第六讲 向的线性相关性

第六讲 向量的线性相关性

教学目的：

1. 介绍向量及其线性运算；

2. 讲解向量的线性相关性的概念及判别法；这是重点中之重点。 教学内容：

第三章 向量的线性相关性与秩：§ 3.1 n 维向量及其线性运算；

§ 3.2 向量的线性相关性

教材相关部分：

第三章 向量的线性相关性与秩

§ 3.1

n 维向量及其线性运算

一、n 维向量的概念

在中学物理中，力是一个有方向的量。如果让所有的力都从原点发出，决定其性质的便只有方

向和大小两个要素了。还有位移、速度、加速度等等，也都是同时具有大小和方向两个要素的量。这种量称为向量，可以用点的坐标来表示。

一个实数，是一维坐标，也表示一个实数轴上的向量，如5，也表示从0到5的一个向量， 称其为一维（实）向量（如图3.1）。一维向量的全体，记作{}R x x R ∈=|1

, 即实数轴。

x

‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

( 图3.1 )

一对实数，是二维坐标，也表示一个实平面上的向量，例如（1，2）也表示从原点到点（1，2）的一个向量，称其为二维（实）向量（如图 3.2）。二维向量的全体，也就是二维实平面，记作

{}R x x x R i ∈=|),(212。

三元实数组),,(k j i ，是一个三维坐标，也表示一个三维（实）向量（如图3.3）。三维向量的

全体，记作{}R x x x x R i ∈=|),,(3213

，就是立体几何中的三维实空间。

)

0 1 x （ 图3. 2 ） 1x ( 图3.3 ) 一般地我们有：

定义 3.1 由n 个数组成的n 元有序数组),,,(21n x x x Λ，称为一个n 维向量，其中i x 称为它的第i 个分量。如果n 个分量都是实数，便称为n 维实向量。

向量通常记作),,,(21n x x x X Λ=或),,(1n a a Λ=α。全体n 维实向量的集合记作

{}R x x x x X R i n n

∈==|),,,(21Λ。 (3.1)

今后如不加说明，本书中所说的向量都指实向量。n 维向量也可以写成列的形式，如

⎪

⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=n x x X M 1、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m y y Y M 1、⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=n a a M 1α 等，不过行的形式和列的形式不能混写。

特别地，将所有分量全为0的向量称为零向量，记作）（0,,0Λ=θ或⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=00M θ。

我们规定：两个向量相等，当且仅当二者的所有分量一一对应相等。写作： Y X = 当且仅当 i i y x i =∀,。

例 3.1 ⎪

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011e 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m y y Y M 1、⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛=n x x X M 1、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)()()(1X f X f X f m M 、)1,3(-=v 、

)0,1,0(2=ε、),,,(21n a a a Λ＝α，分别是三维、m 维、n 维、m 维、二维、三维、n 维（列或行）向量。而 )(X f Y =

则意味着m i x x f X f y n i i i ,,2,1),,,()(1ΛΛ===，即由m 个n 元函数组成的一个从向量到向量的多元映射。

二、向量的线性运算

定义3.2 设⎪

⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=n x x X M 1、⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=n y y Y M 1为两个n 维实向量，R l k ∈,为任意实数，定义向量的加

法和数乘为：

⎪

⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛++=+n n y x y x Y X M 11、

⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=n kx kx kX M 1。 (3.2 )

或者更一般地，将两个定义式合写作 ⎪

⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛++=+n n

ly kx ly kx lY kX M 11 (3.3 ) 称为向量X 和Y 的线性运算。当1==l k 或0=l 时，（3.3）式便分别是(3.2)的两个式子。

容易验证，线性运算满足以下运算律（n

R ∈∀γβα,,、R l k ∈,）： (1 ) αββα+=+；

(2 ) )()(γβαγβα++=++；

(3 ) ∃n

R ∈=T

)0,,0(Λθ，称为零元，n

R ∈∀α，恒有αθα=+；

(4 ) n

n R R ∈-∃∈∀)(,αα，称为α的负元，满足θαα=-+)(； (5 ) ααα=∈∀1,n

R ； (6 ) k k αα=；αα)()(kl l k =； (7 ) βαβαk k k +=+)(； (8 ) αααl k l k +=+)(。 这八条运算律表达了线性运算的规范性。

例 3.2 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111X 、⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛--=121Y ，求Y X X Y X 32,3,-+。

解： ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+010Y X , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3333X ，而⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=-58532Y X 。

例 3.3 设)3,1,5,2(1=α、)10,5,1,10(2=α、)1,1,1,4(3-=α，而向量α满足方程

)(5)(2)(3321αααααα+=++-，求α。

解 据运算律得： )24,18,12,6(5236321=-+=αααα，故 )4,3,2,1(=α。 三、线性组合与线性表示

定义 3.3 设k ααα,,,21Λ为一组n 维向量，k c c c ,,,21Λ为一组实数，k ααα,,,21Λ的一个线性组合就是线性运算式 k k c c c ααα+++Λ2211 ，称k c c c ,,,21Λ为组合系数。若将运算结果记为k k c c c αααβ+++=Λ2211，则说β可以由k ααα,,,21Λ线性表示（线性表出）。

例 3.4 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=534β、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1011α、⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=1122α，问：β能否由21,αα线性表示？