矩阵可逆的若干判别方法

矩阵可逆的若干判别方法

可逆矩阵是高等代数中不可缺少的一部分，也是矩阵运算中的重要组成部分，对解决数数学问题有重大意义，学习可逆矩阵，对我们解决一些代数问题有极大的帮助。

如何判断矩阵可逆，主要有以下十一种方法。 一、 矩阵可逆的基本概念

（1）对于n 阶矩阵A ，若存在n 阶矩阵B ，使得

AB=BA=I

则称矩阵A 为可逆矩阵（或非退化或非奇异或满秩矩阵），或A 可逆，称B 为A 的

逆矩阵，记作B= A -1

。

注：若矩阵可逆，则A 的逆矩阵由A 唯一确定。 （2）矩阵A 的行秩等于列秩。

（3）矩阵A 经过一系列初等变换得到矩阵B ，则A 与B 等价。

（4）记矩阵A 中元素a ij 的代数余子式为A ij ，则A*=（A ij ）T

n ×n ，我们就称A*为A 的伴随矩阵。 二、矩阵可逆的性质

（1）若矩阵A 可逆，则A 的逆矩阵A -1也可逆，且（A -1）-1

=A 。

（2）若矩阵A,B 均可逆，则矩阵AB 也可逆，且(AB) -1=B -1A -1

。

（3）若矩阵A 可逆，则A T 也可逆，且（A T ）-1=（A -1）T

。

（4）若矩阵A 可逆，λ≠0，则λA 也可逆，且(A λ)=

λ

1A -1

。 （5）若矩阵A 可逆，则|A -1

|=

|

|1A 。 （6）矩阵A 的逆矩阵A -1

=

|

|*A A 。 （7）若A 为m ×n 阶矩阵，P 为m 阶矩阵，Q 为n 阶矩阵，A,P,Q 均为可逆矩阵，则有r(PAQ)=r(PA)=r(AQ)=r(A)。 三、矩阵可逆的若干判别方法 （一）定义判别法

对于n 阶方阵A ，若存在n 阶方阵B ，使得AB=BA=I,则A 可逆，且B 为A 的逆，

记为B=A -1

。

例1. 判断矩阵A=⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛010100001 是否可逆？

证 存在矩阵B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001，使得AB=BA=⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛100010001

所以矩阵A 可逆。

注：此方法大多适用于简单的矩阵。

（二）行列式判别法

矩阵A 可逆的充要条件是A 为方阵且|A|≠0。

例2. 判断矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛311283501与矩阵B=⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛2-04131120是否可逆？

证 因为|A|=-3≠0，|B|=0，所以矩阵A 可逆，而B 不可逆。

（三）秩判别法

n 阶矩阵A 可逆，则r （A ）=n 。

证 因为矩阵A 可逆，则|A|≠0，可得到r （A ）=n ，反之也成立。

例3. 判断矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛711012531与矩阵B=⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛1-22011121是否可逆？

证 A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛711012521→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2101030521⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--→2101600901

所以r （A ）=3，A 可逆。

B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛122001121⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→000120001120001120

所以r （B ）=23≠，B 不可逆。

（四）伴随矩阵判别法 若A 可逆，则存在矩阵B=

|

|*

A A ,使得AB=BA=E 。 例4．矩阵A=⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛341253621，判断它是否可逆，若可逆，求出它的逆。

证 因为|A|=35≠0，则A 可逆， A*=⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-----127163726187,所以

A -1

=||*A A =

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛351-352-5135163

1-51-3526-351851 注：求伴随矩阵时，要注意元素的位置与符号。

(五)初等变换判别法

对矩阵A 施行行（列）初等变换，得到矩阵B ，若B 可逆，则A 也可逆。 证 因为A 与B 等价，则有r(A)=r(B)，所以当矩阵B 可逆时，矩阵A 也可逆。 注：也可用初等行（列）变换求A 的逆。 用初等行变换：)()(B E E

A

→ B 为A 的逆，B=A -1。

列初等变换：⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B E E A B 为A 的逆。

例5.求矩阵A=⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛410113201的逆。

解

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11-354-122-25-10001000111-3013-0011005-10201100013-0014105-10201100010001410113201 所以A -1=⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛----1135412225 （六）初等矩阵判别法

若矩阵A 可逆，则A 可以表示为一系列初等矩阵的乘积， 即A=P 1P 2 ……P S

证 因为|A|=| P 1P 2 ……P S |0≠，所以矩阵A 可逆，反之也成立。 同时，若矩阵A 可逆，则A 可经过一系列初等变换化为单位矩阵。

例6.判断矩阵A=⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛01-2411210是否可逆？

证 A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01-2411210⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→1000100012-002102018-3-021

041101-2210411 所以矩阵A 可逆。

（七）矩阵的向量组的秩判别法

若矩阵A 可逆，则A 的各行或各列所形成的向量组线性无关。 若矩阵A 可逆，则有r(A)=n,且行秩等于列秩等于n. （八）线性方程组判别法