人教版初中数学翻折的应用专题练习
数学人教版八年级上册折叠专项训练
折叠类专题复习横县横州镇第五初级中学韦永清折叠型问题是中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。
折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。
折叠的规律是，折叠前后两部分的图形，关于折痕成轴对称，两图形全等。
解决折叠型问题时，常用方程思想。
知识目标：1、理解折叠的本质2、能解决常见的折叠问题能力目标：1、提高学生动手能力和空间想象能力2、提高学生综合解题能力情感目标：激发学生学习兴趣，培养学生乐于动手、勤于实践的意识和习惯。
重点：折叠的本质、方程的思想难点：找准对应关系，快速找到解题的切入点。
学法指导：启发学生动手、动脑积极主动去解决折叠问题教学过程： 一、复习引入 实践与运用将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图①）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点 处，折痕为E G （如图②）；再展平纸片（如图③）．求图③中 的大小．动一动手：1、如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB ，再以AB 的中点O 为顶点把平角∠AOB 三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O 为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定 是（ ）A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形EDC F BA图①ED CABF GADE C BFG 图②图③αD 'α∠想一想：2、将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，•得到的图形是（ ）试一试：3、如图a 是长方形纸带，∠DEF =20°将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是 ．例题解析例1、如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，把△ADE 沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 内部变为A ′时，则∠A ′与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找出这规律。
初中数学翻折变换专题(完美版)
2021年最新12 翻折变换（折叠问题）一．选择题（共12小题）1．如图，矩形纸片ABCD，长AD＝9m，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长为（）A．7cm B．6cm C．5.5cm D．5cm【分析】由矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：由折叠的性质得：BE＝DE，设DE长为xcm，则AE＝（9﹣x）cm，BE＝xcm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，根据勾股定理得：AE2+AB2＝BE2，即（9﹣x）2+32＝x2，解得：x＝5，即DE长为5cm，故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．2．如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别是边AC、BC上两点．将△ABC沿DE翻折，点C正好落在线段AB上的点F处，使得AF：BF＝2：3．若BE＝16，则点F到BC边的距离是（）A．8B．12C ．D ．【分析】作EM⊥AB于M，由等边三角形的性质和直角三角形的性质求出BM ＝BE＝8，ME ＝BM＝8，由折叠的性质得出FE＝CE，设FE＝CE＝x，则AB＝BC＝16+x，得出BF ＝（16+x），求出FM＝BF﹣BM ＝（16+x）﹣8＝+x，在Rt△EFM中，由勾股定理得出方程，解方程求出BF＝21．作FN⊥BC于N，则∠BFN＝30°，由直角三角形的性质得出BN ＝BF ＝，得出FN ＝BN ＝即可．【解答】解：作EM⊥AB于M，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AB，∠B＝60°，∵EM⊥AB，∴∠BEM＝30°，∴BM ＝BE＝8，ME ＝BM＝8，由折叠的性质得：FE＝CE，设FE＝CE＝x，则AB＝BC＝16+x，∵AF：BF＝2：3，∴BF ＝（16+x），∴FM＝BF﹣BM ＝（16+x）﹣8＝+x，在Rt△EFM中，由勾股定理得：（8）2+（+x）2＝x2，解得：x＝19，或x＝﹣16（舍去），∴BF ＝（16+19）＝21，作FN⊥BC于N，则∠BFN＝30°，∴BN ＝BF ＝，∴FN ＝BN ＝，即点F到BC 边的距离是，故选：D．【点评】本题考查了翻折变换的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和等边三角形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．3．如图，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．点D和点E分别是BC边和AB 边上两点，连接DE．将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B恰好落在AC的中点处设DE与BB交于点F，则EF＝（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据等腰直角三角形的性质得到AB ＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，过B′作B′H⊥AB与H，得到AH＝B′H ＝AB′，求得AH＝B′H＝1，根据勾股定理得到BB′＝＝＝，由折叠的性质得到BF ＝BB ′＝，DE⊥BB′，根据相似三角形即可得到结论．【解答】解：∵在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2，∴AB ＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，过B′作B′H⊥AB与H，∴△AHB′是等腰直角三角形，∴AH＝B′H ＝AB′，∵AB ′＝AC ＝，∴AH＝B′H＝1，∴BH＝3，∴BB ′＝＝＝，∵将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，∴BF ＝BB ′＝，DE⊥BB′，∴∠BHB′＝∠BFE＝90°，∵∠EBF＝∠B′BH，∴△BFE∽△BHB′，∴＝，∴＝，∴EF ＝，故答案为：．故选：C．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC沿AC翻折得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则△ABE的面积为（）A ．B ．C．3 D ．【分析】由折叠的性质可知∠CAD＝30°＝∠CAB，AD＝AB＝2．由等腰三角形的性质得出∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．求出∠ECD＝30°．由三角形的外角性质得出∠E ＝75°﹣30°＝45°，过点C作CH⊥AE于H，过B作BM⊥AE于M，由直角三角形的性质得出CH ＝AC＝1，AH ＝CH ＝．得出HD＝AD﹣AH＝2﹣．求出EH＝CH＝1．得出DE＝EH﹣HD ＝﹣1，AE＝AD+DE＝1+，由直角三角形的性质得出AM ＝AB＝1，BM ＝AM ＝．由三角形面积公式即可得出答案．【解答】解：由折叠的性质可知：∠CAD＝30°＝∠CAB，AD＝AB＝2．∴∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．∴∠ECD＝180°﹣2×75°＝30°．∴∠E＝75°﹣30°＝45°．过点C作CH⊥AE于H，过B作BM⊥AE于M，如图所示：在Rt△ACH中，CH ＝AC＝1，AH ＝CH ＝．∴HD＝AD﹣AH＝2﹣．在Rt△CHE中，∵∠E＝45°，∴△CEH是等腰直角三角形，∴EH＝CH＝1．∴DE＝EH﹣HD＝1﹣（2﹣）＝﹣1，∴AE＝AD+DE＝1+，∵BM⊥AE，∠BAE＝∠BAC+∠CAD＝60°，∴∠ABM＝30°，∴AM ＝AB＝1，BM ＝AM ＝．∴△ABE 的面积＝AE×BM ＝×（1+）×＝；故选：B．【点评】本题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积等知识；熟练掌握翻折变换和等腰三角形的性质是解题的关键．5．如图，点F是长方形ABCD中BC边上一点将△ABF沿AF折叠为△AEF，点E落在边CD上，若AB＝5，BC＝4，则BF的长为（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据矩形的性质得到CD＝AB＝5，AD＝BC＝4，∠B＝∠D＝∠C＝90°，根据折叠的性质得到AE＝AB＝5，EF＝BF，根据勾股定理得到DE ＝＝＝3，求得CE＝2，设BF＝EF＝x，则CF＝4﹣x，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝4，∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵将△ABF沿AF折叠为△AEF，∴AE＝AB＝5，EF＝BF，∴DE ＝＝＝3，∴CE＝2，设BF＝EF＝x，则CF＝4﹣x，∵EF2＝CF2+CE2，∴x2＝（4﹣x）2+22，解得：x ＝，故选：B．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的矩形，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．6．如图，在矩形纸片ABCD中，CB＝12，CD＝5，折叠纸片使AD与对角线BD重合，与点A重合的点为N，折痕为DM，则△MNB的面积为（）A ．B ．C ．D．26【分析】由勾股定理得出BD ＝＝13，由折叠的性质可得ND＝AD＝12，∠MND＝∠A＝90°，NM＝AM，得出∠EA′B＝90°，BN＝BD﹣ND＝1，设AM＝NM＝x，则BM＝AB﹣AM＝5﹣x，在Rt△BMN中，由勾股定理得出方程，解方程得出NM＝AM ＝，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD＝BC＝12，AB＝CD＝5，∴BD ＝＝＝13，由折叠的性质可得：ND＝AD＝12，∠MND＝∠A＝90°，NM＝AM，∴∠EA′B＝90°，BN＝BD﹣ND＝13﹣12＝1，设AM＝NM＝x，则BM＝AB﹣AM＝5﹣x，在Rt△BMN中，NM2+BN2＝BM2，∴x2+12＝（5﹣x）2，解得：x ＝，∴NM＝AM ＝，∴△MNB 的面积＝BN×NM ＝×1×＝；故选：A．【点评】此题考查了折叠的性质、勾股定理以及矩形的性质．熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．7．如图，在△ABC中∠ACB＝90°、∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形、将四边形ACBD 折叠，使点D与点C重合，HK为折痕，则sin∠ACH的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】在Rt△ABC中，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a，AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC ＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝3a2，在Rt△ACH中，由勾股定理得AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2．解得x ＝a，即AH ＝a．求得HC的值后，利用sin∠ACH＝AH：HC求值．【解答】解：∵△ABD是等边三角形，∴∠BAD＝60°，AB＝AD，∵∠CAB＝30°，∴∠CAH＝90°．在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a．∴AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝（2a）2﹣a2＝3a2，在Rt△ACH中，AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2，解得x ＝a，即AH ＝a．∴HC＝2a﹣x＝2a ﹣a ＝a．∴sin∠ACH ＝＝，故选：C．【点评】本题考查了折叠的性质，锐角三角函数值，勾股定理的应用，熟练掌握折叠的性质和解直角三角形是解题的关键．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，连接AE、ED，将△ABE沿AE翻折，使点B落在B'处，线段EB'交AD于点F，将△ECD沿DE翻折，使点C的对应点C'落在线段EB'上，若点C'恰好为EB'的中点，则线段EF的长为（）A ．B ．C ．D ．【分析】由折叠的性质可得AB＝AB'＝CD＝C'D＝1，∠B＝∠B'＝90°＝∠C＝∠DC'E，BE＝B'E，CE＝C'E，由中点性质可得B'E＝2C'E，可得BC＝AD＝3EC，由勾股定理可求可求CE的长，由“AAS”可证△AB'F≌△DC'F，可得C'F＝B'F ＝，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，AD＝BC，∠B＝∠C＝90°由折叠的性质可得：AB＝AB'＝CD＝C'D＝1，∠B＝∠B'＝90°＝∠C＝∠DC'E，BE＝B'E，CE＝C'E，∵点C'恰好为EB'的中点，∴B'E＝2C'E，∴BE＝2CE，∴BC＝AD＝3EC，∵AE2＝AB2+BE2，DE2＝DC2+CE2，AD2＝AE2+DE2，∴1+4CE2+1+CE2＝9CE2，解得：CE ＝，∴B'E＝BE ＝，BC＝AD ＝，C'E ＝，∴B'C'＝，在△AB'F和△DC'F 中，∴△AB'F≌△DC'F（AAS），∴C'F＝B'F ＝，∴EF＝C'E+C'F ＝，故选：D．【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，求出CE 的长是本题的关键．9．如图，▱ABCD中，AB＝6，∠B＝75°，将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C，B′C交AD于E，∠B′AE＝45°，则点A到BC的距离为（）A．2B．3C ．D ．【分析】过B′作B′H⊥AD于H，根据等腰直角三角形的性质得到AH＝B′H ＝AB′，根据折叠的性质得到AB′＝AB＝6，∠AB′E＝∠B＝75°，求得∠AEB′＝60°，解直角三角形得到HE ＝B′H ＝，B′E＝2，根据平行线的性质得到∠DAC＝∠ACB，推出AE＝CE，根据全等三角形的性质得到DE＝B′E＝2，求得AD ＝AE+DE＝3+3，过A作AG⊥BC于G，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过B′作B′H⊥AD于H，∵∠B′AE＝45°，∴△AB′H是等腰直角三角形，∴AH＝B′H ＝AB′，∵将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C，∴AB′＝AB＝6，∠AB′E＝∠B＝75°，∴∠AEB′＝60°，∴AH＝B′H ＝×6＝3，∴HE ＝B′H ＝，B′E＝2，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠ACB′，∴∠EAC＝∠ACE，∴AE＝CE，∵∠AB′E＝∠B＝∠D，∠AEB′＝∠CED，∴△AB′E≌△CDE（AAS），∴DE＝B′E＝2，∴AD＝AE+DE＝3+3，∵∠AEB′＝∠EAC+∠ACE＝60°，∴∠ACE＝∠CAE＝30°，∴∠BAC＝75°，∴AC＝AD＝BC，∠ACB＝30°，过A作AG⊥BC于G，∴AG ＝AC ＝，故选：C．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．10．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形，E是AB 的中点，连结CE并延长交AD于F，如图2，现将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，则sin∠ACH的值为（）A ．B ．C ．D ．【分析】在Rt△ABC中，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a，AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC ＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝3a2，在Rt△ACH中，由勾股定理得AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2．解得x ＝a，即AH ＝a．求得HC的值后，利用sin∠ACH＝AH：HC求值．【解答】解：∵∠BAD＝60°，∠CAB＝30°，∴∠CAH＝90°．在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，设BC＝a，∴AB＝2BC＝2a．∴AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝（2a）2﹣a2＝3a2，在Rt△ACH中，AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2，解得x ＝a，即AH ＝a．∴HC＝2a﹣x＝2a ﹣a ＝a．∴sin∠ACH ＝＝，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质，锐角三角函数值，勾股定理的应用，注意：折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．11．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（）A ．B ．C ．D ．【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M ＝DM ＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长．【解答】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'为等边三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C ＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M ＝DM ＝，∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝＝＝，∵S△BDC'＝BC'•DH ＝BD•CM，∴DH＝3×，∴DH ＝，故选：B．【点评】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．12．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE＝1．连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AEF，连接DF．过点D 作DG⊥DE交BE于点G．则四边形DFEG的周长为（）A．8 B．4C．2+4 D．3+2【分析】先证△BDG≌△ADE，得出AE＝BG＝1，再证△DGE与△EDF是等腰直角三角形，在直角△AEB中利用勾股定理求出BE的长，进一步求出GE的长，可通过解直角三角形分别求出GD，DE，EF，DF的长，即可求出四边形DFEG的周长．【解答】解：∵∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，∴∠GBD+∠C＝90°，∵∠EAD+∠C＝90°，∴∠GBD＝∠EAD，∵∠ADB＝∠EDG＝90°，∴∠ADB﹣∠ADG＝∠EDG﹣∠ADG，即∠BDG＝∠ADE，∴△BDG≌△ADE（ASA），∴BG＝AE＝1，DG＝DE，∵∠EDG＝90°，∴△EDG为等腰直角三角形，∴∠AED＝∠AEB+∠DEG＝90°+45°＝135°，∵△AED沿直线AE翻折得△AEF，∴△AED≌△AEF，∴∠AED＝∠AEF＝135°，ED＝EF，∴∠DEF＝360°﹣∠AED﹣∠AEF＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形，∴EF＝DE＝DG，在Rt△AEB中，BE ＝＝＝2，∴GE＝BE﹣BG＝2﹣1，在Rt△DGE中，DG ＝GE＝2﹣，∴EF＝DE＝2﹣，在Rt△DEF中，DF ＝DE＝2﹣1，∴四边形DFEG的周长为：GD+EF+GE+DF＝2（2﹣）+2（2﹣1）＝3+2，故选：D．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够灵活运用等腰直角三角形的判定与性质．年数学二．填空题（共7小题）13．如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE、FG，得到∠AGE＝30°，若AE＝EG＝2厘米，则△ABC的边BC的长为（6+4）厘米．【分析】根据折叠的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，∴BE＝AE，AG＝GC，∵∠AGE＝30°，AE＝EG＝2厘米，∴AG＝6厘米，∴BE＝AE＝2厘米，GC＝AG＝6厘米，∴BC＝BE+EG+GC＝（6+4）厘米，故答案为：（6+4），【点评】此题考查翻折问题，关键是根据折叠的性质和含30°的直角三角形的性质解答．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于．【分析】根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE的长．【解答】解：由题意可得，DE＝DB＝CD＝AB，∴∠DEC＝∠DCE＝∠DCB，∵DE∥AC，∠DCE＝∠DCB，∠ACB＝90°，∴∠DEC＝∠ACE，∴∠DCE＝∠ACE＝∠DCB＝30°，复习题∴∠ACD ＝60°，∠CAD ＝60°，∴△ACD 是等边三角形，∴AC ＝CD ，∴AC ＝DE ，∵AC ∥DE ，AC ＝CD ，∴四边形ACDE 是菱形，∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝6，∠B ＝30°，∴AC ＝，∴AE ＝．【点评】本题考查翻折变化、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．15．已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝4，D 为斜边AB 上的中点，E 是直角边AC 上的一点，连接DE ，将△ADE 沿DE 折叠至△A ′DE ，A ′E 交BD 于点F ，若△DEF 的面积是△ADE 面积的一半，则CE ＝ 2 ． 【分析】根据等高的两个三角形的面积比等于边长比可得AD ＝2DF ，A 'F ＝EF ，通过勾股定理可得AB 的长度，可可求AD ，DF ，BF 的长度，可得BF ＝DF ，可证BEDA '是平行四边形，可得BE ＝A 'D ＝2，根据勾股定理可得CE 的长度【解答】解：如图连接BE∵∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝4∴AB ＝4 ∵D 是AB 中点练习∴BD ＝AD ＝2∵折叠 ∴AD ＝A 'D ＝2，S △ADE ＝S △A 'DE∵S △DEF ＝S △ADE∴AD ＝2DF ，S △DEF ＝S △A 'DE∴DF ＝，A 'F ＝EF ∴BF ＝DF ＝，且A 'F ＝EF∴四边形BEDA '是平行四边形∴A 'D ＝BE ＝∴根据勾股定理得：CE ＝2故答案为2 【点评】本题考查了折叠问题，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是用面积法解决问题． 16．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，tan A ＝，BC ＝，点D 是AB 边上一点，连接CD ，将△BCD 沿着CD 翻折得△B 1CD ，DB 1⊥AC 且交于点E ，则DE ＝．【分析】作BF ⊥AC 于F ，证明△B 1EC ≌△CFB （AAS ），得出B 1E ＝CF ＝1，设DE ＝3a ，则AD ＝5a ，得出BD ＝B 1D ＝3a +1，得出方程，解方程即可．【解答】解：作BF ⊥AC 于F ，如图所示：则∠AFB ＝∠CFB ＝90°，在Rt △ABF 中，tan A ＝＝，AB ＝5， ∴AF ＝4，BF ＝3，sin A ＝＝，∴CF＝AC﹣AF＝1，由折叠的性质得：B1C＝BC ＝，∠CB1E＝∠ABC，B1D＝BD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCF，∴∠CB1E＝∠BCF，∵DB1⊥AC，∴∠B1EC＝90°＝∠CFB，在△B1EC和△CBF 中，，∴△B1EC≌△CFB（AAS），∴B1E＝CF＝1，设DE＝3a，则AD＝5a，∴BD＝B1D＝3a+1，∵AD+BD＝AB，∴3a+1+5a＝5，∴a ＝，∴DE ＝；故答案为：【点评】本题考查了翻折的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形以及方程的解题思想，熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形全等是解题的关键．202117．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，把△ABC沿斜边AC折叠，使点B落在B ’，点D，点E分别为BC和AB′上的点，连接DE交AC于点F，把四边形ABDE沿DE折叠，使点B与点C重合，点A落在A′，连接AA′交B′C于点H，交DE于点G．若AB ＝3，BC＝4，则GE的长为．【分析】设HC＝HA＝x，在Rt△CA′H中，可得x2＝32+（4﹣x ）2，解得x＝，由△CA′H ∽△AGE，可得＝，由此即可解决问题．【解答】解：由题意四边形ABCA′是矩形，BD ＝CD＝2，AG＝GA′＝2，∵BC∥AA′，∴∠BCA＝∠CAA′，∵∠ACB＝∠ACB′，∴∠HCA＝∠HAC，∴HC＝HA，设HC＝HA＝x，在Rt△CA′H中，x2＝32+（4﹣x）2，∴x＝，∴A′H＝4﹣＝，由△CA′H∽△AGE，可得：＝，∴＝，∴EG＝．【点评】本题考查翻折变换，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝30°，且BC＝CA，将△ABC沿AC翻折至△AB′年数学C，AB′交CD于点E，连接B′D．若AB＝3，则B′D的长度为6．【分析】作CM⊥AB于M，由折叠的性质得：B'C＝BC＝AC，∠AB 'C＝∠B ＝∠CAB'＝30°，AB'＝AB＝CD，由平行四边形的性质得出AD＝CB，AB＝CD，∠ADC＝∠B＝30°，求出AD＝AC，AM＝BM＝AB＝，∠BAC＝∠B＝30°，由等腰三角形的性质得出∠ACD＝∠ADC＝30°，由直角三角形的性质得出CM＝，证出AD＝BC＝2CM＝3，再由勾股定理即可得出结果．【解答】解：作CM⊥AB于M，如图所示：由折叠的性质得：B'C＝BC＝AC，∠AB'C＝∠B＝∠CAB'＝30°，AB'＝AB＝CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AB＝CD，∠ADC ＝∠B ＝30°，∠BAD＝∠BCD＝180°﹣∠B＝150°，∴∠B'AD＝150°﹣30°﹣30°＝90°，∵BC＝AC，∴AM＝BM＝AB＝，∠BAC＝∠B＝30°，∴CM＝，∴AD＝BC＝2CM＝3，在Rt△AB'D中，由勾股定理得：B'D＝＝＝6；故答案为：6．【点评】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质，求出∠B'AD＝90°是解题年数学关键．19．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，使点D恰好落在BC边上的F点处．已知折痕AE＝10，且CE：CF＝4：3，那么该矩形的周长为96．【分析】由CE：CF＝4：3，可以假设CE＝4k，CF＝3k推出EF＝DE＝5k，AB＝CD＝9k，利用相似三角形的性质求出BF，再在Rt△ADE中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵CE：CF＝4：3，∴可以假设CE＝4k，CF＝3k∴EF＝DE＝5k，AB＝CD＝9k，∵∠AFE＝∠D＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AFB＝∠CEF，∴△ABF∽△FCE，∴∴∴BF＝12k∴AD＝BC＝15k，在Rt△AED中，∵AE2＝AD2+DE2，∴1000＝225k2+25k2，∴k＝2或﹣2（舍弃），∴矩形的周长＝48k＝96，故答案为：96【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．。
人教版初二数学8年级下册 第18章(平行四边形)翻折问题训练(含答案)
人教版数学八年级下期第十八章平行四边形翻折问题训练一、选择题1.如图所示，小明将一张矩形纸片ABCD分别沿EF，FG，GH，HE翻折，且使折叠后点A和点B的对应点为同一点M，点C和点D的对应点为同一点N，已知AD＝8，AB＝6，则四边形EFGH的周长是（）A. 15B. 152C. 87D. 472.如图，在正方形ABCD的边AB上取一点E，连接CE，将△BCE沿CE翻折，点B恰好与对角线AC上的点F重合，连接DF，若BE=1，则△CDF的面积是（ ）A. 1+324B. 62+8C. 32+4D. 3223.如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD边上的F点处，若△FDE的周长为14，△FCB的周长为22，则FC的长度为（ ）A. 4B. 6C. 5D. 34.如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC上的一点，连接AE并延长，交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点N处，AN的延长线交DC于点M，当AB=2CF时，则NM的长为（ ）A. 12B. 1 C. 32D. 545.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E为AD的中点，点F是AB边上任意一点，现将△AEF沿EF翻折，点A的对应点为A′，则当△A′BC面积最小时，折痕EF的长为（ ）A. 32B. 2C. 22D. 3226.如图，正方形ABCD的边长为4，E是AD边的中点，连接BE，将△ABE沿直线BE翻折至△FBE，延长EF交CD于点G，则CG的长度是（ ）A. 23B. 34C. 43D. 32二、填空题7.如图，将矩形纸片ABCD沿直线AF翻折，使点B恰好落在CD边的中点E处，点F在BC边上，若CD=6，则FC=______．8.如图，把菱形ABCD沿折痕AH翻折，使B点落在BC延长线上的点E处，连结DE，若∠B=32°，则∠CDE=______°．9.如图，ABCD是一张长方形纸片，且AD=2AB，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在BC上(如图中的点A’)，折痕交AB于点G，则∠ADG=______度．10.如图，正方形ABCD的边长为3，E、F分别为AB、CD上的点，∠CFE=60°，将四边形BCFE沿EF翻折，得到四边形B′C′FE，C′恰好落在AD边上，B′C′交AB于G，则GE的长是______．11.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60∘，点M是AD边的中点，连接MC，过点M将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为________．12.如图，正方形ABCD的边长为6，E为边AD上一点，连接BE，把△ABE沿BE翻折，得到△BEG，延长EG交DC于点P，EF平分∠DEP，过点F作FH⊥EP，垂足为H.当EH=GH时，BP的长为_________．三、解答题13.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△ODC沿CD翻折，点O落在点E处．求证：四边形OCED是菱形．14.如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=8，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP（点A落在点E处），PE与CD相交于点O，且OE=OD．（1）求证：△PDO≌△GEO；（2）求DP的长．15.如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE翻折，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB=3，AD=5，求四边形CEFG的面积.16.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，D是AB的中点，E是BC上的一点，将△ACE沿AE翻折，点C落在AB边上的F处.（1）求BE的长；（2）若CD交AE于点G，连接GF，证明四边形CEFG是菱形.17.将长方形纸片ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1处，BC1交AD于点E.∠DBC=15°，CD=3cm.（1）求证：EB=ED（2）计算AE的长（3）计算长方形ABCD的周长和面积.18.已知点P 为正方形ABCD 的边AD 上的一个动点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP位置，BE 延长线交射线CD 于F．（1）如图1，当点P 为AD 的中点时，求证：AB＋DF＝BF；（2）如图2，若AB＝6，AP＝4，求EF 的长；（3）如图3，BF 延长线交射线AD 于G，PE 延长线交BC 延长线于H，Q 为BC 延长线上一点，当四边形PHQG 为菱形时，求∠ABP 的大小．参考答案1.C2.A3.A4.A5.D6.C7.38.429.1510.4-2311.7-112.626513.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴DO=CO，由折叠可得，OD=ED，OC=EC，∴OD=ED=OC=EC，∴四边形OCED是菱形．14.证明：在△ODP和△OEG中，∠D=∠EOD=OE∴△PDO≌△GEO（ASA）∠DOP=∠EOG（2）∵△PDO≌△GEO；∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP，设AP=EP=x，则PD=GE=8-x，DG=x，∴CG=10-x，BG=10-（8-x）=2+x，根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2，即64+（10-x）2=（2+x）2，解得x=203∴DP=4315.解：（1）∵将△BCE沿BE翻折，得到△BEF，∴EF=EC，∠FEG=∠CEG，∵FG∥CE，∴∠CEG=∠FGE，∴∠FEG=∠FGE，∴EF=FG，∴FG=CE，∴四边形FGCE是平行四边形，又∵EF=FG，∴四边形CEFG是菱形；（2）由折叠的性质，BF=BC，EF=EC，∵AB=3，AD=5，∴BF=5，∴AF=4，∴FD=1，设EC=x，则EF=x，DE=3-x，在Rt △DEF 中，x 2=1+（3-x ）2，∴x =53，延长FG 交BC 于H ，∵FG ∥CD ，∴GH ⊥BC ，∴S △GCE =S △BCE -S △BCG ，即S △GCE =12×3×53-12×3×（3-53）=12，∴四边形CEFG 的面积=2S △GCE =1．16.解：（1）由题意得：AC =BC =2,,∴∠B =∠BAC =45° ,∴AB =22，∵AF =AC =2，∴FB =22−2，∵∠B =45° ,∠ EFB =90° ,∴△EFB 为等腰直角三角形，∴EB =4−22；（2）∵△ABC 是等腰直角三角形，且点D 是AB 的中点， ，，∴CD//EF ，，又，，∴CG =CE =EF ，∴四边形CEFG 为平行四边形，∵CE =EF ，∴四边形CEFG 是菱形.17.解：（1）证明：∵将长方形纸片沿BD 翻折∴∠CBD =∠C 1BD∴AD//BC∴∠EDB=∠CBD.∴∠EDB=∠C1BD.∴EB=ED；（2）四边形ABCD是长方形纸片∴AB=CD=3cm∠A=90°∵∠DBC=15°∴∠DBC=∠C1BD=∠EDB=15°∴∠AEB=30°.∴在Rt△AEB,BE=6.∴AE=33；（3）∵长方形ABCD中，AD=6+33,CD=3.∴长方形ABCD周长：18+63面积：18+93．18.证明：（1）连接PF，由题意，PE=PA=PD，∠PEF=90∘=∠D，又∵PF=PF，∴R t∆PDF≌R t∆PEF，∴DF=EF，∴AB+DF=BE+EF=BF；解：（2）延长BP、CD交于点G，设EF=x，∵AB //CD，∴∠G=∠ABP=∠PBF，∴GF=BF=6+x，∵AB //CD，∴∆ABP∽∆DGP，∴DG AB =DPAP，∴DG6=24，∴DG=3，∴DF=GF-DG=3+x，∵PF2=PD2+DF2=PE2+EF2，∴22+(3+x)2=x2+4，解得：x=12，即EF的长为12；（3）如图，∵四边形PHQG 为菱形，∴PG=PH，∵AD //BC，∴∠APB=∠PBH，∵∠APB=∠BPH，∴∠PBH=∠BPH，∴BH=PH，∴PG=BH，∴四边形PBHG是平行四边形，又∵PH⊥BG，∴四边形PBHG 为菱形，∴PB=PG，∴∠PGB=∠PBG=∠ABP，∵∠ABG+∠PGB=90∘，∴3∠ABP=90∘，∴∠ABP=30∘.。
