固定收益证券2_债券价格和收益
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100c y N 100 P [1 (1 ) ] y N y 2 (1 )
100c • 当 N , P • 现金收益率： y
ycurrent
• 只有对永续年金，现金收益率才等于到期收益 率 • 截止到目前的定价时间都是在付息的时点上， 但是有时候定价的时间在两次付息之间。 • 美国国债的价格一般是32位进制的，有时候为 了方便比较，需要将其转化为10进制的，如：
C PV y
无期权嵌入的债券定价（每年付息）
• 面值为$100的债券，每年支付息票$C，共 支付N年，则其在期初的价格为：
C C C C 100 P 2 3 1 y (1 y ) (1 y ) (1 y ) N
• 其中y称为内部收益率（internal rate of return）或者到期收益率（yield to maturity） • 债券的价格等于债券未来的现金流按照到 期收益率进行折现的现值。
• 连续复利：
PV 1e
yN
Hale Waihona Puke • 例2.4：假设一个债券从现在开始每年支付 $100,共支付10年，如果利率为5%，其现值 为多少？（连续复利）
PV 100e
0.0510
60.65
现值：年金
• 每年支付$C，共支付N年
C N PV [1 (1 y ) ] y
• 当N趋向于无穷的时候，为永续年金 （perpetuity）
2n n 2 2n 100 2 ( ) ( 1)(1 ) 365 365 365 P 2n 1 365
价格和收益：中长期债券
• 中长期债券每半年支付利息，因此其发票 价格不等于纯价格
• 应付利息为上一个息票日到结算日期间产 生的利息，为卖方持有期间产生的，因此 应该由买方支付给卖方。
价格和收益：T-bills
• 国库券的价格：
美国国库券期限小于等于1年，无息票，价格由 面值折现而得到： n d
P 100[1
360
]
P为面值为$100的国库券的价格； n为结算日距离到期日的天数； d为折现率 例：面值为$100的三个月的国库券，如果折现 率为0.0168，则其价格为99.58.
价格和收益：T-bills
• 国库券的收益，如果n<182天：
由国库券的价格公式我们可以直接得到其折现 率公式为： 100 P 360 d 100 n 缺陷：1、假设每年360天； 2、用100，而不是P作为分母。 等价收益率（bond equivalent yield or BEY）：
100 p 365 BEY p n
价格和收益：T-bills
• 当持有国库券到期时，相对于折现率来说， BEY是一个较好的衡量指标。 • 折现率和等价收益率的关系：
365d BEY 360 nd
• 等价收益率总是大于折现率（因为BEY的分 母为P，小于100） • BEY和d的差随着n的增加而增加
收益率与价格的关系
其他惯例
• 财政债券的报价是基于“actual/actual”的 基础 • 不同的市场有不同的计算惯例
• 在美国，公司债券和机构债券是报价是基 于30/360的基础
本节小结
• 如何计算国库券的价格和折现率，及等价 收益率 • 如果计算中长期债券的价格： • 计算应付利息
• 由发票价格（纯价格）得到纯价格（发票 价格） • 债券价格和收益率的关系
13 1 100 13 100 32 64
C 100c P P
价格和收益——T-bills
• 发票价格（invoice price or dirty price）：买 方投资者应付的价格 • 纯价格 （clean price or flat price，quoted price）：不含应付利息的价格 • 应付利息（accrued interest）：从上一个息 票支付日到结算日的息票收入。 • 发票价格=纯价格+应付利息 • 美国债券市场的报价多为纯价格，但在其 他的一些国家报价多为发票价格。
价格和收益：中长期债券
• 扩展到多个息票日的情况，发票价格为： C
• • • • •
