特征值特征向量

Fibonacci（斐波那契）数列
三、二次型
1 二次型及矩阵表示
f ( x1 ,
2 , xn )=a11 x1 + 2 +ann xn +2a12 x1 x2 +
+2an-1,n xn-1 xn
设A=(aij )nn，则A为实对称阵，x ( x1 ,
, xn )
T
则上述二次型也可记为 f ( x1 , , xn )=x Ax
2
例23 已知二次型f x Ax在正交变换x Qy
T
下的标准型为y1 y2 , 且Q的第三列为
2 2 T
2 2 0 , 2 2 （1）求A ；
（2）证明A I 是正定阵.
例24 二次型 f (x1 , x2 , x3 ) (x1 +x2 ) +(x2 -x3 ) +(x3 +x1 )
11）若n阶矩阵A的各行元素之和均为k，则k一定 是A的特征值，对应的特征向量为(1,1,
-1 -1 -1
,1)T .
若A可逆，则k 是A 的特征值，A 的各行元素之 和为k -1 .
例1 设A为5阶方阵，且已知r ( A - I ) 3, r ( A - 2 I ) 2，求 A .
例2 设A为3阶方阵，且 A - I 0, A+2 I = 2 A+3 I 0，求 2 A -3 I .
2
(7) A的各阶顺序主子式都为正数.
当正定矩阵有参数
Hale Waihona Puke 3) 正定矩阵的性质若A为正定矩阵，则有以下结论：
(1) A的主对角元aii >0, i =1,2, 且 A >0，于是A可逆；
T -1 * m
,n,
(2) kA(k 0), A , A , A , A (m为正整数) 都是正定阵；
(3) 若A，B为同阶正定阵，则aA bB 为正定阵(a 0, b 0, a, b不同时为零).
T
n
1 R( x ) n 且1 = min R( x ) R(1 ), n = min R( x ) R( n ).
x0 x0
x T Ax x T Ax R( x ) T 2 x x x x x T A y Ay , y 1. x x 则瑞利原理可以写成如下的等价形式：
1，-1,0 0的特征向量？（正交） A的一个特征值为0
例15 设A、B均为n阶实对称阵，若A的 特征向量皆为B的特征向量， 证明AB也是实对称阵。
即证AB=BA 设An个
例16 数列0,1,1,2,3,5,8,13， 满足 f n 2 f n1 +f n , n=0,1,2, , f 0 =0, f1 =1, （1）求通项公式f n； fn （2）求 lim . n f n +1
T
展开， 是
求一个正交变换，将f x Ax化为标准型。
T
如果不是，请说明理由。
任意一个矩阵，x转置Ax必是二次型，只不过该A不是对应的二次型矩阵
2 1 0 3 0 0 例19 设A= 1 2 0 , B = 0 1 0 , 0 0 3 0 0 3 1 0 0 D= 0 1 0 , 0 0 3 哪些矩阵相似？哪些合同？为什么？
2 2 2
的秩等于多少？ 展开
例25 实数a1 , a2 , a3满足什么条件时，二次型 f (x1 , x2 , x3 ) (x1 +a1 x2 ) +(x2 +a2 x3 ) +(x3 +a3 x1 )
2 2
2
为正定二次型？
例26 设实对称阵A满足 A -A +A -3A 2 I 0
特征值与特征向量、二次型
赵小艳 办公地点：理科楼214 zhaoswallow@
一、特征值、特征向量
1 定义 2 性质
Ax x,
x0
n , 则
ann tr ( A);
1) 设A的n个特征值为1 , 2 ,
(a) 1 2 n a11 a22
8）A与AT 有相同的特征值，但未必有相同的特征向量；
9）设1与2是A的两个不同特征值，1， 2分别是 对应的特征向量，则1 + 2一定不是A的特征向量；
10） 若A为正交矩阵，则 A = 1. 当 A =-1时，A必有特征值-1; 当 A =1时，且A为奇数阶时，A必有特征值1;
例17 设f ( x1 , x2 , x3 )=(1-a )x +(1-a )x + 2 x +2(1 a )x1 x2的秩为2，
2 3
2 1
2 2
（1）求a;
A行列式为0
（2）求正交变换，化二次型为标准型； （3）指出f ( x1 , x2 , x3 )=1表示的曲面名称； （4）求方程f ( x1 , x2 , x3 )=0的解.
