离散数学--二元关系

▪ （1）写出A到B的所有二元关系。 ▪ （2）写出A上的所有二元关系。
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7.2.1 二元关系的基本定义
一般地：
▪ 若 |A|＝m, |B|＝n
▪ |A×B|＝mn, A×B 的子集有2mn个,从A到B有2mn个不同的二 元关系.
▪ R＝φ
，称R为空关系；
▪ R＝ A×B
7.1.2 集合的笛卡尔积
▪ A×(B ×C)＝{ ＜a,<1,p>＞,＜a,<1,q>＞,
＜a,<2,p>＞,＜a,<2,q>＞, ＜a,<3,p>＞,＜a,<3,q>＞, ＜b,<1,p>＞,＜b,<1,q>＞, ＜b,<2,p>＞,＜b,<2,q>＞, ＜b,<3,p>＞,＜b,<3,q>＞ }
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7.1.1 有序对的定义
定义7.1：
▪ 两个元素x,y组成的有序序列＜x,y＞，称为一个有序
对（序偶、二元组）。
例：
▪ 直角坐标系中点的坐标＜x,y＞ ▪ 日期的表示：＜y,m＞
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7.1.1 有序对的定义
性质：
▪ 当x ≠ y时， ＜x，y＞≠ ＜y，x＞ ▪ ＜x，y＞＝ ＜u，v＞ x＝u∧y＝v
例:
▪ (1) R＝{<x,y> | x,yN, x＋y＜3}
＝{<0,0>, <0,1>, <0,2>, <1,0>, <1,1>, <2,0>}
▪ (2) C＝{<x,y> | x,yR, x2＋y2＝1}
▪ (3) R＝{<x,y,z> | x,y,zR, x＋2y＋z＝3}
▪ (4) 5元关系的实例—数据库实体模型
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7.1.2 集合的笛卡尔积
证明：A×（B∪C）＝（A×B）∪（A×C）
证：任取＜x，y＞
＜x，y＞∈A×（B∪C） x∈A∧y∈B∪C x∈A∧（y∈B∨ y∈C ） （x∈A∧y∈B）∨ （x∈A∧ y∈C ） （＜x，y＞∈A×B）∨ （＜x ，y＞∈A×C ） ＜x，y＞∈（A×B）∪ （A×C ）
员工号
姓名
年龄
性别
工资
301
张林
50
302
王晓云
43
303
李鹏宇
47
男
1600
女
1250
男
1500
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…
…
…
…
…
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7.2.1 二元关系的基本定义
定义7.4
▪ 设A,B为集合,
▪ R A×B， 称R为A到B的二元关系； ▪ R A×A ，称R为A上的关系。
例： ▪ 若 A＝{a,b}, B＝{1}, 则：
计算A×B，B×A，A×C，A×A。
▪解：
A×B＝{＜a,0＞,＜a,1＞,＜a,2＞, ＜b,0＞,＜b,1＞,＜b,2＞}
B×A＝{＜0,a＞,＜0,b＞, ＜1,a＞,＜1,b＞, ＜2,a＞,＜2,b＞}
A×C ＝ φ
A×A ＝{＜a,a＞,＜a,b＞,＜b,a＞,＜b,b＞}（A×A可记作A2 ）
7.2.1 二元关系的基本定义
关系
▪ 数的 ＞, ＝, ＜ 关系; ▪ V＝I R; ▪ 计算机程序的输入与输出联系； ▪ 数据库的数据特性联系等。
集合论为刻划这种联系提供了一种数学模型
▪ 关系(Relation) 。
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7.2.1 二元关系的基本定义
定义7.3
7.2.1 二元关系的基本定义
▪ 常见的几种特殊的二元关系
▪≤ ≥ ＜ ＞ ＝ ▪| ▪ 集合之间的关系 ： ＝ ≠
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7.2.2 二元关系的表示
1.集合表示法
2.关系矩阵(matrix of relation)
▪ 设A＝{a1,a2,…,am} ，B＝{b1,b2,…,bn}，R是A到B的一个二
所以， （A∩B）×C＝（A×C）∩（B×C）成立。
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7.1.3 有序 n 元组和 n 阶笛卡尔积
定义：
▪ n个元素x1，x2，…，xn组成的有序序列,记做：
＜x1,x2,…,xn＞
▪ 称为n重组（n元序偶、n元组）。
约定:
▪ ＜x1，x2，…, xn-1, xn＞= ＜<x1，x2，… ,xn-1 >,xn＞
元关系，令：
b1 b2 L bn a1 r11 r12 L r1n MR a2 r21 r22 L r2n LL LLL
am rm1 rm2 L rmn
其中rij
1 0
ai R bj ai R bj
