概率2—1 随机变量与分布函数

P51页5题
X P
1 1/15
2 2/15
3 3/15
4 4/15
5 5/15
(1)P(X=1或X=2)= P(X=1)+P(X=2) =1/15 +2/15 =1/5
(2) P(1/2<X 5/2) =P(X =1)+P(X =2) =1/15+2/15 =1/5
(3) P(1 X 2) = P(X =1)+P(X =2)=1/15+2/15=1/5
说明
设X是连续型随机变量, 则对任意的实数 x0, 有
P(X=x0)=0.
0 P( X x0 ) P( x0 x X x0 )
令x 0 , 即得 P( X
x0 x0 x
f ( x)dx
x0 ) 0
连续型随机变量与离散型随机变量截然不同的一个重要特点。 它说明，用分布列描述连续型随机变量毫无意义。 概率为零的事件未必是不可能事件； P( A) 0 A 概率为１的事件未必是必然事件。P( A) 1 A
2.若随机试验的结果不带有明显的数量标识，也可 以用数量表示事件. 例2. 掷一枚均匀的硬币,样本空间 ={正,反}.
引进变量 X ,并规定正面出现时,X = 1；反面出现时,X = 0.
试验的结果 ——X=X(). X 表示“正面出现的次数”. 变量 X 的取值是变化的——取决于试验的基本结果(样本点), 事先不能确定,具有随机性；且取任一值都有确定的概率.我们 把具有上述性质的 X 称为随机变量。 试验的每一可能结果 ,都对应着一个确定的实数 X ()，由于 试验的结果是随机的，X 的取值也是随机的，这样的变量X 称 为随机变量。
a
一般地，设 I 为任意区间，则
P( X I ) f ( x)dx
I
P( X I )
x k Iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P( X x ) p
k x k I
k
例1 已知连续随机变量 X 的密度函数为： kx 1 0 x 2 f ( x) 其它 0 求(1)常数k; (2) P(X≤2), (1.5<X<2.5).
主要研究连续型随机变量（随机变量X的取值连续地充满某 个区间或整个数轴）.
离散型
连续型
2.1.2 离散型随机变量及其概率函数 定义：若随机变量 X 只取有限个或可列个可能值，则称 X 为
离散型随机变量.
问题：(1)X 的所有可能的取值是什么？
(2)X 取每一个值的概率是多少？
定义 若 X : ① 所有可能的取值为 x1, x2 , … ② X 取每个可能值的概率为 p1, p2 , …. 即： P ( X= xk)= pk , k = 1,2, … (1)
概率函数全面地描述了离散型随机变量的统计规律
2.1.3 连续型随机变量及其概率分布密度函数 定义2.2 设随机变量 X 的所有可能取值是某一区间上的所有 实数, 若存在非负可积函数 f (x), 使得对任意区间(a,b］,
P(a X b) f ( x)dx
a
b
则称X为连续型随机变量，称 f (x)为X的概率分布密度函数, 简
k
注意：任一具有上述两个性质的数列 { pk }，都有资格作为
某一个随机变量 X 的分布列。
用于验证概率函数的 正确与否。
例3. 设随机变量 X 的概率函数为 P(X=k)= k/15 , k=1, 2, 3, 4, 5.
解 由题知 X 的概率函数为
求
(1) P(X=1 或X=2) ；(2) P(1/2<X 5/2) ； (3) P(1 X 2) , P(1< X 2).
（3〕随机变量通常用希腊字母 , 或大写字母 X ,Y ,Z 等表示, 而表示随机变量所取的值时, 一般采用小写字母 x, y, z 等. （4）引入随机变量后，随机试验中的各种事件，就可以通过 随机变量表达出来。
例1:单位时间内某传呼台收到的呼叫次数用X表示，则“收 到不少于一次呼叫”“X≥1”,“没收到呼叫”“X = 0”. 例2:在 n 重贝努利试验概型中，记事件 A 出现的次数为 X , 则 X为一随机变量。则事件“在 n 重贝努利试验中，事件 A 出现 k 次”就可以简单地记作(X = k)，从而有：
xi x xi x
0 1 1/3 1/6
2 1/2
X≤x
X的取值将F(x)的定义域分成四部分. 0 1 2 1 当x<0时,F(x)=P(X≤x)= 0； 1/2 当0≤x<1时, F(x)=P(X≤x)=P1/3 (X=0)=1/3； 当1≤x<2时, F(x)=P(X≤x)=P(X=0)+P(X=1)=1/2;
P(X=0)= 7 , P(X=1)= 10 P(X=2)= 3 2 7 , P(X=3)= 10 9 8 X 的概率函数亦可用下表来描述：
X P 0 7/10 1 7/30
3 7 10 9 3 217 10 9 8 7
2 3 1/120
7/120
概率函数的性质
(1)、pk 0， k = 1,2,… ； (2)、 pk 1
为了直观，概率函数常以下列表格的形式表示：
概率分布表 X
则称式 (1)为离散型随机变量 X 的概率函数或概率分布或分布律.
P
x1 x2 x3 … x k … p1 p 2 p3 … p k …
例1：盒中有 2 个白球、3 个黑球,从中任取 3 个球,设X为取到 的白球数, 求随机变量X的概率函数。 解 随机变量X 的可能取值是 0,1,2. 3 1 C3 C32C2 1 6 P(X=0)= 3 P(X=1)= 3 C5 10 C5 10
2.1.4 随机变量的分布函数 引例：掷一枚均匀的骰子,随机变量 X 表示朝上的点数.则： P(X 1) = 1/6, P ( X 2) =2/6, P(X 5.7) = 5/6
P(X 0) = 0,
P(X - 4.12) = 0
P(X 6) = 1,
P(X 13.3) = 1
随机变量的定义 定义2.1 设 E 是随机试验, 是样本空间, 对于 的任一样本点
,按照某种对应法则,都有唯一确定的实数 X()与之对应, 即 X=X()是定义在样本空间 上的一个实值函数, 则称X=X() 是一个随机变量.
说明

