第四章 频域滤波

图像中心化 把图像进行傅立叶变换后，往往要把中心移 到u0=v0=N/2的位置上 e j 2 (u0 x v0 y ) / N e j ( x y ) (1) x y N N x y f ( x, y )(1) F (u , v ) 2 2
21
周期性和共轭对称性

则称函数 y(t) 为函数 x(t) 和 h(t) 的卷积
卷积积分的图解表示：

x(t)
1
h(t)
1/2
1
t
1 t
27
卷积积分的图解表示（续）：
h(- )
1/2 折迭 h(t1- )
1
x()
-1

1

y(t)
积分
h(t- )
1/2 位移
相
x()
1
t1 1 2 t
t
*
乘
1
1 F (u, v) MN
M 1 N 1 x 0 y 0
( x, y)e
ux vy j 2 M N
f ( x, y) ( x, y)
1 MN
1 M 1 N 1 f ( x, y ) h ( x, y ) (m, n)h( x m, y n) MN m 0 n 0 1 h ( x, y ) MN
们的卷积是一种最简单的卷积
h(t)
x(t) A
-T0
T0
t h(t)*x(t) A
a
t
-T0
T0
t
30
卷积定理：如果 x(t) 和 h(t) 的富里叶变换分别为 X(f) 和 H(f) ,则
x(t) * h(t) 的富里叶变换为 X(f)H(f)。即
h(t ) x(t ) H ( f ) X ( f )

逆变换：
f ( x, y )
F ( x, y ) exp[ j 2π (ux vy )]dudv

F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v)
幅度谱： F (u , v ) R (u , v ) I (u , v )
2 2 1 2
I (u , v ) 相位谱： (u , v ) arct an[ ] R (u , v )
说明图像的谱是 对称的
16
10. 卷积定理：
f(x,y)*h(x,y) <=> F(u,v)H(u,v)
f(x,y)h(x,y) <=> F(u,v)*H(u,v)
11. 相关定理：
互相关：f(x,y)Og(x,y) <=> F *(u,v)G (u,v) f *(x,y)g (x,y) <=> F(u,v) OG(u,v) 自相关：f(x,y)Of(x,y) <=> |F(u,v)|2 |f(x,y)|2 <=> F(u,v) OF(u,v)
1 t
h( t)
4
2
0
2
4
1

t 5
0 .5
1 .2 9 9 5
2
把一个信号的波形分解为许多 不同频率正弦波之和。
g( t )
5
0
5
0 .5 t
5
一维傅立叶变换举例
方波信号：
经过傅立叶变 换后：
6
一维离散傅立叶变换(DFT)
一维离散傅立叶变换公式为：
1 F (u ) M
逆变换为：
M 1 x 0
1 M 1 N 1 f ( x, y) h( x, y) f (m, n)h( x m, y n) MN m0 n0
17
12. 帕塞瓦定理（能量定理）：
* * f ( x , y ) f ( x , y ) F ( u , v ) F 1 1 2 2 (u, v) x 0 y 0 u 0 v 0 N 1 N 1 N 1 N 1
22
周期性和共轭对称性的应用
1. 图形的频谱分析和显示
2. 图像中心化
N 1 F (u ) 2 N 1 N

x 0 N 1 x 0
N 1
f ( x )e
j
2ux N
e jx
j 2ux N
x ( 1 ) f ( x )e
23
24
25
平均值
平均值定义：
1 N 1 N 1 f ( x, y) 2 f ( x, y) N x 0 y 0
7. 共轭对称性： f * ( x, y) F * (u,v) 8. 旋转不变性：
f (r, 0 ) F ( , 0 )
如果f(x,y)为实数
F (u, v) F * (u,v)
F (u, v) F (u,v)
9. 平均值：
1 N 1 N 1 F (0,0) 2 f ( x, y) f ( x, y) N x 0 y 0
F (u, v) Fx Fy f ( x, y ) Fy Fx f ( x, y ) f ( x, y ) F
1 u 1 v 1 v 1 u
F F (u, v) F F F (u, v)
13
14
4. 空间位移：
f ( x x0 , y y0 ) F (u, v)e j 2 (ux0 vy0 ) / N
32
f ( x, y ) h( x, y ) F (u, v) H (u, v)
( x, y ) h( x, y ) ( x, y )H (u, v)
h( x, y ) H (u, v)
H (u ) Ae Be
2 u 2 2 1
H (u) Aeu
傅立叶积分：
H ( f ) h(t )e


j 2ft
dt
3
其中t代表时间，f代表频率
傅立叶变换的定义(一维)
f(x)为连续可积函数，其傅立叶变换定义为：

F (u )
其反变换为：
f ( x)



f ( x)e j 2ux dx

j 2ux F ( u ) e du



h( )e j 2f d ]d
=
H( f )X ( f )
31
1 M 1 N 1 f ( x, y) h( x, y) f (m, n)h( x m, y n) MN m0 n0
f ( x, y ) h( x, y ) F (u, v) H (u, v)
2 2