j N 1 100 2 Pt ( ) z z N 1 j y y x j 0 x (1 ) (1 ) 2 2 结算日为t
结算日与到期日之间共有N个息票日 z为结算日与NCD之间的天数 x为LCD与NCD之间的天数 y为到期收益率
无期权嵌入的债券定价（每年付息）
• 如果债券的息票率为c，则 C c 100 • 我们可以将该债券视为一个年金和一个零息债 券的组合： 100c 100 N P [1 (1 y ) ] N y (1 y ) • 如果息票率等于收益率，则P=100，评价销售 （sell at par） • 如果c>y，则P>100,溢价销售（sell at premium） • 如果c<y，则P<100，折价销售（sell at discount）
未来值：年金
• 年金（annuity）：每年支付固定的金额C
C FV [(1 y ) N 1] y
• 例2.2：一个3年到期的债券，面值为$100， 每年支付息票$10，到期支付本金$100,如果 年利率为9%，3年末时该债券的价值为多少？
• 例2.2 该债券为一个年金和零息债券的组合 • 我们首先可以计算年金的未来值为：
• 注：（1）在有些情况下人们也用360天表 示一年 • （2）单利多用于短期债券
x FV P(1 y ) 365
未来值：复利，连续复利
• N：距离到期日还有N年 • m：每年付息m次
y N m FV P(1 ) m
• 当m趋向于无穷，得到连续复利下的未来值
FV Pe
yN
• P=$100, y=5%
债券定价（每半年付息）
• 美国国债市场通常的做法是半年付息。 • N为付息的次数（年份*2）
C C C C 100 2 2 P 2 2 y y 2 y 3 y N 1 (1 ) (1 ) (1 ) 2 2 2 2
• 如果息票率为c，则C=100c，上述公式可以 写成：
有关公式回顾
• • • • • • 未来值（future value） 现值（present value） 单利（simple interest） 复利（compounding interest） 连续复利（continuous compounding） 年金（annuity）
未来值：单利
• • • • y：年利率（单利） x：从结算日距离到期日的天数 FV：未来值 P：初始投资
10 3 FV [(1 0.09) 1] 32.781 0.09
• 将3年末时零息债券的本金$100加上，就可 以得到该债券3年末时的价值为$132.781.
现值
• N年末的$1的现值 • 每年付息一次： PV
1 N (1 y )
1 • 每年付息m次： PV y N m (1 ) m
价格和收益：T-bills
价格和收益：T-bills
• 国库券的收益，如果n>182天：
T-bills不付息，但是中期国债和长期国债都是每 半年支付利息的，因此n>182天的国库券的收 益必须要反映这一事实：
由此可以解出BEY为：
BEY
y y 365 y P(1 ) (n )(1 ) P 100 2 365 2 2
收益率与价格的关系
• 对不可提前赎回的债券而言，收益率与价格之 间是反比的关系 • 因为债券的息票是固定的，所以为了补充升高 的利率，价格必须下降。 • 随着收益率的升高，价格逐渐下降，但是下降 的幅度逐渐减小 • 因此收益率与价格之间的关系非线性，而是一 条凸（convex）的曲线。 • 对可赎回的债券而言，收益率和价格的关系更 复杂。
价格和收益：中长期债券
价格和收益：中长期债券
• 例2.7续： • 首先我们确定上一个息票日LCD(last coupon date)和 下一个息票日NCD(next coupon date)。 • 在本例中LCD为2008年5月15日，NCD为2008年11月 15日。 • NCD和LCD中间的天数为184天，LCD和结算日SD （settlement date），2008年6月27日，之间的天数 为43天。 • 因此应付利息为 AI 43 3.875 0.452785 184 2 • 发票价格为纯价格加上应付利息： 98.6875+0.452785=99.140285.