人教版八年级数学下册《利用勾股定理解决折叠问题的技巧》练习题(附带答案)
人教版八年级数学下册《利用勾股定理解决折叠问题的技巧》练习题(附带答案）类型一 利用勾股定理解决三角形的折叠问题1．如图 △ABC 中 ∠ACB ＝90° AC ＝8 BC ＝6 将△ADE 沿DE 翻折使点A 与点B 重合 则CE 的长为 ．思路引领：设CE ＝x 则AE ＝BE ＝8﹣x 在Rt △BCE 中 由勾股定理可得62+x 2＝（8﹣x ）2 即可解得答案．解：设CE ＝x 则AE ＝BE ＝8﹣x在Rt △BCE 中 BC 2+CE 2＝BE 2∴62+x 2＝（8﹣x ）2解得x =74故答案为：74． 总结提升：本题考查直角三角形中的折叠问题 解题的关键是掌握折叠的性质 熟练应用勾股定理列方程解决问题．2．（2021秋•介休市期中）如图所示 有一块直角三角形纸片 ∠C ＝90° AC ＝8cm BC ＝6cm 将斜边AB 翻折 使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处 折痕为AD 则CE 的长为 cm ．思路引领：根据勾股定理可将斜边AB 的长求出 根据折叠的性质知 AE ＝AB 已知AC 的长 可将CE 的长求出．解：在Rt △ABC 中∵∠C＝90°AC＝8cm BC＝6cm∴AB=√AC2+BC2=10cm根据折叠的性质可知：AE＝AB＝10cm∵AC＝8cm∴CE＝AE﹣AC＝2cm即CE的长为2cm故答案为：2．总结提升：此题考查翻折问题将图形进行折叠后两个图形全等是解决折叠问题的突破口．3．（2020秋•金台区校级期末）如图在△ABC中∠ACB＝90°点E F在边AB上将边AC沿CE翻折使点A落在AB上的点D处再将边BC沿CF翻折使点B落在CD的延长线上的点B′处（1）求∠ECF的度数；（2）若CE＝4 B′F＝1 求线段BC的长和△ABC的面积．思路引领：（1）由折叠可得∠ACE＝∠DCE=12∠ACD∠BCF＝∠B'CF=12∠BCB' 再根据∠ACB＝90°即可得出∠ECF＝45°；（2）在Rt△BCE中根据勾股定理可得BC=√41设AE＝x则AB＝x+5 根据勾股定理可得AE2+CE2＝AB2﹣BC2即x2+42＝（x+5）2﹣41 求得x=165得出AE的长和AB的长再由三角形面积公式即可得出S△ABC．解：（1）由折叠可得∠ACE＝∠DCE=12∠ACD∠BCF＝∠B'CF=12∠BCB'又∵∠ACB＝90°∴∠ACD+∠BCB'＝90°∴∠ECD+∠FCD=12×90°＝45°即∠ECF＝45°；（2）由折叠可得：∠DEC＝∠AEC＝90°BF＝B'F＝1 ∴∠EFC＝45°＝∠ECF∴CE＝EF＝4∴BE＝4+1＝5在Rt△BCE中由勾股定理得：BC=√BE2+CE2=√52+42=√41设AE＝x则AB＝x+5∵Rt△ACE中AC2＝AE2+CE2Rt△ABC中AC2＝AB2﹣BC2∴AE2+CE2＝AB2﹣BC2即x2+42＝（x+5）2﹣41解得：x=16 5∴AE=165AB＝AE+BE=165+5=415∴S△ABC=12AB×CE=12×415×4=825．总结提升：本题主要考查了折叠变换的性质、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握折叠变换的性质由勾股定理得出方程是解题的关键．4．（2022秋•安岳县期末）如图在△ABC中∠C＝90°把△ABC沿直线DE折叠使△ADE与△BDE 重合．（1）若∠A＝34°则∠CBD的度数为；（2）当AB＝m（m＞0）△ABC的面积为2m+4时△BCD的周长为（用含m的代数式表示）；（3）若AC＝8 BC＝6 求AD的长．思路引领：（1）根据折叠可得∠1＝∠A＝34°根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC＝56°进而得到∠CBD＝22°；（2）根据三角形ACB的面积可得12AC•BC＝2m+4 进而得到AC•BC＝4m+8 再在Rt△CAB中CA2+CB2＝BA2再把左边配成完全平方可得CA+CB的长进而得到△BCD的周长；（3）根据折叠可得AD＝DB设CD＝x则AD＝BD＝8﹣x再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x2+62＝（8﹣x）2再解方程可得x的值进而得到AD的长．解：（1）∵把△ABC 沿直线DE 折叠 使△ADE 与△BDE 重合∴∠ABD ＝∠A ＝34°∵∠C ＝90°∴∠ABC ＝180°﹣90°﹣34°＝56°∴∠CBD ＝56°﹣34°＝22°故答案为：22°；（2）∵△ABC 的面积为2m +4∴12AC •BC ＝2m +4 ∴AC •BC ＝4m +8∵在Rt △CAB 中 CA 2+CB 2＝BA 2 AB ＝m∴CA 2+CB 2+2AC •BC ＝BA 2+2AC •BC∴（CA +BC ）2＝m 2+8m +16＝（m +4）2∴CA +CB ＝m +4∵AD ＝DB∴CD +DB +BC ＝m +4．即△BCD 的周长为m +4故答案为：m +4；（3）∵把△ABC 沿直线DE 折叠 使△ADE 与△BDE 重合∴AD ＝DB设CD ＝x 则AD ＝BD ＝8﹣x在Rt △CDB 中 CD 2+CB 2＝BD 2x 2+62＝（8﹣x ）2解得：x =74AD ＝8−74=254．总结提升：此题主要考查了图形的翻折变换 以及勾股定理 完全平方公式 关键是掌握勾股定理 以及折叠后哪些是对应角和对应线段．5．（2021秋•章丘区期中）（1）如图① Rt △ABC 的斜边AC 比直角边AB 长2cm 另一直角边BC 长为6cm 求AC 的长．（2）拓展：如图②在图①的△ABC的边AB上取一点D连接CD将△ABC沿CD翻折使点B的对称点E落在边AC上．①AE的长．②求DE的长．思路引领：（1）在Rt△ABC中由勾股定理可求AB的长即可求解；（2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°DE＝DB EC＝BC＝6cm于是得到答案；②在Rt△ADE中由勾股定理可求DE的长．解：（1）设AB＝xcm则AC＝（x+2）cm∵AC2＝AB2+BC2∴（x+2）2＝x2+62解得x＝8∴AB＝8cm∴AC＝8+2＝10（cm）；（2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°DE＝DB EC＝BC＝6cm∴∠AED＝90°AE＝AC﹣EC＝4（cm）；②设DE＝DB＝ycm则AD＝AB﹣BD＝（8﹣y）cm在Rt△ADE中AD2＝AE2+DE2∴（8﹣y）2＝42+y2解得：y＝3∴DE＝3（cm）．总结提升：本题考查了翻折变换折叠的性质勾股定理利用勾股定理列出方程是本题的关键．类型二利用勾股定理解决长方形的折叠问题6．（2022•纳溪区模拟）如图在矩形ABCD中AB＝5 AD＝3 点E为BC上一点把△CDE沿DE翻折 点C 恰好落在AB 边上的F 处 则CE 的长为 ．思路引领：利用勾股定理得出AF 的长度 再利用折叠的性质 在△BEF 中求解BE 的长 即可得出CE 的长度．解：在矩形ABCD 中 AB ＝5 AD ＝3 由折叠的性质可得：DF ＝DC ＝AB ＝5∴AF =√DF 2−AD 2=√52−32=4∴BF ＝AB ﹣AF ＝5﹣4＝1设CE ＝x 则：EF ＝CE ＝x BE ＝BC ﹣CE ＝3﹣x在Rt △BEF 中 由勾股定理可得：12+（3﹣x ）2＝x 2解得：x =53∴CE =53故答案为：53． 总结提升：本题考查了折叠的性质、矩形的性质和勾股定理等知识点 解题的关键是利用AF 求出BF 的长度．7．（2021•郯城县校级模拟）如图 在长方形ABCD 中 AB ＝3cm AD ＝9cm 将此长方形折叠 使点D 与点B 重合 折痕为EF 则△ABE 的面积为（ ）cm 2．A ．12B ．10C ．6D ．15思路引领：由长方形的性质得BAE ＝90° 再由折叠的性质得BE ＝ED 然后在Rt △ABE 中 由勾股定理得32+AE2＝（9﹣AE）2解得AE＝4（cm）即可求解．解：∵四边形ABCD是长方形∴∠BAE＝90°∵将此长方形折叠使点B与点D重合∴BE＝ED∵AD＝9＝AE+DE＝AE+BE∴BE＝9﹣AE在Rt△ABE中由勾股定理得：AB2+AE2＝BE2∴32+AE2＝（9﹣AE）2解得：AE＝4（cm）∴S△ABE=12AB•AE=12×3×4＝6（cm2）故选：C．总结提升：本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质由勾股定理得出方程是解题的关键．8．（2020春•余干县校级期末）如图把长方形纸片ABCD沿EF折叠使点B落在边AD上的点B'处点A落在点A'处．（1）试说明B'E＝BF；（2）设AE＝a AB＝b BF＝c试猜想a b c之间的关系并说明理由．思路引领：（1）根据折叠的性质、平行的性质及等角对等边即可说明；（2）根据折叠的性质将AE、AB、BF都转化到直角三角形△A'B'E中由勾股定理可得a b c之间的关系．（1）证明：由折叠的性质得：B'F＝BF∠B'FE＝∠BFE在长方形纸片ABCD中AD∥BC∴∠B'EF＝∠BFE∴∠B'FE＝∠B'EF∴B'F＝B'E∴B'E＝BF．（2）解：a b c之间的关系是a2+b2＝c2．理由如下：由（1）知B'E＝BF＝c由折叠的性质得：∠A'＝∠A＝90°A'E＝AE＝a A'B'＝AB＝b．在△A'B'E中∵∠A'＝90°∴A'E2+A'B'2＝B'E2∴a2+b2＝c2．总结提升：本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；灵活利用折叠的性质进行线段间的转化是解题的关键．9．（2020秋•罗湖区校级期末）如图把一张长方形纸片ABCD折叠起来使其对角顶点A与C重合D 与G重合若长方形的长BC为8 宽AB为4 求：（1）DE的长；（2）求阴影部分△GED的面积．思路引领：（1）设DE＝EG＝x则AE＝8﹣x在Rt△AEG中根据AG2+EG2＝AE2构建方程即可解决问题；（2）过G点作GM⊥AD于M根据三角形面积不变性AG×GE＝AE×GM求出GM的长根据三角形面积公式计算即可．解：（1）设DE＝EG＝x则AE＝8﹣x在Rt△AEG中AG2+EG2＝AE2∴16+x2＝（8﹣x）2解得x＝3∴DE＝3．（2）过G 点作GM ⊥AD 于M则12•AG ×GE =12•AE ×GM AG ＝AB ＝4 AE ＝CF ＝5 GE ＝DE ＝3 ∴GM =125∴S △GED =12GM ×DE =185．总结提升：本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性 灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键．类型三 利用勾股定理解决正方形的折叠问题10．（2019•黔东南州一模）如图 将边长为6cm 的正方形纸片ABCD 折叠 使点D 落在AB 边中点E 处 点C 落在点Q 处 折痕为FH 则线段AF 的长为（ ）A ．32B ．3C ．94D ．154思路引领：由正方形的性质和折叠的性质可得EF ＝DE AB ＝AD ＝6cm ∠A ＝90° 由勾股定理可求AF 的长．解：∵将边长为6cm 的正方形纸片ABCD 折叠 使点D 落在AB 边中点E 处∴EF ＝DE AB ＝AD ＝6cm ∠A ＝90°∵点E 是AB 的中点∴AE ＝BE ＝3cm在Rt △AEF 中 EF 2＝AF 2+AE 2∴（6﹣AF ）2＝AF 2+9∴AF=9 4故选：C．总结提升：本题考查了翻折变换正方形的性质勾股定理利用勾股定理求线段的长度是本题的关键．11．如图将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠使点D落在BC边的中点E处点A落在点F处折痕为MN则线段CN的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm思路引领：由折叠的性质可得DN＝NE由中点的性质可得EC＝4cm结合正方形的性质可得∠BCD＝90°；设CN的长度为xcm则EN＝DN＝（8﹣x）cm接下来在直角△CEN中运用勾股定理就可以求出CN的长度．解：∵四边形MNEF是由四边形ADMN折叠而成的∴DN＝NE．∵E是BC的中点且BC＝8cm∴EC＝4cm．∵四边形ABCD是正方形∴∠BCD＝90°．设CN的长度为xcm则EN＝DN＝（8﹣x）cm由勾股定理NC2+EC2＝NE2得x2+42＝（8﹣x）2解得x＝3．故选：A．总结提升：本题考查翻折变换的问题折叠问题其实质是轴对称对应线段相等对应角相等找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．第二部分专题提优训练1．（2022秋•慈溪市校级期中）在Rt△ABC中∠B＝90°AB＝4 BC＝8 D、E分别是边AC、BC上的点将△ABC沿着DE进行翻折点A和点C重合则EC＝．思路引领：设EC ＝x 在Rt △ABE 中 由勾股定理得42+（8﹣x ）2＝x 2 即可解得答案．解：设EC ＝x 则BE ＝8﹣x∵将△ABC 沿着DE 进行翻折 点A 和点C 重合∴AE ＝EC ＝x在Rt △ABE 中 AB 2+BE 2＝AE 242+（8﹣x ）2＝x 2解得x ＝5∴EC ＝5故答案为：5．总结提升：本题考查直角三角形中的翻折问题 解题的关键是掌握翻折的性质 能应用勾股定理列方程解决问题．2．（2021秋•靖江市期中）如图 在Rt △ABC 中 ∠C ＝90° D 是AB 的中点 AD ＝5 BC ＝8 E 是直线BC 上一动点 把△BDE 沿直线ED 翻折后 点B 落在点F 处 当FD ⊥BC 时 线段BE 的长为 ．思路引领：分点F 在BC 下方 点F 在BC 上方两种情况讨论 由勾股定理可BC ＝4 由平行线分线段成比例可得BD AD =BP BC =DP AC =12 求出FP 由勾股定理可求BE 的长． 解：若点F 在BC 下方时 DF 与BC 交于点P 如图1所示：∵D 是AB 的中点∴BD ＝AD ＝5∴AB ＝2AD ＝10∵∠C ＝90° BC ＝8∴AC =√AB 2−BC 2=√102−82=6∵点D 是AB 的中点∵FD ⊥BC ∠C ＝90°∴FD ∥AC∴BD AD =BP BC =DP AC =12 ∴BP ＝PC =12BC ＝4 DP =12AC ＝3∵△BDE 沿直线ED 翻折∴FD ＝BD ＝5 FE ＝BE∴FP ＝FD ﹣DP ＝5﹣3＝2在Rt △FPE 中 EF 2＝FP 2+PE 2∴BE 2＝22+（4﹣BE ）2解得：BE =52；若点F 在BC 上方时 FD 的延长线交BC 于点P 如图2所示：FP ＝DP +FD ＝3+5＝8在Rt △EFP 中 EF 2＝FP 2+EP 2∴BE 2＝64+（BE ﹣4）2解得：BE ＝10故答案为：52或10．总结提升：此题考查了折叠的性质、平行线的性质、直角三角形的性质以及勾股定理等知识 熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．3．如图 在Rt △ABC 中 AC ＝6 BC ＝8 D 为BC 上一点 将Rt △ABC 沿AD 折磨 点C 恰好落在AB 边上的E 点 求BD 的长．思路引领：由勾股定理求出AB＝10 由折叠的性质得出CD＝DE∠C＝∠AED＝90°AE＝AC＝6 得出BE＝AB﹣AE＝4 ∠BED＝90°设CD＝ED＝x则BD＝8﹣x在Rt△BDE中由勾股定理得出方程解方程即可．解：∵Rt△ABC中AC＝6 BC＝8∴AB=√62+82=10由折叠的性质得：CD＝DE∠C＝∠AED＝90°AE＝AC＝6∴BE＝AB﹣AE＝4 ∠BED＝90°设CD＝ED＝x则BD＝8﹣x在Rt△BDE中由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2解得：x＝3∴BD＝8﹣3＝5．总结提升：本题考查了翻折变换的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质由勾股定理得出方程是解题的关键．4．（2018秋•襄汾县校级月考）如图在Rt△ABC中∠C＝90°AC＝8 BC＝6 按图中所示方法将△BCD沿BD折叠使点C落在边AB上的点C'处求AD的长及四边形BCDC′的面积．思路引领：利用勾股定理列式求出AB根据翻折变换的性质可得BC′＝BC C′D＝CD然后求出AC′设AD＝x表示出C′D、AC′然后利用勾股定理列方程求解即可求出AD；然后根据三角形的面积公式计算即可求出四边形BCDC′的面积．解：∵∠C＝90°AC＝8 BC＝6∴AB=√AC2+BC2=10由翻折变换的性质得BC′＝BC＝6 C′D＝CD∴AC′＝AB﹣BC′＝10﹣6＝4设CD＝x则C′D＝x AD＝8﹣x在Rt△AC′D中由勾股定理得AC′2+C′D2＝AD2即42+x2＝（8﹣x）2解得x＝3即CD＝3∴AD＝8﹣x＝5；由折叠可知：S△BCD＝S△BC′D∴四边形BCDC′的面积＝2S△BCD＝2×12×CD•BC＝3×6＝18．总结提升：本题考查了翻折变换的性质勾股定理此类题目熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．5．（2021春•厦门期中）在矩形ABCD中AB＝3 BC＝4 E是AB上一个定点点F是BC上一个动点把矩形ABCD沿直线EF折叠点B的对应点B′落在矩形内部．若DB′的最小值为3 则AE＝53．思路引领：连接DE则DB′+EB′≥DE由EB′＝EB为定值故当D E B′三点共线时DB′最小利用勾股定理建立方程即可求解．解：如图1 连接DE由折叠性质可得：EB′＝EB∵DB′+EB′≥DE∴DB′≥DE﹣EB′＝DE﹣EB∵点E为定点∴EB为定值∴当D E B′三点共线时DB′最小且最小值为3∴DB′＝3如图2∵四边形ABCD 为矩形∴∠A ＝90° AD ＝BC ＝4设AE ＝x 则：EB ′＝EB ＝AB ﹣AE ＝3﹣x∴ED ＝EB ′+DB ′＝3﹣x +3＝6﹣x在Rt △AED 中 由勾股定理可得：x 2+42＝（6﹣x ）2解得：x =53∴AE =53故答案为：53． 总结提升：本题考查折叠的性质、矩形的性质、勾股定理等知识点 解题的关键是运用方程思想．6．（2021秋•城阳区校级月考）把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠 使顶点B 和点D 重合 折痕为EF ．若AB ＝3cm BC ＝5cm 则重叠部分△DEF 的面积是（ ）cm 2．A ．2B ．3.4C ．4D ．5.1思路引领：由矩形的性质得AD ＝BC ＝5cm CD ＝AB ＝3cm ∠A ＝90° 再由折叠的性质得A 'D ＝AB ＝3cm ∠A '＝∠A ＝90° AE '＝AE 设AE ＝xcm 则A ′E ＝xcm DE ＝（5﹣x ）cm 然后在Rt △A 'DE 中 由勾股定理得出方程 解方程 进而得出DE 的长 即可解决问题．解：∵四边形ABCD 是矩形 AB ＝3cm BC ＝5cm∴AD＝BC＝5cm CD＝AB＝3cm∠A＝90°由折叠的性质得：A'D＝AB＝3cm∠A'＝∠A＝90°AE'＝AE 设AE＝xcm则A′E＝xcm DE＝（5﹣x）cm在Rt△A'DE中由勾股定理得：A′E2+A′D2＝ED2即x2+32＝（5﹣x）2解得：x＝1.6∴DE＝5﹣1.6＝3.4（cm）∴△DEF的面积=12DE•CD=12×3.4×3＝5.1（cm2）故选：D．总结提升：此题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质由勾股定理得出方程是解题的关键．7．（2017秋•金牛区校级月考）如图在矩形ABCD中E是AD的中点将△ABE沿BE折叠后得到△GBE 延长BG交CD于点F结果发现F点恰好是DC的中点若BC＝2√6则AB的长为？思路引领：连接EF由折叠性质得AE＝EG∠A＝∠EGB＝90°BG＝AB则∠EGF＝90°易证EG＝DE由矩形的性质得AB＝CD∠C＝∠D＝90°推出∠EGF＝∠D＝90°由HL证得Rt△EGF≌Rt△EDF得出FG＝FD求得CF＝DF＝FG=12CD=12AB BF＝BG+FG=32AB由勾股定理得出BC2+CF2＝BF2即可得出结果．解：连接EF如图所示：由折叠性质得：AE＝EG∠A＝∠EGB＝90°BG＝AB ∴∠EGF＝90°∵点E是AD的中点∴AE＝DE∴EG＝DE∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD∠C＝∠D＝90°∴∠EGF ＝∠D ＝90°在Rt △EGF 与Rt △EDF 中 {EG =ED EF =EF∴Rt △EGF ≌Rt △EDF （HL ）∴FG ＝FD∵F 点恰好是DC 的中点∴CF ＝DF ＝FG =12CD =12AB∴BF ＝BG +FG ＝AB +12AB =32AB在Rt △BCF 中 BC 2+CF 2＝BF 2即：（2√6）2+（12AB ）2＝（32AB ）2 解得：AB ＝2√3．总结提升：本题考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识 熟练掌握折叠的性质 证明三角形全等是解题的关键．8．（2018春•新抚区校级期中）如图 在矩形ABCD 中 已知AD ＝10 AB ＝8 将矩形ABCD 沿直线AE 折叠 顶点D 恰好落在BC 边上的F 处 求CE 的长．思路引领：先根据矩形的性质得AD ＝BC ＝10 AB ＝CD ＝8 再根据折叠的性质得AF ＝AD ＝10 EF ＝DE 在Rt △ABF 中 利用勾股定理计算出BF ＝6 则CF ＝BC ﹣BF ＝4 设CE ＝x 则DE ＝EF ＝8﹣x 然后在Rt △ECF 中根据勾股定理得到x 2+42＝（8﹣x ）2 再解方程即可得到CE 的长．解：∵四边形ABCD 为矩形∴AD ＝BC ＝10 AB ＝CD ＝8∵矩形ABCD 沿直线AE 折叠 顶点D 恰好落在BC 边上的F 处∴AF＝AD＝10 EF＝DE在Rt△ABF中∵BF=√AF2−AB2=6∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4设CE＝x则DE＝EF＝8﹣x在Rt△ECF中∵CE2+FC2＝EF2∴x2+42＝（8﹣x）2解得x＝3即CE＝3．总结提升：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换它属于轴对称折叠前后图形的形状和大小不变位置变化对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．9．（2018秋•通川区校级期中）将一张边长为2的正方形纸片ABCD对折设折痕为EF（如图（1））；再沿过点D的折痕将∠A翻折使得点A落在线段EF上的点H处（如图（2））折痕交AE于点G则EG 的长度是（）A．8﹣4√3B．4√3−6C．4﹣2√3D．2√3−3思路引领：由于正方形纸片ABCD的边长为2 所以将正方形ABCD对折后AF＝DF＝1 由折叠的性质得出AD＝DH＝2 AG＝GH在Rt△DFH中利用勾股定理可求出HF的长进而求出EH的长再设EG＝x在Rt△EGH中利用勾股定理即可求解．解：∵正方形纸片ABCD的边长为2∴将正方形ABCD对折后AE＝DF＝1∵△GDH是△GDA沿直线DG翻折而成∴AD＝DH＝2 AG＝GH在Rt△DFH中HF=√HD2−DF2=√22−12=√3∴EH＝2−√3在Rt△EGH中设EG＝x则GH＝AG＝1﹣x∴GH2＝EH2+EG2即（1﹣x）2＝（2−√3）2+x2解得x＝2√3−3．∴EG＝2√3−3．故选：D．总结提升：本题考查了正方形的性质折叠的性质勾股定理关键是学会用方程的思想方法解题．10．（2020秋•新都区校级月考）如图AD是△ABC的中线∠ADC＝45°把△ADC沿着直线AD对折点C落在点E的位置．如果BC＝6 那么以线段BE为边长的正方形的面积为（）A．6B．72C．12D．18思路引领：由题意易得BD＝CD＝DE＝3 再求出∠BDE＝90°然后根据勾股定理求出BE最后由正方形的面积进行求解即可．解：∵D是BC中点BC＝6∴BD＝CD＝3由折叠的性质得：CD＝DE＝3 ∠ADC＝∠ADE＝45°即∠CDE＝90°∴BD＝DE＝3 ∠BDE＝90°在Rt△BDE中由勾股定理得：BE=√BD2+DE2=√32+32=3√2∴以BE为边的正方形面积为：（3√2）2＝18故选：D．总结提升：本题考查了折叠的性质、勾股定理、正方形的面积计算等知识熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键．。
期末考试勾股定理与几何翻折压轴题专项训练—2023-2024学年八年级数学下学期(人教版)(解析版)
期末考试勾股定理与几何翻折压轴题专项训练【例题精讲】例1．（三角形翻折问题）如图，在Rt ABC △中，9086ABC AB BC ∠=︒==，，，分别在AB AC ，边上取点E F ，，将AEF △沿直线EF 翻折得到A EF '△，使得点A 的对应点A '恰好落在CB 延长线上，当60EA B '∠=︒时，AE 的长为 ，当A F AC '⊥时，AF 的长为 ．【答案】 32− 407【分析】由折叠的性质可得AE A E '=，先求出30A EB '∠=︒，从而可得1122A B A E AE ''==，再由勾股定理可得BE AE =，最后由AE BE AB +=，进行计算即可；令A F '交AB 于G ，连接CG ，由折叠的性质可得：A EA F '∠=∠，AFE A FE '∠=∠，AEF A EF '∠=∠，AF A F '=，由A F AC '⊥得出90A FA A FC ''∠=∠=︒，45AFE A FE '∠=∠=︒，证明()ASA A FC AFG '≌得到CF FG =，设CF FG x ==，则10AF x =−，AG ，根据1122ACG S AC FG AG BC =⋅=⋅建立方程，解方程即可得出CF 的长，即可求解．【详解】解：由折叠的性质可得：AE A E '=，90ABC ∠=︒，18090A BE ABC '∴∠=︒−∠=︒，60EA B '∠=︒，9030A EB EA B ''∴∠=︒−∠=︒，1122A B A E AE ''∴==，BE AE∴==，AE BE AB+=，8AE AE∴=，32AE∴=−如图，令A F'交AB于G，连接CG，A F AC'⊥，90A FA A FC''∴∠=∠=︒，由折叠的性质可得：A EA F'∠=∠，AFE A FE'∠=∠，AEF A EF'∠=∠，AF A F'=，90AFE A FE'∠+∠=︒，45AFE A FE'∴∠=∠=︒，设A EA Fα'∠=∠=，则45FEB AFEα∠=∠=+︒，180135AEF FEB A EFα'∴∠=︒−∠=︒−=∠，()13545902A EB A EF BEFααα''∴∠=∠−∠=︒−−︒+=︒−，902EA B A EBα''∴∠=︒−∠=，FA C EA B EA F Aα'''∴∠=∠−∠==∠，在A FC'和AFG中，CA F AA F AFA FC AFG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠''⎩'，()ASAA FC AFG'∴≌，CF FG∴=，在Rt ABC△中，9086ABC AB BC∠=︒==，，，10AC∴，设CF FG x==，则10AF x=−，AG∴==1122ACGS AC FG AG BC=⋅=⋅，106x∴⋅=，整理得：271809000x x+−=，即29014400749x⎛⎫+=⎪⎝⎭，9012077x∴+=±，解得：307x=或30x=−（不符合题意，舍去），307CF∴=，30401077AF AC CF∴=−=−=，故答案为：32−407．【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．例2．（坐标系中折叠问题）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCO的边OC OA、分别在x轴、y轴上，6AB=，点E在边BC上，将长方形ABCO沿AE折叠，若点B的对应点F 恰好是边OC的三等分点，则点E的坐标是．【答案】⎛−⎝⎭或(−【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，由折叠的性质可得6AF AB==，BE EF=，90AFE B∠=∠=︒，再分当点F靠近点C时，24CF OF==，，当点F靠近点O 时，则42CF OF==，，两种情况利用勾股定理先求出OA的长，进而得到BC的长，设出CE 的长，进而得到EF的长，在Rt EFC△中，由勾股定理建立方程求解即可．【详解】解：在长方形ABCO 中，6CO AB ==，90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒， 由折叠的性质可得6AF AB ==，BE EF =，90AFE B ∠=∠=︒，F 恰好是边OC 的三等分点，∴当点F 靠近点C 时，24CF OF ==，，在Rt AFO V中，OA =，∴BC OA ==设CE x =，则BE EF x ==，在Rt EFC △中，由勾股定理得到222EF CF CE =+，∴()2222xx =+，解得x =，∴点E的坐标是⎛− ⎝⎭； 当点F 靠近点O 时，则42CF OF ==，，在Rt AFO V中，OA ==∴BC OA ==设CE x =，则BE EF x ==，在Rt EFC △中，由勾股定理得到222CF CE =+，∴()2224x x =+，解得x =∴点E的坐标是(−；综上所述，点E的坐标是⎛− ⎝⎭或(−，故答案为：⎛− ⎝⎭或(−．例3．（四边形折叠问题）如图，已知矩形ABCD ，4AB =，5BC =，点P 是射线BC 上的动点，连接AP ，AQP △是由ABP 沿AP 翻折所得到的图形．(1)当点Q 落在边AD 上时，QC = ；(2)当直线PQ 经过点D 时，求BP 的长；(3)如图2，点M 是DC 的中点，连接MP 、MQ ．①MQ 的最小值为 ；②当PMQ 是以PM 为腰的等腰三角形时，请直接写出BP 的长．【答案】(2)2BP =或8BP =(3) 2.9BP =或4BP =或10BP =【分析】（1）根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可；（2）分点P 在线段BC 上，点P 在线段BC 的延长线上，两种情况，进行讨论求解；（3）①连接AM ，勾股定理求出AM 的长，折叠求出AQ 的长，根据MQ AM AQ ≥−，求出最小值即可；②分PM MQ =和PM PQ =两种情况，再分点P 在线段BC 上，点P 在线段BC 的延长线上，进行讨论求解即可．【详解】（1）解：当点Q 落在边AD 上时，如图所示，∵矩形ABCD ，4AB =，5BC =，∴4,5CD AB AD BC ====，90BAD B BCD ADC ∠=∠=∠=∠=︒，∵翻折，∴4,90AQ AB AQP B ==∠=∠=︒，∴1DQ AD AQ =−=，在Rt CDQ △中，CQ ==（2）当直线PQ 经过点D 时，分两种情况：当点P 在线段BC 上时，如图：∵翻折，∴4AQ AB ==，90AQP B ∠=∠=︒，BP PQ =，∴90AQD ∠=︒，∴3DQ ==，设BP PQ x ==，则：5PC BC BP x =−=−，3DP DQ PQ x =+=+，在Rt PCD △中，222DP CP CD=+，即：()()222345x x +=+−，∴2x =；∴2BP =；②当P 在线段BC 的延长线上时：∵翻折，∴4,90AQ AB Q B ==∠=∠=︒，BP PQ =，∴3DQ ==，设BP PQ x ==，则：5PC BP BC x =−=−，3DP PQ DQ x =−=−，在Rt PCD △中，222DP CP CD =+，即：()()222345x x −=+−，∴8x =；∴8BP =；综上：2BP =或8BP =；（3）①连接AM ，∵M 是CD 的中点， ∴122DM CM CD ===，∴AM =∵翻折，∴4AQ AB ==，∵MQ AM AQ ≥−，∴当,,A Q M 三点共线时，MQ 的值最小，即：4MQ AM AQ =−=4；②当PM PQ =时，如图：∵翻折，∴BP PQ PM ==，设BP x =，则：,5PM x CP BC BP x ==−=−，在Rt PCM 中，222PM CM PC =+，即：()22225x x =+−，解得： 2.9x =，即： 2.9BP =；当PM QM =，点P 在线段BC 上时，如图：∵,QM PM DM CM ==，90D C ∠=∠=︒，∴()HL MDQ MCP ≌，∴CP DQ =，点Q 在AD 上，由（1）知：1DQ =，∴1CP DQ ==，∴4BP BC CP =−=；当点P 在BC 的延长线上时：如图：此时点M 在AP 上，连接BM ，∵翻折，∴BM MQ PM ==，∵MC BP ⊥，∴210BP BC ==；综上： 2.9BP =或4BP =或10BP =．质，综合性强，难度大，属于压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．【模拟训练】1．如图，在长方形ABCD 中，点E 是AD 的中点，将ABE 沿BE 翻折得到FBE ，EF 交BC 于点H ，延长BF DC 、相交于点G ，若8DG =，10BC =，则DC = ．【答案】258【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，连接EG ，根据点E 是AD 的中点得DE AE EF ==，根据四边形ABCD 是长方形得90D A ∠=∠=︒，根据将ABE 沿BE 翻折得到FBE 得90BFE D A ∠=∠=∠=︒，利用HL 证明Rt Rt EFG EDG △≌△，得8FG DG ==，设DC x =，则8CG DG DC x =−=−，8BG BF FG AB FG DC FG x =+=+=+=+，在Rt BCG V △中，根据勾股定理得，222CG BC BG +=，进行计算即可得．