离散数学 章节2 谓词逻辑复习过程
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
R(z， f(z)， g(x,y))等都是谓词公式。
谓词公式是由原子公式，逻辑连接词，
量词和圆括号等组成的符号串，命题逻辑 中的命题公式仅是它的特例，所以命题逻 辑包含于谓词逻辑之中。
定义2.6 在谓词公式 xA 和 xA中，
称x为指导变元，称A为相应量词的辖域或 作用域，辖域中凡与指导变元相同的个体 变元称为约束变元，不是约束变元的个体 变元称为自由变元。
2.2 谓词公式及其解释
2.2.1 谓词公式
定义2.3 设Di (1≤i≤n)是相应于个 体变元xi的个体域，则相应于Di的项是指
按下列规则定义的符号串：
（1）Di中的个体常元和个体变元是 相应于Di的项
（2）若是从D1×D2×…×Dn到Di的 元函数，ti(1≤i≤n)是相应于Di的
项，则 f(t1 ， t2 ， t3 ， ， tn)也是相
应于Di的项
（3）所有相应于Di的项都是有限次
使用（1），（2）得到的符号串。
例如，设f和g分别表示一元和二元函 数，a是个体常元，x，y是个体变元，则a， x，y，f(x)，g(x,y)，g(f(x),x))， f(g(x,y))等都是项。
定义2.4 设P(x1,x2,x3,…,xn)是n元
xP (x) 1， 存x在 D， p(x)取1值 0， 对任x 意 D， 的 p(x)都取 0 值
特别地，对于个体域D为有限集，即
D { a 1 ， a 2 ， ， a n }的ຫໍສະໝຸດ Baidu况，我们有：
x ( x ) P P ( a 1 ) P ( a 2 ) P ( a n )
x ( x ) P P ( a 1 ) P ( a 2 ) P ( a n )
是一样的。
由简单命题函数和命题连接词构成的 表达式称为复合命题函数。
n元谓词 (n 0) 不是命题，只有当n元 谓词中的全部个体变元在个体域中取定个 体常元后它才成为命题，此时，谓词已经 不含个体变元而只含个体常元。
通常，我们将不含个体变元的谓词称 为0元谓词，比如 P(a) 、Q(b，c) 、 R(d，e，f) 等都是0元谓词。0元谓词是命题，命题逻 辑中的命题都可表示为0元谓词，因此可将 命题看成特殊的谓词。
第2章 谓词逻辑
2.1
个体词、谓词与量词
2.2
谓词公式及其解释
2.3 谓词公式的等价演算与范式
2.4
谓词公式的推理演算
2.1 个体词、谓词与量词
2.1.1 个体词与谓词
定义2.1 在原子命题中，表示对象的 词称为个体词；表示对象所具有的性质或 多个对象之间关系的词称为谓词。
个体词一般是原子命题中的主语或宾
（1）0和1是谓词公式； （2）原子公式是谓词公式；
（3）若A、B是谓词公式， 则A 、B、AB、AB、 AB 和
AB 是谓词公式；
（4）若x是个体变元，A是谓词公式， 则 和xA 是x谓A词公式；
（5）所有的谓词公式都是有限次使 用（1）、（2）、（3）、（4）得到 的符号串。
例， xP(x) 、 x(P (x) P (f(x))、) x y ( x ， Q y ) ( z( z ) P Q ( x ， y )、)
语。个体词可以是具体事物，也可以是抽 象的概念，例如，小王，夏天，偶数，思 想等都可以作为个体词。特定的个体词称 为个体常元，用小写字母 a， b， c， 或
a1， a2， a3， 表示；不确定的个体词称为 个体变元，用小写字母 x ， y ， z， 或
x1， x2， x3， 表示。
谓词一般是原子命题中的谓语，通常 用大写字母 P ， Q ， R ， 或 P1， P2， P3， 表 示。含有n个 (n0) 个体变元的谓词称为n 元谓词，也称为n元简单命题函数，通常记 为 P (x 1 ， x 2 ， x 3 ， ， x n )。
Dn {0，1}的一个映射。
定义2.8 设A是一谓词公式，若A在任 何解释下均为真，则A称为永真式（有效 式）。若A在任何解释下均为假，则称A为 永假式（矛盾式）。若存在解释使A为真， 则称A为可满足式。
