统计学第10章 相关分析与回归分析
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(散点图)
完全正线性相关
正线性相关
散点图
(scatter diagram)
完全负线性相关
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
负线性相关
非线性相关
不相关
相关关系的描述与测 度
(相关系数)
相关系数
（3）计算相关系数时，改变两个变量的地位并不影响相关 系数的数值，所以只有一个相关系数；回归分析一般可 以根据研究目的不同，分别建立两个不同的回归方程， 即一个是以x为自变量，y为因变量的“y对x的回归方 程”；另一个是以y为自变量，x为因变量的“x对y的 回归方程”。
（4）相关分析中两个变量可以都是随机的；而在回归分析 时，把自变量当做研究时可以控制的量，是非随机的， 因变量才是随机的。
3. 因变量与自变量之间的关系用一条线性方程来 表示
多元线性回归模型
一元线性回归将影响因变量的自变量限制为一个， 这在现实的大量社会经济现象中并不易做到。因 而，实际应用回归分析法时，常需要有更一般的 模型，把两个或更多个解释变量的影响分别估计 在内。这就是多元回归亦称多重回归。当影响因 素与因变量之间是线性关系时，所进行的回归分 析就是多元线性回归。
3. r = 0，不存在线性相关关系相关
4. -1r<0，为负相关 5. 0<r1，为正相关 6. |r|越趋于1表示关系越密切；|r|越趋于0表示关
系越不密切
§10.3 回归模型的建立
一 回归分析的意义 二 一元线性回归模型 三 多元线性回归模型 四 利用回归方程进行预测
回归分析的意义
回归分析，就是对具有相关关系的两个或 两个以上变量之间数量变化的一般关系进 行测定，确立一个相应的数学表达式，以 便从一个已知量来推测另一个未知量，为 估计预测提供一种重要的方法。
回归分析与相关分析的区别
（1）相关分析可以不必确定哪一个是自变量，哪一个是因 变量，其涉及的变量之间的关系是对等的；回归分析所 研究的两个变量之间的关系不是对等的。
（2）相关分析主要是通过相关系数这一指标来反映变量之 间相关的密切程度的高低；而回归分析则是利用所建立 的回归方程，根据自变量的给定值，估计、推算、预测 因变量的可能值。
相关分析的主要内容包括： （1）判定现象之间是否存在相关关系及其相
关的表现形式。
（2）测定现象之间相关关系的密切程度。 （3）确定相关关系的数学表达式。 （4）确定因变量估计值的误差程度。
§10.2 相关关系和相关程度的判断
相关关系的概念和种类 相关程度的判断方法
函数关系
1. 是一一对应的确定关系
(correlation coefficient)
1. 对变量之间关系密切程度的度量 2. 对两个变量之间线性相关程度的度量称为
简单相关系数 3. 若相关系数是根据总体全部数据计算的，
称为总体相关系数，记为
4. 若是根据样本数据计算的，则称为样本相 关系数，记为 r
相关系数
(计算公式)
样本相关系数的计算公式
1. 变量间关系不能用函数关
系精确表达
y
2. 一个变量的取值不能由另 一个变量唯一确定
3. 当变量 x 取某个值时，变 量 y 的取值可能有几个
4. 各观测点分布在直线周围
x
简单相关
(类型)
相关关系
线性相关 非线性相关 完全相关 不相关
正相关 负相关
正相关 负相关
相关关系描述与测度
2. 设有两个变量 x 和 y ，变量
y 随变量 x 一起变化，并完 y
全依赖于 x ，当变量 x 取某
个数值时， y 依确定的关系 取相应的值，则称 y 是 x 的 函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变 量
3. 各观测点落在一条线上
x
相关关系
(correlation)
第 10章 相关分析与回归分析
统计学——原理与SPSS应用
第10章 相关分析与回归分析
§10.1 相关分析的意义与内容 §10.2 相关关系和相关程度的判断 §10.3 回归模型的建立
