第11章 压杆稳定性问题

相等，则此压杆的临界压力又为多少？
（压杆满足欧拉公式计算条件）
h
动脑又动笔
解： 一端固定，一端自由，长度因数 μ=2 在应用欧拉公式时，截面的惯性
矩应取较小的I 值。
Iy 1 3 1 hb 90 403 mm 4 48 104 mm 4 12 12
b
F
l
1 3 1 I z bh 40 903 mm 4 243 104 mm 4 12 12
理解长细比、临界应力和临界应力总图的概念，熟 悉各类压杆的失效形式。
§11–1 压杆稳定性的基本概念
① 强度 衡量构件承载能力的指标 ② 刚度 ③ 稳定性 工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全 可靠地工作。 杆件在各种基本变形下的强度和刚度问题在前述各章节中 已作了较详细的阐述，但均未涉及到稳定性问题。事实上， 杆件只有在受到压力作用时，才可能存在稳定性的问题。
屈曲曲线是偏离原直线轴线不远的微弯状态。
F F EI L
M d2w 2 EI dx
§11–2 细长压杆的临界荷载—欧拉临界力
一、两端铰支压杆的临界力
多大的轴向压力才会使压杆失稳？
d2w EI 2 Fw 0 dx
y
M EI x w L
记
F
k2
F EI
F
F
x
d2w 2 k w0 2 dx
§11–3长细比的概念 三类不同压杆的判断
三、临界应力总图
cr
S
P
cr s
cr a b
2E cr 2
粗短杆 s
s s a
b
中长杆
P
细长杆

L
i
2E P P
§11–3长细比的概念 三类不同压杆的判断
求压杆临界压力的基本步骤 求压杆的临界压力是本章的重点内容。而压杆的临界压力的计 算是由其长细比决定的，不能简单地套用欧拉公式。计算步骤: （1）根据压杆的长度、截面、约束情况确定其长细比。 （2）根据计算得到的长细比确定压杆类型（细长杆、中长杆、 粗短杆）；
l
z y
FPcr
π 2 EI π 2 200 103 108 104 N 2 2 ( L) 2 2500 85187 N 85.19kN
动脑又动笔
F F F
【例5】 如图所示3根压杆的 材料及截面都相同，那一种
情况的压杆最容易发生失稳
5m 7m
？说明理由。
一端固定 另端铰支
FPcr B
两端固定
FPcr
一端固定 两端固定但可沿 另端自由 横向相对移动
FPcr B
FPcr
0.7l
0.5l
D
l
2l
l
l
l
A
C A
C— 挠曲 线拐点
A
C、D— 挠 曲线拐点
FPcr
C— 挠曲线拐点
FPcr
2 EI 临界力FPcr 2 EI FPcr FPcr 2 欧拉公式 (0.7l ) 2 l
= 0.5
§11–3长细比的概念 三类不同压杆的判断
一、 基本概念
1. 临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
cr
FPcr A
FPcr 2 EI 2E 2E 2. 细长压杆的临界应力： cr A ( L) 2 A ( L / i) 2 2
应往哪个方向移动？移动到何处可使结构抗失稳能力最大？
F EI 2L/ 3 L/ 2 F EI 2L/ 3 L/ 2 F
EI π 2 EI π 2 (0.7 2 L / 3) 2 0.22 L2
FPcr1
EI
FPcr2
2L/ 3 L/ 2
EI π 2 EI π 2 2 2 (2 L / 2) L
x 70 L 0.864 L 81
F EI x 7L / 6
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【例4】如图所示一细长的矩形截面压杆
，一端固定，一端自由。材料为钢，弹 性模量E = 200GPa，几何尺寸为： l=2.5m，b=40mm，h=90mm 。试计算此
l b
F
压杆的临界压力。若b=h=60mm ，长度
z y
FPcr2
π 2 EI π 2 EI 2 (2a) 4a 2
FPcr π 2 EI 4a 2
临界荷载
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【例2】将下面四种梁的临界荷载从大到小地排列起来。 FPcr