定义2.9 设 p1， p2， ， pn是命题公 式A中出现的n个命题变元， A 1， A 2， ， A n
2.1.2 量词
定义2.2 设D为个体域，（1）“对D 中任意的个体x”称为D上的全称量词，记
为x ；（2）“在D中存在个体x”称为D上
的存在量词，记为x 。
用d表示个体域，P(x)表示一元谓词， 依据量词的定义，我们将 xP(x) 和 xP(x) 的含义总结如下：
xP (x) 1， 对任x 意 D， 的 p(x)都取 1 值 0， 存x在 D， p(x)取0值
谓词，ti(1≤i≤n)是相应于个体变元xi的 个体域Di的项，则称P(t1,t2,t3,…,tn)为
原子谓词公式，简称原子公式。
例如，设R(x,y,z)是三元谓词，z、 f(z)、g(x,y)是三个项，则 R(z,f(z),g(x,y))就是一个原子公式。
定义2.5 谓词公式是按下列规则定义 的符号串：
2.2.2 谓词公式的解释
定义2.7 谓词公式的一个解释由下面 四个部分组成：
（1）非空个体域D
（2）对A中每个个体常元符号，指定 D中一个固定元素
（3）对A中每个函数符号，指定一个 具体的函数；
（4）对A中每个谓词符号，指定一个 具体的谓词。
在定义2.7中，所谓指定一个n元函数
和n元谓词就是分别给出 Dn D 和
定理2.1（换名规则） 在谓词公式中， 将某量词辖域中出现的某个约束变元以及 对应的指导变元改成本辖域中未曾出现过 的个体变元符号，其余部分保持不变，公 式的等价性不变。
定理2.2（代替规则） 在谓词公式中， 将某个自由变元的所有出现用其中未曾出 现过的某个体变元符号代替，其余部分保 持不变，公式的等价性不变。
n个 它实际上是 D1D2Dn 到
{0，1}的一个函数，其中Di是个体变元xi
的个体域。
所谓个体域（论域）就是个体变元遍 历的非空集合。一般地，个体域应事先给 定，如果没有给定，则约定个体域是全体 事物构成的集合，称为全总个体域（全总 论域）。另外，以后除非特别声明，否则
认为一个n元谓词的所有个体变元的个体域
谓词公式是由原子公式，逻辑连接词，
量词和圆括号等组成的符号串，命题逻辑 中的命题公式仅是它的特例，所以命题逻 辑包含于谓词逻辑之中。
定义2.6 在谓词公式 xA 和 xA中，
称x为指导变元，称A为相应量词的辖域或 作用域，辖域中凡与指导变元相同的个体 变元称为约束变元，不是约束变元的个体 变元称为自由变元。
2.2 谓词公式及其解释
2.2.1 谓词公式
定义2.3 设Di (1≤i≤n)是相应于个 体变元xi的个体域，则相应于Di的项是指
按下列规则定义的符号串：
（1）Di中的个体常元和个体变元是 相应于Di的项
（2）若是从D1×D2×…×Dn到Di的 元函数，ti(1≤i≤n)是相应于Di的
项，则 f(t1 ， t2 ， t3 ， ， tn)也是相
应于Di的项
（3）所有相应于Di的项都是有限次
使用（1），（2）得到的符号串。
例如，设f和g分别表示一元和二元函 数，a是个体常元，x，y是个体变元，则a， x，y，f(x)，g(x,y)，g(f(x),x))， f(g(x,y))等都是项。
定义2.4 设P(x1,x2,x3,…,xn)是n元
xP (x) 1， 存x在 D， p(x)取1值 0， 对任x 意 D， 的 p(x)都取 0 值
特别地，对于个体域D为有限集，即
D { a 1 ， a 2 ， ， a n }的ຫໍສະໝຸດ Baidu况，我们有：
x ( x ) P P ( a 1 ) P ( a 2 ) P ( a n )
x ( x ) P P ( a 1 ) P ( a 2 ) P ( a n )
是一样的。
由简单命题函数和命题连接词构成的 表达式称为复合命题函数。
n元谓词 (n 0) 不是命题，只有当n元 谓词中的全部个体变元在个体域中取定个 体常元后它才成为命题，此时，谓词已经 不含个体变元而只含个体常元。
