测站测得飞船的船身通过观测站的时间 间隔是多少？
（2）宇航员测得飞船的船身通过观测站的时间
间隔是多少？
解： 由相对论效应，观测站测出船身的长度为 (1)
乙
1m
u
思考：
哪个长度为原长？
1m
甲
站台系：动系，两端同时测 s 车厢系：静系， s ? 为原长
s s 1 1 u c
2 2
非原长
1 (m)
例(P193 8.3): 一根米尺静止放置在 s系中，与 ox 轴成 30 角， 如果在 s 系中测得米尺与 ox 轴成 45 角，那么， 系相对于 s 系的运动速度 u为多大？ s 系中测得 s 米尺的长度是多少？ 解： 由题意可知: y y
x x u t 90 90 ( 0 . 8 c ) 270 m 2 c 1 0 .8 1
对不对？
因此：应选(c)
例3.地面上一个短跑选手用10 s 跑完100 m ，问在与 运动员同方向上以 u=0.6c 运动的飞船中观测，这个选 手跑了多长距离？用了多少时间？
16 c v 4 1 v
2
c
2
16 17
c 2 . 91 10 (m s
8
-1
)
练习4(P175 例2): 在S系中的 x 轴上距离为x处有两个同步的钟 A 和 B ，在S 系中的x 轴上有一个同样的钟A 。设S 系 相对于S系的速度为v，沿x方向，且当 A 与 A 相遇 时，两钟的读数均为零。那么，当A 钟与 B 钟相遇 时，在S系中 B 钟的读数是 ；
' '
2
原时
t

1 v
c
2
x v
x v
答案：B 钟读数
;
A'钟读数:
1 v
2
c
2
第四节 狭义相对论动力学基础
例1(P186例4)：用相对论讨论光子的基本属性 1.光子的能量 2.光子的质量 光子的质量： m 光 子 3.光子的动量 又由 E p c m 0 c 4 ; m 0 0 可知
2

6( s )
旧教材:P203 8.2(2)
练习3(P193 8.2(2)): 牛郎星距地球16光年，宇宙飞船若以速率v = 匀速飞行，将用4年时间（飞船钟）抵达牛郎星。
解：飞船时为原时 地球时为观测时
t 4年
t
16 光年 v 16 c v 年
由
得：
v
t t
由洛仑兹变换，地球系中：
x x u t 1 1 0 .8
2
90 90 0 . 8 c 30 m c
对不对？
为什么？
s 解四：设飞船系为s，地球系为 s ， 相对s以-0.8c t 90 c 运动，地球系中 x 90
u c
2
2

14 3
m0
பைடு நூலகம்
2 1 4.47m0 7
2
旧教材:P186 例4
例3(P185 例3): 已知：一个电子的静能为 0 . 511 MeV ，经同步 加速器加速后，能量增量为 20 . 00 MeV ， 求: 该电子质量与其静质量之比。 解：由题意:
mc
2
m 0 c E 0 . 511 20 20 . 511
7
旧教材:P203 8.1(1)
练习1(P192 8.1(1)):
一火箭的固有长度为 L ，相对于地面匀速直线运动 的速率为 v 1 ，火箭上的人从火箭后端向位于前端的 靶发射子弹，子弹相对于火箭的速率为 v 2 ，在火 箭上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔是：
( A) L v1 v 2 L v 2 v1 ; (B ) L v2 ; (D) L v1 1 v1 c
0, x 2000m
习题课
解： 由洛仑兹变换得： x x ut
x 2000 2 由题意： x 1000
由 1
u 2 1 ( ) c
3 得 u c 2
由洛仑兹变换得：
t t 2 t1 ( t
3 2
u c
2
x )
ux
c
2
2

1000 3 10
8
5.77 10
6
(s)
负号的意义是什么？ 在 K 系中，事件2先发生
旧教材:P203 8.1(3)
例2(P193 8.1(3))： 宇宙飞船相对地球以0.8c飞行，一光脉冲从船尾传到船 头，飞船上的观察者测得飞船长90 m，地球上的观察 者测得光脉冲从船尾传到船头两事件的空间间隔是： （A）30 m （B）54 m （C）270 m （D）90 m 解一：设飞船系为 s ，地球系为s ，
tg 30