π 2 EI
3
EI 0.8L
FPcr π 2 EI π 2 EI (0.8 L) 2 0.64 L2
2
FPcr

i
L
i
—–长细比（柔度）
2E cr 2
I —– 惯性半径 A
§11–3长细比的概念 三类不同压杆的判断
3. 长细比： i
L
μ为反映不同支承影响的长度系数；l为压杆的长度；i是全面反映压 杆横截面形状不尺寸的几何量。长细比是综合反映压杆长度、约束条件、 截面尺寸和截面形状对临界载荷影响的量。
z y
I y Iz
按照 Iy计算临界压力。
h
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按照 Iy计算临界压力。
FPcr π 2 EI π 2 200 103 48 104 N 2 2 ( L) 2 2500 37860 N 37.86kN
h
F
b
若h=b=60mm
I y Iz 1 3 1 bh 604 mm 4 108 104 mm 4 12 12
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【例3】求图示结构的临界荷载。要提高构件抗失稳的能力，中间铰
应往哪个方向移动？移动到何处可使结构抗失稳能力最大？
要提高构件抗失稳的能力，中间铰应往右方向移动。 结构的两部分同时失稳时，抗失稳能力最大。
EI π 2 EI π 2 2 2 (0.7 x) 2 (7 L 6 x )
EI L
π 2 EI π 2 EI (0.7 L) 2 0.49 L2
L
2
4
2EI
L
FPcr π 2 EI
2
1
π EI 2 L2
2
EI 1.2L
FPcr π 2 EI π 2 EI (0.5 1.2 L) 2 0.36 L2
(2 L) 2
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【例3】求图示结构的临界荷载。要提高构件抗失稳的能力，中间铰
稳定的平衡状态在任意微小的外界扰动下， 将转发为其他平衡状态。这个过程就称为 屈曲或失稳。
FP<FPcr FP>FPcr 直线平衡构形 弯曲平衡构形
§11–1 压杆稳定性的基本概念
二、临界状态与临界载荷
临界（平衡）状态：介于稳定与不稳定平衡状态之间的平衡状态。 处于临界状态的平衡构形，有的是稳定的，有时是不稳定 的，也有的是中性的。非线性弹性稳定理论已经证明了：对于 细长压杆，临界平衡构形是稳定的。
临界载荷：使杆件处于临界状态的压缩荷载，用FPcr表示。
FP < FPcr 稳定的平衡状态 FP = FPcr 临界平衡状态 FP > FPcr 不稳定的平衡状态
§11–1 压杆稳定性的基本概念
三、三种类型压杆的不同临界状态
细长杆——发生弹性屈曲
当外加载荷FP < FPcr时，不发生屈曲； 当外加载荷FP >FPcr时，发生弹性屈曲，即当载荷除去 后，杆仍能由弯形平衡构形回复到初始直线平衡构形。
中长杆——发生弹塑性屈曲
当外加载荷FP >FPcr时，中长杆也会发生屈曲，但不再是弹 性的，这是因为这时压杆上的某些部分已经出现塑性发形。
粗短杆——不发生屈曲，而发生屈服或断裂。 三种压杆的失效形式不同，临界载荷当然也各不相同。
§11–2 细长压杆的临界荷载—欧拉临界力
理想压杆
理想压杆：无横向荷载，无初始曲率，轴向力作用在轴线上的压杆。 前提：压杆屈曲时仍处于弹性阶段；
弯矩与挠度 左段矩平衡
M d2 w 2 EI dx
M Fw 0
两端铰支压杆平衡微分方程
w A cos kx B sin kx
方程的通解 A、B不全为零。
§11–2 细长压杆的临界荷载—欧拉临界力
通解
y
w A cos kx B sin kx
kL n π
F nπ k2 EI L
F x M0
取截面下端研究，由力矩平衡有
M ( x) M 0 Fw 0
由上述两式，有
F
M0
EIw Fw M 0 F 令 k2 EI
w k 2 w k 2 M0 F
L
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M0 w k w k F
2 2
为求最小临界力，“k”应取 除零以外的最小值，即取：