债券的价格和收益
翟伟丽 深圳大学，2011
上次内容……
• • • • 固定收益证券简介 债券的种类 债券市场的参与者 债券市场的发展现状及金融危机
本次主要内容……
• 不含期权的债券的定价
计算现值 距离到期日有整数个周期 距离到期日有非整数个周期 零息债券 T-bills
• 收益率
不同的测量方法 价格-收益率关系
100c • 当 N , P • 现金收益率： y
ycurrent
• 只有对永续年金，现金收益率才等于到期收益 率 • 截止到目前的定价时间都是在付息的时点上， 但是有时候定价的时间在两次付息之间。 • 美国国债的价格一般是32位进制的，有时候为 了方便比较，需要将其转化为10进制的，如：
C PV y
无期权嵌入的债券定价（每年付息）
• 面值为$100的债券，每年支付息票$C，共 支付N年，则其在期初的价格为：
C C C C 100 P 2 3 1 y (1 y ) (1 y ) (1 y ) N
• 其中y称为内部收益率（internal rate of return）或者到期收益率（yield to maturity） • 债券的价格等于债券未来的现金流按照到 期收益率进行折现的现值。
• 连续复利：
PV 1e
yN
Hale Waihona Puke • 例2.4：假设一个债券从现在开始每年支付 $100,共支付10年，如果利率为5%，其现值 为多少？（连续复利）
PV 100e
0.0510
60.65
现值：年金
• 每年支付$C，共支付N年
C N PV [1 (1 y ) ] y
• 当N趋向于无穷的时候，为永续年金 （perpetuity）
2n n 2 2n 100 2 ( ) ( 1)(1 ) 365 365 365 P 2n 1 365
价格和收益：中长期债券
• 中长期债券每半年支付利息，因此其发票 价格不等于纯价格
• 应付利息为上一个息票日到结算日期间产 生的利息，为卖方持有期间产生的，因此 应该由买方支付给卖方。
价格和收益：T-bills
• 国库券的价格：
美国国库券期限小于等于1年，无息票，价格由 面值折现而得到： n d
P 100[1
360
]
P为面值为$100的国库券的价格； n为结算日距离到期日的天数； d为折现率 例：面值为$100的三个月的国库券，如果折现 率为0.0168，则其价格为99.58.
价格和收益：T-bills
• 国库券的收益，如果n<182天：
由国库券的价格公式我们可以直接得到其折现 率公式为： 100 P 360 d 100 n 缺陷：1、假设每年360天； 2、用100，而不是P作为分母。 等价收益率（bond equivalent yield or BEY）：
100 p 365 BEY p n
价格和收益：T-bills
• 当持有国库券到期时，相对于折现率来说， BEY是一个较好的衡量指标。 • 折现率和等价收益率的关系：
365d BEY 360 nd
• 等价收益率总是大于折现率（因为BEY的分 母为P，小于100） • BEY和d的差随着n的增加而增加
收益率与价格的关系
其他惯例
• 财政债券的报价是基于“actual/actual”的 基础 • 不同的市场有不同的计算惯例
• 在美国，公司债券和机构债券是报价是基 于30/360的基础
本节小结
• 如何计算国库券的价格和折现率，及等价 收益率 • 如果计算中长期债券的价格： • 计算应付利息
• 由发票价格（纯价格）得到纯价格（发票 价格） • 债券价格和收益率的关系
13 1 100 13 100 32 64
C 100c P P
价格和收益——T-bills
• 发票价格（invoice price or dirty price）：买 方投资者应付的价格 • 纯价格 （clean price or flat price，quoted price）：不含应付利息的价格 • 应付利息（accrued interest）：从上一个息 票支付日到结算日的息票收入。 • 发票价格=纯价格+应付利息 • 美国债券市场的报价多为纯价格，但在其 他的一些国家报价多为发票价格。
价格和收益：中长期债券
• 扩展到多个息票日的情况，发票价格为： C
• • • • •
j N 1 100 2 Pt ( ) z z N 1 j y y x j 0 x (1 ) (1 ) 2 2 结算日为t
