小波分析及其应用

《小波分析及其应用》期末大作业
班级:计科1141
姓名: 666
学号: 20
题目:二进小波
指导教师:
2017年6月
目录
绪论 (2)
小波分析产生的背景 (3)
一连续小波变换 (4)
二二进小波的构造 (5)
二进小波滤波器的设计 (5)
提升二进小波的构造 (5)
样条二进小波的构造 (6)
三离散二进小波变换的快速算法 (6)
四二维二进小波变换及其快速算法 (7)
二维二进小波变换的构造 (7)
五二维离散二进小波变换的快速算法 (8)
二维离散二进小波的快速算法 (8)
仿真实验 (10)
六二进小波变换的模极大与多尺度边缘检测及图像多尺度边缘提取 (11)
重构信号的快速算法： (11)
七模极大值语音去燥算法改进 (12)
实验仿真 (13)
八二维平稳小波变换 (14)
九离散快速算法 (14)
总结 (16)
参考文献 (17)
附录 (18)
绪论
今天，人类社会己经进入数字化的信息时代，高效率、超大容量、实时地获取各种有用信息已成为现代社会的一个典型特征。

以计算机作为工具的
Intemet网络、电视、电话则构成人们获取信息的重要组成部分。

尽管信息的表现形式可以多种多样，但图像、图形、语音信息构成其最基本的要件。

例如，统计资料表明，人类获取的信息量有70%以上来自于图像。

因此，与图像相关的信息处理研究已经成为数学、电子学、计算机科学、通信等多学科领域的跨学科热门研究课题。

图像边缘是一种重要的视觉信息，是图像最基本的特征之一。

边缘表示为图像信息的某种不连续性(如灰度突变、纹理及色彩的变化等)。

边缘检测主要用于图像处理、机器视觉和模式识别中，是至今未得到圆满解决的经典技术难题之一，它的解决对于进行高层次的特征描述、识别和理解有着重大影响。

随着人工智能、特别是计算机视觉的发展，模式识别不仅形成了一系列理论和应用技术，而且扮演着重要角色。

其应用领域很多，如遥感医学数据分析、自动视觉检验、指纹识别、签章识别、图文识别等。

一个完整的模式识别系统包括数据获取、数据预处理、特征提取和分类四个阶段，而边缘检测是数据预处理的一个重要环节。

由于边缘检测在许多方面都有着非常重要的实用价值，所以人们一直在致力于研究和解决如何构造出具有良好性质和好的效果的边缘检测算子的问题。

在从实际景物转换成图像信息的过程中，在图像的生成、编码、传输、甚至是重现的过程中，由于设备的非线性，设备噪声，环境兼容性等多种随机因素的影响，输出图像质量不可避免的有所降低或者是退化，在图像的生成和传输过程中，各种噪声源的干扰和影响，是引起图形输出质量降低的一个重要的原因，这些噪声源包括电传感器噪声、相片颗粒噪声、电磁波干扰，信道误差和其他噪声等等。

因此图像信号中的噪声滤除一直是数字图像处理中的一个重要的环节。

去噪是图像恢复中的经典问题，然而去噪与保持图像特征是一对矛盾的关系：图像在去除噪声的过程中，不可避免的对边界产生模糊，而人类视觉对图像的高频成分(细节、边缘)敏感，而且图像的重要信息主要存在于边缘和轮廓部分。

传统的去噪方法很难处理这类问题，因此，大量研究致力于既能去噪又能保持边缘和小尺度特征的算法。

小波分析产生的背景
信号实际上是传递信息的某种具体物理过程。

最常用的信号分析方法是寻找一种简单有效的变换，使信号所包含的重要特征在变换域能更直接地显示出来。

传统的用于信号处理和信号分析的主要工具是傅里叶(F ourier )[1]分析。

傅里叶变换实际上是将信号展开为不同频率正弦信号的线性叠加。

从信号的傅里叶变换，能看出信号各种不同频率的成分的强弱，信号能量在频率域的分布。

一维信号傅里叶变换定义为：
()()dt e t f F t i ωω-+∞
∞
-⎰
=
傅里叶变换度量了信号在所有不同频率的振荡信息由于傅里叶变换的核函数e i!t 在时域是无限的，为了计算F (!)，必须在信号的整个持续时间内积分。