通常，我们将不含个体变元的谓词称 为0元谓词，比如 P(a) 、Q(b，c) 、 R(d，e，f) 等都是0元谓词。0元谓词是命题，命题逻 辑中的命题都可表示为0元谓词，因此可将 命题看成特殊的谓词。
第2章 谓词逻辑
2.1
个体词、谓词与量词
2.2
谓词公式及其解释
2.3 谓词公式的等价演算与范式
2.4
谓词公式的推理演算
2.1 个体词、谓词与量词
2.1.1 个体词与谓词
定义2.1 在原子命题中，表示对象的 词称为个体词；表示对象所具有的性质或 多个对象之间关系的词称为谓词。
个体词一般是原子命题中的主语或宾
（1）0和1是谓词公式； （2）原子公式是谓词公式；
（3）若A、B是谓词公式， 则A 、B、AB、AB、 AB 和
AB 是谓词公式；
（4）若x是个体变元，A是谓词公式， 则 和xA 是x谓A词公式；
（5）所有的谓词公式都是有限次使 用（1）、（2）、（3）、（4）得到 的符号串。
例， xP(x) 、 x(P (x) P (f(x))、) x y ( x ， Q y ) ( z( z ) P Q ( x ， y )、)
语。个体词可以是具体事物，也可以是抽 象的概念，例如，小王，夏天，偶数，思 想等都可以作为个体词。特定的个体词称 为个体常元，用小写字母 a， b， c， 或
a1， a2， a3， 表示；不确定的个体词称为 个体变元，用小写字母 x ， y ， z， 或
x1， x2， x3， 表示。
谓词一般是原子命题中的谓语，通常 用大写字母 P ， Q ， R ， 或 P1， P2， P3， 表 示。含有n个 (n0) 个体变元的谓词称为n 元谓词，也称为n元简单命题函数，通常记 为 P (x 1 ， x 2 ， x 3 ， ， x n )。
Dn {0，1}的一个映射。
定义2.8 设A是一谓词公式，若A在任 何解释下均为真，则A称为永真式（有效 式）。若A在任何解释下均为假，则称A为 永假式（矛盾式）。若存在解释使A为真， 则称A为可满足式。
定义2.9 设 p1， p2， ， pn是命题公 式A中出现的n个命题变元， A 1， A 2， ， A n
2.1.2 量词
定义2.2 设D为个体域，（1）“对D 中任意的个体x”称为D上的全称量词，记
为x ；（2）“在D中存在个体x”称为D上
的存在量词，记为x 。
用d表示个体域，P(x)表示一元谓词， 依据量词的定义，我们将 xP(x) 和 xP(x) 的含义总结如下：
xP (x) 1， 对任x 意 D， 的 p(x)都取 1 值 0， 存x在 D， p(x)取0值
谓词，ti(1≤i≤n)是相应于个体变元xi的 个体域Di的项，则称P(t1,t2,t3,…,tn)为
原子谓词公式，简称原子公式。
例如，设R(x,y,z)是三元谓词，z、 f(z)、g(x,y)是三个项，则 R(z,f(z),g(x,y))就是一个原子公式。
定义2.5 谓词公式是按下列规则定义 的符号串：
2.2.2 谓词公式的解释
定义2.7 谓词公式的一个解释由下面 四个部分组成：
（1）非空个体域D
（2）对A中每个个体常元符号，指定 D中一个固定元素
（3）对A中每个函数符号，指定一个 具体的函数；
（4）对A中每个谓词符号，指定一个 具体的谓词。
在定义2.7中，所谓指定一个n元函数
和n元谓词就是分别给出 Dn D 和
定理2.1（换名规则） 在谓词公式中， 将某量词辖域中出现的某个约束变元以及 对应的指导变元改成本辖域中未曾出现过 的个体变元符号，其余部分保持不变，公 式的等价性不变。
定理2.2（代替规则） 在谓词公式中， 将某个自由变元的所有出现用其中未曾出 现过的某个体变元符号代替，其余部分保 持不变，公式的等价性不变。
n个 它实际上是 D1D2Dn 到
{0，1}的一个函数，其中Di是个体变元xi
的个体域。
所谓个体域（论域）就是个体变元遍 历的非空集合。一般地，个体域应事先给 定，如果没有给定，则约定个体域是全体 事物构成的集合，称为全总个体域（全总 论域）。另外，以后除非特别声明，否则
认为一个n元谓词的所有个体变元的个体域