结算日与到期日之间共有N个息票日 z为结算日与NCD之间的天数 x为LCD与NCD之间的天数 y为到期收益率
无期权嵌入的债券定价（每年付息）
• 如果债券的息票率为c，则 C c 100 • 我们可以将该债券视为一个年金和一个零息债 券的组合： 100c 100 N P [1 (1 y ) ] N y (1 y ) • 如果息票率等于收益率，则P=100，评价销售 （sell at par） • 如果c>y，则P>100,溢价销售（sell at premium） • 如果c<y，则P<100，折价销售（sell at discount）
未来值：年金
• 年金（annuity）：每年支付固定的金额C
C FV [(1 y ) N 1] y
• 例2.2：一个3年到期的债券，面值为$100， 每年支付息票$10，到期支付本金$100,如果 年利率为9%，3年末时该债券的价值为多少？
• 例2.2 该债券为一个年金和零息债券的组合 • 我们首先可以计算年金的未来值为：
• 注：（1）在有些情况下人们也用360天表 示一年 • （2）单利多用于短期债券
x FV P(1 y ) 365
未来值：复利，连续复利
• N：距离到期日还有N年 • m：每年付息m次
y N m FV P(1 ) m
• 当m趋向于无穷，得到连续复利下的未来值
FV Pe
yN
• P=$100, y=5%
债券定价（每半年付息）
• 美国国债市场通常的做法是半年付息。 • N为付息的次数（年份*2）
C C C C 100 2 2 P 2 2 y y 2 y 3 y N 1 (1 ) (1 ) (1 ) 2 2 2 2
• 如果息票率为c，则C=100c，上述公式可以 写成：
有关公式回顾
• • • • • • 未来值（future value） 现值（present value） 单利（simple interest） 复利（compounding interest） 连续复利（continuous compounding） 年金（annuity）
未来值：单利
• • • • y：年利率（单利） x：从结算日距离到期日的天数 FV：未来值 P：初始投资
10 3 FV [(1 0.09) 1] 32.781 0.09
• 将3年末时零息债券的本金$100加上，就可 以得到该债券3年末时的价值为$132.781.
现值
• N年末的$1的现值 • 每年付息一次： PV
1 N (1 y )
1 • 每年付息m次： PV y N m (1 ) m
价格和收益：T-bills
价格和收益：T-bills
• 国库券的收益，如果n>182天：
T-bills不付息，但是中期国债和长期国债都是每 半年支付利息的，因此n>182天的国库券的收 益必须要反映这一事实：
由此可以解出BEY为：
BEY
y y 365 y P(1 ) (n )(1 ) P 100 2 365 2 2
收益率与价格的关系
• 对不可提前赎回的债券而言，收益率与价格之 间是反比的关系 • 因为债券的息票是固定的，所以为了补充升高 的利率，价格必须下降。 • 随着收益率的升高，价格逐渐下降，但是下降 的幅度逐渐减小 • 因此收益率与价格之间的关系非线性，而是一 条凸（convex）的曲线。 • 对可赎回的债券而言，收益率和价格的关系更 复杂。
价格和收益：中长期债券
价格和收益：中长期债券
• 例2.7续： • 首先我们确定上一个息票日LCD(last coupon date)和 下一个息票日NCD(next coupon date)。 • 在本例中LCD为2008年5月15日，NCD为2008年11月 15日。 • NCD和LCD中间的天数为184天，LCD和结算日SD （settlement date），2008年6月27日，之间的天数 为43天。 • 因此应付利息为 AI 43 3.875 0.452785 184 2 • 发票价格为纯价格加上应付利息： 98.6875+0.452785=99.140285.
债券的价格和收益
翟伟丽 深圳大学，2011
上次内容……
• • • • 固定收益证券简介 债券的种类 债券市场的参与者 债券市场的发展现状及金融危机
本次主要内容……
• 不含期权的债券的定价
计算现值 距离到期日有整数个周期 距离到期日有非整数个周期 零息债券 T-bills
• 收益率
不同的测量方法 价格-收益率关系