（1）求x，y；
-1
（2）求A的特征值与特征向量；
（3）求可逆阵P，使得P AP为对角阵.
例7 设3阶矩阵A有特征值 1,1, 2，证明 矩阵B ( I A) 可对角化，并求B的相似
2
对角阵。
例8 证明：对于任意n阶方阵A与B，
AB与BA必有相同的特征值（不考虑重数）。
4 实对称矩阵的相似对角阵
T
2 化二次型为标准型
1) A与B合同， 2) 惯性定理
C AC B
T
3) 由于A为实对称阵，所以必存在正交阵Q， 使得Q AQ =Q AQ为对角阵，
T -1
令x QY，则实二次型化为 f ( y1 , ,yn )=1 y1 +
2
+n yn
2
称为二次型的标准型
规范型
3 二次型与实对称矩阵的正定性
AB相似 合同 BD不相似 合同 AD不相似 合同
结论：(1) 两个可对角化的同阶方阵相似 它们有相同的特征值
(2) 两个同阶实对称阵合同
它们的正负惯性指数相同 它们的正负特征值个数相同 (3) 两个实对称阵若相似则必合同
例20 n元二次型f x Ax正定的充要
T
条件是(
)
c
A 存在正交矩阵P ,使P AP I
T
P可逆即可
B 负惯性指数为零 C A与单位阵合同
T
C应可逆
D 存在n阶矩阵C，使得A C C
例21 设A、B分别为m、n阶正定矩阵，证明 A 0 C 也是正定矩阵. 0 B
例22 设A是n阶正定矩阵，B是n阶反对称 矩阵，证明矩阵A-B 是正定阵.
-x转置B方x=x转置B转置BX
2
是A的单特征值，且对应的特征向量为
1 =(0, 1,1) ，
T
（1）求A的另外两个特征值与特征向量；
（2）求A.
1,1，-1 （0,1，-1）（1，0，0）
例13 设A是3阶实对称阵，r ( A) 2，且 1 1 -1 1 A 0 0 = 0 0 -1 1 1 1 （1）求A的特征值与特征向量； （2）求A.
解法1 性质法 解法2 定义 解法3 分解矩阵法
n 1 1 n 例5 设A为n阶方阵(n 2)，且A= 1 2 求A的特征值与特征向量。
1 1 ， n
二、相似矩阵、矩阵可对角化
1 相似矩阵的定义
P 1 AP B
特别地，若A能与对角阵相似，则称A可对角化。 此时，对角阵的主对角元素即是A的特征值， 可逆矩阵P的列向量即是对应的特征向量。
(b) 12
n A .
2） n阶方阵A可逆 A的所有特征值均非零；
3） 对应于方阵A的特征值的特征向量1， t的 任意线性组合只要是非零向量，仍是A对应于特 征值的特征向量。
4） 对应于不同特征值的特征向量必线性无关；
5） 设 是方阵A的k重特征值，则A的对应于的 线性无关的特征向量个数不超过k， 即特征值的“几何重数”不大于其“代数重数”。
设A为n阶实对称阵，则有 1）A的所有特征值均为实数； 2）A的属于不同特征值的特征向量是正交的； 3）A的每个特征值的几何重数和代数重数是相 等的，所以A必可对角化；
4) 存在正交矩阵Q，使得Q 1 AQ QT AQ D, 其中D的主对角元为A的特征值，Q的列向量是 对应的特征向量。
2 1 1 例9 已知A= 1 2 1 ， 1 1 2 -1 （1）求可逆阵P，使得P AP为对角阵； （1）求正交阵Q，使得Q AQ为对角阵.