§10.1 相关分析的意义与内容
相关分析是研究变量之间关系的紧 密程度，并用相关系数或指数来表 示的。其目的是揭示现象之间是否 存在相关关系，确定相关关系的表 现形式以及确定现象变量之间相关 关系的密切程度和方向。
r (x x)( y y) (x x)2 (y y)2
或化简为 r
nxy x y
n x2 x2 n y2 y2
相关系数
(取值及其意义)
1. r 的取值范围是 [-1,1] 2. |r|=1，为完全相关
r =1，为完全正相关 r =-1，为完全负相关
回归模型的类型
回归模型
一元回归
多元回归
线性回归 非线性回归 线性回归 非线性回归
一元线性回归模型
1. 涉及一个自变量的回归 2. 因变量y与自变量x之间为线性关系
被预测或被解释的变量称为因变量(dependent variable)，用y表示
用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为 自变量(independent variable)，用x表示
趋向中间高度的回归
回归这个术语是由英国著名统计学家Francis Galton在19世纪末期研究孩子及他们的父母 的身高时提出来的。Galton发现身材高的父 母，他们的孩子也高。但这些孩子平均起来并 不像他们的父母那样高。对于比较矮的父母情 形也类似：他们的孩子比较矮，但这些孩子的 平均身高要比他们的父母的平均身高。 Galton把这种孩子的身高向中间值靠近的趋 势称之为一种回归效应，而他发展的研究两个 数值变量的方法称为回归分析。
利用回归方程进行预测
一 点预测 二 区间预测 三 应用回归分析时应注意的问题
点预测
利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个
给定值 x0 ，求出因变量 y 的一个估计值 yˆ ，
就是点预测。
区间预测
1. 点预测不能给出估计的精度，点预测值与 实际值之间是有误差的，因此需要进行区 间预测
2. 对于自变量 x 的一个给定值 x0，根据回归 方程得到因变量 y 的一个预测区间
完全正线性相关
正线性相关
散点图
(scatter diagram)
完全负线性相关
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
负线性相关
非线性相关
不相关
相关关系的描述与测 度
(相关系数)
相关系数
（3）计算相关系数时，改变两个变量的地位并不影响相关 系数的数值，所以只有一个相关系数；回归分析一般可 以根据研究目的不同，分别建立两个不同的回归方程， 即一个是以x为自变量，y为因变量的“y对x的回归方 程”；另一个是以y为自变量，x为因变量的“x对y的 回归方程”。
（4）相关分析中两个变量可以都是随机的；而在回归分析 时，把自变量当做研究时可以控制的量，是非随机的， 因变量才是随机的。
3. 因变量与自变量之间的关系用一条线性方程来 表示
多元线性回归模型
一元线性回归将影响因变量的自变量限制为一个， 这在现实的大量社会经济现象中并不易做到。因 而，实际应用回归分析法时，常需要有更一般的 模型，把两个或更多个解释变量的影响分别估计 在内。这就是多元回归亦称多重回归。当影响因 素与因变量之间是线性关系时，所进行的回归分 析就是多元线性回归。
3. r = 0，不存在线性相关关系相关
4. -1r<0，为负相关 5. 0<r1，为正相关 6. |r|越趋于1表示关系越密切；|r|越趋于0表示关
系越不密切
§10.3 回归模型的建立
一 回归分析的意义 二 一元线性回归模型 三 多元线性回归模型 四 利用回归方程进行预测
回归分析的意义
回归分析，就是对具有相关关系的两个或 两个以上变量之间数量变化的一般关系进 行测定，确立一个相应的数学表达式，以 便从一个已知量来推测另一个未知量，为 估计预测提供一种重要的方法。
回归分析与相关分析的区别
（1）相关分析可以不必确定哪一个是自变量，哪一个是因 变量，其涉及的变量之间的关系是对等的；回归分析所 研究的两个变量之间的关系不是对等的。