称：MR为R的关系矩阵。
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7.2.2 二元关系的表示
例1：
性质：
＜x1,x2,…,xn＞ ＝ ＜y1,y2,…,yn＞ xi ＝ yi(i=1,2,…,n)
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7.1.3 有序 n 元组和 n 阶笛卡尔积
定义4.4：
▪ 集合A1、A2、……、An的笛卡儿乘积
A1×A2×…×An＝{＜x1，x2，…，xn＞ | xi∈Ai i＝1,2,…,n}
1
2
3
4
11
1
0
0
MR＝ 2 0
0
1
1
30
0
0
0
40
1
0
0
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7.2.2 二元关系的表示
例3
▪ 设A＝ {1,2,3,4},A上的二元关系R＝{<x,y>|x ≥ y},写出
MR。
1234
11 0 0 0
MR＝ 2 1 1 0 0
31 1 1 0
41 1 1 1
▪ 如果一个集合满足以下条件之一：
▪ （1）集合非空, 且它的元素都是有序对 ▪ （2）集合是空集
▪ 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R.
例如：
▪ R＝{<1 , 2 >, <a , b>} ▪ S＝{<1，2>, 3, 4}.
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7.2.1 二元关系的基本定义
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第7章 二元关系
7.1 有序对与笛卡儿积 7.2 二元关系 7.3 关系的运算 7.4 关系的性质 7.5 关系的闭包 7.6 等价关系和划分 7.7 偏序关系
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7.1 有序对与笛卡尔积
7.1.1 有序对的定义 7.1.2 集合的笛卡尔积 7.1.3 有序 n 元组和 n 阶笛卡尔积
解：
(A×B) ×C＝{ ＜<a,1>,p＞,＜<a,1>,q＞, ＜<a,2>,p＞,＜<a,2>,q＞, ＜<a,3>,p＞,＜<a,3>,q＞, ＜<b,1>,p＞,＜<b,1>,q＞, ＜<b,2>,p＞,＜<b,2>,q＞, ＜<b,3>,p＞,＜<b,3>,q＞ }。
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，称R为全域关系
▪ 若 |A|＝n
▪ |A×A|＝n2, A×A 的子集有2n2个, A上有2n2不同的二元关系.
▪ R＝φ
， 称R为A上空关系
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▪ R＝ A×A
， 称R为A上的全域关系，记做EA;
▪ R＝{<x,x>|x∈A} ， 称R为A上的相等关系，记做IA; 19
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7.2.2 二元关系的表示
关系的表示方法
▪ 关系R的集合表达式 ▪ 关系矩阵MR ▪ 关系图GR
三者均可以唯一相互确定。
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7.3 关系的运算
7.3.1 关系的定义域、值域 和 域
7.3.2 关系的逆
7.3.3 关系的右复合
7.3.4 关系运算的性质
注意：
▪ A1×A2×……×An－1×An ＝（A1×A2×……×An－1 ） ×An
▪ 一般地：
▪若A1＝A2＝……＝An ＝ A时，上式简记为：An
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7.2 二元关系
7.2.1 二元关系的基本定义 7.2.2 二元关系的表示
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例7.1：
▪ <x＋2,4>＝<5, 2x＋y >，求 x, y。 ▪解：
▪ ∵x＋2＝5, 2x＋y ＝4 ▪ ∴ x＝3, y＝ 2
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7.1.2 集合的笛卡尔积
定义7.2：集合A与B的笛卡儿乘积
A×B＝｛＜x,y＞|x∈A∧y∈B}
▪例：设A＝{a , b}，B＝{ 0，1，2}，C＝φ，
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7.2.2 二元关系的表示
练习：
▪ A＝{a, b, c, d}, R＝{<a, a>,<a, b>,<a, c>,<b, a>,<d, b>}, ▪ 求R的关系矩阵 MR和关系图 GR 。