1 2
I (u , v ) (u , v ) arct an R (u , v )
10
11
12
二维离散傅立叶变换的性质
1. 线性性质： a1 f1 ( x, y) a2 f 2 ( x, y) a1F1 (u, v) a2 F2 (u, v)
2. 比例性质：
1 u v f (ax, by) F , ab a b 3. 可分离性：
F(u)=R(u)+jI(u) 幅度谱： F (u ) R (u ) I (u )
2 2


1 2
相位谱： (u ) arct an[ I (u ) / R (u )]
能量谱（谱密度）
P (u ) F (u )
2
4
变换分析的直观说明
1
1 .2 9 9
2
f ( t) 5 0 5
1
2
2
2
2 u 2 2 2
h( x) 2 Ae2
2
2 x2
h( x) 2 1 Ae2
2
12 x 2
2 2 2 2 x
2 2 Be2
35
频域滤波
在傅立叶变换域，变换系数反映了图像的某些特征。
频谱的低频分量对应于图像的平滑区域，而外界叠加噪声、 边缘对应于频谱中频率较高的部分等。
f ( x, y) F (u, v)e
M 1 N 1 u 0 v 0
ux vy j 2 M N
幅谱(频谱)、相谱：
F (u , v ) F (u , v ) e j ( u ,v ) R (u , v ) jI (u , v ) F (u , v ) R (u , v ) I (u , v )
若f1(x,y)=f2(x,y)=f(x,y)，则有：
f ( x, y)
x 0 y 0
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N 1 N 1
2
F (u, v)
u 0 v 0
N 1 N 1
2
信号在空域的总能量等于其频域的总能量。
20
频率位移性质
当图像在频率域移动时需要用到频率位移性 质：
f ( x, y)e j 2 (u0 xv0 y ) / N F (u u0 , v v0 )
5. 频率位移：
f ( x, y)e j 2 (u0 xv0 y ) / N F (u u0 , v v0 )
图像中心化： 当u0=v0=N/2时，
f ( x, y )( 1)
x y
N N F (u , v ) 2 2
15
6. 周期性：
F(u,v)=F(u+aN,v+bN), f(x,y)=f(x+aN,y+bN)
f ( x )e
j
j
2ux M
u 0,1,, M 1
f ( x ) F ( u )e
u 0
M 1
2ux M
x 0,1,, M 1
7
二维傅立叶变换
二维傅立叶变换由一维傅立叶变换推广而来：
F (u, v) f ( x, y) exp[ j 2π (ux vy )]dxdy
第四章
频域图像增强
4.1 背景
法国数学家Jean Baptiste Joseph Fourier 在1807年和1822年提出傅立叶变换 60年代出现快速傅立叶变换 傅立叶变换域也称为频域
2
4.2 傅立叶变换
傅立叶积分
调谐信号：
e
jt
cos(t ) j sin(t )
其中j2=-1
卷积定理的简单推导：



y (t )e
j 2ft
dt=



[


x( )h(t )d ]e j 2ft dt

= 令 =t- =


x( )[

h(t )e j 2ft dt]d

x( )[e
j 2f

28
卷积积分的步骤： 1 折迭：把 h() 相对纵轴作出其镜像 2 位移：把 h(-) 移动一个 t 值 3 相乘：将位移后的函数 h(t-) 乘以 x() 4 积分： h(t-) 和 x() 乘积曲线下的面积即为 t 时刻的卷积值
29
包含脉冲函数的卷积：即 x(t) 或 h(t) 中有一个为脉冲函数，则它
38
基本步骤
图像乘以 计算 F (u, v ) 图像 F (u, v ) 乘以滤波器函数 H (u, v) 计算 F (u, v) H (u, v) 的反变换
得到实数部分 将结果乘以
( 1) x y ( 1) x y
G(u, v) F (u, v) H (u, v)
由傅立叶变换定义：
1 F (0,0) 2 N
f ( x, y)
x 0 y 0
N 1 N 1
因此，f(x,y)的平均值与傅立叶变换系数的关系为：
F (0,0) f ( x, y)
26
卷积
卷积积分：如果函数 y(t) 满足下列关系式
y(t ) x( )h(t )d x(t ) h(t )
周期性不难证明。共轭对称性：
1 F (u , v) MN
M 1 N 1 x 0 y 0
f ( x, y)e

ux vy j 2 M N
f *(x,y)的傅立叶变换：
－j 2 1 M 1 N 1 * M N f ( x , y ) e MN x0 y 0 ux vy j 2 ＋ 1 M N f ( x , y ) e MN x0 y 0 F * ( u , v ) M 1 N 1 * ux vy
8
二维傅立叶变换举例
对于二维方波信号
傅立叶变换为：
幅度：
9
二维离散傅立叶变换
对于二维傅立叶变换，其离散形式为：
1 F (u , v) MN
M 1 N 1 x 0 y 0
f ( x, y)e
ux vy j 2 M N
逆变换为：