对数函数综合应用

对数函数综合应用
1．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x
（1）求当x＜0时，求函数f（x）的表达式
（2）若g（x）=2x（x∈R）集合A={x|f（x）≥2}，B={x|g（x）≥16或}，试判断集合A 和B的关系．
2．已知函数f（x）=log a（x+2），
（1）若函数f（x）的图象经过M（7，2）点求a的值；
（2）若a=3，x∈（1，25]，求值域，并解关于x的不等式f（x）≤﹣1．
（3）函数f（x）的反函数过定点P求P点坐标．
3．（1）设不等式2（）2+9+9≤0时，求的最大值和最
小值．
（2）设f（x）=|lgx|，a、b是满足的实数，其中0＜a＜b
①求证：a＜1＜b；②求证：2＜4b﹣b2＜3．
4．已知函数f（x）=log a（x+1），g（x）=log a（1﹣x）（a＞0，且a≠1），且h（x）=f（x）+g（x）．（1）求函数h（x）的定义域；
（2）判断函数h（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）求不等式f（x）＞g（x）的解集．
5．已知函数f（x）=．
（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．
6．已知函数f（x）=log4（ax2+2x+3）
（1）若f（1）=1，求f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
7．已知函数，
对定义域内的任意x都有f（2﹣x）+f（2+x）=0成立．
（1）求实数m的值；
（2）当x∈（b，a）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求实数a，b的值．
8．已知函数f（x）=（a＞1）．
（1）求f（x）的定义域、值域，并判断f（x）的单调性；
（2）解不等式f﹣1（x2﹣2）＞f（x）．
9．设f（x）=ln（|x﹣1|+m|x﹣2|﹣3）（m∈R）
（Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若当1，f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围．
10．设函数f（x）=lg，其中a∈R，m是给定的正整数，且m≥2．如果不等式f（x）＞（x﹣1）lgm在区间[1，+∞）上有解，求实数a的取值范围．
对数函数综合应用参考答案与试题解析
1．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x
（1）求当x＜0时，求函数f（x）的表达式
（2）若g（x）=2x（x∈R）集合A={x|f（x）≥2}，B={x|g（x）≥16或}，试判断集合A
和B的关系．
解：（1）∵函数f（x）为奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）
∵当x＞0时，f（x）=log2x ∴当x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（﹣x）
（2）∵log2x≥2，解得﹣≤x＜0或x≥4 ∴集合A={x|x≥4或﹣}，
依题意2x≥16，解得x≥4或x≤﹣4，≤2x≤1解得﹣≤x≤0
∴集合B={x|x≥4或﹣}，∴A是B的真子集；
2．已知函数f（x）=log a（x+2），
（1）若函数f（x）的图象经过M（7，2）点求a的值；
（2）若a=3，x∈（1，25]，求值域，并解关于x的不等式f（x）≤﹣1．
（3）函数f（x）的反函数过定点P求P点坐标．
解：（1）函数f（x）的图象经过M（7，2）点，则有log a（7+2）=2，解得：a=3，
（2）若a=3，函数f（x）=log3（x+2），当x∈（1，25]时，
3＜x+2≤27，∴1＜log3（x+2）≤3，即y∈（1，3]，所以函数f（x）的值域为（1，3]．
又不等式f（x）≤﹣1⇔不等式log3（x+2）≤log3⇔0＜x+2≤⇒﹣2＜x≤﹣．
∴不等式的解为：﹣2＜x≤﹣．
（3）函数f（x）=log a（x+2），当x=﹣1时，y=0，
依题意，点（﹣1，0）在函数f（x）=log a（x+2）的图象上，
则点（0，﹣1）在函数f（x）=log a（x+2）的反函数的图象上那么P点的坐标为（0，﹣1）．
3．（1）设不等式2（）2+9+9≤0时，求的最大值和最
小值．
（2）设f（x）=|lgx|，a、b是满足的实数，其中0＜a＜b
①求证：a＜1＜b；②求证：2＜4b﹣b2＜3．
解：（1）、∵不等式2（）2+9+9≤0，
∴，∴．∴．
∴=（log2x﹣1）•（log2x﹣3）
=（log2x）2﹣4log2x+3=（log2x﹣2）2﹣1．
故当log2x=2时，的最小值是﹣1；
当log2x=0时，的最大值是3．
（2）、①证明：∵f（x）=|lgx|，f（a）=f（b），∴|lga|=|lgb|．
∵0＜a＜b，y=lgx是增函数，∴﹣lga=lgb，故a＜1＜b．
②证明：∵﹣lga=lgb，∴，∴ab=1，∵0＜a＜b，∴．
∵，∴，∴．
∴，∴，∵b＞1，∴2＜4b﹣b2＜3．
4．已知函数f（x）=log a（x+1），g（x）=log a（1﹣x）（a＞0，且a≠1），且h（x）=f（x）+g（x）．
（1）求函数h（x）的定义域；（2）判断函数h（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）求不等式f（x）＞g（x）的解集．
解：（1）f（x）+g（x）=log a（x+1）+log a（1﹣x）．若要上式有意义，则，
即﹣1＜x＜1．所以所求定义域为{x|﹣1＜x＜1}
（2）由于h（x）=f（x）+g（x），则h（﹣x）=f（﹣x）+g（﹣x）=log a（﹣x+1）+log a（1+x）=h（x）．所以h（x）=f（x）+g（x）是偶函数．