（3）细长杆采用欧拉公式，中长杆采用经验公式，粗短杆采用
材料的极限应力来确定其临界应力； （4）根据临界应力计算临界压力。
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【例7】图示支架中圆形截面压杆AB的直径为28mm，材料为A3钢， E=200GPa。试求荷载F的最大值。
§11–4 压杆稳定性计算
一、压杆稳定性计算内容
确定临界载荷
二、三类不同压杆的分类
2E 2E cr 2 P P P
细长杆
中长杆 粗短杆
P
P S
发生弹性屈曲。临界应力
2E cr 2
发生弹塑性屈曲。临界应力 cr a b
S
不发生屈曲，发生屈服或断 cr s 裂。临界应力为屈服极限
n为屈曲模态的正弦半波数
§11–2 细长压杆的临界荷载—欧拉临界力
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
π 2 EI F 2 L
式中，E为弹性模量；EI为抗弯刚度；L为压杆长度； I为压杆横 截面的形心主惯性矩。如果两段的约束相同，I为压杆横截面的 最小的形心主惯性矩。
应用条件：
1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
二、其它刚性支承细长压杆临界载荷的通用公式
FPcr π 2 EI
L
2
压杆临界力欧拉公式的一般形式
μL —有效长度； μ—长度系数（或约束系数）。
§11–2 细长压杆的临界荷载—欧拉临界力
各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况 两端铰支
FPcr 失 稳 时 挠 曲 线 形 状 B
方程通解
M0 w A cos kx B sin kx F
边界条件
kL2
所以，临界力为：
x 0, w w 0 x L , w w 0
M0 A ,B 0 P kL 2n kL n
两式同时满足
kL 2n
4 2 EI 2 EI Fcr 2 L ( L / 2) 2
2
2
nπ F EI L
F
EI L
F
x
式中 n 应取最小的整数 1。 临界荷载
π 2 EI F 2 L
n x L
考虑 边界条件
w(0) 0 w( L) 0
sin kL 0 A0
屈曲曲线 w( x) A sin
A为屈曲模态幅值；
B sin kL 0
特征方程
A
B
9m C
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F
A
L 1 5 5
F F
B
C
L 0.7 7 4.9
L 0.5 9 4.5
5m 7m
最易失稳： A
最难失稳： C

A
B
9m C
动脑又动笔
【例6】 试导出两端固定细长压杆的临界力公式。
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
F
EIw M ( x)
2 EI
(0.5l ) 2
2 EI
(2l ) 2
FPcr
2 EI
l2
长度系数μ
μ=1
μ0.7
μ=0.5
μ=2
μ=1
0.5l
C
l
动脑又动笔
【例1】求图示的结构的临界荷载。
A a EI B EI 1.5a C F
FPcr1
π 2 EI π 2 EI (1.5a) 2 2.25a 2
第二篇 材料力学
本章主要内容
§11–1 压杆稳定性的基本概念 §11–2 细长压杆的临界荷载——欧拉临界力 §11–3 长细比的概念 三类不同压杆的判断 §11–4 压杆稳定性计算
本 章 基 本 要 求
掌握失稳的概念，了解构件失稳的特征。 熟练计算理想压杆在四种常见的约束形式下的临
界荷载。
§11–1 压杆稳定性的基本概念
一、平衡状态的稳定性和不稳定性
构件在特定的载荷作用下，在某一位置保持平衡，这个平衡位置称为 平衡构形。 判别弹性平衡稳定性的静力学准则
当载荷小于临界值时，在扰动作用下，直 线平衡构形转发为弯曲平衡构形。 扰动除去后，能够恢复到直线平衡构形， 则称原来的直线平衡构形是稳定的。 不能恢复到直线平衡构形，则称原来的直 线平衡构形是不稳定的。
当材料、约束及几何尺寸已知时，根据三类不同压杆临界应力公式 计算压杆的临界载荷。