【详解】解：如图所示，连接EG ，∵点E 是AD 的中点，∴DE AE EF ==，∵四边形ABCD 是长方形，∴90D A ∠=∠=︒，∵将ABE 沿BE 翻折得到FBE ，∴90BFE D A ∠=∠=∠=︒在Rt EFG △和Rt EDG △中，EF ED EG EG =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL EFG EDG V V ≌，∴8FG DG ==，设DC x =，则8CG DG DC x =−=−，8BG BF FG AB FG DC FG x =+=+=+=+，在Rt BCG 中，根据勾股定理得，222CG BC BG +=，∴222(8)10(8)x x −+=+，解得258x =，故答案为：258．2．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，254AB =，154=AC ，点D 是AB 边上的一个动点，连接CD ，将BCD △沿CD 折叠，得到CDE ，当DE 与ABC 的直角边垂直时，AD 的长是 ．【答案】154或54【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，分DE BC ⊥和DE AB ⊥两种情况进行求解即可得到答案，根据题意，正确画出图形是解题的关键．【详解】解：如图，当DE BC ⊥时，延长ED 交BC 于点F ，CE 与AB 相交于点M ，∵EF BC ⊥，∴90EFC EFB ∠=∠=︒，∴90E ECF ∠+∠=︒，由折叠得，B E ∠=∠，CE CB =，MCD FCD ∠=∠，∴90B ECF ∠+∠=︒，∴90CMB ∠=︒，即C M A B ⊥，∵90ACB ∠=︒，254AB =，154=AC ，∴5BC ==， ∵1122ABC S AC BC AB CM ==△，∴11512552424CM ⨯⨯=⨯⨯，解得3CM =，∴4BM =，∵90CFD CMD FCD MCD CD CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AAS CFD CMD ≌，∴3CF CM ==，DF DM =，∴532BF BC CF =−=−=，设DF DM x ==，则4BD x =−，在Rt BFD 中，222DF BF BD +=，∴()22224x x +=−， 解得32x =， ∴35422BD =−=， ∴25515424AD AB BD =−=−=；当DE AB ⊥时，如图，设DE 与AC 相交于点M ，由折叠可得，BCD ECD ∠=∠，DE DB =，ED BD =，5EC BC ==，∵DE AB ⊥，90ACB ∠=︒，∴DE BC ∥，∴EDC BCD ∠=∠，∴EDC ECD ∠=∠，∴5ED EC ==，∴5BD ED ==， ∴255544AD AB BD =−=−=；综上，AD 的长是154或54， 故答案为：154或54．3．如图，等边三角形ABC 中，16AB BD AC =⊥，于点D ，点E F 、分别是BC DC 、上的动点，沿EF 所在直线折叠CEF △，使点C 落在BD 上的点C '处，当BEC '△是直角三角形时，BE 的值为 ．【答案】24−或323【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，折叠的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．由等边三角形的性质可得30DBC ∠=︒，分9090BEC BC E ''∠=︒∠=︒，两种情况讨论，由直角三角形的性质即可求解．【详解】解：ABC 是等边三角形，BD AC ⊥，30,DBC ∴∠=︒ 由折叠的性质可得：,CE C E '=若90,BEC ∠'=︒且30,C BE ∠'=︒,2,BE E B E C C ∴='''=16,BE CE BC +==16,CE +=8,E E C C ∴'==24BE ∴=−若90,30,E C B E C B ∠'=︒='∠︒2,,BE E B C E C ∴'''=16,BE CE BC +==16,3CE E C =='∴ 32.3BE ∴=故答案为∶ 24−323．4．如图，在ABC 中，120ACB ∠=︒，8AC =，4BC =，将边BC 沿CE 翻折，使点B 落在AB 上的点D 处，再将边AC 沿CF 翻折，使点A 落在CD 的延长线上的点A '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段FA '的长为 ．【答案】【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．过点A 作AH BC ⊥交BC 的延长线于H ，由直角三角形的性质可求142HC AC ==，AH =AB 的长，由面积法可求CE 的长，由折叠的性质可求90BEC DEC ∠=∠=︒，BCE DCE ∠=∠，ACF DCF ∠=∠，然后再求解即可．【详解】解：如图，过点A 作AH BC ⊥，交BC 的延长线于H ，120ACB ∠=︒，ACB H HAC ∠=∠+∠，30HAC ∴∠=︒，142HC AC ∴==，AH ==，448BH ∴=+=，AB ∴1122ACB S BC AH AB CE =⨯⨯=⨯⨯，4CE ∴=，CE ∴，将边BC 沿CE 翻折，使点B 落在AB 上的点D 处，再将边AC 沿CF 翻折，90BEC DEC ∴∠=∠=︒，BCE DCE ∠=∠，ACF DCF ∠=∠，1602ECF ACB ∴∠=∠=︒，30CFE ∴∠=︒，EF ∴，在Rt BCE中，BE ===，AF AB EF BE ∴=−−==FA AF '∴==故答案为：5．如图，点D 是ABC 的边AB 的中点，将BCD △沿直线CD 翻折能与ECD 重合，若4AB =，2CD =，1AE =，则点C 到直线AB 的距离为 ．【答案】【分析】连接BE ，延长CD 交BE 于点G ，作CH AB ⊥于点H ，如图所示，由折叠的性质及中点性质可得AEB △为直角三角形，且G 为BE 中点，从而CG BE ⊥，由勾股定理可得BE的长，再根据2ABC BDC S S =△△，即11222AB CH CD BG ⋅=⨯⋅，从而可求得CH 的长．【详解】解：连接BE ，延长CD 交BE 于点G ，作CH AB ⊥于点H ，如图所示，由折叠的性质可得：BD ED =，CB CE =，∴CG 为BE 的中垂线， ∴12BG BE =，∵点D 是AB 的中点，4AB =，2CD =，1AE =， ∴122BD AD AB ===，CBD CAD S S =，AD DE =，∴DBE DEB ∠=∠，DEA DAE ∠=∠，∵180EDA DEA DAE ∠+∠+∠=︒，即22180DEB DEA ∠+∠=︒，∴90DEB DEA ∠+∠=︒，即90BEA ∠=︒，∴BE∴12BG BE ==， ∵2ABC BDCS S =△△， ∴11222AB CH CD BG ⋅=⨯⋅，∴422CH =⨯，∴CH ，∴点C 到直线AB 的距离为．故答案为：．【点睛】本题考查翻折变换，线段中垂线的判定，等腰三角形的性质，点到直线的距离，直角三角形的判定，勾股定理，利用面积相等求相应线段的长，解题的关键是得出CG 为BE 的中垂线，2ABC BDC S S =△△．6．如图，在ABC 中，90,A AB AC ∠=︒==D 为AC 边上一动点，将C ∠沿过点D 的直线折叠，使点C 的对应点C '落在射线CA 上，连接BC '，当Rt ABC '△的某一直角边等于斜边BC '长度的一半时，CD 的长度为 ．【答案】 或 【分析】由翻折得，12CD CC '=，分三种情况：①当点C '在边AC 上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时；②当点C '在CA 的延长线上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时；③当点C '在CA 的延长线上，且12AB BC '=（即2BC AB '==时，分别根据勾股定理求出AC '的长，再求出CC '的长即可 【详解】解：由翻折得，12CD CC '=，分三种情况：①当点C '在边AC 上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时，90,A AB AC ∠=︒==∴由勾股定理得，222BC AC AB ''−=，即222(2)AC AC ''−=，AC '∴=CC '∴CD ∴；②当点C '在CA 的延长线上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时，同理得AC 'CC '∴CD ∴；③当点C '在CA 的延长线上，且12AB BC '=（即2BC AB '==由勾股定理得，222AC BC AB ''=−，即22218AC '=−=，AC '∴=CC '∴CD ∴=，0>，CD AB ∴>，此时点D 不在边AC 上，不符合题意，舍去，综上，当Rt ABC '△的某一直角边等于斜边BC '长度的一半时，CD 的长度为或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查图形的翻折变换（折叠问题），勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用折叠的性质及勾股定理是解答本题的关键，同时要注意分类思想的运用．7．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，P 为斜边AB 上的一动点（不包含A ，B 两端点），以CP 为对称轴将ACP △翻折得到A CP '，连结BA '．当A P AB '⊥时，BA '的长为 ．【答案】【分析】当A P AB '⊥时，过点C 作CD AB ⊥于D ，可知125CD =，95AD =，得出PDC △为等腰直角三角形，得到PD CD =，求出PA '和BP 的长，利用勾股定理即可求出BA '的长．【详解】过点C 作CD AB ⊥于D ，在Rt ADC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，∴5AB = ∵1122AC BC AB CD ⨯=⨯，125CD ∴=，在Rt ADC 中，3AC =∴95AD ==，当A P AB '⊥时，如图由折叠性质可知12∠=∠，PA PA '=，又1290A PA '∠=∠+∠=︒145∠=∠2=︒∴，又2390∠+∠=︒，345∴∠=︒，23∴∠=∠，125PD CD ∴==，又PA PD AD =+，12921555PA ∴=+=，又PA PA '=，215PA '∴=，又BP AB PA =−，214555BP ∴=−=，在Rt BPA '△中，90BPA ∠='︒，222BP PA BA ∴='+，2224214575525BA ⎛⎫⎛⎫'∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，BA '∴=，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．8．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 为AB 上一点，连接DC ，将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，连接AE ，若AE CE =，4BC =，则D 到CE 的距离是 ．【答案】2【分析】本题考查等腰直角三角形中的折叠问题，涉及等边三角形判定与性质，勾股定理应用、面积法等知识．设BE 交CD 于G ，过E 作EF BC ⊥交BC 延长线于F ，根据将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，AC BC =，AE CE =，可得ACE △是等边三角形，即知60ACE ∠=︒，而90ACB ∠=︒，故150BCE ∠=︒，30ECF ∠=︒，可得75BCD ECD ∠=∠=︒，122EF CE ==，CF =BE =15CBE ∠=︒，可得90BGC ∠=︒，即CG BE ⊥，从而12BG BE GE ===，由勾股定理得CG ，在Rt BDG △中，DG ，即得CD DG CG =+，由面积法可得D 到CE 的距离是2． 【详解】解：设BE 交CD 于G ，过E 作EF BC ⊥交BC 延长线于F ，如图：将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，4BC CE ∴==，BCD ECD ∠=∠，AC BC =，AE CE =，AC BC CE AE ∴===，ACE ∴是等边三角形，60ACE ∴∠=︒，90ACB ∠=︒，150BCE ∴∠=︒，30ECF ∠=︒，75BCD ECD ∴∠=∠=︒，122EF CE ==，CF =在Rt BEF △中，BE ==BCE 中，BC CE =，150BCE ∠=︒，15CBE ∴∠=︒，18090BGC BGC BCD ∴∠=︒−∠−∠=︒，即CG BE ⊥，12BG BE GE ∴==，CG ∴===，45ABC ∠=︒，15CBE ∠=︒，30DBG ∴∠=︒，在Rt BDG△中，DG =，CD DG CG ∴=+=，设D 到CE 的距离是h ，2DCE S CE h DC GE ∆=⋅=⋅，324DC GE h CE ⋅∴===，故答案为：2．9．在生活中、折纸是一种大家喜欢的活动、在数学中，我们可以通过折纸进行探究，探寻数学奥秘．【纸片规格】三角形纸片ABC ，120ACB ∠=︒，CA CB =，点D是底边AB 上一点．【换作探究】(1)如图1，若6AC =，AD =CD ，求CD 的长度；(2)如图2，若6AC =，连接CD ，将ACD 沿CD 所在直线翻折得到ECD ，点A 的对应点为点.E 若DE 所在的直线与ABC 的一边垂直，求AD 的长；(3)如图3，将ACD 沿CD 所在直线翻折得到ECD ，边CE 与边AB 交于点F ，且DE BC ∥，再将DFE △沿DF 所在直线翻折得到DFG ，点E 的对应点为点G ，DG 与CE 、BC 分别交于H ，K ，若1KH =，请直接写出AC 边的长．【答案】(1)(2)3或(3)3【分析】（1）作CE AB ⊥于E ，求得30A B ==︒∠∠，从而得出132CE AC ==，AE AC =进而得出DE AE AD =−=（2）当DE AB ⊥时，连接AE ，作CG AB ⊥于G ，依次得出45DAE DEA ∠=∠=︒，304575CAE CAD DAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，75CEA CAE ∠=∠=︒，30ACE ∠=︒，15ACD DCE ∠=∠=︒，45CDG CAB DAC ∠=∠+∠=︒，从而DG CG =，进一步得出结果；当ED AC ⊥时，设ED 交AC 于点W CE ，交AB 于V ，可推出90AVC ∠=︒，60ACE ∠=︒，从而30ACD DCE ∠=∠=︒，进一步得出结果；当DE BC ⊥时，可推出180ACB BCE ∠+∠=︒，从而90ACD DCE ∠=∠=︒，进一步得出结果；（3）可推出CKH 和CDH △及CHK 是直角三角形，且30HCK ∠=︒，30HDF ∠=︒，45DCH ∠=︒，进一步得出结果．【详解】（1）解：如图1，作CE AB ⊥于E ，90AEC ∴∠=︒，CA CB =，120ACB ∠=︒，30A B ∴∠=∠=︒，132CE AC ∴==，AE =，DE AE AD ∴=−==CD ∴=；（2）解：如图2，当DE AB ⊥时，连接AE ，作CG AB ⊥于G ，由翻折得：AD DE =，CAD CED =∠∠，AC CE =，45DAE DEA ∠∠∴==︒，304575CAE CAD DAE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，75CEA CAE ∴∠=∠=︒，30ACE ∴∠=︒，15ACD DCE ∴∠=∠=︒，45CDG CAB DAC ∴∠=∠+∠=︒，DG CG ∴=，由（1）知：3CG =，AG =3AD AG DG ∴=−=；如图3，当ED AC ⊥时，设ED 交AC 于点W CE ，交AB 于V ，90E ACE ∴∠+∠=︒，E A ∠=∠，90A ACE ∴∠+∠=︒，90AVC ∴∠=︒，60ACE∴∠=︒，30ACD DCE∴∠=∠=︒，ACD A∴∠=∠，AD CD∴=，3CV =，CD∴=，AD CD∴==如图4，当DE BC⊥时，30E A∠=∠=︒，60BCE∴∠=︒，180ACB BCE∴∠+∠=︒，90ACD DCE∴∠=∠=︒，AD∴=，综上所述：3AD=或（3）解：如图5，∵DE BC ∥，30B C ∠=∠=︒，30BCF E ∴∠=∠=︒，30EDF B ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，90ACE ∴∠=︒，1452ECD ACD ACE ∴∠=∠=∠=︒，将DFE △沿DF 所在直线翻折得到DFG ，30GDF EDF ∴∠=∠=︒，60EDG ∴∠=︒，90CHK EHD ∴∠=∠=︒，DH CH ∴=1FH ∴==，1CF CH FH ∴=+，3AC ∴==．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形．10．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为线段BC 延长线上一点，以AD 为腰作等腰直角DAF △，使90DAF ∠=︒，连接CF ．(1)请判断CF 与BC 的位置关系，并说明理由；(2)若8BC =，4CD BC =，求线段AD 的长；(3)如图2，在（2）的条件下，将DAF △沿线段DF 翻折，使点A 与点E 重合，连接CE ，求线段CE 的长．【答案】(1)CF BC ⊥，理由见解析(2)(3)【分析】（1）证明()SAS ABD ACF △≌△，则ADB AFC ∠=∠，如图1，记AD CF 、的交点为O ，根据180FAO AFO AOF DCO CDO COD ∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，AOF COD ∠=∠，可得90FAO DCO ∠=∠=︒，进而可得CF BC ⊥；（2）如图2，过A 作AH BC ⊥于H ，则142BH CH AH BC ====，6DH =，由勾股定理得，AD =（3）由翻折的性质可知，DE AD =，45EDF ADF ∠=∠=︒，90ADE ∠=︒，如图3，过A 作AM BC ⊥于M ，过E 作EN BC ⊥于N ，证明()AAS ADM DEN ≌，则46DN AM EN DM ====，，6CN =，由勾股定理得，CE =计算求解即可．【详解】（1）解：CF BC ⊥，理由如下：∵等腰直角DAF △，90DAF ∠=︒，∴AD AF =，又∵90BAC ∠=︒，∴BAC CAD DAF CAD ∠+∠=∠+∠，即BAD CAF ∠=∠，∵AB AC =，BAD CAF ∠=∠，AD AF =，∴()SAS ABD ACF △≌△，∴ADB AFC ∠=∠，如图1，记AD CF 、的交点为O ，∵180FAO AFO AOF DCO CDO COD ∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，AOF COD ∠=∠，∴90FAO DCO ∠=∠=︒，∴CF BC ⊥；（2）解：∵8BC =，4CD BC =，∴2CD =，如图2，过A 作AH BC ⊥于H ，∵ABC 是等腰直角三角形， ∴142BH CH AH BC ====，∴6DH =，由勾股定理得，AD =∴线段AD 的长为（3）解：由翻折的性质可知，DE AD =，45EDF ADF ∠=∠=︒，∴90ADE ∠=︒，如图3，过A 作AM BC ⊥于M ，过E 作EN BC ⊥于N ，∴90AMD DNE ∠=︒=∠，同理（2）可知，4AM =，6MD =，∵90ADM EDN EDN DEN ∠+∠=︒=∠+∠，∴ADM DEN ∠=∠，∵90AMD DNE ∠=︒=∠，ADM DEN ∠=∠，AD DE =，∴()AAS ADM DEN ≌，∴46DN AM EN DM ====，，∴6CN =，由勾股定理得，CE =，∴线段CE 的长为【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质是解题的关键．11．如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5AC =，12BC =，点D 为BC 边上一动点，将ACD 沿直线AD 折叠，得到AFD △，请解决下列问题．(1)AB =______；当点F 恰好落在斜边AB 上时，CD =______；(2)连接CF ，当CBF V 是以CF 为底边的等腰三角形时，请在图2中画出相应的图形，并求出此时点F 到直线AC 的距离；(3)如图3，E 为边BC 上一点，且4，连接EF ，当DEF 为直角三角形时，CD = ．（请写出所有满足条件的CD 长）【答案】(1)13，103(2)画图见解析，600169(3)52或或5或10【分析】（1）根据勾股定理可得AB 的长，再利用等积法求出CD 即可；（2）过点F 作FG AC ^，交CA 的延长线于G ，首先由等积法求出CH 的长，再根据勾股定理求出AH 的长，再次利用等积法可得FG 的长；（3）分90DEF ∠=︒或90EDF ∠=︒或90EFD ∠=︒分别画出图形，从而解决问题．【详解】（1）解：在Rt ABC △中，由勾股定理得，13AB ，当点F 落在AB 上时，由折叠知，CD DF =， ∴111222AC CD AB DF AC BC ⋅+⋅=⋅，51360CD CD ∴+=，103CD ∴=，故答案为：13，103；（2）过点F 作FG AC ^，交CA 的延长线于G ，BC BF =，AC AF =，AB ∴垂直平分CF ， 由等积法得6013AC BC CH AB ⋅==，在Rt ACH 中，由勾股定理得，2513AH ===， 1122ACF S AC FG CF AH =⋅=⋅△，6025260013135169CF AH FG AC ⨯⨯⋅∴===；（3）当90DEF ∠=︒时，当点D 在CE 上时，作FH AC ⊥于H ，则4HF CE ==，5AF AC ==，3AH ∴=，2CH EF AC AH ∴==−=，设CD x =，则4DE x =−，在Rt EDF 中，由勾股定理得，222(4)2x x =−+， 解得52x =，52CD ∴=， 当点D 在EB 上时，同理可得538CH AC AH =+=+=，设CD DF x ==，则4DE x =−，在Rt EDF 中，由勾股定理得，222(4)8x x −+=，解得10x =，10CD ∴=，当90DFE ∠=︒时，由勾股定理得AE设CD DF x ==，则520x +=，x ∴，CD ∴=；当90FDE ∠=︒时，则45ADC ADF ∠=∠=︒，5CD AC ∴==，综上：52CD =或或5或10，故答案为：52或或5或10．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了翻折的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，利用等积法求垂线段的长是解题的关键．。
专题5.5 平行线中的折叠问题的四大题型人教版解析版
专题5.5 平行线中的折叠问题的四大题型【人教版】考卷信息：本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对平行线中的折叠问题的四大题型的理解！【题型1利用平行线的性质解决长方形中的折叠问题】1．（2023下·江苏苏州·七年级校考期中）如图，将长方形ABCD沿EF翻折，使得点D落在AB边上的点G 处，点C落在点H处，若∠1=32°，则∠2=（）A．112°B．110°C．108°D．106°【答案】D【分析】根据折叠的性质和平行线的性质，可以得到∠3的度数和∠3+∠2=180°，从而可以得到∠2的度数．【详解】解：由题意可得，∠3=∠4，∵∠1=32°，∠1+∠3+∠4=180°，∴∠3=∠4=74°，∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠3+∠2=180°，∴∠2=106°，故选：D．【点睛】本题考查平行线的性质、折叠的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2．（2023下·湖北武汉·七年级统考期中）如图，点E ，F 分别为长方形纸片ABCD 的边AB ，CD 上的点，将长方形纸片沿EF 翻折，点C ，B 分别落在点C′，B′处．若∠DFC′=α，则∠FEA−∠AEB ′的度数为（ ）A ．45°+12αB ．60°−12αC ．90°−12αD ．90°−32α 【答案】D【分析】根据折叠的性质得到，∠CFE =∠C ′FE ，∠BEF =∠B ′EF ，进而利用邻补角得∠CFE =∠C ′FE =90°−12α，利用平行线的性质得∠FEA =∠CFE =90°−12α，进而求得而∠AEB ′=α，于是即可得解．【详解】解：根据折叠的性质得到，∠CFE =∠C ′FE ，∠BEF =∠B ′EF ，∵∠DFC ′=α，∠CFE =∠C ′FE ，∴∠CFE =∠C ′FE =12(180°−α)=90°−12α，∵∠BEF =∠B ′EF ，CD ∥AB ，∴∠BEF =∠B ′EF =∠DFE =180°−∠CFE =180°−90°−12α=90°+12α，∠FEA =∠CFE =90°−12α，∴∠AEB ′=∠FEB ′−∠FEA =90°+12α−90°−12α=α，∴∠FEA−∠AEB ′=90°−12α−α=90°−32α，故选：D ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及折叠的性质，熟练掌握平行线的性质以及折叠的性质是解题的关键．3．（2023下·重庆沙坪坝·七年级校考阶段练习）如图，长方形ABCD 中将△ABF 沿AF 翻折至△AB ′F 处，若AB′∥BD，∠1=28°则∠BAF的度数为．【答案】59°【分析】根据长方形的性质可得，∠ABC=90°，AD∥BC，根据折叠的性质，可得∠B′=∠ABC=90°，∠BFA=∠B′FA，根据平行线的性质可得∠B′ND=∠B′=90°，进一步可得∠DMN=62°，根据平行线的性质，可得∠BFM=∠DMN=62°，求出∠BFA=∠B′FA=31°，进一步可得答案．【详解】解：在长方形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，根据折叠的性质，可得∠B′=∠ABC=90°，∠BFA=∠B′FA，∵AB′∥BD，∴∠B′ND=∠B′=90°，∵∠1=28°，∴∠DMN=180°−90°−28°=62°，∵AD∥BC，∴∠BFM=∠DMN=62°，∴∠BFA=∠B′FA=31°，∵∠ABC=90°，∴∠BAF=180°−90°−31°=59°，故答案为：59°．【点睛】本题考查了长方形的性质，翻折变换（折叠问题），平行线的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．4．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，一张矩形ABCD纸片，点P和点Q分别在AD和BC上，沿PQ折叠纸片，点E和点F分别是点D和点C的对应点，如果翻折之后测量得∠BQF=46°，则∠DPQ的度数是．【答案】67°或113°【分析】先根据折叠的性质得出∠PQC=∠PQF，再分情况讨论，向下翻折时，向上翻折时，并利用平行线的性质解答即可．【详解】解：如图，向下翻折时，∵沿PQ折叠，点E和点F分别是点D和点C的对应点，∴∠PQC=∠PQF，∵∠BQF=46°，∴∠PQF=∠PQB+∠BQF=∠PQB+46°，∴∠PQC=∠PQF=∠PQB+46°，∵∠PQB+∠PQC=∠BQC=180°，∴∠PQB+∠PQB+46°=180°，∴∠PQB=67°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DPQ=∠PQB=67°，如图，当向上翻折时，同理可得，∠PQC=∠PQF，∴2∠PQC+∠BQF=180°，∴∠PQC=1(180°−∠BQF)=67°，2∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DPQ=180°−∠PQC=113°，故答案为：67°或113°．【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，平角的定义，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．5．（2023下·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考开学考试）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF 翻折，使点B 、C 分别落在点M 、N 的位置，且∠NED =12∠EFM ，则∠MFA = °．【答案】36【分析】先由折叠的性质得到∠NEF =∠CEF ，∠MFE =∠BFE ，再由平行线的性质得到∠DEF =∠BFE ，结合已知条件推出∠NED =12∠DEF ，则∠CEF =∠NEF =32∠DEF ，再由平角的定义求出∠DEF =72°，则∠MFE =∠BFE =72°，由此即可求出∠MFA 的度数．【详解】解：由折叠的性质可得∠NEF =∠CEF ，∠MFE =∠BFE ，∵AB ∥CD ，∴∠DEF =∠BFE ，∴∠DEF =∠MFE ，∵∠NED =12∠EFM ，∴∠NED =12∠DEF ，∴∠CEF =∠NEF =32∠DEF ，∵∠CEF +∠DEF =180°，∴∠DEF +32∠DEF =180°，∴∠DEF =72°，∴∠MFE =∠BFE =∠DEF =72°，∴∠AFM =180°−∠MFE−∠BFE =36°，故答案为：36．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．6．（2023下·河北保定·七年级校考期末）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点C，D分别落在点M，N的位置．（1）若∠AEN=20°，则∠AEF的度数为；∠EFM，则∠DEF的度数为．（2）若∠BFM=12【答案】80°/80度108°/108度【分析】（1）根据折叠的性质可知∠NEF=∠DEF，再由平角的定义得到∠AEF+∠DEF=180°，由此求解即可；（2）先根据折叠的性质与平角的定义结合已知条件求出∠EFC=72°，再由AD∥BC，即可得到∠DEF=180°-∠EFC=108°．【详解】解：（1）由折叠的性质可知∠NEF=∠DEF，∵∠NEF=∠AEN+∠AEF，∠AEF+∠DEF=180°，∠AEN=20°，∴∠AEF+∠AEF+20°=180°，∴∠AEF=80°，故答案为：80°；（2）由折叠的性质可得∠EFM=∠EFC，∠EFM，∵∠EFC+∠EFM+∠BFM=180°，∠BFM=12∠EFC+2∠EFC=180°，∴12∴∠EFC=72°，由题意得AD∥BC，∴∠DEF=180°-∠EFC=108°，故答案为：108°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，熟知折叠的性质和平行线的性质是解题的关键．7．（2023下·重庆·七年级四川外国语大学附属外国语学校校考期末）如图，在长方形ABCD中，点P在AB上，连接PC、PD，将△APD沿PD翻折得到△A′PD，△BCP沿PC翻折得到△B′CP，已知∠A′PB′＝30°，∠PCD＝40°．则∠A′DC的度数为．【答案】40°【分析】根据平行线的性质可得∠BPC的度数，根据折叠的性质可得∠B′PC=∠BPC，∠A′PD=∠APD，∠A′=∠A=90°，可得∠A′PD的度数，进一步可得∠A′DP的度数，再根据平行线的性质即可求出∠A′DC的度数．【详解】解：在长方形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠ADC＝90°，∴∠BPC＝∠PCD，∵∠PCD＝40°，∴∠BPC＝40°，根据翻折，可得∠B′PC=∠BPC，∠A′PD=∠APD，∠A′=∠A=90°，∴∠B′PC＝40°．∵∠A′PB′＝30°，∴∠BPA′＝∠B′PC+∠BPC−∠A′PB′=50°，∴∠A′PD＝∠APD＝65°，∴∠A′DP＝25°．∵AB∥CD，∴∠PDC＝∠APD＝65°，∴∠A′DC＝65°−25°＝40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．8．（2023下·重庆·七年级重庆实验外国语学校校考期中）如图，将长方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠FEA″=105°，则∠CFE=度．【答案】155【分析】首先根据平行线的性质，可设∠DEF=∠BFE=x°，再根据折叠的性质可得，∠DEA′=∠DEA′′=105°+x°，∠AEF=∠FEA′=105°+2x°，再根据平行线的性质，可得∠AEF+∠BFE=180°，即可求得x的值，据此即可求得．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE，设∠DEF=∠BFE=x°，∵∠DEA′′=∠FEA′′+∠DEF，∠FEA″=105°，∴∠DEA′′=105°+x°，由沿AD折叠可知：∠DEA′=∠DEA′′=105°+x°，∴∠FEA′=∠DEA′+∠DEF=105°+2x°，由沿EF折叠可知：∠AEF=∠FEA′=105°+2x°，∵AD∥BC，∴∠AEF+∠BFE=180°，即105°+2x°+x°=180°，解得x=25，∴∠BFE=25°，∴∠CFE=180°−∠BFE=180°−25°=155°，故答案为：155．【点睛】本题考查了矩形中的折叠问题，折叠的性质，平行线的性质，找准相等的角是解决本题的关键．9．（2023下·浙江金华·七年级统考期末）小明想玩一个折纸游戏，分以下三步进行∶第一步，将长方形纸条ABCD向上翻折，记点C、D的对应点分别为C′、D′，折痕为EF，且C′E交AD于点G（如图1；第二步，将四边形GFD′C′沿GF向下翻折，记C′、D′的对应点分别为C″、D″（如图2）；第三步，将长方形ABCD向下翻折，记A、B的对应点分别为A′、B′，折痕为HM（如图3）．（1）若∠CEF=20°，则∠EFD″=度．（2）若∠CEF=17°，则当A′H∥C″G时，∠EMB′=度．【答案】12034【分析】（1）根据折叠的性质和三角形外角的性质求解即可；（2）根据折叠的性质和平行线的性质求解即可．【详解】∵∠CEF=20°∴由题意可得，∠GEF=∠CEF=20°∵AD∥BC∴∠GFE=∠CEF=20°∴∠C′GF=∠GEF+∠GFE=40°∵GC′∥FD′∴∠GFD′=180°−∠C′GF=140°∴由折叠可得，∠GFD″=∠GFD′=140°∴∠EFD″=GFD″−GFE=120°；（2）如图所示，∵∠CEF=20°∴由题意可得，∠GEF=∠CEF=17°∵AD∥BC∴∠GFE=∠CEF=17°∴∠C′GF=∠GEF+∠GFE=34°∵GC′∥FD′∴∠GFD′=180°−∠C′GF=146°∵FD″∥CG″∴∠FGC″=180°−∠GFD″=34°∵A′H∥C″G∴∠GHA′=∠FGC″=34°∵AG∥BE∴∠ENA′=∠GHA′=34°∵HA′∥MB′∴∠EMB′=∠ENA′=34°．【点睛】此题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．10．（2023下·上海静安·七年级新中初级中学校考期中）已知，如图1，四边形ABCD，∠D=∠C=90°，点E在BC边上，P为边AD上一动点，过点P作PQ⊥PE，交直线DC于点Q．(1)当∠PEC=70°时，求∠DPQ；(2)当∠PEC=4∠DPQ时，求∠APE；(3)如图3，将△PDQ沿PQ翻折使点D的对应点D′落在BC边上，当∠QD′C=40°时，请直接写出∠PEC的度数，答：．【答案】(1)20°；(2)72°或120°；(3)65°．【分析】（1）结合已知先证AD∥BC，利用平行线和平角的性质得到∠PEC+∠DPQ=90°可求解；（2）当点Q在边CD上时，利用（1）中关系可求解，当点Q在CD的延长线上时，如图，由（1）可知AD∥BC，∠EPQ=90°可求得∠DPE=90°−∠DPQ，结合已知利用同旁内角互补可求解；（3）由翻折和已知可求得∠PD′E=50°，从而得到∠DPD′，再由翻折可求得∠DPQ，最后结合（1）中的关系可求解．