（3）f（x）＞g（x），即log a（x+1）＞log a（1﹣x）．
当0＜a＜1时，上述不等式等价于解得﹣1＜x＜0．
当a＞1时，原不等式等价于，解得0＜x＜1．
综上所述，当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}；
当a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1}．
5．已知函数f（x）=．
（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．
解：（1）由题设知：当m=5时：|x+1|+|x﹣2|＞7，
不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：
，或，或，
解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）；
（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，
∴不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，等价于m+4≤3，∴m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．
6．已知函数f（x）=log4（ax2+2x+3）
（1）若f（1）=1，求f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解：（1）∵f（x）=log4（ax2+2x+3）且f（1）=1，∴log4（a•12+2×1+3）=1⇒a+5=4⇒a=﹣1
可得函数f（x）=log4（﹣x2+2x+3）∵真数为﹣x2+2x+3＞0⇒﹣1＜x＜3 ∴函数定义域为（﹣1，3）令t=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4 可得：当x∈（﹣1，1）时，t为关于x的增函数；
当x∈（1，3）时，t为关于x的减函数．∵底数为4＞1
∴函数f（x）=log4（﹣x2+2x+3）的单调增区间为（﹣1，1），单调减区间为（1，3）
（2）设存在实数a，使f（x）的最小值为0，
由于底数为4＞1，可得真数t=ax2+2x+3≥1恒成立，且真数t的最小值恰好是1，
即a为正数，且当x=﹣=﹣时，t值为1．
∴⇒⇒a=
因此存在实数a=，使f（x）的最小值为0．
7．已知函数，
对定义域内的任意x都有f（2﹣x）+f（2+x）=0成立．
（1）求实数m的值；（2）当x∈（b，a）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求实数a，b的值．解：（1）由条件得：
∴（m2﹣1）x2=0对定义域内的任意x成立∴m2﹣1=0
∴m=1或m=﹣1 当m=1时不成立∴m=﹣1
（2）
由f（x）的取值范围恰为（1，+∞），
当0＜a＜1时，x∈（b，a）的值域为（0，a），
函数在x∈（b，a）上是减函数，所以，这是不可能的．
当a＞1时，x∈（b，a）的值域为（a，+∞），
所以，函数在x∈（b，a）上是减函数，并且b=3 所以，，解得
综上：，b=3
8．已知函数f（x）=（a＞1）．
（1）求f（x）的定义域、值域，并判断f（x）的单调性；
（2）解不等式f﹣1（x2﹣2）＞f（x）．
解：（1）为使函数有意义，需满足a﹣a x＞0，即a x＜a，又a＞1，∴x＜1，即函数定义域为（﹣∞，1）．又由＜log a a=1，∴f（x）＜1，∴函数的值域为（﹣∞，1）．
设x1＜x2＜1，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=＞log a1=0，即f（x1）＞f（x2）．∴f（x）在（﹣∞，1）上是减函数．
（2）设y=，则a y=a﹣a x，∴a x=a﹣a y，∴x=．
∴f（x）=的反函数为f﹣1（x）=（x＜1）．
由f﹣1（x2﹣2）＞f（x），得f（x2﹣2）＞f（x），
∴解得﹣1＜x＜1．故所求不等式的解为{x|﹣1＜x＜1}．
9．设f（x）=ln（|x﹣1|+m|x﹣2|﹣3）（m∈R）
（Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若当1，f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围．
解：（I）由题设知：|x﹣1|+|x﹣2|﹣3＞0，
∴①，或②，或③．
解①可得x＞5，解②可得x∈∅，解③可得x＜0．
不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集，求得函数的定义域为（﹣∞，0）∪（5，+∞）．
（II）不等式f（x）≥0 即|x﹣1|+m|x﹣2|﹣3≥0，即m≥．
∵1，∴m≥==1+，即m≥1+．
由于函数y=1+在[1，]上是增函数，故当x=1时，y 取得最小值为2；
当x=时，y 取得最大值为5，由题意可得，m大于或等于y的最大值5，故m的取值范围是[5，+∞）．10．设函数f（x）=lg，其中a∈R，m是给定的正整数，且m≥2．如果不等式f（x）＞（x﹣1）lgm在区间[1，+∞）上有解，则实数a的取值范围是a．
解：不等式f（x）＞（x﹣1）lgm，即lg＞lgm x﹣1，
∵常用对数的底10＞1，∴原不等式可化为1x+2x+3x+…+（m﹣1）x+m x a＞m x，
移项得（1﹣a）m x＜1x+2x+3x+…+（m﹣1）x，
因为m是正整数，所以两边都除以m x，得1﹣a＜（）x+（）x+（）x+…+（）x，…（*）
不等式f（x）＞（x﹣1）lgm在区间[1，+∞）上有解，即（*）式的右边的最大值大于1﹣a
∵g（x）=（）x+（）x+（）x+…+（）x在[1，+∞）上是一个减函数
∴当x=1时，g（x）的最大值为+++…+=×=
因此1﹣a＜，得实数a的取值范围是a＞，结合m≥2得a。