X()
（1）随机变量是样本点和实数之间的一个对应关系. 随机变量 X= X()是函数,其自变量是样本点 , 定义域是样本 空间 , 值域是实数轴或其子集。 （2）随机变量的取值有一定的概率. 由此可知：对随机变量的研究，不仅要搞清楚随机变量取值的 范围，还要搞清楚相应的取值的概率.
有关事件的概率
P(a X b) P(a X b) P(a X b) b P(a X b) f ( x)dx
a
P( X a ) P( X a ) P( X a) P( X a)
a
f ( x)dx f ( x)dx
说明
(1) F(x) 表示随机事件 { X≤ x } 发生的概率，它在点 x 处的函 数值正是随机变量 X 的取值落入区间 (-∞,x ]的概率。
x
(2) F(x) 的定义域是(-∞, +∞)，值域是[0,1]
离散型随机变量的分布函数
离散型随机变量X 的概率分布为
P(X=xk)=pk , k =1, 2, 3,…
x0 0 x 1 1 x 2 x2
1/2 1/3
1/2 1/6 1/3 0 1 2
x
结论:离散型随机变量的分布函数 F(x) 的图形是阶梯形曲线， 在 X的每一取值 xk 处都有一个跳跃，其跃度为 P{X=xk}
要求：
1、掌握离散型随机变量的概率函数的定义及性质. 2、会求离散型随机变量的概率分布和分布函数. 3、已知离散型随机变量的概率分布或分布函数，会求随机变 量的取值落在一个范围的概率.
称为概率密度或密度函数, 记作 X ~ f (x).
f(x)
o
a
b
x
密度函数的性质
f ( x)
(1)
(2)
f ( x) 0.



f ( x)dx 1
o x
确定密度函数中的待定参数
注：具有上述性质的函数f (x)必定是某个连续型随机变量的
密度函数. 连续型随机变量的密度函数与离散型随机变量的概率函数相 对应.以后,求随机变量的概率分布时,离散型就指概率函数, 连续型就指密度函数.
P( X
k k nk k ) Cn p q
(k 0,1,2, n)
X 所有可能取到的数值就是试验中事件A可能出现的次数： X=0, 1, … , n.
随机变量的分类
按照随机变量的取值情况可把其分为两类：
离散型随机变量： 随机变量 X 的全部取值只有有限个或无
限可列个.
非离散型随机变量：随机变量X 的全部取值不能一一列出.
P(1< X 2) = P(X=2) =2/15
若离散型随机变量 X 的概率分布为：
P (X= xk )= pk ,
设 I 为任意区间，则
k = 1, 2, …
P( X I )
xk I
P ( X xk ) p k
xk I
由概率函数可以求随机变量X取任何值及落在任一区间的概率
解(1)因为1
得


f ( x)dx (kx 1)dx 2k 2
0
2
k 1 2 1 x 1 所以 f ( x) 2 0
2 0
0 x2
其它
2
x 1)dx 1 P(X≤2) f ( x)dx 0dx ( 1 2 0 2.5 2 P(1.5<X<2.5) f ( x)dx ( 1 x 1)dx 0.0625 1.5 2 1.5
此例中研究的都是形如事件 (X x) 的概率，发现事件
(X x) 的概率随着 x 的变化而变化，即 P(X x)是 x 的函数 , 记为 F(x) = P(X x) -- 分布函数
分布函数的定义
定义2.3 设 X 为一个随机变量，对任意实数 x，函数 F(x)=P(X≤ x ) 称为随机变量 X 的分布函数。
第二章
随机变量及其分布
随机变量与分布函数 常见随机变量的分布 一维随机变量函数的分布 二维随机变量
§2.1 随机变量与分布函数
2.1.1 随机变量的概念 1.若随机试验的结果带有明显的数量标识，则可用 数量值来表示事件. 例1.掷一枚均匀的骰子，样本空间 ={1,2 ,…,6}.对于每
次试验结果，都有一个数值与之对应。我们可引进一个变量 X 表示“出现的点数”,X 的可能取值为1,2,3,4,5,6. 试验的结果 ——X = X() (X = i )代表相应的基本事件(样本点). 任一事件都可用X 表示. 如事件 A “朝上的点数超过3”，可用 (X > 3)表示.
X≤x x1 x2 xi x xi+1
F ( x) P ( X x)
xi x
P ( X x i ) pi
xi x
例1 已知随机变量 X 的概率函数, X P 求 X 的分布函数. 解 F ( x ) P ( X x ) P ( X x i ) pi F(x)
当2≤x时, F(x)=P(X≤x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1. 所以X的分布函数为：
0
1
2
x
0 1 3 F ( x) 12 1
x0 0 x 1 1 x 2 x2
右连续
概率函数
分布函数
X P
0 1 2 1/3 1/6 1/2
F(x) 1
0 1 3 F ( x) 12 1
1 2 C3 C2 3 P(X=2)= 3 C5 10
X 的概率函数亦可用下表来描述：
X P 0 1/10 1 6/10 2 3/10
例2：一批零件中有7个正品，3个次品.安装机器时从这批零
件中任取一个，若取到正品，则停止抽取，若取到次品，则 放到一边继续抽取，直到取出正品为止.求在取到正品前所取 出的次品数的概率函数. P51页7题 解 用 X 表示“取到正品前所取出的次品 数” , 则X 是随机变量， X 可能取值为 0, 1, 2, 3.