【详解】（1）∵∠D=∠C=90°∴∠D+∠C=180°∴AD∥BC∴∠APE=∠PEC=70°∵PQ⊥PE∴∠EPQ=90°∴∠APE+∠DPQ=90°∴∠PEC+∠DPQ=90°∠DPQ=90°−∠PEC=90°−70°=20°（2）当点Q在边CD上时，由（1）有，∠PEC+∠DPQ=90°，∠APE=∠PEC∵∠PEC=4∠DPQ，∴∠DPQ=18°，∠PEC=72°，∴∠APE=72°；当点Q在CD的延长线上时，如图，由（1）可知AD∥BC，∠EPQ=90°∴∠DPE=90°−∠DPQ∠DPE+∠PEC=180°，∠APE=∠PEC∵∠PEC=4∠DPQ，∴90°−∠DPQ+4∠DPQ=180°解得：∠DPQ=30°∴∠APE=∠PEC=4∠DPQ=120°即∠APE为72°或120°．（3）∵∠D=∠D′=90°，∴∠QD′C+∠PD′E=90°，∵∠QD′C=40°，∴∠PD′E=50°，由（1）可知AD∥BC，∠PEC+∠DPQ=90°∴∠DPD′=∠PD′E=50°由翻折可知∴∠DPQ=12∠DPD′=25°∠PEC=90°−∠DPQ=65°故答案为65°．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，翻折的性质；解题的关键是证明AD∥BC并灵活应用平行线的性质求解．11．（2023下·浙江宁波·七年级统考期末）如图将长方形纸带沿DE折叠，∠DEC=75∘，且点C落在点C′．若折叠后点A，点C′和点E恰好在同一直线上，则∠ADC′的度数为．【答案】60∘【分析】由折叠可得∠DC′E=∠C=90°，∠DEC′=∠DEC=75°，从而可求得∠EDC′=15°，再由平行线的性质可得∠ADE=∠DEC=75∘，即可求∠ADC′的度数．【详解】解：由题意可得：∠C=90∘，AD∥BC，由折叠得：∠DC′E=∠C=90°，∠DEC′=∠DEC=75°，∴∠EDC′=180°−∠DEC′−∠DC′E=15°，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠DEC=75∘，∴∠ADC′=∠ADE−∠EDC′=60°．故答案为：60∘【点睛】本题主要考查折叠和平行线的性质，解答的关键熟记平行线的性质并灵活运用．12．（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图①，在长方形ABCD中，E点在AD上，并且∠ABE=30°，分别以BE、CE为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中∠BCE=n°，则∠AED的度数为°(用含n的代数式表示)【答案】(2n−60)【分析】由题意得：∠A=∠A′=90°，即可得△ABE、△A′BE为直角三角形，然后可求得∠AE D′的度数，又由∠BCE=n°，即可求得∠AED的度数．【详解】解：根据题意得：∠A=∠A′=90°，△A′BE为直角三角形，∴∠1=∠AEB=60°，∵∠BCE=n°，A′D′∥BC∴∠ECB=∠2=n°，∴∠AE D′=180°−∠1−∠AEB=180°−60°−60°=60°，∴∠DE D′=∠AED+∠AE D′=2n°，∴∠AED=∠DE D′–∠AE D′=(2n−60)°，故答案为(2n−60)．【点睛】此题考查了折叠的性质、平行线的性质，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．13．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，把一张长方形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB=36°，那么：(1)试探究∠MAF与∠MFA有何数量关系？(2)试说明，当∠BAF为多少度时，AE∥BD？【答案】(1)∠MAF=∠MFA(2)∠BAF应为63°时，AE∥BD，理由见解析【分析】（1）根据平行线的性质得∠MAF=∠BFA，再根据折叠的性质得∠BFA=∠MFA，从而可得出∠MAF=∠MFA；（2）根据折叠的性质得到∠BAF=∠EAF，要AE∥BD，则要有∠BAE=126°，从而可求出∠BAF．【详解】（1）解：∵AD∥BC，∴∠MAF=∠BFA，根据折叠的性质得：∠BFA=∠MFA，∴∠MAF=∠MFA；（2）解：∠BAF应为63°．理由是：∵∠ADB=36°，四边形ABCD是长方形，∴∠ABD=54°．∵要使AE∥BD，需使∠BAE=126°，由折叠可知∠BAF=∠EAF，∴∠BAF应为63°．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了直线平行的判定．14．（2023下·浙江台州·七年级统考期末）如图，有一张长方形纸条ABCD，AD∥BC，在线段DE，CF上分别取点G，H，将四边形CDGH沿直线GH折叠，点C，D的对应点为C′，D′，将四边形ABFE沿直线EF折叠，点A，B的对应点为A′，B′，设∠EFB=α(0<α<90°)．(1)若C′、D′在直线AD的上方，当α=50°且满足C′H∥B′F时，求∠CHG的度数．(2)在（1）的条件下，猜想直线EF和GH的位置关系，并证明(3)在点G，H运动的过程中，若C′H∥B′F，请直接用含有α的式子表示∠CHG的度数【答案】(1)40°(2)EF⊥GH，理由见解析过程(3)∠CHG=90°−a或180°−α∠CHC′，由平行线的性质可得∠CHC′【分析】（1）由折叠的性质可得：∠BFB′=2∠EFB=100°，∠CHG=12=∠B′FH=80°，即可求解；（2）由平行线的性质可求∠PFH=∠CHG=40°，可求∠EFP=90°，即可得结论；（3）分两种情况讨论，由平行线的性质和折叠的性质可求解．∠CHC′，【详解】（1）解：由折叠得：∠BFB′=2∠EFB=100°，∠CHG=12∴∠B′FH=180°−100°=80°，∵C′H∥B′F，∴∠CHC′=∠B′FH=80°，∠CHC′=40°；∴∠CHG=12（2）解：猜想：EF⊥GH，理由如下：如图，过点F作FP∥HG交AD于点P，∴∠PFH=∠CHG=40°，∵∠EFB=50°，∴∠EFP=180°−40°−50°=90°，即EF⊥FP．又∵FP∥HG，∴EF⊥GH；（3）解：如图，当C′、D′在直线AD的上方时，∠CHC′，由折叠得：∠BFB′=2∠EFB=2α，∠CHG=12∴∠B′FH=180°−2a．∵C′H∥B′F，∴∠CHC′=∠B′FH=180°−2a，∠CHC′=90°−α；∴∠CHG=12如图，当C′、D′在直线AD的下方时，∠DGD′由折叠得：∠BFB′=2∠EFB=2α，∠DGH=12∵AD∥BC，∴∠BFB′=∠FPG=2α，∠DGH+∠CHG=180°，∵C′H∥B′F，C′H∥D′G，∴D′G∥B′F，∴∠DGD′=∠FPG=2α．∠DGD′=α，∴∠DGH=12∴∠CHG=180°−a，综上所述：∠CHG=90°−a或180°−α．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．【题型2利用平行线的性质解决正方形中的折叠问题】1．（2023·广东佛山·统考二模）如图，把正方形ABCD沿EF折叠，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，若∠1=40°，则∠A′EF的度数是（）A．100°B．110°C．115°D．120°【答案】B【分析】根据折叠性质求得∠BFE=70∘，根据平行线的性质可得∠AEF=110∘，继而即可求解．【详解】∵正方形ABCD沿EF折叠，∴∠B′FE=∠BFE，∠A′EF=∠AEF，∵∠B′FE+∠BFE+∠1=180∘，∴∠BFE=1(180∘−40∘)=70∘，2∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠AEF=180∘−∠BFE=180∘−70∘=110∘，即∠A′EF=∠AEF=110∘，故选：B．【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握并运用折叠的性质，平行线的性质．2．（2023下·河南信阳·七年级统考期中）学习平行线后，小龙同学想出了“过已知直线m外一点P画这条直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的．观察图（1）～（4），经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即为过点P的已知直线m的平行线．从图中可知，小龙画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．A．①②B．②③C．③④D．①④【答案】C【分析】根据折叠可直接得到折痕AB与直线m之间的位置关系是垂直，折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直；然后根据平行线的判定条件由③∠3=∠1可得AB∥CD，由④∠4=∠2，可得AB∥CD．【详解】解：第一次折叠后，得到的折痕AB与直线m之间的位置关系是垂直，将正方形纸展开，再进行第二次折叠（如图（4）所示），得到的折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直；∵AB⊥m，CD⊥m，∴∠1=∠2=∠3=∠4= 90°，∵∠3=∠1，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故③正确；∵∠4=∠2，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故④正确；综上分析可知，正确的是①②，故C正确．故选：C．【点睛】此题主要考查了平行线的判定，以及翻折变换，关键是掌握平行线的判定定理．3．（2023下·江苏无锡·七年级统考期中）如图，将正方形纸片ABCD沿BE翻折，使点C落在点F处，若∠DEF＝30°，则∠ABF的度数为．【答案】60°.【详解】解：根据折叠图形的性质可得∠BEF=（180°－30°）÷2=75°，∠C=90°，则∠FBE=15°，∠ABF=90°－15°×2=60°.考点：折叠图形的性质4．（2020上·浙江·七年级期末）如图，将正方形ABCD沿AC对折，使得△ABC与△ADC重合，得到折痕AC 后展开点E,F分别在边AD,BC上，再沿EF折叠，使得点A落到点A′．折痕EF与AC相交于点O．若EA′//AC，则∠COF为度．【答案】67.5°【分析】根据折叠的性质得到∠DAC=∠BAC，∠AEF=∠A′EF，再根据平行线的性质得到∠A′ED=∠DAC=45°，∠COF=∠A′EF，从而计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，由第一次折叠可知：∠DAC=∠BAC=45°，∠AEF=∠A′EF，∵A′E∥AC，∴∠A′ED=∠DAC=45°，∠COF=∠A′EF，（180°-45°）=67.5°，∴∠COF=∠A′EF=∠AEF=12故答案为：67.5°．【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，解题的关键是利用折叠和平行线的性质得到相等的角．5．（2023·江苏扬州·校考二模）如图，将正方形ABCD沿着BE、BF翻折，点A、C的对应点分别是点A′、C′，若∠A′BC′=14°，则∠EBF=．【答案】38°【分析】由正方形的性质及折叠的性质可得∠ABC=90°，∠ABE=∠A′BE，∠CBF=∠C′BF，利用角之间的和差关系可得2∠A′BE+2∠C′BF=90°+∠A′BC′=104°，进而求得∠A′BE+∠C′BF=52°，再利用∠EBF=∠A′BE+∠C′BF−∠A′BC′即可求得结果．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC =90°，由折叠可知，∠ABE =∠A ′BE ，∠CBF =∠C ′BF ，∵∠A ′BF =∠C ′BF−∠A ′BC ′，∠ABE +∠A ′BE +∠A ′BF +∠CBF =90°，∴2∠A ′BE +2∠C ′BF−∠A ′BC ′=90°，即：2∠A ′BE +2∠C ′BF =90°+∠A ′BC ′=104°，∴∠A ′BE +∠C ′BF =52°，∴∠EBF =∠A ′BE +∠C ′BF−∠A ′BC ′=52°−14°=38°，故答案为：38°．【点睛】本题考查正方形与折叠的性质，利用正方形与折叠的性质得到∠A ′BE +∠C ′BF 的度数是解决问题的关键．6．（2023下·七年级课时练习）如图，取一张正方形纸片ABCD ．如图①，折叠∠A ，设顶点A 落在点A ′的位置，折痕为EF ；如图②，折叠∠B ，使EB 沿EA ′的方向落下，折痕为EG ．试判断∠FEG 的度数是否是定值，并说明理由．【答案】为定值．【详解】解：由折叠可知，∠FEA′＝∠FEA ，∠GEB ＝∠GEA′，所以∠FEA ′=12∠A ′EA ，∠GEA ′=12∠A ′EB ．因为∠A′EB ＋∠A′EA ＝180°，所以∠GEA ′+∠FEA ′=12∠A ′EB +12∠A ′EA =12(∠A ′EB +∠A ′EA)=12×180°=90°，即∠FEG 的度数为定值．【题型3 利用平行线的性质解决三角形中的折叠问题】1．（2023下·山西晋中·七年级统考期末）如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，点D 是BC 上的一点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，边AE 交BC 于点F ，若DE∥AC ，则∠ADB 的度数为（ ）A ．135°B ．120°C ．105°D ．75°【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C=1(180°−120°)=30°，根据平行线的性质得出2∠EDF=∠C=30°，求出∠ADB+∠ADE=180°+∠EDF=210°，根据∠ADB=∠ADE，即可得出答案．【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=1(180°−120°)=30°，2∵DE∥AC，∴∠EDF=∠C=30°，∴∠ADB+∠ADE=180°+∠EDF=210°，根据折叠可知，∠ADB=∠ADE，×210°=105°，故C正确．∴∠ADB=∠ADE=12故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是求出∠ADB+∠ADE=180°+∠EDF=210°．2．（2023·广东广州·统考二模）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC的中点，∠B=80°，现将△CDE 沿DE翻折，点C的对应点为C′，则∠BEC′的大小是（）．A．40°B．30°C．20°D．10°【答案】C【分析】先根据三角形的中位线可得DE∥BC，得到∠DEC=∠B=80°，再根据折叠的性质可得∠DEC=∠DEC′=80°，最后根据平角的定义列式求解即可．【详解】解：∵在△ABC中，D，E分别是边AC，BC的中点，∴DE∥BC,∴∠DEC=∠B=80°,∵将△CDE沿DE翻折，点C的对应点为C′，∴∠DEC=∠DEC′=80°，∴∠BEC′=180°−∠DEC−∠DEC′=20°．故选C．【点睛】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质、平行线的性质、折叠的性质等知识点，掌握中位线的性质是解答本题的关键．3．（2023下·陕西榆林·七年级校考期末）如图，在△ABC中，∠C=80°，D为AC上一点，且AD=BD，将△ABD沿BD翻折得到△A′BD，此时A′D∥BC，则∠ABC=．【答案】75【分析】设∠A=∠ABD=x，根据翻折得，∠A=∠DBA′=∠A′=∠ABD=x，由A′D∥BC，∠A′=∠CBA′=x，从而可得∠ABC=∠CBA′+∠A′BD+∠ABD=3x，然后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵AD=BD，∴∠A=∠ABD．设∠A=∠ABD=x，∵将△ABD沿BD翻折得到△A′BD，∴∠A=∠DBA′=∠A′=∠ABD=x，∵A′D∥BC，∴∠A′=∠CBA′=x，∴∠ABC=∠CBA′+∠A′BD+∠ABD=3x，由三角形内角和定理得，∠A+∠ABC+∠C=180°，x+3x+80°=180°，解得x=25°，∴∠ABC=3x=3×25°=75°，故答案为：75．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，以及平行线的性质，掌握翻折前后图形的大小、形状不变．4．（2023下·吉林四平·七年级四平市第三中学校校考开学考试）如图，在△ABC中，点D、E分别为边BC、AC上的点，连接DE，将△CDE沿DE翻折得到△C′DE，使C′D∥AB．若∠A=75°，∠C=45°，则∠C′EA 的大小为°．【答案】30【分析】由C′D∥AB得出∠DGE=∠A=75°，由折叠性质可知，∠C′=∠C=45°，再根据三角形外角性质求出∠C′EA=∠DGE−∠C′=30°．【详解】解：如图，设AC，C′D交于G，∵C′D∥AB，∴∠DGE=∠A=75°，由折叠性质可知，∠C′=∠C=45°，∴∠C′EA=∠DGE−∠C′=75°−45°=30°，故答案为：30．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，解答本题的关键是求出∠DGE的度数．5．（2023·山东济宁·统考一模）如图，在△ABC中，∠ABC+∠ACB=130°，按图进行翻折，使MD∥NG∥BC，ME∥FG，则∠NFE的度数是°．【答案】80【分析】如图，根据翻折的性质可得∠M=∠B，∠N=∠C，∠2=∠NFG，根据平行线的性质可得∠M=∠1，∠N=∠NFE，∠1=∠2，即可得出2∠B+∠C=180°，根据∠ABC+∠ACB=130°可求出∠B、∠C的度数，进而可得答案．【详解】如图，∵按图进行翻折，∴∠M=∠B，∠N=∠C，∠2=∠NFG，∵MD∥NG∥BC，ME∥FG，∴∠M=∠1，∠N=∠NFE，∠1=∠2，∵∠2+∠NFG+∠NFE=180°，∴2∠B+∠C=180°∵∠ABC+∠ACB=130°，∴∠B=50°，∠C=80°，∴∠NFE=∠C=80°．故答案为：80【点睛】本题考查翻折的性质及平行线的性质，正确找出翻折后的对应边和对应角并熟练掌握平行线的性质是解题关键．6．（2023上·江苏宿迁·七年级南师附中宿迁分校校考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=68°，D是AB的中点，点E在边AC上一动点，将△ABE沿DE翻折，使点A落在点A′处，当A′E∥BC时，则∠ADE=．【答案】113°或23°【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，分当A′在AC上方，A′E∥BC时，当A′在AC下方，A′E∥BC时，两种情况，先利用平行线的性质得到∠A′EA=90°，再由折叠的性质求出∠AED 的度数，再根据三角形内角和定理可得答案．【详解】解：如图，当A′在AC上方，A′E∥BC时，∴∠A′EA=∠C=90°，∵∠ABC=68°，∴∠A=90°−68°=22°，∠A′EA=45°，由翻折可知：∠A′ED=∠AED=12∴∠ADE=180°−∠A−∠AED=180°−22°−45°=113°．如图，当A′在AC下方，A′E∥BC时，∴∠A′EC=∠C=90°，∴∠A′EA=90°×(360°−90°)=135°，由翻折可知：∠A′ED=∠AED=12∴∠ADE=180°−135°−22°=23°．故答案为：113°或23°．7．（2023下·山东青岛·七年级校联考期末）如图，将△ABC沿BC翻折，使点A落在点A'处，过点B作BD //AC交A'C于点D，若∠A'BC＝30°，∠BDC＝140°，则∠A的度数为．【答案】130°【分析】先利用轴对称的性质得到∠ABC＝∠A'BC＝30°，∠ACB＝∠A'CB，再利用平行的性质得到∠CBD＝∠ACB，等量代换得到∠CBD＝∠A'CB，利用三角形内角和定理求出∠A'CB，最后利用三角形内角和定理即可求出∠A的度数．【详解】解：∵△ABC沿BC翻折得到△A'BC，∴∠ABC＝∠A'BC＝30°，∠ACB＝∠A'CB，∵BD//AC，∴∠CBD＝∠ACB，∴∠CBD＝∠A'CB，∵∠BDC＝140°，∴∠A'CB＝1(180°−∠BDC)=20°，2∴∠ACB＝20°，∴∠A＝180°−∠ABC−∠ACB=180°−30°−20°=130°．故答案为：130°．【点睛】本题考查三角形内角和定理，轴对称的性质，平行线的性质等，利用轴对称的性质得出∠ABC＝∠A'BC，∠ACB＝∠A'CB是解题的关键．8．（2023下·上海·七年级专题练习）将△ABC沿着DE翻折，使点A落到点A′处，A′D、A′E分别与BC交于M、N两点，且DE∥BC．已知∠A′NM＝27°，则∠NEC＝．【答案】126°【分析】利用平行线的性质求出∠DEN＝27°，再利用翻折不变性得到∠AED＝∠DEN＝27°，再根据平角的性质即可解决问题．【详解】解：∵DE∥BC，∴∠DEN＝∠A′NM＝27°，由翻折不变性可知：∠AED＝∠DEN＝27°，∴∠NEC＝180°﹣2×27°＝126°，故答案为126°．【点睛】本题考查翻折变换，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．（2023下·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A＝80°，∠B与∠ADC互为补角，点E在边BC上，将△DCE沿DE翻折，得到△DFE，若AB∥FE，DF平分∠ADE，则∠B的度数为°．【答案】120【分析】由题意可以设∠CDE=∠EDF=∠ADF=x，∠B=y，根据四边形的内角和等于360°，可得3x+y=180°，∠A+∠C=180°，再由∠A=80°，可得∠C=100°，然后根据AB∥FE，可得∠CEF=∠B=y，从而得到y+2x=160°，即可求解．【详解】解：根据题意得：∠CDE=∠EDF，∵DF平分∠ADE，∴∠CDE=∠EDF=∠ADF，设∠CDE=∠EDF=∠ADF=x，∠B=y，则∠ADC=3x，∵∠B与∠ADC互为补角，∴∠B+∠ADC=180°，∴3x+y=180°，∠A+∠C=180°，∴y=180°-3x，∵∠A=80°，∴∠C=100°，∵AB∥FE，∴∠CEF=∠B=y，由翻折得：∠F=∠C=100°，∴∠CDF+∠CEF=360°-∠C-∠F，∴y+2x=360°-200°=160°，∴180°-3x+2x=160°，解得：x=20°，∴y=120°，即∠B=120°，故答案为120．【点睛】本题考查翻折变换，四边形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．10．（2023下·福建泉州·七年级统考期末）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，点D是AB边上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△ECD．(1)如图1，当点E落在BC上时，求∠BDE的度数；(2)当点E落在BC下方时，设DE与BC相交于点F．①如图2，若DE⊥BC，试说明：CE∥AB；②如图3，连接BE，EG平分∠BED交CD的延长线于点G，交BC于点H．若BE∥CG，试判断∠CFE与∠G之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)10°(2)①见解析；②4∠G−∠CFE=40°【分析】（1）根据翻折可得∠A=∠CED=50°，再利用外角即可求出∠BDE的度数；（2）①根据翻折可得∠A=∠CED=50°，再利用垂直可得∠B=∠ECF=40°，即可得到CE∥AB；②设∠G=x，根据角平分线和平行线可得∠G=∠DEG=∠BEG=x，∠ADC=∠CDE=∠DEB=2x，可求得∠BCD=90°−∠ACD=90°−(180°−∠A−∠ADC)=2x−40°，再利用外角可得∠CFE=∠BCD+∠CDE=4x−40°，即可得到4∠G−∠CFE=40°．【详解】（1）∵∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠B=40°，∵将△ACD沿CD翻折后得到△ECD，∴∠A=∠CED=50°，∴∠BDE=∠CED−∠A=50°−40°=10°；（2）①根据翻折可得∠A=∠CED=50°，∠ADC=∠CDE∵DE⊥BC，∴∠ECF=90°−∠E=40°=∠B，∴CE∥AB；②4∠G−∠CFE=40°，理由如下：设∠G=x，∵BE∥CG，∴∠G=∠BEG=x，∠CDE=∠DEB∵EG平分∠BED，∴∠G=∠DEG=∠BEG=x，∠ADC=∠CDE=∠DEB=2x，∴∠ACD=180°−∠A−∠ADC=130°−2x，∴∠BCD=90°−∠ACD=90°−(130°−2x)=2x−40°，∴∠CFE=∠BCD+∠CDE=4x−40°，∴∠CFE=4∠G−40°，即4∠G−∠CFE=40°．【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质与判定，三角形的外角性质，解题的关键是理清角度之间的关系．【题型4利用平行线的性质解决特殊图形中的折叠问题】1．（2023·浙江·七年级假期作业）如图，AB∥CD，AD∥BC，E为AD上一点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE 点F在BD上，且∠EFB=2∠EDF，∠C=56°，则∠ABE的度数为（）A．56°B．34°C．48°D．62°【答案】C【分析】由平行线的性质和折叠的性质得出∠BFE=∠A=56°，∠FBE=∠ABE，由三角形的外角性质得出∠BFE=28∘，由三角形内角和定理∠EDF=∠DEF=12求出∠ABD=180°−∠A−∠EDF=96°，即可得出∠ABE的度数．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠C+∠ABC=180°，∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°，∴∠A=∠C=56°，由折叠的性质得：∠BFE=∠A=56°，∠FBE=∠ABE，∵∠EFB =2∠EDF ，∠EFB =∠DEF +∠EDF ，∴∠EDF =∠DEF =12∠BFE =28∘∴∠ABD =180°−∠A−∠EDF =96°，∴∠ABE =12∠ABD =48°故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．2．（2023下·浙江温州·七年级校考期中）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ,点M ，N 分别在AB ，BC 上，将△BMN 沿MN 翻折，得△FMN ，若∠A =100°，FN ∥AB ，则∠BNM =（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．55°【答案】C 【详解】根据两直线平行，同位角相等求出∠BMF 、∠BNF ，再根据翻折的性质求出∠BMN 和∠BNM ，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．解：∵AD ∥BC ，∠A=100°，∴∠B=80°，∵FN ∥AB ，∴∠CNF=80°，∴∠BNF=100°，∵△BMN 沿MN 翻折，得△FMN ，∴∠BNM=12∠BNF= 12×100°=50°，故选C ．3．（2023下·重庆万州·七年级统考期末）如图，六边形ABCDEF 中，AF //CD ，AB //DE ，∠A =140°，∠B =100°，∠ECD ＝20°，将△CDE 沿CE 翻折，得到△CD ′E ，则∠BC D ′的度数为（ ）A．60°B．80°C．100°D．120°【答案】B【分析】过点B作BG∥AF，利用平行线的性质求得∠BCD=120°，利用折叠的性质求得∠ECD=∠EC D′=20°，即可求解．【详解】解：过点B作BG∥AF，∵AF∥CD，∴AF∥BG∥CD，∵∠A=140°，∠ABC=100°，∴∠ABG=180°-140°=40°，∠GBC=100°-40°=60°，∴∠BCD=180°-60°=120°，由折叠的性质得：∠ECD=∠EC D′=20°，∴∠BC D′=120°-∠ECD-∠EC D′=120°-20°-20°=80°，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．4．（2023·辽宁鞍山·校考三模）某同学在一次数学实践活动课中将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠∠ABC，则∠1为（ ）（如图）．折痕分别为AB，CD，若CD∥BE，且∠CBE=13A．106°B．108°C．109°D．110°【答案】B【分析】根据平行线的性质得出∠EBC+∠BCD=180°，再根据折叠得出2∠ABE+∠CBE=180°，进而解答即可．【详解】解：由折叠可知，2∠ABE+∠CBE=180°，∠ABC，∠ABC=∠ABE+∠CBE，∵∠CBE=13∴∠ABE=2∠CBE，∴4∠CBE+∠CBE=180°，∴∠CBE=36°，∵BE∥CD，∴∠BCD=180°−∠CBE=144°，由折叠可知，2∠DCE+∠1=180°，∵∠BCD=∠1+∠DCE，∴2(144°−∠1)+∠1=180°，∴∠1=108°，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的问题，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理，折叠就会出现对应角相等．5．（2023下·河北保定·七年级统考阶段练习）已知纸条的上下两条边a,b平行，现将纸条按如图所示的方式折叠，则下列判断正确的是（）结论Ⅰ：若∠1=50°，则∠2=65°；结论Ⅱ：∠1与∠2之间的数量关系为2∠1+∠2=180°A．只有结论Ⅰ正确B．只有结论Ⅱ正确C．结论Ⅰ和Ⅱ都正确D．结论Ⅰ和Ⅱ都不正确【答案】A【分析】根据平行线的性质得到∠2=∠3，根据折叠得到∠3=∠4，从而推出∠2=∠4，再分别判断两个结论．【详解】解：如图，∵a∥b，∴∠2=∠3，由折叠可得：∠3=∠4，∴∠2=∠4，若∠1=50°，∴∠2=1(180°−∠1)=65°，故结论Ⅰ正确；2∵∠2=∠4，∠1+∠2+∠4=180°，∴∠1+2∠2=180°，故结论Ⅱ不正确；故选A．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及折叠性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．6．（2023下·江苏连云港·七年级统考阶段练习）如图1是AD∥BC的一张纸条，按图示方式把这一纸备先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE=24°，则图2中∠AEF的度数为（）A．112°B．68°C．48°D．136°【答案】A【分析】根据各角的关系可求出∠BFE的度数，由AE∥BF，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠AEF的度数．【详解】解：根据图2可知∠BFE折叠了2次，即2∠BFE+∠BFC=180°，∠BFE−∠BFC=∠CFE=24°，根据图3可知∠BFE折叠了3次还差个∠CFE，(180°+24°)=68°．∴∠BFE=13∵AE∥BF，∴∠AEF=180°−∠BFE=112°．故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质以及角的计算，通过角的计算，求出∠BFE的度数是解题的关键．7．（2023上·江苏镇江·七年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝110°，∠C＝80°，将△BMN沿MN翻折，得到△FMN．若MF∥AD，FN∥DC，则∠D的度数为．【答案】85°【分析】根据平行线的性质可得，∠FNB=∠C，∠A=∠FMB，由折叠的性质可得，∠B=∠F，再根据四边形内角和即可求解．【详解】解：∵MF∥AD，FN∥DC，∴∠FNB=∠C=80°，∠A=∠FMB=110°由折叠的性质可得，∠B=∠F(360°−∠FNB−∠FMB)=85°四边形内角和的性质可得，∠B=∠F=12∠D=360°−∠A−∠B−∠C=85°故答案为：85°【点睛】此题考查了四边形内角和的性质，涉及了平行线以及折叠的性质，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．。
中考数学中的旋转翻折类问题专项训练经典汇编(共30题)