y
u
x
tg 45

y
o
o

x x
x
由
y y 得
x x

tg 30 tg 45


根据相对论“尺缩”效应，有
x 1

x x 1 (
u c
)
2
即:
x x

1 (
u c
)
2
于是 得 由于
1
u c
2
2

tg 30 tg 45
s
中光脉冲通过的距离为： l 90 m
由尺缩效应，
l
1
S
1
中光脉冲通过的距离为：
u c
2 2
l
l 0 . 6 90 54 m
对不对？
为什么？
原因： t 地 球
0， l 地 球 不是地球系中的观测长度,
即观测的飞船长度，而只是两事件的空间间隔
2 2
;
(C )
.
练习2： 某宇宙飞船以 0.8c 的速度离开地球，若地球上接 收到它发出的两个信号之间的时间间隔为 10s，则 宇航员测出的相应的时间间隔为：
(A ) (C ) 6s 10 s (B ) (D ) 8s 16 . 7 s
'
解: t 10 为非原时 ； t 为原时
t' 1 t 10 1 0 .8
地球系 S 事件I:起跑 事件II:到终点 飞船系S ′
( x1 ,t 1)
( x , t 2 ) 2
( x1 ,t 1)
( x 2 ,t 2 )
思考：有原时和原长吗？
s中：x x2 x1 100m 为原长；t t 2 t1 10s 非原时。
' 中：x ' x x1 非观测长度； t t 2 t1 非原时。 s 2

u
2 3
c 0.816c
y y
所以 米尺长度
sin30 Lsin45 L

L
sin30 sin45

L
2 2
1 0.707m
旧教材:P205 8.14
例1(P194 8.13): 在惯性系K中, 有两个事件同时发生在x轴上相距1000m 的两点，而在另一惯性系K′（ 沿x轴方向相对于K系运动） 中测得这两个事件发生的地点相距2000m 。求在K′系中 测这两个事件的时间间隔。 已知： x 1000m , t 求：t ? 思路： u t
由洛仑兹变换得: 解：
x ( x ut )
1.25 (100 0.6c 10) 2.25 10 (m)
9
t ( t
1 1 (
u c
2
x )
(10 )
2
0.6c c
2
100) 12.5 s
0.6c c
在飞船中的观察者看来，选手用12.5秒时间反向 跑了2 . 25 10 9米。
L
1
L0
1 0.8 90 54(m )
2
观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔
t L v 54 0.8 3 10
8
2.25 10 (s)
7
(2) 宇航员测得飞船船身通过观测站的时间间隔
t 0 L0 v 90 0.8 3 10
8
3.75 10 (s)
v x vx u 1 uv x c
2

0.7c ( 0.6c ) 1 0.7c( 0.6c ) c
2

1.3c 1.42
0.92c c
第三节 狭义相对论时空观(难点)
例(P194 8.10):半人马座 星是距离太阳系最近的恒星， 它距离地球4.31016m，设有一宇宙飞船自地球飞到半 人马 星，若宇宙飞船相对地球的速度为0.999c，按 地球上的时钟计算要用多少年时间？如以飞船上的时钟 计算，所需时间又为多少年？ 思考：哪个时间为原时？地球系:非原时； 飞船系:原时 解：按地球上的时钟计算，飞船飞到 星所需时间为
2
则:
m m0

mc m 0c
2 2

20 . 511 0 . 511
40 . 1
比较相对论和非相对论的质量、动量和动能 相对论
非相对论
m0 m 0u
2
质量
动量
m0
m 0u
动能
( 1 )m 0 c
1 2
m 0u
2
练习:在什么速度下，粒子的动量等于其非相对论 动量的两倍？又在什么速度下，粒子的动能等于其 非相对论动能的两倍？ 解： 由题意: （1）
第八章 狭义相对论 *广义相对论简介 第二节 狭义相对论的基本原理 洛仑兹变换
例：有一静止的电子枪向相反方向发射甲、乙两个电 子。实验室测得甲电子的速率为 0.6c , 乙电子速率 为0.7c ，求一个电子相对于另一个电子的速率。
S 系
解： 设实验室为S 系， x
S系
o
甲 乙
甲电子为 S 系
在 S 系中，乙电子的速率为 v x 0 . 7 c S 系相对于S 系运动 u =-0.6c 由洛仑兹速度变换公式：
t s v 4.3 10
8 16
0.999 3 10 365 24 3600
4.55(年)
若用飞船上的钟测量，飞船飞到 星所需时间为

1
t
1 0.999 4.55 0.203(年)
2
旧教材:P203 8.2(3)
练习(P193 8.2(3)): 一列高速火车以速率u驶过车站, 站台上的观察者甲观 察到固定于站台、相距 1m 的两只机械手在车厢上同 时划出两个痕迹, 求车厢上的观察者乙测出两个痕迹间 的距离为多少？
解二：设飞船系为 s ，地球系为s ，飞船系中
x 90 t 90 c
由洛仑兹变换，地球系中：
x x u t
1 1 0 .8
2
90 90 0 . 8 c 270 m c
对不对？
s 解三：设飞船系为 s，地球系为 s ， 相对s以0.8c 运动，飞船系中 x 90 t 90 c
2 2 2
(1)
( 2)
m0 1 0.8
2
由于 m
mo 1 v / c
2 2


m0 0.6
代入(2) 式得: M 3m0
m0 0.6

14 3
m0
m0
再代入(1)
0.6 u 式得： 14 M 3
mv
0.8c m0
2 7
c
又由
M
Mo 1 u c
2
得
2
M0 M 1