* *
3 n阶矩阵可对角化的条件
1）矩阵可对角化 A有n个线性无关的特征向量 2）矩阵可对角化
A的每个特征值的几何重数等于代数重数
3）若A有n个互不相同的特征值，则A必可 对角化。 （充分条件）
1 -1 1 例6 已知A= x 4 y ，已知A有三个线 -3 -3 5 性无关的特征向量， =2为A的二重特征值，
6） 若是可逆方阵A的特征值， 是对应的特征向量，
则 -1是可逆方阵A-1的特征值， 是对应的特征向量，
A -1是可逆方阵A*的特征值， 是对应的特征向量;
7） 设h( A)是方阵A的矩阵多项式， 是A的特征值，
是A对应的特征向量，则h( )是h( A)的特征值， 是h( A)对应h( )的特征向量；
1) 正定二次型 2) 正定性的判定
n元二次型f =x Ax为正定（对应实对称 阵A是正定矩阵）的充要条件：
T
(1) 对任意的非零列向量x, f =x Ax>0;
(2) f 的正惯性指数为n；
(3) A的特征值全为正数；
T
定义法
(4) 存在可逆阵C，使得A C C;
T
(5) A与单位阵合同；
(6) 存在正定矩阵B，使得A B ;
-1
例10 设4阶实对称矩阵A的秩为3，且 A A 0，则A相似于什么矩阵？
2
0,-1,-1,-1 特征值只有0和-1两种情况，因为秩3，所以0只有一个
例11 设 3阶实对称阵A的各行元素之和均为3，
T T
向量1 =(-1, 2,-1) , 2 =(0,-1,1) 是AX =0的解，
4 3 2
（1）A是否为正定矩阵？为什么？ （2）求矩阵A.
例27 设A是n阶实对称阵，x是R 中的任何 x Ax 非零列向量，称 R( x ) T x x 为关于矩阵A的瑞利(Rayleigh)商. 试证瑞利原理：设A的全部特征值按照从小 到大排列成1 2 n , 1为对应1的特 征向量， n为对应n的特征向量，则
由(3）得：2y1方+2y2方=0 解（0,0,C）X=PY=P(0，0，c） 求解：正交变换或 配方：F=(x1＋x2) 方+2x3方=0 x1+x2=0 x3=0
特征值0,2,2 2y1方+2y2方=1 柱面 正交变换曲面形状不变 但配方法化标准型可能 会改变曲线形状
2 2 0 例18 设矩阵A= 8 2 0 相似于对角阵， 0 a 6 （1）求a；0 （2）f x Ax是否是一个二次型？如果是，
2 性质
1）若A与B相似，则 A = B , r ( A) r ( B ), tr ( A) tr ( B ), A I = B I ,因此A,B有相同的特征值. 而且，设P 1 AP B, 是A属于的特征向量， 则P 1 是B属于的特征向量.
2) AT 与BT 相似。若A, B可逆，则A1与B 1相似, A 与B 相似,h( A)与h( B )相似，h( x )是x的多项式。
T
（1）求A的特征值与特征向量；
（2）求正交矩阵Q和D，使得Q AQ D;
3 6 （3）求A及(A- I) . 2
特征值0,0,3，对应向量（-1,2,-1 ）(0,-1,-1) （1,1,1,） A=3e3×e3的转置 （）六次方=Q×（D-1.5I）六次方×Q转置=1.5六次方×I
例12 设3阶实对称阵A满足I -A =0，1 =-1
*
例3 设A=(a ij )为n阶方阵(n 2)， 且r ( A)=1，则有 （1）A的特征值为1 =a11 +a22 + +ann，
2 =
=n =0; +ann 0.
（2）A可对角化的充要条件是A有一个非零 特征值，即a11 +a22 +
2 2 1 * 例4 已知A= 2 5 2 ，A 是A的伴随矩阵， 3 6 4 * 求A 的特征值与特征向量。