中考数学中的旋转翻折类问题专项训练经典汇编（共30题）1．阅读下面材料．小炎遇到这个一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF ＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由．小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中，她先尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB、AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决这个问题（如图2）．参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）写出小炎的推理过程；（2）如图3，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD 上，∠EAF＝45°，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足于关系时，仍有EF＝BE+DF；（3）如图4，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE ＝45°，若BD＝1，EC＝2，求DE的长．2．如图1，把△ABC沿直线BC平移线段BC的长度，得到△ECD；如图2，以BC为轴，把△ABC沿BC翻折180°，可以得到△DBC；如图3，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以得到△AED．像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平移、翻折、旋转等方法得到的，这种只改变位置，不改变形状、大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题：（1）在图4中，可以使△ABE通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法得到△ADF？（2）图中线段BE与DF相等吗？为什么？3．阅读材料并解答问题：探究：小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD，点E、F分别为BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°，求证：BE+DF＝EF．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图1），此时GE即是BE+DF．请回答：在图1中，∠GAF的度数是．理解：如图2，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E在斜边AB上，且∠DCE＝45°，请写出AD、DE、BE三条线段之间的数量关系，并证明．应用：如图3，正方形ABCD中，△AMN的顶点M、N分别在BC、CD边上，AH⊥MN，且AH＝AB，连接BD分别交AM、AN于点E，若MH＝2，NH＝3，DF＝2，求AH、EF的长．4．阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF ＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由．小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足关系时，仍有EF＝BE+DF；（2）如图4，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE ＝45°，若BD＝1，EC＝2，求DE的长．5．如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，F是BA延长线上一点，AF＝AB．（1）图中的全等三角形是哪一对？（2）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中哪一种方法，使△ABE变换到△ADF的位置？（3）图中线段BE与DF之间有怎样的关系？为什么？6．已知点E是△ABC内部一点．将△ABE沿BE翻折，点A落在BC上的点F′处．（1）如图1，若∠BAC﹣80°，∠C﹣40°，EF∥AC．求∠BEF的度数；（2）如图2，若∠C＝2∠BAE，请说明．（3）如图3．连接AF，若AE⊥BC，∠ABC﹣70°，∠C＝40°，将△BEF绕点B顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜180°）得到ΔBE1F1，则在这个旋转过程中，当E1F1与△AFC的某一边垂直时，直接写出旋转角α的度数．7．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝21，AC＝28，点D为BC边上一点，过点作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，且DE＝DF．（1）求证：四边形AEDF为正方形；（2）如图2，将△CDF沿DF翻折，得△GDF，DG交AB于点H，求证：DH＝DB；（3）将（2）中的△BDH绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得△B′DH′（点B的对应点为B′，点H的对应点为H′，连接GH′，CB′，点M为线段GH′的中点，连接DM．当△B′DC为直角三角形时，直接写出线段DM的长．8．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一动点（不与A，D重合），连接BE，CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF．（1）如图1，求证：∠CBE＝∠CAF；（2）如图2，连接BF交AC于点G，连接DG，EF，EF与DG所在直线交于点H，求证：EH＝FH；（3）如图3，连接BF交AC于点G，连接DG，EG，将△AEG沿AG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△APG，将△DEG沿DG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△DQG，连接PQ，QF．若AB＝4，直接写出PQ+QF的最小值．9．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，过B点作BE⊥AC于点E，点D为线段AC的中点，连接BD．（1）如图1，AB＝2，AC＝6，求ED的长度；（2）如图2，将线段DB绕着点D逆时针旋转45°得到线段DG，此时DG⊥AC，连接BG，点F为BG的中点，连接EF，求证：BC＝2EF；（3）如图3，∠ACB＝30°，AB＝3，点P是线段BD上一点，连接AP，将△APB沿AP 翻折到同一平面内得到△APB'，连接CB′，将线段绕点CB′顺时针旋转60°得线段CQ，连接BQ，当BQ最小时，直接写出△BCQ的面积．10．如图，CD为△ABC的中线，以CD为直角边在其右侧作直角△CDE，CD⊥DE，BC与DE交于点F，∠E＝30°．（1）如图1，若CF＝EF＝5，求CD的长；（2）如图2，若将BC绕点C逆时针旋转120°得CG，连接AG、AE，探究AG、AE的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若∠ACB＝90°，AC＝2，．直线CE上有一点M，连接MF，将△CFM沿着MF翻折至△ABC所在的平面内得到△NFM．取NF的中点P，连接AP，当AP最小时，请直接写出△APB的面积．11．已知△ABC为等边三角形，D是边AB上一点，连接CD，点E为CD上一点，连接BE．（1）如图1，延长BE交AC于点F，若∠ABF＝15°，．求AF的长；（2）如图2，将△BEC绕点C顺时针旋转60°到△AGC，延长BC至点H，使得CH＝BD，连接AH交CG于点N，猜想线段CE，GN，DE之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，AB＝8，点H是BC上一点，且BD＝2CH，连接DH，点K是AC上一点，CK＝AD，连接DK，BK，将△BKD沿BK翻折到△BKQ，连接CQ，当△ADK的周长最小时，直接写出△CKQ的面积．12．在边长为8的等边三角形ABC中，D为BC的中点，E，F分别为AC、AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EG，连接FG交AC于点N，连接AG．（1）如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，证明：四边形AFEG是菱形；（2）如图2，EF的延长线交AB于点M，当AM+MF＝AE时，求∠EAG的度数；（3）如图3，E为AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连接EH，将△BEH 沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△B′EH，连接B′G，直接写出线段B′G长度的最小值．13．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AC边上一动点，连接BD．（1）如图1，在平面内将线段DC绕点C顺时针旋转90°得到线段CK，点F为BC边上一点，连接AF交BD于M，连接AK．若∠CAF＝2∠DBA，AF＝8，AK＝10，求CF的长；（2）如图2，在平面内将线段DB绕点B顺时针旋转一定角度得到线段BE，连接AE交BC于G，连接DE，若∠CDE＝∠DBA，猜想线段AD，CG的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，将△CDB沿BD直线BD翻折至△ABC所在平面内得到△BDC1，连接AC1，若AC＝2+，在点D运动过程中，当线段AC1取得最小值时，请直接写出△ABE与四边形BCDC1重叠部分的面积．14．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边上一动点，连接AD，将AD绕着D点逆时针方向旋转90°得到DE，连接AE．（1）如图1，AH⊥BC，点D恰好为CH中点，AE与BC交于点G，若AB＝4，求AE 的长度；（2）如图2，DE与AB交于点F，连接BE，在BA延长线上有一点P，∠PCA＝∠EAB，求证：AB＝AP+BD；（3）如图3，DE与AB交于点F，且AB平分∠EAD，点M为线段AF上一点，点N为线段AD上一点，连接DM，MN，点K为DM延长线上一点，将△BDK沿直线BK翻折至△BDK所在平面内得到△BQK，连接DQ，在M，N运动过程中，当DM+MN取得最小值，且∠DKQ＝45°时，请直接写出的值．15．在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（0，3）．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右平移，点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度向右平移，又P、Q 两点同时出发．（1）连接AQ，当△ABQ是直角三角形时，则点Q的坐标为；（2）当P、Q运动到某个位置时，如果沿着直线AQ翻折，点P恰好落在线段AB上，求这时∠AQP的度数；（3）若将AP绕点A逆时针旋转，使得P落在线段BQ上，记作P'，且AP'∥PQ，求此时直线PQ的解析式．16．（1）特殊发现如图1，正方形BEFG与正方形ABCD的顶点B重合，BE、BG分别在BC、BA边上，连接DF，则有：①＝；②直线DF与直线AG所夹的锐角等于度；（2）理解运用将图1中的正方形BEFG绕点B逆时针旋转，连接DF、AG．①如图2，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；②如图3，若D、F、G三点在同一直线上，且过AB边的中点O，BE＝4，直接写出AB的长；（3）拓展延伸如图3，点P是正方形ABCD的AB边上一动点（不与A、B重合），连接PC，沿PC将△PBC翻折到△PEC位置，连接DE并延长，与CP的延长线交于点F，连接AF，若P A ＝3PB，则的值是否是定值？请说明理由．17．已知：如图①，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，连接AC，将△ABC沿AC翻折，使B点落在E点处，连接EC、AE，AE交DC于F点．（1）求DF的长．（2）若将△CEF沿着射线CA方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点C沿CA方向所经过的线段长度）．当点F平移到线段AD上时，如图②，求出相应的m的值．（3）如图③，将△CEF绕点C逆时针旋转一个角a（0°＜a＜∠ECB），记旋转中的△CEF为△CE'F'，过E'作E'G⊥AD于G点，在旋转过程中，当△DCE'为等腰三角形时，求出线段E'G的长度．18．已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝m，点E是边BC上一点，BE＝1，连接AE．（1）沿AE翻折△ABE使点B落在点F处．①连接CF，若CF∥AE，求m的值；②连接DF，若≤DF≤，求m的取值范围．（2）△ABE绕点A顺时针旋转得△AB1E1，点E1落在边AD上时旋转停止．若点B1落在矩形对角线AC上，且点B1到AD的距离小于时，求m的取值范围．19．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x 轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点B的坐标为（10，8），在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．（1）求CE和OD的长；（2）求DE所在直线的解析式；（3）若直线y＝kx+b与直线DE的比例系数相等，当它与矩形OABC有公共点时，请直接写出b的取值范围．20．如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．（1）将▱ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段、，S矩形AEFG：S▱ABCD＝；（2）▱ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF＝9，EH＝12，求AD的长；（3）如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB＝12，CD＝13，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并直接写出AD、BC的长．（写出一种即可）21．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+8分别交x轴、y轴于A、B两点，已知点C（3，0），点D是线段AB上的一个动点．（1）判断△ABO的形状；（2）OD+CD的最小值为；（3）如图2，点P为y轴正半轴上一点，连接BC、PC，若∠BCP与△ABC中的一个角相等，求点P的坐标；（4）如图3，将△ACD沿CD翻折，点A恰好落在y轴上的点A′处，求此时点D的坐标．22．在等腰△ABC中，AB＝BC，高AD，BE所在的直线相交于点F，将△ACD沿直线AD 翻折，点C的对称点C′落在直线BC上，连接FC′．（1）如图1，当∠ABC＝45°时，①求证：BF＝AC；②求∠FC′D的度数．（2）当∠ABC＝135°时，补全图2，并求证：C′F∥AB．23．如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为（6，3），过点A作AB⊥x轴，交x轴于点B，点P是x轴上一动点，将△ABP沿直线AP翻折，使得点B落在点B'处，点E是翻折后AB'延长后与y轴的交点．（1）若点E的坐标为（0，3），则点P坐标为；（2）如图2，若点E的坐标为（0，），直线AE与x轴交于点F．①求点F的坐标；②求直线AP的函数关系式．24．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的一个动点，沿着AE翻折△ABE，使点B落在点F处，AB＝2，BC＝AB．（1）当点E运动到点C时，求CF的长；（2）当FC∥AE时，试判断E是否为BC的中点？并说明理由；（3）当点F在矩形ABCD内部，且DF＝CD时，求BE的长．25．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的边OC在x轴上，OA在y轴上，O为坐标原点，AB∥OC，线段OA，AB的长分别是方程x2﹣9x+20＝0的两个根（OA＜AB），延长CB交y轴于点H，＝．（1）求点B，C的坐标；（2）P为OA上一点，Q为OC上一点，OQ＝5，将△POQ翻折，使点O落在AB上的点O'处，双曲线y＝的一分支过点O′，求k的值；（3）在（2）的条件下，M为坐标轴上一点，在平面内是否存在点N，使以O'，Q，M，N为顶点四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．26．如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．（1）求证AE＝MN；（2）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；（3）如图3，若该正方形ABCD边长为10，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AG⊥MN，垂足分别为G，若AG＝6，请直接写出AC′的长．27．如图1，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（6，8）．D是AB边上一点（不与点A、B重合），将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点E处．（1）求直线AC所表示的函数的表达式；（2）如图2，当点E恰好落在矩形的对角线AC上时，求点D的坐标；（3）如图3，当以O、E、C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求△OEA的面积．28．已知在平行四边形ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿直线AC翻折，点B落在点E处，AD与CE相交于点O，连接DE．（1）如图1，求证：AC∥DE；（2）如图2，如果∠B＝90°，AB＝，BC＝，求△OAC的面积；（3）如果∠B＝30°，AB＝2，当△AED是直角三角形时，求BC的长．29．如图，矩形ABCD中，已知AB＝6．BC＝8，点E是射线BC上的一个动点，连接AE 并延长，交射线DC于点F．将△ABE沿直线AE翻折，点B的对应点为点B'．（1）如图1，若点E为线段BC上一点，延长AB'交CD于点M，求证：AM＝FM；（2）如图2，若点B'恰好落在对角线AC上，求的值；（3）若＝，求∠DAB'的正弦值．30．如图1，四边形ABCD是矩形，点O位于对角线BD上，将△ADE，△CBF分别沿DE、BF翻折，点A，点C都恰好落在点O处．（1）求证：∠EDO＝∠FBO；（2）求证：四边形DEBF是菱形：（3）如图2，若AD＝2，点P是线段ED上的动点，求2AP+DP的最小值．。
人教版初二数学8年级下册 第18章(平行四边形)翻折问题专项训练(含答案)
人教版数学八年级下期第十八章平行四边形翻折问题训练一、选择题1.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=25，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点落B在点F处，连结CF，则CF的长为（ ）A. 83B. 435 C. 855 D. 1032.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为AD边的中点，将△ABE沿BE翻折，使点A落在点A′处，作射线EA′，交BC的延长线于点F，则CF的长为（ ）A. 1B. 43C. 32D. 23.如图，菱形ABCD中，点E在AD上，将△ABE沿着BE翻折，点A恰好落在CD上的点F处．若∠A=65°，则∠DFE的度数为（ ）A. 85°B. 82.5°C. 65°D. 50°4.如图，在▱ABCD中，∠B=45°，AD=2，E，H分别为边AB，CD上一点，将▱ABCD沿EH翻折，使得AD的对应线段FG经过点C.若FG⊥CD，CG=1，则EF的长度为（ ）A. 2B. 2C. 22D. 2−25.如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=12，点E是AB的中点，点F是AD边上的动点，将△AEF沿EF翻折，得到△A'EF，则A'C的最小值是（ ）A. 6B. 7C. 8D. 96.如图，矩形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE、DE，将△DEC沿线段DE翻折，点C恰好落在线段AE上的点F处，若AB=4，BE：EC=4：1，则线段DE的长为( )A. 410 B. 4.5 C. 25 D. 173二、填空题7.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A恰好落在CD边上的点F处．若△DEF的周长为8，△BCF的周长为32，则平行四边形ABCD的周长为______．8.如图，将矩形纸片ABCD沿直线AF翻折，使点B恰好落在CD边的中点E处，点F在BC边上，若CD=4，则AD=______．9.如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上的点，BE=BC，将△ADE沿DE翻折，点A的对应点F恰好落在CE上．∠ADF=87°，则∠BEC= .10.如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为__________.11.如，▱ABCD中，对C与BD相交点E，∠AEB=°，B=2，将△ABAC所线翻折180°到其原来所在的同一面内若点落点记为B′，则DB的长为______ ．12.如图，把菱形ABCD沿折痕AH翻折，使B点落在边BC上的点E处，连接DE.若CD=13，CE=3，则ED= ______ .三、解答题13.在正方形ABCD中,∠A=∠B=90∘，将△AED、△DCF分别沿着DE、DF翻折，点A. C都分别与EF上的点G重合。
八年级数学下册《图形的折叠问题》练习题与答案(人教版)
八年级数学下册《图形的折叠问题》练习题与答案(人教版)一、选择题1.如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E.若∠1＝35°，则∠2的度数为( )A.20°B.30°C.35°D.55°2.如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝6cm，则CD＝( )A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm3.如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE.若BE平分∠ABC，且AB＝5，BE＝4，则AE＝( )A.2B.3C.4D.54.在△ABC中，AB＝10，AC＝12，BC＝9，AD是BC边上的高，将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为( )A.9.5B.10.5C.11D.15.55.如图，将三角形纸片ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，折痕分别交BC，AB于点D，E.如果AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，那么BC的长为( )A.7cmB.10cmC.12cmD.22cm6.如果将长为6 cm，宽为5 cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是( )A.8 cmB.5 2 cmC.5.5 cmD.1 cm二、填空题7.如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F.若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为.8.如图，将菱形ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为EF.若菱形的边长为2 cm，∠BAD＝120°，则EF的长为 .9.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上)，折叠后端点D恰好落在边OC 上的点F处．若点D的坐标为(10，8)，则点E的坐标为10.把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合(E、F两点均在BD上)，折痕分别为BH、DG．若AB＝6cm，BC＝8cm，则线段FG的长为11.如图，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6，将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF面积为________.12.把图一的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处(如图二)．已知∠MPN＝90°，PM＝3，PN＝4，那么矩形纸片ABCD的面积为______．三、解答题13.如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已AB＝32cm，BC＝40cm，求CE的长.14.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8.将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F 处.(1)求EF的长；(2)求四边形ABCE的面积.15.如图①，将矩形ABCD沿DE折叠使点A落在A′处，然后将矩形展平，如图②沿EF折叠使点A落在折痕DE上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处.(1)求证：EG＝CH；(2)已知AF＝2，求AD和AB的长.16.如图，将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m>0)，点D(m，1)在BC上，将长方形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E.(1)当m＝3时，点B的坐标为_________，点E的坐标为_________；(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上?若能，请求出m的值；若不能，请说明理由.17.如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H.(1)求证：四边形AFHG为正方形；(2)若BD＝6，CD＝4，求AB的长.18.如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积.19.在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AE与BF相交于点G．(1)如图1，求证：AE⊥BF；(2)如图2，将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，延长FP交BA的延长线于点Q，若AB＝4求QF的值.20.如图1，在△OAB中，∠OAB＝90º，∠AOB＝30º，OB＝8．以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．(1)求点B的坐标；(2)求证：四边形ABCE是平行四边形；(3)如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．21.如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝12 cm，AD＝20 cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF.(1)求证：四边形BFEP为菱形；(2)当点E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动；①当点Q与点C重合时(如图2)，求菱形BFEP的边长；②若限定P，Q分别在边BA，BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离.图1 图2参考答案1.A.2.A3.B.4.D.5.C.6.A7.答案为：36°.8.答案为：3(cm).10.答案为：3cm.11.答案为：2.12.答案为：28.8.13.解：∵四边形ABCD是矩形∴AD＝BC＝40cm，DC＝AB＝32cm；∠B＝90°由题意得：AF＝AD＝40cm；DE＝EF(设为x)，EC＝40﹣x；由勾股定理得：BF2＝402﹣322＝576∴BF＝24，CF＝40﹣24＝16；由勾股定理得：x2＝162＋(40﹣x)2，解得：x＝23.2∴EC＝32﹣23.2＝8.8.14.解：(1)设EF＝x依题意知：△CDE≌△CFE∴DE＝EF＝x，CF＝CD＝6.∵在Rt△ACD中，AC＝10∴AF＝AC﹣CF＝4，AE＝AD﹣DE＝8﹣x.在Rt△AEF中，有AE2＝AF2＋EF2即(8﹣x)2＝42＋x2解得x＝3，即：EF＝3.(2)由(1)知：AE＝8﹣3＝5∴S梯形ABCE＝(5＋8)×6÷2＝39.15.解：(1)证明：由折叠知△AEF≌△GEF，△BCE≌△HCE∵AE＝A′E＝BC，∠AEF＝∠BCE∴△AEF≌△BCE∴△GEF≌△HCE∴EG＝CH；(2)∵AF＝FG＝2，∠FDG＝45°∴FD＝2，AD＝2＋2；∵AF＝FG＝HE＝EB＝2，AE＝AD＝2＋ 2∴AB＝AE＋EB＝2＋2＋2＝2＋2 2.16.解：(1)(3，4)；(0，1)(2)点E能恰好落在x轴上.理由如下：∵四边形OABC为长方形∴BC＝OA＝4，∠AOC＝∠DCE＝90°由折叠的性质可得DE＝BD＝BC﹣CD＝4﹣1＝3，AE＝AB＝OC＝m.如图，假设点E恰好落在x轴上.在Rt△CDE中，由勾股定理可得EC＝22，则有OE＝OC﹣CE＝m﹣2 2.在Rt△AOE中，OA2＋OE2＝AE2，即42＋(m﹣22)2＝m2，解得m＝3 2.17.证明：(1)∵AD⊥BC∴∠ADB＝∠ADC＝90°；由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD∴∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°；∴∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°；∴四边形AFHG是正方形解：(2)∵四边形AFHG是正方形∴∠BHC＝90°又GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4；设AD的长为x则BH＝GH﹣GB＝x﹣6，CH＝HF﹣CF＝x﹣4.在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2∴(x﹣6)2＋(x﹣4)2＝102，解得x1＝12，x2＝﹣2(不合题意，舍去) ∴AD＝12∴AB＝6 5.18.证明：(1)由题意可得，△BCE≌△BFE∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE∵FG∥CE∴∠FGE＝∠CEB∴∠FGE＝∠FEG∴FG＝FE∴FG＝EC∴四边形CEFG是平行四边形又∵CE＝FE∴四边形CEFG是菱形；(2)∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10∴AF＝8∴DF＝2设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x∵∠FDE＝90°∴22＋(6﹣x)2＝x 2，解得，x ＝103 ∴CE ＝103∴四边形CEFG 的面积是：CE •DF ＝103×2＝203. 19.证明：(1)∵E ，F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点 ∴CF ＝BE在△ABE 和△BCF 中∴Rt △ABE ≌Rt △BCF(SAS)∴∠BAE ＝∠CBF又∵∠BAE ＋∠BEA ＝90°∴∠CBF ＋∠BEA ＝90°∴∠BGE ＝90°∴AE ⊥BF ；(2)解：∵将△BCF 沿BF 折叠，得到△BPF∴FP ＝FC ，∠PFB ＝∠BFC ，∠FPB ＝90°∵CD ∥AB∴∠CFB ＝∠ABF∴∠ABF ＝∠PFB∴QF ＝QB设QF ＝x ，PB ＝BC ＝AB ＝4，CF ＝PF ＝2∴QB ＝x ，PQ ＝x ﹣2在Rt △BPQ 中∴x 2＝(x ﹣2)2＋42解得：x ＝5，即QF ＝5．20.解：(1)∵在△OAB 中，∠OAB ＝90º，∠AOB ＝30º，OB ＝8 ∴OA ＝43，AB ＝4.∴点B 的坐标为(43，4).(2)∵∠OAB ＝90º∴AB ⊥x 轴∴AB ∥EC.又∵△OBC 是等边三角形∴OC ＝OB ＝8.又∵D 是OB 的中点，即AD 是Rt △OAB 斜边上的中线∴AD ＝OD∴∠OAD ＝∠AOD ＝30º∴OE ＝4.∴EC ＝OC －OE ＝4.∴AB ＝EC.∴四边形ABCE 是平行四边形.(3)设OG ＝x ，则由折叠对称的性质，得GA ＝GC ＝8－x. 在Rt △OAG 中，由勾股定理，得GA 2=OA 2+OG2 即，解得，x ＝1. ∴OG 的长为1.21. (1)证明：∵折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ∴点B 与点E 关于PQ 对称∴PB ＝PE ，BF ＝EF ，∠BPF ＝∠EPF.又∵EF ∥AB∴∠BPF ＝∠EFP ，∴∠EPF ＝∠EFP∴EP ＝EF ，∴BP ＝BF ＝EF ＝EP ∴四边形BFEP 为菱形.(2)解：①∵四边形ABCD 是矩形∴BC ＝AD ＝20，CD ＝AB ＝12，∠A ＝∠D ＝90°.∵点B 与点E 关于PQ 对称∴CE ＝BC ＝20.在Rt △CDE 中，DE ＝CE 2－CD 2＝16∴AE ＝AD －DE ＝20－16＝4.在Rt △APE 中，AE ＝4，AP ＝12－PB ＝12－PE∴EP 2＝42＋(12－EP)2.解得EP ＝203∴菱形BFEP 的边长为203cm. ②当点Q 与点C 重合时，点E 离点A 最近，由①知，此时AE ＝4. 当点P 与点A 重合时，如图点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝12 ∴点E在边AD上移动的最大距离为8 cm.。
人教版数学中考复习《折叠旋转翻折重点精讲》专项练习折叠问题的计算和证明难点突破课后练习 5
1. 已知：如图，四边形OABC 是矩形，4OA =，8OC =，将矩形OABC 沿直线AC 折叠，使点B 落在点D 处，AD 交OC 于点E 。
（1）求OE 的长；（2）求过O D C ，，三点的抛物线的解析式；（3）若F 为经过O 、D 、C 三点的抛物线的顶点，一动点P 从A 点出发，沿射线AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当运动时间t （秒）为何值时，直线PF 把△FAC 分成面积之比为1∶3的两部分？（1）若点P 在一次函数21y x =-的图象上，求点P 的坐标；（2）若点P 在抛物线2y ax =的图象上，并满足△PCB 是等腰三角形，求该抛物线解析式；（3）当线段OD 与PC 所在直线垂直时，在PC 所在直线上作出一点M ，使DM+BM 最小，并求出这个最小值。
y xOPDC BAABCOxy ABCOxy参考答案1. 解：（1）四边形OABC 是矩形，并将矩形OABC 沿直线AC 折叠，使点B 落在D 处，90CDE AOE ∴∠=∠=︒，OA BC CD ==。
又CED OEA ∠=∠，CDE AOE ∴△≌△。
在Rt △OEA 中，222()OE OA AD DE ∴+=-， 即2224(8)OE OE +=-， 解之，得3OE =。
（2）835EC =-=。
如图，过点D 作DG EC ⊥于点G ，∴△DEG ∽△CDE 。
DE DG EC CD ∴=，DE EG EC DE =。
125DG ∴=，95EG =。
241255D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，。
∵O 点为坐标原点，故可设过O C D ，，三点抛物线的解析式为2y ax bx =+。
26480242412.555a b a b +=⎧⎪∴⎨⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解之，得5325.4a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴255324y x x =-+。
（3）抛物线的对称轴为4x =，其顶点坐标为542⎛⎫ ⎪⎝⎭，。
∴设直线AC 的解析式为y kx b =+，则804.k b b +=⎧⎨=-⎩，解之，得124.k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，142y x ∴=-。
部编数学七年级上册专题13与角相关的旋转(翻折)问题专项讲练(解析版)含答案
专题13 与角相关的旋转（翻折）问题专项讲练与角有关的旋转（翻折）问题属于人教版七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。
绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。
本专题重点研究与角有关的旋转问题（求值问题；定值问题；探究问题；分类讨论问题）和与角有关的翻折问题。
【与角相关的旋转问题】【解题技巧】1、角度旋转问题解题步骤：①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度：1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间；2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间；3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大：变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角③列——根据题意列方程求解。
注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。
常见的三角板旋转的问题：三角板有两种，一种是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一种是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。
三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。
总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。
抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。
