《空间向量的数乘运算》教案

第二课时3.1.2空间向量的数乘运算（二）

教学要求：了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．

教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式．

教学过程：

一、复习引入

1. 回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b 与非零向量a 是否共线？

方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．

向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .称平面向量共线定理，

二、新课讲授

1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些

向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b ．

2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：

共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .

理解：⑴上述定理包含两个方面：

①性质定理：若a ∥b （a ≠0），则有b ＝λa ，其中λ是唯一确定的实数。

②判断定理：若存在唯一实数λ，使b ＝λa （a ≠0），则有a ∥b （若用此结论判断a 、b

所在直线平行，还需a （或b ）上有一点不在b （或a ）上）.

⑵对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与a 同向，

当λ<0时与a 反向的所有向量.

3. 推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任意一点O ，点P

在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 OP OA t =+a ．

其中向量a 叫做直线l 的方向向量.

推论证明如下：

∵ l //a ，

∴ 对于l 上任意一点P ，存在唯一的实数t ，使得AP t =a ．(*)

又∵ 对于空间任意一点O ，有AP OP OA =-，

∴ OP OA t -=a ， OP OA t =+a ． ①

若在l 上取AB =a ，则有OP OA t AB =+．(**)

又∵ AB OB OA =-

∴ ()OP OA t OB OA =+-(1)t OA tOB =-+．②

当12t =时，1()2OP OA OB =+．③

理解：⑴ 表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式，③式是线段的中点公式．事实上，表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础，也是直线参数方程的表达形式．

⑵ 表达式①和②三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公式．

⑶ 推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定．

空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面向量完全相同，

是平面向量相关知识的推广．

4. 出示例1：用向量方法证明顺次连接空间四边形四边中点的四边形是

平行四边形. （ 分析：如何用向量方法来证明？） 5. 出示例2：如图O 是空间任意一点，C 、D 是线段AB 的三等分点，分别用OA 、OB 表示OC 、OD .

三、巩固练习：

第三课时3.1.2空间向量的数乘运算（三）

教学要求：了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；会用上述知识解决立几中有关的简单问题．

教学重点：点在已知平面内的充要条件．

教学难点：对点在已知平面内的充要条件的理解与运用．

教学过程：

一、复习引入

1. 空间向量的有关知识——共线或平行向量的概念、共线向量定理及其推论以及空间直线的向量表示式、中点公式．

2. 必修④《平面向量》，平面向量的一个重要定理——平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

二、新课讲授

1. 定义：如果表示空间向量a的有向线段所在直线与已知平面α平行或在平面α内，则称向量a平行于平面α，记作a//α．

向量与平面平行，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的．2. 定义：平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是

在同一平面内的，但可以平移到同一平面内．

3. 讨论：空间中任意三个向量一定是共面向量吗？请举例说明．

结论：空间中的任意三个向量不一定是共面向量．例如：对于空

间四边形ABCD，AB、AC、AD这三个向量就不是共面向量．

4. 讨论：空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢？

5. 得出共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向

量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使得p= x a+y b．

证明：必要性：由已知，两个向量a、b不共线．

∵向量p与向量a、b共面

∴由平面向量基本定理得：存在一对有序实数对x，y，使得p= x a+y b．

充分性：如图，

∵x a，y b分别与a、b共线，

∴x a，y b都在a、b确定的平面内．

又∵x a+y b是以｜x a｜、｜y b｜为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在a、b确定的平面内，

∴p= x a+y b在a、b确定的平面内，即向量p与向量a、b共面．

说明：当p、a、b都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p、a、b所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内．6. 共面向量定理的推论是：空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使得MP xMA yMB

=++．②=+，①或对于空间任意一定点O，有OP OM xMA yMB 分析：⑴推论中的x、y是唯一的一对有序实数；⑵由OP OM xMA yMB

=++得：

OP x y OM xOA yOB

=--++③

OP OM x OA OM y OB OM

=+-+-，∴(1)

()()

公式①②③都是P、M、A、B四点共面的充要条件．

7. 例题：课本例1 ，解略．→ 小结：向量方法证明四点共面