1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
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7.2.2 二元关系的表示
3.关系图
▪ R为A到B的二元关系； ▪ 以A∪B的每个元素为一个结点，对每个<x,y>∈R，
均连一条从结点x到y的有向边，得到一个有向图，称 为R的关系图，记为GR。
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7.2.2 二元关系的表示
例7.2：A = {1，2}, 求P(A)A。
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7.1.2 集合的笛卡尔积
集合的笛卡儿积的性质：
▪ 性质1：若|A| ＝ m, |B| ＝ n, 则 |AB| ＝ mn
▪ 性质2：对任意集合 A，有：A×φ＝φ×A ＝ φ
▪ 性质3：一般地A×B≠B×A，即笛卡儿乘积不满
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7.3.3 关系的右复合
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7.3.2 关系的逆运算
定义7.7
▪ 关系R的逆关系 R-1={<y,x>|xRy}
例：
▪ R＝{<a,1>,<b,2>,<c,0>},则：
▪ R-1 ＝{<1,a>,<2,b>,<0,c>}
问题：
▪ 已知MR，如何计算MR-1? ▪ 已知GR， 如何计算GR-1?
▪ 设A＝{a,b,c},B＝{0,1,2,3},R＝{<a,1>,<b,2>,<c,0>},写
出MR。
0123
a0 1 0 0
MR＝ b 0 0 1 0
c1 0 0 0
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7.2.2 二元关系的表示
例2：
▪ 设A＝ {1,2,3,4},
▪ A上的关系R ＝{<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,4,2>},写出MR。
7.3.5 关系的幂
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7.3.1 关系的定义域、值域 和 域
定义7.6：
▪ dom（R）= { x| y（xRy）} ▪ ran（R） = { y| x（xRy）} ▪ fld（R） = dom（R） ∪ran（R） 例： ▪ 设R＝{＜a,1＞,＜b,2＞,＜a,3＞} ▪ 计算dom（R）,ran（R）,域fld（R）
例1
设A＝{a,b,c},B＝{0,1,2,3},R＝{<a,1>,<b,2>,<c,0>},
画出GR。
0
a
1
b
2
c
3
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7.2.2 二元关系的表示
例2
▪ 设A＝ {1,2,3,4},A上的二元关系R＝{<x,y>|x≥y},画出
GR。
4 1
3 2
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集合的笛卡儿积的性质 ▪ 性质4：一般地 (A×B)×C≠A×(B×C)，即集合的笛卡儿积不满足结
合律。
▪ 性质5： AC ∧ BD A×B C×D
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7.1.2 集合的笛卡尔积
▪ 性质6：
▪ 笛卡儿积对∪、∩运算满足分配律
▪ A×（B∪C）＝（A×B）∪（A×C） ▪ A×（B∩C）＝（A×B）∩（A×C） ▪ （A∪B）×C＝（A×C）∪（B×C） ▪ （A∩B）×C＝（A×C）∩（B×C）
足交换律。
问题：
▪ 什么情况下A×B＝B×A？
（A＝B∨A＝φ ∨B＝ φ ）
▪ 什么情况下A×B≠B×A？
（A≠B∧A≠ φ ∧B≠ φ ）
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7.1.2 集合的笛卡尔积
例3：
设A＝{a，b}，B＝{1，2，3}，C＝{p，q}，
计算(A×B)×C ， A×(B×C)。
所以， A×（B∪C）＝（A×B）∪（A×C）成立。
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7.1.2 集合的笛卡尔积
证明： （A∩B）×C＝（A×C）∩（B×C）
证wenku.baidu.com 任取＜x，y＞
＜x，y＞∈ （A∩B）×C
x∈（A ∩B） ∧y∈C
x∈A∧x∈B ∧ y∈C （x∈A∧y∈C） ∧ （x∈B∧ y∈C ） （＜x，y＞∈A×C） ∧ （＜x ，y＞∈B×C ） ＜x，y＞∈ （A×C）∩（B×C）