【重要题型】题型1：求值问题例1．（2022·江苏·七年级期中）已知∠AOB和∠COD均为锐角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，将∠COD绕着点O逆时针旋转，使∠BOC=α（0≤α＜180°）（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，①当α=0°时，如图1，则∠POQ= ；②当α=80°时，如图2，求∠POQ 的度数；③当α=130°时，如图3，请先补全图形，然后求出∠POQ的度数；（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，则∠POQ= ，（请用含m、n的代数式表示）．【答案】（1）①50°；②50°；③130°；（2）12m °+12n °或180°-12m °-12n °【分析】（1）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论；（2）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论．【详解】解：（1）①∵∠AOB =60°，∠COD =40°，OP 平分∠AOC ，OQ 平分∠BOD ，∴∠BOP =12∠AOB =30°，∠BOQ =12∠COD =20°，∴∠POQ =50°，故答案为：50°；②解：∵∠AOB =60°，∠BOC =α=80°，∴∠AOC =140°，∵OP 平分∠AOC ，∴∠POC =12∠AOC =70°，∵∠COD =40°，∠BOC =α=80°，且OQ 平分∠BOD ，同理可求∠DOQ =60°，∴∠COQ =∠DOQ -∠DOC =20°，∴∠POQ =∠POC -∠COQ =70°-20°=50°；③解：补全图形如图3所示，∵∠AOB =60°，∠BOC =α=130°，∴∠AOC =360°-60°-130°=170°，∵OP 平分∠AOC ，∴∠POC =12∠AOC =85°，∵∠COD =40°，∠BOC =α=130°，且OQ 平分∠BOD ，同理可求∠DOQ =85°，∴∠COQ =∠DOQ -∠DOC =85°-40°=45°，∴∠POQ =∠POC +∠COQ =85°+45°=130°；（2）当∠AOB =m °，∠COD =n °时，如图2，∴∠AOC = m °+ a °，∵OP 平分∠AOC ，∴∠POC =12(m °+ a °)，同理可求∠DOQ =12(n °+ a °)，∴∠COQ =∠DOQ -∠DOC =12(n °+ a °)- n °=12(-n °+ a °)，∴∠POQ =∠POC -∠COQ =12(m °+ a °)-12(-n °+ a °) =12m °+12n °，当∠AOB =m °，∠COD =n °时，如图3，∵∠AOB =m °，∠BOC =α，∴∠AOC =360°-m °-a °，∵OP 平分∠AOC ，∴∠POC =12∠AOC =180°12-(m °+ a °)，∵∠COD =n °，∠BOC =α，且OQ 平分∠BOD ，同理可求∠DOQ =12(n °+ a °)，∴∠COQ =∠DOQ -∠DOC =12(n °+ a °)-n °=12(-n °+ a °)，∴∠POQ =∠POC +∠COQ =180°12-(m °+ a °)+12(-n °+ a °) =180°-12m °-12n °，综上所述，若∠AOB =m °，∠COD =n °，则∠POQ =12m °+12n °或180°-12m °-12n °．故答案为：12m °+12n °或180°-12m °-12n °．【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．变式1．（2022•高新区期末）已知∠AOB ＝90°，∠COD ＝60°，按如图1所示摆放，将OA 、OC 边重合在直线MN 上，OB 、OD 边在直线MN 的两侧：（1）保持∠AOB 不动，将∠COD 绕点O 旋转至如图2所示的位置，则①∠AOC +∠BOD ＝ ；②∠BOC ﹣∠AOD ＝ ．（2）若∠COD按每分钟5°的速度绕点O逆时针方向旋转，∠AOB按每分钟2°的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转t分钟，计算∠MOC﹣∠AOD（用t的代数式表示）．（3）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O逆时针方向旋转n°（n≤360），若射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的大小．【解题思路】（1）①将∠AOC+∠BOD拆分、转化为∠COD+∠AOB即可得；②依据∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC、∠AOD＝∠COD﹣∠AOC，将原式拆分、转化为∠AOB﹣∠COD计算可得；（2）设运动时间为t秒，0＜t≤36，∠MOC＝（5t）°，只需表示出∠AOD即可得出答案，而∠AOD在OD与OA相遇前、后表达式不同，故需分OD与OA相遇前后即0＜t≤20和20＜t≤36两种情况求解；（3）设OC绕点O逆时针旋转n°，则OD也绕点O逆时针旋转n°，再分①射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN同侧；②射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN同侧；③射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN异侧；④射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN异侧；四种情况分别求解．【解答过程】解：（1）①∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠AOD+∠AOB＝∠COD+∠AOB＝60°+90°＝150°；②∠BOC﹣∠AOD＝（∠AOB﹣∠AOC）﹣（∠COD﹣∠AOC）＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD+∠AOC＝∠AOB﹣∠COD＝90°﹣60°＝30°；故答案为：150°、30°；（2）设运动时间为t秒，0＜t≤36，∠MOC＝（5t）°，①0＜t≤20时，OD与OA相遇前，∠AOD＝（60+2t﹣5t）°＝（60﹣3t）°，∴∠MOC﹣∠AOD＝（8t﹣60）°；②20＜t≤36时，OD与OA相遇后，∠AOD＝[5t﹣（60+2t）]°＝（3t﹣60）°，∴∠MOC﹣∠AOD＝（2t+60）°；（3）设OC 绕点O 逆时针旋转n °，则OD 也绕点O 逆时针旋转n °，①0＜n °≤150°时，如图4，射线OE 、OF 在射线OB 同侧，在直线MN 同侧，∵∠BOF =12[90°﹣（n ﹣60°）]=12（150﹣n ）°，∠BOE ＝（90−12n ）°=12（180﹣n ）°，∴∠EOF ＝∠BOE ﹣∠BOF ＝15°；②150°＜n °≤180°时，如图5，射线OE 、OF 在射线OB 异侧，在直线MN 同侧，∵∠BOF =12(n−150)°，∠BOE ＝（90−12n ）°=12（180﹣n ）°，∴∠EOF ＝∠BOE +∠BOF ＝15°；③180°＜n °≤330°时，如图6，射线OE 、OF 在射线OB 异侧，在直线MN 异侧，∵∠DOF =12(n−150)°，∠COE =12(360−n)°，∴∠EOF ＝∠DOF +∠COD +∠COE ＝165°；④330°＜n °≤360°时，如图7，射线OE 、OF 在射线OB 同侧，在直线MN 异侧，∵∠DOF =12[360﹣（n ﹣150）]°=12（510﹣n ）°，∠COE =12(360−n)°，∴∠EOF ＝∠DOF ﹣∠COD ﹣∠COE ＝15°；综上，∠EOF ＝15°或165°．变式2.（2022•浙江七年级期中）如图1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，30AOC Ð=°，将一直角三角板（30M Ð=°）的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方．（注：本题旋转角度最多180°．）（1）将图1中的三角板绕点O 以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过t 秒后，AON Ð=______度（用含t 的式子表示），若OM 恰好平分BOC Ð，则t =______秒（直接写结果）．（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过t 秒后，AOC Ð=______度（用含t 的式子表示）若OC 平分MON Ð，求t 为多少秒？（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒OC 平分BOM Ð？（直接写结果）【答案】（1）3t ，5；（2）306t +，5；（3）经过703秒OC 平分BOM Ð【解析】（1）3AON t Ð=，∵30AOC Ð=°，∴150BOC Ð=°∵OM 平分BOC Ð，90MON Ð=°，∴75COM Ð=°，∴15CON Ð=°∴301515AON AOC CON Ð=Ð-Ð=-=°°°，解得：1535t =¸=°°秒（2）()306AOC t Ð=+度∵90MON Ð=°，OC 平分MON Ð，∴45CON COM Ð=Ð=°∴45AOC AON CON Ð-Ð=Ð=°，∴306345t t +-=解得：5t =秒（3）如图：∵90AON BOM Ð+Ð=°，BOC COMÐ=Ð由题可设AON Ð为3t ，AOC Ð为()306t +°，∴()19032COM BOC t Ð=Ð=-°∵180BOC AOC Ð+Ð=°，()()130********t t ++-=，解得：703t =秒答：经过703秒OC 平分BOM Ð．题型2：定值问题（角度不变问题）例2．（2022·江苏南京·七年级期末）如图，两条直线AB ，CD 相交于点O ，且∠AOC ＝∠AOD ，射线OM 从OB 开始绕O 点逆时针方向旋转，速度为15°/s ，射线ON 同时从OD 开始绕O 点顺时针方向旋转，速度为12°/s ，运动时间为t 秒（0＜t ＜12，本题出现的角均小于平角）（1）图中一定有 个直角；当t＝2时，∠MON的度数为 ，∠BON的度数为 ；（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值；（3）当射线OM在∠COB内部，且7COM2BONMONÐ+ÐÐ是定值时，求t的取值范围，并求出这个定值．变式1．（2022•渝中区七年级期中）如图1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分别为∠AOB和∠BOD的角平分线．（1）若∠MON＝70°，则∠BOC＝ °；（2）如图2，∠COD从第（1）问中的位置出发，绕点O 逆时针以每秒4°的速度旋转；当OC与OA重合时，∠COD立即反向绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，直到OC与OA互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋转后的对应射线记为OC′，OD旋转后的对应射线记为OD′，∠BOD′的角平分线记为ON′，∠AOD′的角平分线记为OP．设运动时间为t秒．①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值；②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据角平分线的定义结合图形根据已知条件求角的大小；（2）①分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，根据角平分线的定义用t 表示出角的度数，列出等量关系式求出t ；②分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，当C ′在B 下方时，当C ′在B 上方时，根据角平分线的定义用t 表示出角的度数，求在某个时间段使得|∠BOP ﹣∠MON ′|的值不变，求出这个定值及其对应的t 的取值范围．【解答过程】解：（1）∵OM 为∠AOB 的角平分线、∠AOB ＝40°，∴∠MOB ＝20°．∵∠MON ＝70°，∴∠BON ＝∠MON ﹣∠MOB ＝50°．∵ON 为∠BOD 的角平分线，∴∠BON ＝∠DON ＝50°．∴∠CON ＝∠COD ﹣∠DON ＝10°∴∠BOC ＝∠DON ﹣∠CON ＝40°．故答案为：40°．（2）如图①：①逆时针旋转时：当C ′在B 上方时，根据题意可知，∠BOC ′＝40°﹣4t ，∠BOD ′＝∠BOD ﹣4t ＝100°﹣4t ．∠BON ′=12∠BOD ′=12(100°−4t)=50°﹣2t ，∵OC ′平分∠BON ′，∴∠BOC ′=12∠BON′，即40°﹣4t =12（50°﹣2t ），解得：t ＝5（s ）．当C ′在B 下方时，此时C ′也在N ′下方，此时不存在OC ′平分∠BON ′．顺时针旋转时：如图②，同理当C ′在B 下方时，此时C ′也在N ′下方，此时不存在OC ′平分∠BON ′．当C ′在B 上方时，即OC ′与OB 重合，由题意可求OC ′与OB 重合用的时间＝∠AOC ÷4+∠AOB ÷6＝（∠AOB +∠BOC ）÷4+∠AOB ÷6=803（s ）．∴OC ′与OB 重合之后，∠BOC ′＝6（t −803）（s ）．∴∠BOD ′＝∠BOC ′+60°＝6（t −803）+60°＝6t ﹣100°．∴∠BON ′=12∠BOD′=12（6t ﹣100°）＝3t ﹣50°，∵OC ′平分∠BON ′，∴∠BOC ′=12∠BON′，∴6（t −803）=12（3t ﹣50°），解得：t ＝30（s ）综上所述t 的值为5或30．②逆时针旋转时：当C ′在B 上方时，如图③根据①可知，∠BOC ′＝40°﹣4t ，∠BOD ′＝100°﹣4t ，∠BON ′＝50°﹣2t ．∴∠AOD ′＝∠AOB +∠BOD ′＝140°﹣4t ，∴∠AOP =12∠AOD′=12∠(140°−4t)=70°﹣2t ，∴∠BOP ＝∠AOP ﹣∠AOB ＝30°﹣2t ，∵∠MON ′＝∠MOB +∠BON ′＝70°﹣2t ，∴|∠BOP ﹣∠MON ′|＝|30°﹣2t ﹣70°+2t |＝40°，此段时间0≤t ≤10s ；如图④当C ′在B 下方时，设经过OB 后运动时间为t 2，同理可知，∠BOC ′＝4t 2，∠BOD ′＝60°﹣4t 2，∴∠MON′=12∠BON′=30−2t 2，∴∠AOD ′＝∠AOB +∠BOD ′＝100°﹣4t 2，∴∠AOP =12∠AOD′=50°−2t 2，∴∠BOP ＝∠AOP ﹣∠AOB ＝10°﹣2t 2，∵∠MON ′＝∠MOB +∠BON ′＝50°﹣2t 2，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|10°﹣2t2﹣50°+2t2|＝40°．此时：10＜t≤20；顺时针旋转时：当C′在B下方时，如图⑤，设经过OB后运动时间为t1，同理可知：∠BOC′＝40°﹣6t1，∠BOD′＝20°+6t1，∴∠BON′=12∠BOD′=10°+3t1，∴∠AOD′＝60°+6t1，∠AOP＝30°+3t1，∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝3t1﹣10°，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝30°﹣3t1，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|3t1﹣10°﹣30°﹣3t1|＝40°，此时：20＜t≤803；当C′在B上方时，如图⑥，设经过OB后运动时间为t3，同理可知：，∠BOC′＝60°+6t3，∠BOD′＝100°+6t3，∴∠BON′=12∠BON′=50°+3t3，∴∠AOD′＝140°+6t3，∴∠AOP＝70°+3t3，∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝30°+3t3，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝70°+3t3，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|30°+3t3﹣70°﹣3t3|＝40°，此时：803＜t≤50．综上所述：存在且定值为40°，0≤t≤50．变式2．（2022•碑林区七年级开学）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请直接写出结论：直线ON 平分 （平分或不平分）∠AOC．（2）将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 10或40 ．（直接写出结果）（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究，当ON始终在∠AOC的内部时（如图3），∠AOM与∠NOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明．【解题思路】（1）设ON的反向延长线为OD，由角平分线的性质和对顶角的性质可求得∠BON＝∠AOD＝∠COD＝30°；（2）由直线ON恰好平分锐角∠AOC可知旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC，根据旋转速度可求得需要的时间；（3）由∠MON＝90°，∠AOC＝60°，可知∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON，最后求得两角的差，从而可做出判断．【解答过程】解：（1）直线ON平分∠AOC．理由如下：设ON的反向延长线为OD，∵OM平分∠BOC，∠BOC＝120°，∠BOC＝60°，∴∠MOC＝∠MOB=12又∠MOD＝∠MON＝90°，∴∠COD＝90°﹣∠MOC＝30°，∵∠AOC＝180°﹣∠BOC＝60°，∠AOC，∴OD平分∠AOC，∴∠COD=12即直线ON平分∠AOC，故答案为：平分；（2）∵∠BOC＝120°，∴∠AOC＝60°．∴∠BON＝∠COD＝30°．即旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC．由题意得，6t＝60或240．解得：t＝10或40，故答案为：10或40；（3）∠AOM﹣∠NOC的差不变．∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON．∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．∴∠AOM与∠NOC的差不变，这个差值是30°．题型3：探究类问题（判断角的数量之间的关系）例3．（2022·四川·成都市七年级期末）如图所示：点P是直线AB上一点，∠CPD是直角，PE平分∠BPC．（1）如图1，若∠APC=40°，求∠DPE的度数；（2）如图1，若∠APC=a，直接写出∠DPE的度数（用含a的代数式表示）；（3）保持题目条件不变，将图1中的∠CPD按顺时针方向旋转至图2所示的位置，探究∠APC和∠DPE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．变式1．（2022·广东七年级期中）如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．（1）若∠DCE=25°，∠ACB等于多少；若∠ACB=130°，则∠DCE等于多少；（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；（3）如图（b），若是两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小有何关系，请说明理由；（4）已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是锐角），如图（c），若把它们的顶点O重合在一起，则∠AOD与∠BOC的大小有何关系，请说明理由．【答案】（1）∠ACB=155°；∠DCE=50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析；（3）∠DAB+∠CAE=120°，理由见解析；（4）∠AOD+∠BOC=α+β，理由见解析．【分析】（1）先求出∠BCD，再代入∠ACB=∠ACD+∠BCD求出即可；先求出∠BCD，再代入∠DCE=∠BCE﹣∠BCD求出即可；（2）根据∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠DCE求出即可；（3）根据∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB求出即可；（4）根据∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD求出即可．【详解】解：(1)∵∠BCE=90°，∠DCE=25°，∴∠BCD=∠BCE﹣∠DCE=65°，∵∠ACD=90°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°+65°=155°；∵∠ACB=130°，∠ACD=90°，∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=130°﹣90°=40°，∵∠BCE=90°，∴∠DCE=∠BCE﹣∠BCD=90°﹣40°=50°，故答案为：155°，50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：∵∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠DCE，∴∠ACB+∠DCE=∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠DCE=∠ACD+∠BCE=180°；（3）∠DAB+∠CAE=120°，理由如下：∵∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB，∴∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE=∠DAC+∠BAE=120°；（4）∠AOD+∠BOC=α+β，理由如下：∵∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD，∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COB+∠BOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=α+β．【点睛】本题考查了角的运算，理解角的和差运算是解题的关键．变式2．（2022•喀喇沁旗七年级期中）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使点N在OC的反向延长线上，请直接写出图中∠MOB 的度数；（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；（3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图4，使ON在∠AOC内部，请探究∠AOM 与∠NOC 之间的数量关系，并说明理由．【解题思路】（1）根据对顶角求出∠BON ，代入∠BOM ＝∠MON ﹣∠BON 求出即可；（2）求出∠BOC ＝120°，根据角平分线定义请求出∠COM ＝∠BOM ＝60°，代入∠CON ＝∠MON +∠COM 求出即可；（3）用∠AOM 和∠CON 表示出∠AON ，然后列出方程整理即可得解．【解答过程】解：（1）如图2，∵∠AOC ＝60°，∴∠BON ＝∠AOC ＝60°，∵∠MON ＝90°，∴∠BOM ＝∠MON ﹣∠BON ＝30°，故答案为：30°；（2）∵∠AOC ＝60°，∴∠BOC ＝180°﹣∠AOC ＝120°，∵OM 平分∠BOC ，∴∠COM ＝∠BOM ＝60°，∵∠MON ＝90°，∴∠CON ＝∠MON +∠COM ＝90°+60°＝150°；（3）∠AOM ﹣∠NOC ＝30°，理由是：∵∠MON ＝90°，∠AOC ＝60°，∴∠AON ＝90°﹣∠AOM ，∠AON ＝60°﹣∠NOC ，∴90°﹣∠AOM ＝60°﹣∠NOC ，∴∠AOM ﹣∠NOC ＝30°，故∠AOM 与∠NOC 之间的数量关系为：∠AOM ﹣∠NOC ＝30°．题型4：分类讨论问题例4．（2022·成都市七中育才学校七年级月考）一副三角板（直角三角板OAB 和直角三角板OCD ）如图1所示放置，两个顶点重合于点O ，OC 与OB 重合，且60AOB Ð=°，30A Ð=°，45OCD ODC Ð=Ð=°，90COD ABO Ð=Ð=°．将三角板OCD 绕着点O 逆时针旋转一周，旋转过程中，OE 平分BOC Ð，OF 平分AOD Ð，（AOD Ð和BOC Ð均是指小于180°的角）探究EOF Ð的度数．（1）当三角板OCD 绕点O 旋转至如图2的位置时，OB 与OD 重合，AOC Ð=______°，EOF Ð=______°．（2）三角板OCD 绕点O 旋转过程中，EOF Ð的度数还有其他可能吗？如果有，请研究证明结论，若没有，请说明理由．（3）类比拓展：当COD Ð的度数为a ()0180a °<<°时，其他条件不变，在旋转过程中，请直接写出EOF Ð的度数．（用含a 的式子来表示）【答案】（1）150；75 （2）有，105° （3）1302EOF a =°+或11502a °-【分析】（1）利用两个角的和的定义,角的平分线的定义计算即可； （2）利用分类思想， 确定不同方式计算即可；（3）利用特殊与一般的思想，分类将问题抽象即可．【详解】（1）如图，由OB 与OD 重合，∵60AOB Ð=°，90COD BOC Ð=Ð=°，∴6090150AOC AOB BOC Ð=Ð+Ð=°+°=°．又∵OE 平分BOC Ð，OF 平分AOD Ð，∴1452BOE BOC Ð=Ð=°，1302DOF AOD Ð=Ð=°，∴453075EOF BOE EOF Ð=Ð+Ð=°+°=°．故答案为：150°；75°；（2）如图，∵OE 平分BOC Ð，OF 平分AOD Ð，∴12BOE BOC Ð=Ð()12AOC AOB =Ð+Ð()1602AOC =Ð+°1302AOC =Ð+°()13602COD AOD =°-Ð-Ð+30°()1360902AOC =°-°-Ð+30°()12702AOD =°-Ð+30°11652AOD =°-Ð．∴EOF BOE AOF AOB Ð=Ð+Ð-Ð，∴111656010522EOF AOD AOD Ð=Ð+°-Ð-°=°．（3）如图，∵OE 平分BOC Ð，OF 平分AOD Ð，∴12BOE BOC Ð=Ð()12AOC AOB =Ð+Ð()1602AOC =Ð+°1302AOC =Ð+°，()1111++2222AOF AOD COD AOC AOC a Ð=Ð=ÐÐ=Ð，∴EOF AOF AOB BOE Ð=Ð+Ð-Ð=11+22AOC a Ð+60°-1-302AOC а=1302a °+；如图，∵OE 平分BOC Ð，OF 平分AOD Ð，∴12BOE BOC Ð=Ð()12AOC AOB =Ð+Ð()1602AOC =Ð+°1302AOC =Ð+°，()()1111136036018022222AOF AOD COD AOC AOC AOC a a Ð=Ð=°-Ð-Ð=°--Ð=°--Ð∴EOF BOE AOF AOB Ð=Ð+Ð-Ð111130180601502222AOC AOC a a =Ð+°+°--Ð-°=°-．综上所述，1302EOF a Ð=°+或11502a °-．【点睛】本题考查了两个角的和，角的平分线，周角的定义，灵活运用分类思想，角的平分线定义，角的和，差定义计算是解题的关键．变式1.（2022•广东七年级期末）如图（1），∠BOC 和∠AOB 都是锐角，射线OB 在∠AOC 内部，AOB a Ð=，BOC b Ð=．（本题所涉及的角都是小于180°的角）(1)如图（2），OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，填空：①当40a =°，70b =°时，COM Ð=______，CON Ð=______，MON Ð=______；②MON Ð=______（用含有a 或b 的代数式表示）．(2)如图（3），P 为∠AOB 内任意一点，直线PQ 过点O ，点Q 在∠AOB 外部：①当OM 平分∠POB ，ON 平分∠POA ，∠MON 的度数为______；②当OM 平分∠QOB ，ON 平分∠QOA ，∠MON 的度数为______；（∠MON 的度数用含有a 或b 的代数式表示）(3)如图（4），当40a =°，70b =°时，射线OP 从OC 处以5°/分的速度绕点O 开始逆时针旋转一周，同时射线OQ 从OB 处以相同的速度绕点O 逆时针也旋转一周，OM 平分∠POQ ，ON 平分∠POA ，那么多少分钟时，∠MON 的度数是40°？【答案】(1)135,55,20,2°°°a ；(2)12a ，11802a °-；(3)48分钟时，∠MON 的度数是40°【解析】(1)①Q OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，当40a =°，70b =°时，COM Ð=113522BOC Ð=b =°，CON Ð=()111()55222AOC AOB BOC Ð=Ð+Ð=a +b =°，MON Ð=()11120222CON COM a b b a Ð-=+-==°②MON Ð()111222CON COM =Ð-=a +b -b =a ，故答案为：135,55,20,2°°°a (2)①Q OM 平分∠POB ，ON 平分∠POA ，\()12MON POB POA Ð=Ð+Ð 1122AOB =Ð=a ②Q OM 平分∠QOB ，ON 平分∠QOA ，\()12MON BOQ QOA Ð=Ð+Ð()1136018022AOB =°-Ð=°-a 故答案为：12a ，11802a °-(3)根据题意POQ BOC Ð=Ð=bQ OM 平分∠POQ ，113522POM POQ \Ð=Ð=b =°如图，当OP 在AOB Ð的外部时，Q MON 的度数是40°MON PON POM Ð=Ð+Q 5PON \Ð=°Q ON 平分∠POA ，210POA PON \Ð=Ð=°，120POC \Ð=°，则OP 旋转了360120240°-°=°240548\¸=分，即48分钟时，∠MON 的度数是40°如图，OP 在AOB Ð的内部时，MON POM PON Ð=Ð-ÐQ 即4035PON °=°-Ð5PON \Ð=-°此情况不存在，综上所述，48分钟时，∠MON 的度数是40°变式2．（2022·成都市七年级阶段练习）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若12COD AOB Ð=Ð，则COD Ð是ACB Ð的内半角．（1）如图1，已知80AOB °Ð=，25AOC °Ð=，COD Ð是AOB Ð的内半角，则BOD Ð=________；（2）如图2，已知68AOB °Ð=，将AOB Ð绕点O 按顺时针方向旋转一个角度()060a a °<<得COD Ð，当旋转的角度a 为何值时，COB Ð是AOD Ð的内半角；（3）已知30AOB °Ð=，把一块含有30°角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点O 以3度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线OA ，OB ，OC ，OD 能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由．如图2，∵BOC Ð是AOD Ð的内半角，AOC BOD a Ð=Ð=，如图4，∵AOD Ð是BOC Ð的内半角，360AOC BOD a Ð=Ð=-，【折叠（翻折）问题】【解题技巧】折叠前后对应角、对应边相等；出现角的比值或无角的具体度数却求度数常设x 列方程。
初中数学《翻折专题》经典题型50例