（2）相关分析主要是通过相关系数这一指标来反映变量之 间相关的密切程度的高低；而回归分析则是利用所建立 的回归方程，根据自变量的给定值，估计、推算、预测 因变量的可能值。
相关分析的主要内容包括： （1）判定现象之间是否存在相关关系及其相
关的表现形式。
（2）测定现象之间相关关系的密切程度。 （3）确定相关关系的数学表达式。 （4）确定因变量估计值的误差程度。
§10.2 相关关系和相关程度的判断
相关关系的概念和种类 相关程度的判断方法
函数关系
1. 是一一对应的确定关系
(correlation coefficient)
1. 对变量之间关系密切程度的度量 2. 对两个变量之间线性相关程度的度量称为
简单相关系数 3. 若相关系数是根据总体全部数据计算的，
称为总体相关系数，记为
4. 若是根据样本数据计算的，则称为样本相 关系数，记为 r
相关系数
(计算公式)
样本相关系数的计算公式
1. 变量间关系不能用函数关
系精确表达
y
2. 一个变量的取值不能由另 一个变量唯一确定
3. 当变量 x 取某个值时，变 量 y 的取值可能有几个
4. 各观测点分布在直线周围
x
简单相关
(类型)
相关关系
线性相关 非线性相关 完全相关 不相关
正相关 负相关
正相关 负相关
相关关系描述与测度
2. 设有两个变量 x 和 y ，变量
y 随变量 x 一起变化，并完 y
全依赖于 x ，当变量 x 取某
个数值时， y 依确定的关系 取相应的值，则称 y 是 x 的 函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变 量
3. 各观测点落在一条线上
x
相关关系
(correlation)
第 10章 相关分析与回归分析
统计学——原理与SPSS应用
第10章 相关分析与回归分析
§10.1 相关分析的意义与内容 §10.2 相关关系和相关程度的判断 §10.3 回归模型的建立
§10.1 相关分析的意义与内容
相关分析是研究变量之间关系的紧 密程度，并用相关系数或指数来表 示的。其目的是揭示现象之间是否 存在相关关系，确定相关关系的表 现形式以及确定现象变量之间相关 关系的密切程度和方向。
r (x x)( y y) (x x)2 (y y)2
或化简为 r
nxy x y
n x2 x2 n y2 y2
相关系数
(取值及其意义)
1. r 的取值范围是 [-1,1] 2. |r|=1，为完全相关
r =1，为完全正相关 r =-1，为完全负相关
回归模型的类型
回归模型
一元回归
多元回归
线性回归 非线性回归 线性回归 非线性回归
一元线性回归模型
1. 涉及一个自变量的回归 2. 因变量y与自变量x之间为线性关系
被预测或被解释的变量称为因变量(dependent variable)，用y表示
用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为 自变量(independent variable)，用x表示
趋向中间高度的回归
回归这个术语是由英国著名统计学家Francis Galton在19世纪末期研究孩子及他们的父母 的身高时提出来的。Galton发现身材高的父 母，他们的孩子也高。但这些孩子平均起来并 不像他们的父母那样高。对于比较矮的父母情 形也类似：他们的孩子比较矮，但这些孩子的 平均身高要比他们的父母的平均身高。 Galton把这种孩子的身高向中间值靠近的趋 势称之为一种回归效应，而他发展的研究两个 数值变量的方法称为回归分析。
利用回归方程进行预测
一 点预测 二 区间预测 三 应用回归分析时应注意的问题
点预测
利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个
给定值 x0 ，求出因变量 y 的一个估计值 yˆ ，
就是点预测。
区间预测
1. 点预测不能给出估计的精度，点预测值与 实际值之间是有误差的，因此需要进行区 间预测
2. 对于自变量 x 的一个给定值 x0，根据回归 方程得到因变量 y 的一个预测区间