四边形教学分析

D

C

B A 找规律 探真知

------初中数学《四边形》的一些教学思考

百色市第七中学 杨耀宇

在了解学生学习（新人教版）第十九章《四边形》的情况时，有不少学生反映这章书需要记的内容太多，理不清头绪，感觉比较乱。因此有了写这文章的念头，权当抛砖引玉，希望得到同行们的批评指正，共同提高。

一、课标对《四边形》的要求

1、掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性。

2、探索并掌握平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件。

3、探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件。

4、探索并了解等腰梯形的有关性质和四边形是等腰梯形的条件。

5、探索并了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心及物理意义（如一根均匀木棒、一块均匀的矩形木板的重心）。

二、问题与思考

按新课标的要求，是让学生“探索”，那么如何去探索？探索的方向在哪？如果能找出学习四边形的规律，是不是可以提高学习的效率呢？

首先，作者认为《四边形》这章书是前面所有几何内容的集合，是对前面几何内容的巩固和提高。课本到第十九章《四边形》为止，课本的几何内容基本是围绕直线形来构筑的，而直线形主要是研究线与角，如线段之间的数量关系、线与线的位置关系，角与角的数量关系等等。在《四边形》这章书里学习的内容基本上就是围绕线与角来对四边形进行研究。

其次，图形的定义是研究图形的基础，因为定义既指出图形的性质，又是图形的判定；继而所有的性质与判定都是由定义衍生而来。同时，图形的定义也是围绕线与角来进行说明的。

第三，在研究四边形时，往往是把四边形的问题转化为三角形的问题来解决，利用已经学过的知识来得到新的知识。再次体现了数学的化归思想。

作者认为，为了提高学习的效率，在本章有必要培养学生构建三个数学模型：

（1）（直线形）四边形主要对它的边、角及图中的重要线段（四边形主要是对角线）进行研究；

（2）图形的定义是图形性质和判定的基础，性质和判定由定义衍生而来；

（3）四边形的问题往往转化为三角形问题来解决。

以平行四边形为例。

定义：有两组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

问题一： 已知：四边形ABCD 是平行四边形 .

求证：AB=CD ，AD=BC .

D C

B A D C

B A 证明：连结AC

,,,.

ABCD AB CD AD BC

BAC DCA BCA DAC AC CA

BAC DCA

AB CD AD BC ∴∴∠=∠∠=∠=∴∆≅∆∴==四边形是平行四边形

小结：（1）本推理研究的是图形的“边”的性质；（2）四边形问题转化为三角形问题来解决；（3）利用定义可得性质“平行四边形两组对边分别相等”。 问题二：

已知：四边形ABCD 中，AB=CD,AD=BC. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.

证明：连结AC

,,

.,,BAC DCA AB CD AD BC AC CA BAC DCA

BAC DCA ACB DAC

AB CD AD BC

ABCD ∆∆=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴∆≅∆∴∠=∠∠=∠∴∴在和中，

四边形是平行四边形. 小结：（1）本推理讨论对边的数量关系；（2）四边形问题仍是转化为三角形问题来解决；（3）利用定义可得平行四边形的判定方法“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”。

三、新课前的准备

考虑到学生的学习能力及新课前必要的复习、引入，作者觉得在学习《四边形》之前最好能复习等腰三角形的定义、性质及判定。通过复习等腰三角形的定义，利用定义推出相关的性质及判定，让学生逐渐形成“定义→性质”、“定义→判定”的数学模型，即在学习几何图形时，研究、探索的一般过程就是从定义衍生性质、定义衍生判定。再经过归纳，让学生明白直线形探索的方向：研究线与角的各种关系。

例如：

等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。

问题一：

已知：ABC ∆中，AB=AC .

求证：B C ∠=∠ .

证明：过点A 作AD BC ⊥

,.

.

ABD ACD AB AC AD AD ABD ACD B C ∆∆=⎧⎨=⎩∴∆≅∆∴∠=∠在Rt 和Rt 中，

Rt Rt

小结 ：由定义推出性质“等腰三角形两个底角相等”，当然还能得到如“三线合一”这样的性质，都是围绕线与角来探究的。

问题二：

已知：ABC ∆中，B C ∠=∠ .

求证：AB=AC.

（证明过程略）

小结：由定义可推出判定“有两个角相等的三角形是等腰三角形”,由角的性质推出判定方法。

教师归纳：定义衍生性质，定义也衍生了判定；研究图形的性质主要就是研究它的边、角及图中的重要线段的特点；研究图形的判定，就是从图形的边、角和图中的重要线段出发。

教师启发：《平行四边形》中我们将围绕哪些元素对图形进行研究？

四、对十九章《四边形》知识的归纳的一些想法

这章书要记忆的定理很多，而且相近似的也不少，稍不留意就有可能混淆在一起。有没有比较好的办法让学生既能学得，又能记得呢？作者觉得在教学过程中应该逐渐让学生对自己要学的知识有简单的归纳：

（1）直线形我们主要研究图形的什么？答：在直线形中我们主要研究它的性质和判定。（2）围绕图形的哪些元素进行研究？答：边、角和图中的重要线段。

（3）对直线形中的边、角和重要线段，我们探究它们的什么关系？答：边及重要线段主要探究它们的数量关系或位置关系，角和角探究数量关系。

在学习完平行四边形之后，围绕图形的边、角、对角线可以逐项进行总结、归纳，先归纳“性质”，再归纳“判定”：

()()().123.⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩

边：对边平行且相等；性质：角：对角相等，邻角互补；对角线：互相平分（交点是公共中点）边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形；判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形 相类似的对矩形、菱形、正方形进行归纳：