翻折练习1一．选择题（共37小题）1．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF＝2．以上结论中，你认为正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【分析】先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF＝FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH＝∠ECH，然后求出只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，判断出②错误；点H与点A重合时，设BF＝x，表示出AF＝FC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF＝CD，求出BF＝4，然后写出BF的取值范围，判断出③正确；过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．【解答】解：∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，∴FH∥CG，EH∥CF，∴四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质得，CF＝FH，∴四边形CFHE是菱形，（故①正确）；∴∠BCH＝∠ECH，∴只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，（故②错误）；点H与点A重合时，设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x，在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，点G与点D重合时，CF＝CD＝4，∴BF＝4，∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，（故③正确）；过点F作FM⊥AD于M，则ME＝（8﹣3）﹣3＝2，由勾股定理得，EF＝＝＝2，（故④正确）；综上所述，结论正确的有①③④共3个．故选：C．【点评】本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于③判断出BF最小和最大时的两种情况．2．如图，在△ABC中．∠ACB＝90°，AC＝4，，点D在AB上，将△ACD沿CD折叠，点A落在点A1处，A1C与AB相交于点E，若A1D∥BC，则A1E的长为（）A．B．C．D．【分析】利用平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠A1+∠A1DB＝90°，即AB⊥CE，再根据勾股定理可得AB＝＝3，最后利用面积法得出AB×CE＝BC×AC，可得CE＝＝，进而依据A1C ＝AC＝4，即可得到A1E＝．【解答】解：∵A1D∥BC，∴∠B＝∠A1DB，由折叠可得，∠A1＝∠A，又∵∠A+∠B＝90°，∴∠A1+∠A1DB＝90°，∴AB⊥CE，∵∠ACB＝90°，AC＝4，，∴AB＝＝3，∵AB×CE＝BC×AC，∴CE＝＝，又∵A1C＝AC＝4，∴A1E＝4﹣＝，故选：B．【点评】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是得到CE⊥AB以及面积法的运用．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝1，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是（）A．1B．C．D．【分析】先根据勾股定理计算出AB＝2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠BAC＝30°，在根据折叠的性质得BE＝BA＝2，∠BED＝∠BAD＝30°，DA＝DE，由于AD⊥ED得BC∥DE，所以∠CBF＝∠BED＝30°，在Rt△BCF中可计算出CF＝，BF＝2CF＝，则EF＝2﹣，在Rt△DEF中计算出FD＝1﹣，ED＝﹣1，然后利用S△ABE＝S△ABD+S△BED+S△ADE＝2S△ABD+S△ADE计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝，BC＝1，∴AB＝＝2，∴∠BAC＝30°，∵△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，∴BE＝BA＝2，∠BED＝∠BAD＝30°，DA＝DE，∵AD⊥ED，∴BC∥DE，∴∠CBF＝∠BED＝30°，在Rt△BCF中，CF＝＝，BF＝2CF＝，∴EF＝2﹣，在Rt△DEF中，FD＝EF＝1﹣，ED＝FD＝﹣1，∴S△ABE＝S△ABD+S△BED+S△ADE＝2S△ABD+S△ADE＝2×BC•AD+AD•ED＝2××1×（﹣1）+×（﹣1）（﹣1）＝1．故选：A．【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系．4．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG＝GC；通过证明∠AGB＝∠AGF＝∠GFC＝∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；由于S△FGC＝S△GCE﹣S，求得面积比较即可．△FEC【解答】解：①正确．理由：∵AB＝AD＝AF，AG＝AG，∠B＝∠AFG＝90°，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；②正确．理由：EF＝DE＝CD＝2，设BG＝FG＝x，则CG＝6﹣x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得x＝3．∴BG＝3＝6﹣3＝GC；③正确．理由：∵CG＝BG，BG＝GF，∴CG＝GF，∴△FGC是等腰三角形，∠GFC＝∠GCF．又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；∴∠AGB＝∠AGF，∠AGB+∠AGF＝2∠AGB＝180°﹣∠FGC＝∠GFC+∠GCF＝2∠GFC＝2∠GCF，∴∠AGB＝∠AGF＝∠GFC＝∠GCF，∴AG∥CF；④错误．理由：∵S△GCE＝GC•CE＝×3×4＝6∵GF＝3，EF＝2，△GFC和△FCE等高，∴S△GFC：S△FCE＝3：2，∴S△GFC＝×6＝≠3．故④不正确．∴正确的个数有3个．故选：C．【点评】本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．5．如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP 并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA＝∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】①根据三角形内角和为180°易证∠P AB+∠PBA＝90°，易证四边形AECF是平行四边形，即可解题；②根据平角定义得：∠APQ+∠BPC＝90°，由矩形可知每个内角都是直角，再由同角的余角相等，即可解题；③根据平行线和翻折的性质得：∠FPC＝∠PCE＝∠BCE，∠FPC≠∠FCP，且∠PFC是钝角，△FPC不一定为等腰三角形；④当BP＝AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，即可解题．【解答】解：①如图，EC，BP交于点G；∵点P是点B关于直线EC的对称点，∴EC垂直平分BP，∴EP＝EB，∴∠EBP＝∠EPB，∵点E为AB中点，∴AE＝EB，∴AE＝EP，∴∠P AB＝∠APE，∵∠P AB+∠PBA+∠APB＝180°，即∠P AB+∠PBA+∠APE+∠BPE＝2（∠P AB+∠PBA）＝180°，∴∠P AB+∠PBA＝90°，∴AP⊥BP，∴AF∥EC；∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故①正确；②∵∠APB＝90°，∴∠APQ+∠BPC＝90°，由折叠得：BC＝PC，∴∠BPC＝∠PBC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠ABP+∠PBC＝90°，∴∠ABP＝∠APQ，故②正确；③∵AF∥EC，∴∠FPC＝∠PCE＝∠BCE，∵∠PFC是钝角，当△BPC是等边三角形，即∠BCE＝30°时，才有∠FPC＝∠FCP，如右图，△PCF不一定是等腰三角形，故③不正确；④∵AF＝EC，AD＝BC＝PC，∠ADF＝∠EPC＝90°，∴Rt△EPC≌△FDA（HL），∵∠ADF＝∠APB＝90°，∠F AD＝∠ABP，当BP＝AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，∴△APB≌△EPC，故④不正确；其中正确结论有①②，2个，故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质，翻折变换，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝24，tan C＝2，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为（）A．13B．C．D．12【分析】利用三线合一得到G为BC的中点，求出GC的长，过点A作AG⊥BC于点G，在直角三角形AGC中，利用锐角三角函数定义求出AG的长，再由E为AC中点，求出EC的长，进而求出FC的长，利用勾股定理求出EF的长，在直角三角形DEF中，利用勾股定理求出x的值，即可确定出BD的长．【解答】解：过点A作AG⊥BC于点G，∵AB＝AC，BC＝24，tan C＝2，∴＝2，GC＝BG＝12，∴AG＝24，∵将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，过E点作EF⊥BC于点F，∴EF＝AG＝12，∴＝2，∴FC＝6，设BD＝x，则DE＝x，∴DF＝24﹣x﹣6＝18﹣x，∴x2＝（18﹣x）2+122，解得：x＝13，则BD＝13．故选：A．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和锐角三角函数关系，根据已知表示出DE的长是解题关键．7．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE＝1．连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AEF，连接DF．过点D作DG⊥DE交BE于点G．则四边形DFEG 的周长为（）A．8B．4C．2+4D．3+2【分析】先证△BDG≌△ADE，得出AE＝BG＝1，再证△DGE与△EDF是等腰直角三角形，在直角△AEB中利用勾股定理求出BE的长，进一步求出GE的长，可通过解直角三角形分别求出GD，DE，EF，DF的长，即可求出四边形DFEG的周长．【解答】解：∵∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，∴∠GBD+∠C＝90°，∵∠EAD+∠C＝90°，∴∠GBD＝∠EAD，∵∠ADB＝∠EDG＝90°，∴∠ADB﹣∠ADG＝∠EDG﹣∠ADG，即∠BDG＝∠ADE，∴△BDG≌△ADE（ASA），∴BG＝AE＝1，DG＝DE，∵∠EDG＝90°，∴△EDG为等腰直角三角形，∴∠AED＝∠AEB+∠DEG＝90°+45°＝135°，∵△AED沿直线AE翻折得△AEF，∴△AED≌△AEF，∴∠AED＝∠AEF＝135°，ED＝EF，∴∠DEF＝360°﹣∠AED﹣∠AEF＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形，∴EF＝DE＝DG，在Rt△AEB中，BE＝＝＝2，∴GE＝BE﹣BG＝2﹣1，在Rt△DGE中，DG＝GE＝2﹣，∴EF＝DE＝2﹣，在Rt△DEF中，DF＝DE＝2﹣1，∴四边形DFEG的周长为：GD+EF+GE+DF＝2（2﹣）+2（2﹣1）＝3+2，故选：D．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够灵活运用等腰直角三角形的判定与性质．8．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点O是正方形OABC的一个顶点，已知点B坐标为（1，7），过点P（a，0）（a＞0）作PE⊥x轴，与边OA交于点E（异于点O、A），将四边形ABCE沿CE翻折，点A′、B′分别是点A、B的对应点，若点A′恰好落在直线PE上，则a的值等于（）A．B．C．2D．3【分析】作辅助线，根据点B的坐标，求出OB和正方形的边长，由正方形的对角线互相垂直平分得：DQ是梯形CMNA的中位线，则CM+AN＝2DQ＝7，证明△CMO≌△ONA，则ON＝CM，所以ON+AN＝7，设AN＝x，则ON＝7﹣x，根据勾股定理列方程求出x的值，并取舍，再根据正方形的边长求出OP的长．【解答】解：当点A′恰好落在直线PE上，如图所示，连接OB、AC，交于点D，过点D、A作x轴的垂线，垂足分别为Q、N，设CB′交x轴于M，则CM∥QD∥AN，∵四边形OABC是正方形，∴OD＝BD，OB⊥AC，∵O（0，0），B（1，7），∴D（，），即DQ＝由勾股定理得：OB＝＝＝5，∵△ABO是等腰直角三角形，∴AB＝AO＝5，∵DQ是梯形CMNA的中位线，∴CM+AN＝2DQ＝7，∵∠COA＝90°，∴∠COM+∠AON＝90°，∵∠CMO＝90°，∴∠COM+∠MCO＝90°，∴∠AON＝∠MCO，∵四边形OABC是正方形，∴OA＝OC，∵∠CMO＝∠ONA＝90°，∴△CMO≌△ONA，∴ON＝CM，∴ON+AN＝7，设AN＝x，则ON＝7﹣x，在Rt△AON中，由勾股定理得：x2+（7﹣x）2＝52，解得：x＝3或4，当x＝4时，CM＝3，此时点B在第二象限，不符合题意，∴x＝3，∴OM＝3，∵A′B′＝PM＝5，∴OP＝a＝2，故选：C．【点评】本题是翻折变换问题，考查了翻折的性质和正方形及坐标与图形的性质，首先明确翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；利用三角形全等和梯形中位线的性质，得出直角三角形两直角边的和为7，设未知数，根据勾股定理列方程得出结论．9．如图，将△ABC沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，下列结论中：①EF∥AB且EF＝AB；②∠BAF ＝∠CAF；③S四边形ADFE＝AF•DE；④∠BDF+∠FEC＝2∠BAC，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据对折的性质可得AE＝EF，∠DAF＝∠DF A，∠EAF＝∠AFE，∠BAC＝∠DFE，据此和已知条件判断图中的相等关系．【解答】解：①由题意得AE＝EF，BF＝FC，但并不能说明AE＝EC，∴不能说明EF是△ABC的中位线，故①错；②题中没有说AB＝AC，那么中线AF也就不可能是顶角的平分线，故②错；③易知A，F关于D，E对称．那么四边形ADFE是对角线互相垂直的四边形，那么面积等于对角线积的一半，故③对；④∠BDF＝∠BAF+∠DF A，∠FEC＝∠EAF+∠AFE，∴∠BDF+∠FEC＝∠BAC+∠DFE＝2∠BAC，故④对．正确的有两个，故选B．【点评】翻折前后对应线段相等，对应角相等．10．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN，连接CN．若△CDN 的面积与△CMN的面积比为1：4，则的值为（）A．2B．4C．D．【分析】首先过点N作NG⊥BC于G，由四边形ABCD是矩形，易得四边形CDNG是矩形，又由折叠的性质，可得四边形AMCN是菱形，由△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得DN：CM＝1：4，然后设DN＝x，由勾股定理可求得MN的长，继而求得答案．【解答】解：过点N作NG⊥BC于G，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形CDNG是矩形，AD∥BC，∴CD＝NG，CG＝DN，∠ANM＝∠CMN，由折叠的性质可得：AM＝CM，∠AMN＝∠CMN，∴∠ANM＝∠AMN，∴AM＝AN，∴四边形AMCN是平行四边形，∵AM＝CM，∴四边形AMCN是菱形，∵△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，∴DN：CM＝1：4，设DN＝x，则AN＝AM＝CM＝CN＝4x，AD＝BC＝5x，CG＝x，∴BM＝x，GM＝3x，在Rt△CGN中，NG＝＝x，在Rt△MNG中，MN＝＝2x，∴＝2．故选：D．【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意折叠中的对应关系，注意数形结合与方程思想的应用．11．如图，将边长为3的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N，那么折痕GH的长为（）A．B．C．D．【分析】利用翻折变换的性质结合勾股定理表示出CH的长，得出△EDM∽△MCH，进而求出MC的长，依据△GPH≌△BCM，可得GH＝BM，再利用勾股定理得出BM，即可得到GH的长．【解答】解：设CM＝x，设HC＝y，则BH＝HM＝3﹣y，故y2+x2＝（3﹣y）2，整理得：y＝﹣x2+，即CH＝﹣x2+，∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，由题意可得：ED＝1.5，DM＝3﹣x，∠EMH＝∠B＝90°，故∠HMC+∠EMD＝90°，∵∠HMC+∠MHC＝90°，∴∠EMD＝∠MHC，∴△EDM∽△MCH，∴＝，即＝，解得：x1＝1，x2＝3（不合题意），∴CM＝1，如图，连接BM，过点G作GP⊥BC，垂足为P，则BM⊥GH，∴∠PGH＝∠HBM，在△GPH和△BCM中，∴△GPH≌△BCM（SAS），∴GH＝BM，∴GH＝BM＝＝．故选：A．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及正方形的性质、相似三角形的判定与性质和勾股定理的综合运用，作辅助线构造全等三角形，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键．12．在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片ABCD可以进行如下操作：①把△ABF翻折，点B 落在C边上的点E处，折痕为AF，点F在BC边上；②把△ADH翻折，点D落在AE边上的点G处，折痕为AH，点H在CD边上，若AD＝6，CD＝10，则＝（）A．B．C．D．【分析】利用翻折不变性可得AE＝AB＝10，推出DE＝8，EC＝2，设BF＝EF＝x，在Rt△EFC中，x2＝22+（6﹣x）2，可得x＝，设DH＝GH＝y，在Rt△EGH中，y2+42＝（8﹣y）2，可得y＝3，由此即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，AD＝BC＝6，由翻折不变性可知：AB＝AE＝10，AD＝AG＝6，BF＝EF，DH＝HG，∴EG＝4，在Rt△ADER中，DE＝＝＝8，∴EC＝10﹣8＝2，设BF＝EF＝x，在Rt△EFC中有：x2＝22+（6﹣x）2，∴x＝，设DH＝GH＝y，在Rt△EGH中，y2+42＝（8﹣y）2，∴y＝3，∴EH＝5，∴＝＝，故选：A．【点评】本题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．13．矩形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．延长B′E交AB的延长线于M，折痕AE上有点P，下列五个结论中正确的有（）个①∠M＝∠DAB′；②PB＝PB′；；④MB′＝CD；⑤若B′P⊥CD，则EB′＝B′P．A．2B．3C．4D．5【分析】根据∠M＝∠CB'E，而∠CB'E+∠DB'A＝∠DAB'+∠DB'A＝90°可判断①；利用折叠的性质可判断出△B'AP≌△BAP，继而可判断出②；设AE＝x，表示出EB'＝EB＝，在Rt△CEB'中利用勾股定理可求出AE的长度，继而可判断出③；利用反证法判断④，最后看得出的结果能证明出来；根据B′P⊥CD，判断出B'P∥BC，从而有∠B'PE＝∠BEP＝∠B'EP，从而可判断出⑤．综合起来即可得出最终的答案．【解答】解：连接AB'，①由题意得∠M＝∠CB'E，而∠CB'E+∠DB'A＝∠DAB'+∠DB'A＝90°，∴∠M＝∠CB'E＝∠DAB'，故可得①正确；②根据折叠的性质可得AB'＝AB，AP＝AP，∠B'AP＝∠BAP，从而利用SAS可判定△B'AP≌△BAP，∴PB＝PB'，故可得②正确；③在Rt△ADB'可得，B'D＝＝3，从而可得CB'＝5﹣3＝2，设AE＝x，则EB'＝EB＝，在Rt△CEB'中，CE2+CB'2＝EB'2，即（4﹣）2+4＝x2﹣25，解得：x＝，即AE＝．故可得③正确；④假如MB′＝CD，则可得MB'＝AB＝AB'，∴∠M＝∠BAB'，由①得∠M＝∠DAB′，故有∠BAB'＝∠DAB'，而本题不能判定∠BAB'＝∠DAB'，即假设不成立．故可得④错误．⑤若B′P⊥CD，则B'P∥BC，∴∠B'PE＝∠BEP＝∠B'EP，∴EB'＝B'P，故可得⑤正确．综上可得①②③⑤正确，共四个．故选：C．【点评】本题考查了翻折变换，解答过程中涉及了平行四边形的性质、勾股定理，属于综合性题目，解答本题的关键是根据翻折变换的性质得出对应角、对应边分别相等，然后分别判断每个结论，难度较大，注意细心判断．14．如图，已知△ABC中，∠CAB＝∠B＝30°，AB＝2，点D在BC边上，把△ABC沿AD翻折使AB与AC重合，得△AB′D，则△ABC与△AB′D重叠部分的面积为（）A．B．C．3﹣D．【分析】首先过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，由△ABC中，∠CAB＝∠B＝30°，AB＝2，利用等腰三角形的性质，即可求得AC的长，又由折叠的性质，易得∠CDB′＝90°，∠B′＝30°，B′C＝AB′﹣AC＝2﹣2，继而求得CD与B′D的长，然后求得高DE的长，继而求得答案．【解答】解：过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，∵△ABC中，∠CAB＝∠B＝30°，AB＝2，∴AC＝BC，∴AF＝AB＝，∴AC＝＝＝2，由折叠的性质得：AB′＝AB＝2，∠B′＝∠B＝30°，∵∠B′CD＝∠CAB+∠B＝60°，∴∠CDB′＝90°，∵B′C＝AB′﹣AC＝2﹣2，∴CD＝B′C＝﹣1，B′D＝B′C•cos∠B′＝（2﹣2）×＝3﹣，∴DE＝＝＝，∴S阴影＝AC•DE＝×2×＝．故选：A．【点评】此题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．15．如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若＝，则＝（）A．B．C．D．【分析】根据中点定义可得DE＝CE，再根据翻折的性质可得DE＝EF，AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°，从而得到CE＝EF，连接EG，利用“HL”证明Rt△ECG和Rt△EFG全等，根据全等三角形对应边相等可得CG＝FG，设CG＝a，表示出GB，然后求出BC，再根据矩形的对边相等可得AD＝BC，从而求出AF，再求出AG，然后利用勾股定理列式求出AB，再求比值即可．【解答】解：连接EG，∵点E是边CD的中点，∴DE＝CE，∵将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，∴DE＝EF，AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°，∴CE＝EF，在Rt△ECG和Rt△EFG中，，∴Rt△ECG≌Rt△EFG（HL），∴CG＝FG，设CG＝a，∵＝，∴GB＝4a，∴BC＝CG+BG＝a+4a＝5a，在矩形ABCD中，AD＝BC＝5a，∴AF＝5a，AG＝AF+FG＝5a+a＝6a，在Rt△ABG中，AB＝＝＝2a，∴＝＝．故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，以及翻折变换的性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则阴影部分图形的周长为（）A．15B．20C．25D．30【分析】根据折叠的性质，得A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF，则阴影部分的周长即为矩形的周长．【解答】解：根据折叠的性质，得A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF．则阴影部分的周长＝矩形的周长＝2（10+5）＝30．故选：D．【点评】此题主要考查了翻折变换，关键是要能够根据折叠的性质得到对应的线段相等，从而求得阴影部分的周长．17．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，EC＝2cm，AD上有一点P，P A＝6cm，过点P作PF⊥AD交BC于点F，将纸片折叠，使P和E重合，折痕交PF于Q，则线段PQ的长是（）cm．A．4B．4.5C．4D．4【分析】首先过点Q作QH⊥CD于H，连接EQ，由矩形ABCD与PF⊥AD，易证得四边形PQHD是矩形，即可求得DH＝PQ，DH＝PD，又由折叠的性质，可得QE＝PQ，然后设PQ＝xcm，在Rt△EQH中，利用勾股定理即可得方程，解此方程即可求得答案．【解答】解：过点Q作QH⊥CD于H，连接EQ，∴∠DHQ＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，CD＝AB＝5cm，∴DE＝CD﹣EC＝5﹣2＝3（cm），∵PF⊥AD，∴∠FPD＝90°，∴四边形PQHD是矩形，∴QH＝PD＝AB﹣P A＝10﹣6＝4（cm），DH＝PQ，∵将纸片折叠，使P和E重合，折痕交PF于Q，∴PQ＝EQ，设PQ＝xcm，则QE＝DH＝xcm，∴EH＝DH﹣DE＝x﹣3（cm），在Rt△EQH中，QE2＝QH2+EH2，即x2＝42+（x﹣3）2，解得：x＝4．∴PQ＝4cm．故选：D．【点评】此题考查了折叠性质、矩形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合与方程思想的应用．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D、E为AC、BC上两个动点，若将∠C沿DE折叠，使点C的对应点C′落在AB上，且△ADC′恰好为直角三角形，则此时CD的长为（）A．B．C．或D．或【分析】依据△ADC′恰好为直角三角形，分两种情况进行讨论：当∠ADC'＝90°时，当∠DC'A＝90°时，分别依据相似三角形的对应边成比例，列方程求解，即可得到CD的长．【解答】解：①如图，当∠ADC'＝90°时，∠ADC'＝∠C，∴DC'∥CB，∴△ADC'∽△ACB，又∵AC＝3，BC＝4，∴＝，设CD＝C'D＝x，则AD＝3﹣x，∴＝，解得x＝，经检验：x＝是所列方程的解，∴CD＝；②如图，当∠DC'A＝90°时，∠DCB＝90°，由折叠可得，∠C＝∠DC'E＝90°，∴C'B与CE重合，由∠C＝∠AC'D＝90°，∠A＝∠A，可得△ADC'∽△ABC，Rt△ABC中，AB＝5，∴＝＝，设CD＝C'D＝x，则AD＝3﹣x，∴＝，解得x＝，∴CD＝；综上所述，CD的长为或．故选：C．【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．19．将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G 在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为（）A．B．C．D．【分析】由折叠可得，E，G分别为AD，CD的中点，设CD＝2a，AD＝2b，根据Rt△BCG中，CG2+BC2＝BG2，可得即a2+（2b）2＝（3a）2，进而得出的值．【解答】解：由折叠可得，AE＝OE＝DE，CG＝OG＝DG，∴E，G分别为AD，CD的中点，设CD＝2a，AD＝2b，则AB＝2a＝OB，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝2b，∵∠C＝90°，∴Rt△BCG中，CG2+BC2＝BG2，即a2+（2b）2＝（3a）2，∴b2＝2a2，即b＝a，∴，∴的值为，故选：B．【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．20．如图，在直角△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长为（）A．6B．5C．4D．3【分析】设AN＝x，由翻折的性质可知DN＝AN＝x，则BN＝9﹣x，在Rt△DBN中利用勾股定理列方程求解即可．【解答】解：设AN＝x，由翻折的性质可知DN＝AN＝x，则BN＝9﹣x．∵D是BC的中点，∴BD＝＝3．在Rt△BDN中，由勾股定理得：ND2＝NB2+BD2，即x2＝（9﹣x）2+33，解得：x＝5．AN＝5．故选：B．【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，由翻折的性质得到DN＝AN＝x，BN＝9﹣x，从而列出关于x的方程是解题的关键．21．如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB＝：1，将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH+EH的值最小，此时＝（）A．B．C．D．【分析】设BD与AF交于点M．设AB＝a，AD＝a，根据矩形的性质可得△ABE、△CDE都是等边三角形，利用折叠的性质得到BM垂直平分AF，BF＝AB＝a，DF＝DA＝a．解直角△BGM，求出BM，再表示DM，由△ADM∽△GBM，求出a＝2，再证明CF＝CD＝2．作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，则此时BH+EH＝B′E，值最小．建立平面直角坐标系，得出B（3，2），B′（3，﹣2），E（0，），利用待定系数法求出直线B′E的解析式，得到H（1，0），然后利用两点间的距离公式求出BH＝4，进而求出＝＝．【解答】解：如图，设BD与AF交于点M．设AB＝a，AD＝a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，tan∠ABD＝＝，∴BD＝AC＝＝2a，∠ABD＝60°，∴△ABE、△CDE都是等边三角形，∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝a．∵将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，∴BM垂直平分AF，BF＝AB＝a，DF＝DA＝a．在△BGM中，∵∠BMG＝90°，∠GBM＝30°，BG＝2，∴GM＝BG＝1，BM＝GM＝，∴DM＝BD﹣BM＝2a﹣．∵矩形ABCD中，BC∥AD，∴△ADM∽△GBM，∴＝，即＝，∴a＝2，∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝2，AD＝BC＝6，BD＝AC＝4．易证∠BAF＝∠F AC＝∠CAD＝∠ADB＝∠BDF＝∠CDF＝30°，∴△ADF是等边三角形，∵AC平分∠DAF，∴AC垂直平分DF，∴CF＝CD＝2．作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，则此时BH+EH＝B′E，值最小．如图，建立平面直角坐标系，则A（3，0），B（3，2），B′（3，﹣2），E（0，），易求直线B′E的解析式为y＝﹣x+，∴H（1，0），∴BH＝＝4，∴＝＝．故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形、垂直平分线、相似三角形的判定与性质，待定系数法求直线的解析式，轴对称﹣最短路线问题，两点间的距离公式等知识．综合性较强，有一定难度．分别求出BH、CF的长是解题的关键．22．一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，使点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G（图1）；再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M（图2），则EM的长为（）A．2B．C．D．【分析】在直角三角形DMN中，利用勾股定理求得MN的长，则EN﹣MN＝EM．设EM＝x，则ED＝EN＝x+3，由勾股定理得ED2＝EM2+DM2，即（x+3）2＝x2+42，解方程即可得到EM的长．【解答】解：∵点D与点A重合，得折痕EN，∴DM＝4cm，∵AD＝8cm，AB＝6cm，在Rt△ABD中，BD＝＝10cm，∵EN⊥AD，AB⊥AD，∴EN∥AB，∴MN是△ABD的中位线，∴DN＝BD＝5cm，在Rt△MND中，∴MN＝＝3（cm），由折叠的性质可知∠NDE＝∠NDC，∵EN∥CD，∴∠END＝∠NDC，∴∠END＝∠NDE，∴EN＝ED，设EM＝x，则ED＝EN＝x+3，由勾股定理得ED2＝EM2+DM2，即（x+3）2＝x2+42，解得x＝，即EM＝cm．故选：D．【点评】本题考查折叠问题，应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．解决问题的关键是设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．23．如图，折叠菱形纸片ABCD，使得AD的对应边A1D1过点C，EF为折痕，若∠B＝60°，当A1E⊥AB时，的值等于（）A．B．C．D．【分析】先延长AB，D1A1交于点G，根据三角形三角形外角性质以及等腰三角形的判定，即可得到BC＝BG＝BA，设BE＝1，AE＝x＝A1E，则AB＝1+x＝BC＝BG，A1G＝2x，在Rt△A1GE中，依据勾股定理可得A1E2+GE2＝A1G2，进而得出方程x2+（x+2）2＝（2x）2，据此可得AE＝1+，即可得出的值．【解答】解：如图所示，延长AB，D1A1交于点G，∵A1E⊥AB，∠EA1C＝∠A＝120°，∴∠G＝120°﹣90°＝30°，又∵∠ABC＝60°，∴∠BCG＝60°﹣30°＝30°，∴∠G＝∠BCG＝30°，∴BC＝BG＝BA，设BE＝1，AE＝x＝A1E，则AB＝1+x＝BC＝BG，A1G＝2x，∴GE＝1+x+1＝x+2，∵Rt△A1GE中，A1E2+GE2＝A1G2，∴x2+（x+2）2＝（2x）2，解得x＝1+，（负值已舍去）∴AE＝1+，∴＝＝，故选：D．【点评】本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的判定，解一元二次方程以及勾股定理的运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理列方程求解．解题时注意方程思想的运用．24．如图，菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上．将菱形沿EF折叠，点B恰好落在边AD上的点G处．若∠B＝45°，AE＝，BE＝2，则tan∠EFG的值是（）A．B．C．2D．【分析】过E作PH⊥BC于P，交DA延长线于H，作GM⊥BC于M，则PH⊥AH，GM＝PH，GH＝PM，由折叠的性质得：GE＝AE＝2，GF＝BF，∠EFG＝∠EFB，由平行线的性质得出HAE＝∠B＝45°，得出△BPE 和△AEH是等腰直角三角形，得出BP＝EP＝BE＝2，AH＝EH＝AE＝1，GM＝HP＝3，在Rt△GEH中，由勾股定理求出GH＝，得出PM＝GH＝，设PF＝x，则FM＝﹣x，GF＝BF＝x+2，在Rt△GFM中，由勾股定理得出方程，解方程求出PF＝2﹣4，再由三角函数定义即可得出结果．【解答】解：过E作PH⊥BC于P，交DA延长线于H，作GM⊥BC于M，如图所示：则PH⊥AH，GM＝PH，GH＝PM，由折叠的性质得：GE＝AE＝2，GF＝BF，∠EFG＝∠EFB，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠HAE＝∠B＝45°，∴△BPE和△AEH是等腰直角三角形，∴BP＝EP＝BE＝2，AH＝EH＝AE＝1，∴GM＝HP＝2+1＝3，在Rt△GEH中，由勾股定理得：12+GH2＝（2）2，解得：GH＝±（负值舍去），∴GH＝，∴PM＝GH＝，设PF＝x，则FM＝﹣x，GF＝BF＝x+2，在Rt△GFM中，由勾股定理得：32+（﹣x）2＝（x+2）2，解得：x＝2﹣4，∴PF＝2﹣4，∴tan∠EFG＝tan∠EFB＝＝＝；故选：B．【点评】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质．等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．25．如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕MN过点G．若AB＝，EF＝2，∠H＝120°，则DN的长为（）A．B．C．D．2【分析】延长EG交DC于P点，连接GC、FH，则△GCP为直角三角形，证明四边形OGCM为菱形，则可证CG＝OM＝CM＝OG＝，由勾股定理求得GP的值，再由梯形的中位线定理CM+DN＝2GP，即可得出答案．【解答】解：延长EG交DC于P点，连接GC、FH；如图所示：则CP＝DP＝CD＝，△GCP为直角三角形，∵四边形EFGH是菱形，∠EHG＝120°，∴GH＝EF＝2，∠OHG＝60°，EG⊥FH，∴OG＝GH•sin60°＝2×＝，由折叠的性质得：CG＝OG＝，OM＝CM，∠MOG＝∠MCG，∴PG＝＝，∵OG∥CM，∴∠MOG+∠OMC＝180°，∴∠MCG+∠OMC＝180°，∴OM∥CG，∴四边形OGCM为平行四边形，∵OM＝CM，∴四边形OGCM为菱形，∴CM＝OG＝，根据题意得：PG是梯形MCDN的中位线，∴DN+CM＝2PG＝，∴DN＝﹣；故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、梯形中位线定理、三角函数等知识；熟练掌握菱形和矩形的性质，由梯形中位线定理得出结果是解决问题的关键．26．如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A 恰好与BD上的点F重合．展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G．连接GF．下列结论：①∠AGD＝112.5°；②tan∠AED＝2；③S△AGD＝S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE＝2OG．其中正确结论的序号是（）A．①②③④⑤B．①②③④C．①③④⑤D．①④⑤【分析】①根据折叠的性质我们能得出∠ADG＝∠ODG，也就求出了∠ADG的度数，那么在三角形AGD中用三角形的内角和即可求出∠AGD的度数；②由tan∠AED＝，AE＝EF＜BE，即可求得tan∠AED＝＞2，即可得②错误；③由AG＝FG＞OG，△AGD与△OGD同高，根据同高三角形面积的比等于对应底的比，即可求得即可求得S△AGD＞S△OGD；④我们根据折叠的性质就能得出AE＝EF，AG＝GF，只要再证出AE＝AG就能得出AEFG是菱形，可用角的度数进行求解，①中应经求出了∠AGD的度数，那么就能求出∠AGE的度数，在直角三角形AED中，有了∠ADE 的度数，就能求出∠AED的度数，这样得出AE＝AG后就能证出AEFG是菱形了．⑤我们可通过相似三角形DEF和DOG得出EF和OG的比例关系，然后再在直角三角形BEF中求出BE和EF的关系，进而求出BE和OG的关系．【解答】解：∵在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F 重合，∴∠GAD＝45°，∠ADG＝∠ADO＝22.5°，∴∠AGD＝112.5°，∴①正确．∵tan∠AED＝，AE＝EF＜BE，∴AE＜AB，∴tan∠AED＝＞2，∴②错误．∵AG＝FG＞OG，△AGD与△OGD同高，∴S△AGD＞S△OGD，∴③错误．根据题意可得：AE＝EF，AG＝FG，又∵EF∥AC，∴∠FEG＝∠AGE，又∵∠AEG＝∠FEG，。
专题18 平行四边形中的翻折问题训练(解析版)八年级数学下学期(人教版)
专题18 平行四边形中的翻折问题训练（时间：60分钟总分：120）班级姓名得分一、解答题1.如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=8，将长方形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处．(1)求EF的长；(2)求四边形ABCE的面积．【答案】解：(1)∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=6，AD=BC=8，∠B=∠D=90°，在Rt△ABC中，AC=√62+82=10，∵长方形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，∴CF=CD=6，ED=EF，∠EFC=∠D=90°，∴AF=10−6=4，设EF=x，则DE=x，AE=8−x，在Rt△AEF中，x2+42=(8−x)2，解得x=3，即EF的长为3；(2)四边形ABCE的面积=S△ABC+S△EAC=12×6×8+12×3×10=39．【知识点】翻折变换(折叠问题)、勾股定理【解析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．(1)依题意可得CD=AB=6，AD=BC=8，∠B=∠D=90°，再利用勾股定理计算出AC= 10，接着根据折叠的性质得CF=CD=6，ED=EF，∠EFC=∠D=90°，所以AF=4，设EF=x，则DE=x，AE=8−x，在Rt△AEF中利用勾股定理得x2+42=(8−x)2，然后解方程即可；(2)根据三角形面积公式，利用四边形ABCE的面积=S△ABC+S△EAC进行计算．2.如图1，四边形ABCD为矩形，AD=12，AB>AD，线段AB上有一动点E，连接DE，将△DEA沿DE折叠到△DEA．(1)若AB=16，当A′落在BD上时，求AE的长；(2)如图2，G、H、K分别是线段DA、DA、EA的中点，当点E在AB边上运动时，∠GHK的度数是否会发生变化？若不变，求出这个度数，若变化，请说明理由；(3)如图3，点M、N分别在线段DE、AD上，连接AM、MN，当∠ADE=30°时，求AM+MN的最小值．【答案】解：(1)设AE=a，∵四边形ABCD为矩形，AD=12，AB=16，∴BE=16−a，BD=√122+162=20，∵将△DEA沿DE折叠到△DEA，∴A′E=AE=a，A′D=AD=12，∴BA′=20−12=8，在Rt△A′EB中，∵A′E2+A′B2=EB2，即a2+82=(16−a)2，解得：a=6，∴AE=6；(2)当点E在AB边上运动时，∠GHK=90°；理由：连接DE，AA′，由题意知，∠DOA′=90°，∵G、H、K分别是线段DA、DA、EA的中点，∴GH//A′O，HK//DE，∴DO⊥HG，∠DPH=90°，∵HK//DE，∴∠KHP=90°，∴∠GHK=90°；(3)由题意知，∠ADM=∠EDA′=30°，∴∠ADA′=60°，连接AA′，∴△AA′D是等边三角形，∴A′D=AD=12，过A′作A′N⊥DA于N，交DE于M，则此时，AM+MN的值最小，AM+MN的最小值=A′N，∵AD=A′D=12，A′D=6，∴DN=12∴A′N=√122−62=6√3，∴AM+MN的最小值是6√3．【知识点】翻折变换(折叠问题)、轴对称-最短路线问题、四边形、等边三角形的判定与性质【解析】(1)设AE=a，由勾股定理得到BE=16−a，BD=√122+162=20，根据折叠的性质得到A′E=AE=a，A′D=AD=12，在Rt△A′EB中，根据勾股定理即可得到结论；(2)连接DE，AA′，根据三角形的中位线的性质得到GH//A′O，HK//DE，根据平行线的性质即可得到结论；(3)由三角形的内角和得到∠ADA′=60°，连接AA′，得到△AA′D是等边三角形，求得A′D= AD=12，过A′作A′N⊥DA于N，交DE于M，则此时，AM+MN的值最小，AM+MN的最小值=A′N，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线的性质，最短路线问题，三角形的中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．3.在▱ABCD中，点E为AB边的中点，连接CE，将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，连接AG并延长，交CD于F．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若CF=5，△GCE的周长为20，求四边形ABCF的周长．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE//FC，∵点E是AB边的中点，∴AE=BE，∵将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，∴BE=GE，∠CEB=∠CEG，∴AE=GE，∴∠FAE=∠AGE，∵∠CEB=∠CEG=1∠BEG，∠BEG=∠FAE+∠AGE，2∠BEG，∴∠FAE=12∴∠FAE=∠CEB，∴AF//EC，∴四边形AECF是平行四边形；(2)解：由折叠的性质得：GE=BE，GC=BC，∵△GCE的周长为20，∴GE+CE+GC=20，∴BE+CE+BC=20，∵四边形AECF是平行四边形，∴AF=CE，AE=CF=5，∴四边形ABCF的周长=AB+BC+CF+AF=AE+BE+BC+CE+CF=5+20+5= 30．【知识点】平行四边形的判定与性质、翻折变换(折叠问题)、平行四边形的判定、折叠与对称【解析】(1)由平行四边形的性质得出AE//FC，再由三角形的外角的性质，以及折叠的性质，可以证明∠FAE=∠CEB，进而证明AF//EC，即可得出结论；(2)由折叠的性质得：GE=BE，GC=BC，由△GCE的周长得出GE+CE+GC=20，BE+ CE+BC=20，由平行四边形的性质得出AF=CE，AE=CF=5，即可得出结果．本题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明四边形AECF是平行四边形是解题的关键．4.将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点O(0,0)，点A(2,0)，点B在第一象限，∠OAB=90°，∠B=30°，点P在边OB上(点P不与点O，B重合)．(Ⅰ)如图①，当OP=1时，求点P的坐标；(Ⅱ)折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且OQ= OP，点O的对应点为O′，设OP=t．①如图②，若折叠后△O′PQ与△OAB重叠部分为四边形，O′P，O′Q分别与边AB相交于点C，D，试用含有t的式子表示O′D的长，并直接写出t的取值范围；②若折叠后△O′PQ与△OAB重叠部分的面积为S，当1≤1≤3时，求S的取值范围(直接写出结果即可)．【答案】解：(Ⅰ)如图①中，过点P作PH⊥OA于H．∵∠OAB=90°，∠B=30°，∴∠BOA=90°−30°=60°，∴∠OPH=90°−60°=30°，∵OP=1，∴OH=12OP=12，PH=OP⋅cos30°=√32，∴P(12,√3 2).(Ⅱ)①如图②中，由折叠可知，△O′PQ≌△OPQ，∴OP=O′P，OQ=O′Q，∵OP=OQ=t，∴OP=OQ=O′P=O′Q，∴四边形OPO′Q是菱形，∴QO′//OB，∴∠ADQ=∠B=30°，∵A(2,0)，∴OA=2，QA=2−t，在Rt△AQD中，DQ=2QA=4−2t，∵O′D=O′Q−QD=3t−4，∴43<t<2．②①当点O′落在AB上时，重叠部分是△PQO′，此时t=23，S=√34×(23)2=√39，当23<t ≤2时，重叠部分是四边形PQDC ，S =√34t 2−√38(3t −4)2=−7√38t 2+3√3t −2√3，当x =−3√32×(−7√38)=127时，S 有最大值，最大值=4√34， 当t =1时，S =√34，当t =3时，S =12×12×√32=√38， 综上所述，√38≤S ≤4√37． 【知识点】菱形的性质、翻折变换(折叠问题)、四边形综合【解析】(Ⅰ)如图①中，过点P 作PH ⊥OA 于H.解直角三角形求出OH ，PH 即可． (Ⅱ)①解直角三角形求出DQ ，DO′即可．②求出点O′落在AB 上时，S =√34×(23)2=√39.当23<t ≤2时，重叠部分是四边形PQDC ，S =√34t 2−√38(3t −4)2=−7√38t 2+3√3t −2√3，当x =−3√32×(−7√38)=127时，S 有最大值，最大值=4√34.再求出当t =1或3时，S 的值即可判断．本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，翻折变换，多边形的面积，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．5. (1)如图1，将矩形ABCD 折叠，使AB 落在对角线AC 上，折痕为AE ，点B 落在B 1处，若∠DAC =66°，则∠BAE =______°；(2)小丽手中有一张矩形纸片，AB =9，AD =4.她准备按如下两种方式进行折叠： ①如图2，点F 在这张矩形纸片的边CD 上，将纸片折叠，使点D 落在边AB 上的点D 1处，折痕为FG ，若DF =5，求AG 的长；②如图3，点H 在这张矩形纸片的边AB 上，将纸片折叠，使HA 落在射线HC 上，折痕为HK ，点A ，D 分别落在A 1，D 2处，若DK =73，求A 1C 的长．【答案】解：(1)12；(2)如图，过点F作FH⊥AB于H，∵∠D=∠A=90°，FH⊥AB∴四边形DFHA是矩形∴AD=FH=4，∵将纸片ABCD折叠∴DF=D1F=5，DG=D1G，∴D1H=√D1F2−FH2=√25−16=3∴AD1=2∵AG2+D1A2=D1G2，∴AG2+4=(4−AG)2，∴AG=32②∵DK=73，CD=9，∴CK=9−73=203，∵四边形ABCD是矩形，∴DC//AB，∴∠CKH=∠AHK，由翻折不变性可知，∠AHK=∠CHK，∴∠CKH=∠CHK，∴CK=CH=203，∵CB=AD=4，∠B=90°，∴在Rt△CDF中，BH=√CH2−BC2=√4009−16=163，∴AH=AB−BH=11，3由翻折不变性可知，AH=A1H=113∴A1C=HC−A1H=3．【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、勾股定理、四边形【解析】解：(1)∵∠DAC=66°，∴∠CAB=24°∵将矩形ABCD折叠，使AB落在对角线AC上，∴∠BAE=∠CAE=12°故答案为：12；(2)见答案．(1)由折叠的性质可得∠BAE=∠CAE=12°；(2)①过点F作FH⊥AB于H，可证四边形DFHA是矩形，可得AD=FH=4，由勾股定理可求D1H=3，由勾股定理可求AG的长；②首先证明CK=CH，理由勾股定理求出BH，可得AH，再利用翻折不变性，可知AH=A1H，由此即可解决问题；本题考查四边形综合题、矩形的性质、翻折变换、勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题，属于中考压轴题．6.如图，已知点E是矩形一边AD上的一点，沿CE折叠矩形使点D落在对角线AC上的点F处，点G为BC上一点，且CG=DE，连FG．(1)求证：FG//EC；(2)若∠DAC=30°，CD=4，求四边形EFGC的面积．【答案】(1)证明：作FN//AD交EC于N，则FN//BC，∠DEC=∠ENF，由折叠的性质可知，∠DEC=∠FEN，FE=DE，∴∠FEN=∠FNE，∴FE=FN，又CG=DE，∴FN=CG，又FN//BC，∴四边形NFGC是平行四边形，∴FG//EC；(2)作FM⊥BC于M，∵∠DAC=30°，∴∠ACD=60°，∴∠DCE=∠FCE=30°，又CD=4，∴DE=4√33，∴△EFC的面积=△EDC的面积=12×4×4√33=8√33，∵∠ACB=90°−∠ACD=30°，∴FM=12FC=2，∴△FGC的面积=12×2×4√33=4√33，∴四边形EFGC的面积=△EFC的面积+△GFC的面积=4√3．【知识点】翻折变换(折叠问题)【解析】(1)作FN//AD交EC于N，根据翻折变换的性质证明四边形EFGC是平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可；(2)作FM⊥BC于M，根据直角三角形的性质和翻折变换的性质分别求出△EFC的面积和△GFC的面积即可．本题考查的是翻折变换和平行四边形的判定，掌握翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．7.如图1，四边形ABCD是矩形，点O位于对角线BD上，将△ADE，△CBF分别沿DE、BF翻折，点A，点C都恰好落在点O处．(1)求证：∠EDO=∠FBO；(2)求证：四边形DEBF是菱形：(3)如图2，若AD=2，点P是线段ED上的动点，求2AP+DP的最小值．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠ADB=∠CBD，∵将△ADE，△CBF分别沿DE、BF翻折，点A，点C都恰好落在点O处．∴△ADE≌△ODE，∴△CFB≌△OFB，∴∠ADE=∠ODE=12∠ADB，∠CBF=∠OBF=12∠CBD，∴∠EDO=∠FBO；(2)证明：∵∠EDO=∠FBO，∴DE//BF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，AD=BC，∠A=90°，∵DE//BF，AB//CD，∴四边形DEBF是平行四边形，又∵△ADE△≌△ODE，∴∠A=∠DOE=90°，∴EF⊥BD，∴四边形DEBF是菱形；(3)解：过点P作PH⊥AD于点H，∵四边形DEBF是菱形，△ADE≌△ODE，∴∠ADE=∠ODE=∠ODF=30°，∴在Rt△DPH中，2PH=PD，∴2AP+PD=2PA+2PH=2(AP+PH)，过点O作OM⊥AD，与DE的交点即是2AP+PD的值最小的点P的位置．而此时(2AP+PD)的最小值=2OM，∵△ADE≌△ODE，AD=2，∴AD=DO=2，在Rt△OMD中，∵∠ODA=2∠ADE=60°，∴∠DOM=30°，DO=1，∴DM=12∵DM2+OM2=DO2，∴12+OM2=22，∴OM=√3，∴(2PA+PD)的最小值为2OM=2√3．【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、轴对称-最短路线问题、四边形综合∠ADB，【解析】(1)由折叠的性质得出△ADE≌△ODE，△CFB≌△OFB，则∠ADE=∠ODE=12∠CBD，则可得出结论；∠CBF=∠OBF=12(2)证得四边形DEBF是平行四边形，由全等三角形的性质得出∠A=∠DOE=90°，则可得出结论；(3)过点P作PH⊥AD于点H，得出∠ADE=∠ODE=∠ODF=30°，得出2AP+PD=2PA+ 2PH=2(AP+PH)，过点O作OM⊥AD，与DE的交点即是2AP+PD的值最小的点P的位置．而此时(2AP+PD)的最小值=2OM，求出OM的长，则可得出答案．本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、翻折变换的性质是解题的关键．8.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，BC=8，点E在BC上，且EC−EB=2，将△DCE沿DE折叠，点C恰好与点A重合．(1)求线段AB的长；(2)求线段DC的长．【答案】解：(1)∵BC=8=EC+EB，EC−EB=2，∴EC=5，EB=3，由折叠的性质得：EA=EC=5，∵∠B=90°，∴AB=√EA2−EB2=√52−32=4；(2)作AF⊥CD于F，如图所示：则∠AFD=∠AFC=90°，∵∠B=∠C=90°，∴四边形ABCF是矩形，∴FC=AB=4，AF=BC=8，由折叠的性质得：DC=DA，∠DAE=∠C=90°，设DC=DA=x，则DF=DC−FC=x−4，在Rt△ADF中，由勾股定理得：82+(x−4)2=x2，解得：x=10，∴DC=10．【知识点】翻折变换(折叠问题)、勾股定理、矩形的判定与性质【解析】本题考查了翻折变换的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题的关键．(1)由BC=8=EC+EB，EC−EB=2，得出EC=5，EB=3，由折叠的性质得EA=EC=5，再由勾股定理即可求出AB的长；(2)作AF⊥CD于F，则四边形ABCF是矩形，得出FC=AB=4，AF=BC=8，由折叠的性质得DC=DA，∠DAE=∠C=90°，设DC=DA=x，则DF=DC−FC=x−4，在Rt△ADF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．9.如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在边上的处，折痕为过点作交于，连接，求证：四边形为菱形；当在边上移动时，折痕的端点，也随着移动．当点与点重合时如图，求菱形的边长；如限定，分别在，上移动，求出点在边上移动的最大距离．【答案】(1)证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，∴点B与点E关于PQ对称，∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，又∵EF//AB，∴∠BPF=∠EFP，∴∠EPF=∠EFP，∴EP=EF，∴BP=BF=EF=EP，∴四边形BFEP为菱形;(2) ①∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90∘∵点B与点E关于PQ对称，∴CE=BC=5cm，在Rt△CDE中，DE=√CE2−CD2=4cm，∴AE=AD−DE=5cm−4cm=1cm在Rt△APE中，AE=1，AP=3−PB=3−PE，∴EP2=12+(3−EP)2，cm，解得：EP=53cm;∴菱形BFEP的边长为53 ②当点Q与点C重合时，如图2:点E离点A最近，由 ①知，此时AE=1cm;当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm，∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm．【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、勾股定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、四边形综合、菱形的判定、正方形的性质【解析】(1)由折叠的性质得出PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF=∠EFP，证出∠EPF=∠EFP，得出EP=EF，因此BP=BF=EF=EP，即可得出结论;(2) ①由矩形的性质得出BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90∘，由对称的性质得出CE=BC=5cm，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE=4cm，得出AE=AD−DE=cm即可;1cm;在Rt△APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP=53 ②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由 ①知，此时AE=1cm;当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm，即可得出答案．本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识;本题综合性强，有一定难度．10.如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG//CD交BE于点G，连接CG．(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积．【答案】(1)证明：由题意可得，△BCE≌△BFE，∴∠BEC=∠BEF，FE=CE，∵FG//CE，∴∠FGE=∠CEB，∴∠FGE=∠FEG，∴FG=FE，∴FG=EC，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE=FE，∴四边形CEFG是菱形；(2)∵矩形ABCD中，AB=6，AD=10，BC=BF，∴∠BAF=90°，AD=BC=BF=10，∴AF=√BF2−AB2=8，∴DF=2，设EF=x，则CE=x，DE=6−x，∵∠FDE=90°，∴22+(6−x)2=x2，解得，x=103，∴CE=103，∴四边形CEFG的面积是：CE⋅DF=103×2=203．【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、勾股定理、菱形的判定与性质、全等三角形的性质【解析】本题考查翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质．(1)根据题意和翻折的性质，可以得到△BCE≌△BFE，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立；(2)根据题意和勾股定理，可以求得AF的长，进而求得EF和DF的值，从而可以得到四边形CEFG的面积．11.如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD．(1)求证：OP=OF；(2)若设AP=x，试求CF的长(用含x的代数式表示)；(3)求AP的长．【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=∠C=90°，由翻折的性质可知：∠E=∠A=90°，∴∠E=∠D，在△ODP和△OEF中，{∠D=∠EOD=OE∠DOP=∠EOF，∴△ODP≌△OEF(ASA)．∴OP=OF．(2)∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=8，∵△ODP≌△OEF(ASA)，∴OP=OF，OD=OE．∴DF=EP．∵AP=PE=DF=x，∴CF=8−x．(3)∵AD=BC=6，PA=PE=DF=x，∴PD=EF=6−x，CF=8−x，BF=BE−EF=8−(6−x)=2+x，在Rt△FCB根据勾股定理得：BC2+CF2=BF2，即62+(8−x)2=(x+2)2，解得：x=4.8，∴AP=4.8．【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质【解析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．(1)由折叠的性质得出∠E=∠A=90°，从而得到∠D=∠E=90°，然后可证明△ODP≌△OEF，从而得到OP=OF；(2)由△ODP≌△OEF，得出OP=OF，从而得到DF=PE=AP，由此即可解决问题．(3)由AP=EP=DF=x，则PD=EF=6−x，DF=x，求出CF、BF，根据在Rt△BCF中，利用勾股定理得出方程，解方程即可．12.如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A，C重合，若其长BC为8，宽AB为4．(1)求证：△AEF是等腰三角形；(2)EF=_________．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠AEF=∠EFC，由翻折不变性可知：∠AFE=∠EFC，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形．(2)2√5．【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质【解析】(1)见答案；(2)解：设AF=AE=FC=x，在Rt△ABF中，∵AF2=AB2+BF2，∴x2=42+(8−x)2，∴x=5，作FH⊥AE于H．在Rt△AHF中，AH=√AF2−FH2=3，∴HE=AE−AH=2，在Rt △EFH 中，EF =√22+42=2√5，故答案为2√5．(1)根据平行线的性质以及翻折不变性证明∠AEF =∠AFE 即可；(2设AF =AE =FC =x ，在Rt △ABF 中利用勾股定理求出x ，作FH ⊥AE 于H.在Rt △EFH 中，利用勾股定理即可解决问题；本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．13. 如图，AC 为矩形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处．(1)求证：四边形AECF 是平行四边形；(2)当∠BAE 为多少度时，四边形AECF 是菱形？请说明理由．【答案】解：(1)因为四边形ABCD 是矩形，所以AB =CD ，∠B =∠D =90∘，AD//BC ．由折叠的性质，得AM =AB ，CN =CD ，∠AME =∠B =90∘，∠CNF =∠D =90∘． 所以∠ANF =∠CME =90∘，AM =CN ．所以AM −MN =CN −MN ，即AN =CM ．因为AD//BC ，所以∠FAN =∠ECM ．在△ANF 和△CME 中，{∠FAN =∠ECM,AN =CM,∠ANF =∠CME,所以△ANF ≌△CME(ASA).所以AF =CE ．又AF//CE ，所以四边形AECF 是平行四边形．(2)当∠BAE =30∘时，四边形AECF 是菱形．理由如下：由折叠的性质，得∠CAE =∠BAE =30∘．因为∠B=90∘，所以∠ACE=90∘−60∘=30∘，即∠CAE=∠ACE．所以EA=EC．由(1)，得四边形AECF是平行四边形，所以四边形AECF是菱形．【知识点】翻折变换(折叠问题)、平行四边形的判定与性质、矩形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定．(1)首先证明△ABE≌△CDF，则DF=BE，然后可得到AF=EC，依据一组对边平行且相等四边形是平行四边形可证明AECF是平行四边形；(2)由折叠性质得到∠BAE=∠CAE=30°，求得∠ACE=90°−30°=60°，即∠CAE=∠ACE，得到EA=EC，于是得到结论．14.如图，矩形OABC的两边OA、OC分别在y轴和x轴上，已知A(0,3)、C(−4,0)，把矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D、F、E．(1)判断四边形AECD是什么四边形？请说明理由；(2)求折痕DE的长；(3)若点P在x轴上，在平面内是否存在点Q，使以P、D、E、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请画出图形并直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)四边形AECD是菱形，理由是：如图，连接EC，AD，∵矩形OABC，∴AB//OC，∴∠EAF=∠DCF，∵矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在点A处，∴AF=CF，EA=EC，在△AEF和△CDF中，{∠EAF=∠DCF AF=CF∠AFE=∠CFD,∴△AEF≌△CDF(ASA)，∴AE=CD，∴四边形AECD是平行四边形，又∵EA=EC，∴四边形AECD是菱形；(2)∵四边形AECD为菱形，∴AD=CD，设CD=x，则AD=x，OD=4−x，则在直角三角形AOD中，OA2+OD2=AD2，∴32+(4−x)2=x2，解得，x=258，∴CD=258，∵A(0,3)、点C(−4,0)，∴AC =√32+42=5， ∴S 菱形=12AC ·ED =CD ·OA ， ∴12×5×ED =258×3则DE =154；(3)存在，如图，由(2)可知，AE =CD =258， ∴E(−258,3)，D(−78,0)，①当DE 为菱形的边时，DP =DE =154，当Q 在第一、二象限时可得Q(−558,3)，Q 1(58,3)；当点Q 在第三象限，E 与Q 关于x 轴对称，Q′(−258,−3)．②当DE 为菱形的对角线时，P 与C 重合，Q 与A 重合，Q 2(0,3)，综上所述，满足条件的点Q 坐标为(−558,3)或(58,3)或(0,3) 或(−258,−3)．【知识点】翻折变换(折叠问题)、平行四边形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、菱形的判定与性质、分类讨论思想、全等三角形的判定与性质【解析】本题考查四边形综合题、折叠的性质、矩形的性质、菱形的判定与性质、三角形全等的性质及判定、勾股定理等知识，综合性强；另外，还考查了分类讨论的思想，注重对学生知识和能力的考查，是一道好题．(1)根据折叠的性质通过证明△AEF≌△CDF 得到AE =CD 得出四边形AECD 是平行四边形，再由AE =EC 得出为菱形；(2)根据折叠的性质求出CD 的长，再根据勾股定理得出AC 的长，根据菱形的面积计算公式即可得出折痕DE 的长；(3)分两种情形分别讨论即可：①DE 为菱形的边．②DE 为菱形的对角线．15. 如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =6，点P 、点E 分别是边AB 、BC 上的动点，连接DP 、PE.将ΔADP 与ΔBPE 分别沿DP 与PE 折叠，点A 与点B 分别落在点A′，B′处． (1)当点P 运动到边AB 的中点处时，点A′与点B′重合于点F 处，过点C 作CK ⊥EF 于K ，求CK 的长；(2)当点P 运动到某一时刻，若P ，A′，B′三点恰好在同一直线上，且A′B′=4，试求此时AP 的长．【答案】解：(1)如图1，∵四边形ABCD 为矩形，将△ADP 与△BPE分别沿DP 与PE 折叠，∴∠PFD =∠PFE =90°，∴∠PFD +∠PFE =180°，即E ，F ，D 三点在同一直线上，设BE =EF =x ，则EC =6−x ，∵DC =AB =8，DF =AD =6，∴在Rt △DEC 中，DE =DF +FE =6+x ，EC =6−x ，DC =8，∴(6+x)2=(6−x)2+82，解得x =83， 即BE =EF =83，∴DE =263，EC =103， ∵S △DCE =12⋅DC ⋅CE =12⋅DE ⋅CK ，∴CK=40．13(2)分两种情况：①如图2中，设AP=x，则PB=8−x，由折叠可知：PA′=PA=x，PB′=PB=8−x，∵A′B′=4，∴8−x−x=4，∴x=2，即AP=2．②如图3中，∵A′B′=4，∴x−(8−x)=4，∴x=6，即AP=6．综上所述，PA的长为2或6．【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、勾股定理、三角形的面积、分类讨论思想【解析】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理，分类讨论，三角形的面积等知识，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．(1)设BE=EF=x，则EC=6−x，可得在Rt△DEC中，DE=DF+FE=6+x，EC=6−x，DC=8，根据勾股定理即可得出(6+x)2=(6−x)2+82，求得BE=EF=83，再根据S△DCE=1 2⋅DC⋅CE=12⋅DE⋅CK，即可得到CK的长；(2)分两种情况：设AP=x，则PB=8−x，由折叠可知：PA′=PA=x，PB′=PB=8−x，分别根据A′B′=4，即可得到x的值，进而得到PA的长为2或6．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
翻折的应用 班级 姓名
一．选择题
1．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，
点C 落在C′处，折痕为EF ，若AB=1，BC=2，
则△ABE 和BC′F 的周长之和为（ ）
A ．3
B ．4
C ．6
D ．8
2. Rt △ABC 中，AB=AC ，点D 为BC 中点，∠MDN=90°， 1题图
∠MDN 绕点D 旋转，DM 、DN 分别与边AB 、AC 交于E 、F 两点，下列结论：
①（BE +CF ）=BC ； ②S 四边形AEDF =AD •BD ；
③AD ≥EF ； ④AD 与EF 可能互相平分．
⑤2222DE BE CF =+
其中正确结论的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 2题图
3．如图，已知长方形ABCD 中，AD=6，AB=8，P 是AD 边上的点，
将△ABP 沿BP 折叠，使点A 落在点E 上，PE 、BE 与CD 分别交于
点O 、F ，且OD=OE ，则AP 的长为（ ）
A ．4.8
B ．5
C ．5.2
D ．5.4 3题图
4、将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 边中点B′重合，A′B′交AD 于点G ，
若AE=1，AB=2，BC=3，下面有4个结论中，正确的个数是（ ）
① △A′EG ≌△DB′G ； ②B′F=；
③S △FCB′：S △B′DG =16：9； ④S 四边形EGB′F =
． A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 4题图
二．填空题
5．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，
点C 落在C′处，折痕为EF ，若AB=3，BC=5，则S △BEF = ．
5题图
6．如下图，将矩形纸片ABCD折叠，使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE．若AD=8，EF=3，则AE的长为．
7．如下图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：
①BG=GC：②△ABG≌△AFG；③S
△FGC
=3；④AG∥CF；
⑤S
△EGC =S
△AFE
⑥∠AGB+∠AED=1450 ⑦△GCF是等边三角形
其中正确结论是．
6题图7题图8题图
三．解答题
8．如上图，折叠矩形纸片ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm.
（1）求BF的长；
（2）求折痕AE的长．
9．如图，把矩形ABCD纸片折叠，使点B落在点D处，点C落在C′处，折痕EF与BD交于点
O，已知AB=16，AD=12，求折痕EF的长．
10．已知一直角三角形纸片OAB，∠AOB=90°，OA=2，OB=4．将该纸片放在平面直角坐标系中（如图①），折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．
（1）若折叠后使点B与O重合（如图②），求点C的坐标及C、A两点的距离；
（2）若折叠后使点B与A重合（如图③），求点C的坐标；
（3）若折叠后点B落在边OA上的点为B′（如图④），设OB′=x，OC=y，用含x的代数式表示y，并求x的范围。
11．如图所示：在四边形ABCD中，AD∥BC、BC=18cm，CD=15cm，AD=10cm，AB=12cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2cm/秒的速度由A向D运动，点Q以3cm/秒的速度由C向B运动．
（1）几秒钟后，四边形ABQP为平行四边形？并求出此时四边形ABQP的周长
（2）几秒钟后，四边形PDCQ为平行四边形？并求出此时四边形PDCQ的周长．
12．如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的是速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）当运动时间为t秒时，AP的长为厘米，QC的长为厘米；（用含t的式子表示）（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（3）设四边形APQC的面积为y（cm2），用含t（s）的代数式表示y（cm2）的关系式；
是否存在某一时刻t（s），使得四边形APQC的面积有最值？并求最值．
（4）连接AQ、CP，相交于点M，如图2，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？
若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．。