即为了获得信号中某一特定频率分量的信息，必须知道信号在整个时间过程中的变化情况。

也就是说傅里叶变换在时域内是非局部的。

从上述分析还可以看到，时间函数f (t )描述了信号的时域特征，其傅里叶变换F (!)描述了信号的频域特征。

也就是说，傅里叶变换要么在时域，要么在频域描述信号的特征，而不能对信号同时在时-频域内进行联合分析。

但在许多实际问题中，我们关心的却是信号在局部范围的特征：例如音乐和语音信号中人们关心的是什么时候演奏什么音符，发出什么样的音节；对地震波的记录人们关心的是什么位置出现什么样的反射波；图像处理中的边缘检测关心的是信号突变部位的位置，即纹理结构。

尤其对于非平稳信号的处理，信号在任一时刻附近的频率特性都很重要。

如柴油机缸盖表面的振动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬间信号，仅从时域或频域上分析都是不够的。

针对瞬变的、非平稳的信号的分析，导致了小波的产生。

一 连续小波变换
定义连续二进小波变换：
Wf(2j
,u)=
2j 2(f
∗φ̅2j )(u)
设函数φ（t)∈l 1(R)∩l 2(R)，如果存在正常数A 与B ，且0<A ≤B <∞，使得
∀ω∈R −{0}, A ≤∑|φ̂(2j ω)|2j∈Z
≤B
则
A||f ||22≤∑12
j jϵZ
||Wf(2j ,u)||22≤B||f ||2
2
且存在φ̌满足
∀ω∈R −(0),∑φ̂jϵZ
∗(2j ω)~̂φ
(2j ω)=1
使得原信号f(t)可由二进小波变换重构：
F (t )=1√2i
j∈Z
i ,∙)∗φ̃2j )(t)
满足∀ω∈R −{0}, A ≤∑|φ̂(2j ω)|2
j∈Z ≤B 的小波，为二进小
波。

二进小波
的稳定条件当A B 时称为最稳定条件。

二 二进小波的构造
二进小波滤波器的设计
如果滤波器~
~
,,,g h g h 的傅里叶变换满足：
h ̃̂(ω)h ̂∗(ω)+g ̃̂(ω)g ̂∗(ω)=2
则~
ϕ是满足上式所谓一个重构小波。

滤波器~
~
,,,g h g h 产生两个尺度函数和小波~
~
,,,ϕφϕφ，它们的傅里叶变换满足：
∅
̂(2ω)=√2̂(ω)∅̂(ω)，∅̃̂(2ω)=√2
̃̂(ω)∅̃̂(ω) 称该式为二尺度关系。

提升二进小波的构造
若滤波器（h,g,h ̃,g ̃）是二进小波滤波器，则由
ℎk t
=ℎk , g k t
=g k −∑s m ℎk−m m
ℎk t ̃=ℎk ̃+∑s −mg ̃m
k −m,g k t ̃=g
̃k 提升的滤波器(ℎl ,g l ,ℎl ̃,g l ̃) 也是二进小波滤波器,称（h,g,h ̃,g ̃）为初始二
进小波滤波器, (ℎl ,g l ,ℎl ̃,g l ̃)为提升小波滤波器，上式为二进提升方案。

若滤波器 （h,g,ℎ̃,g ̃) 是双正交小波滤波器,且上式中取s 2m+1=0，则该式为sweldens 提升方案。

若滤波器（h,g,h ̃,g ̃）是二进小波滤波器，则由
ℎk l
=ℎk +∑r −mgk −m m
,g k l
=g k
ℎk l ̃=ℎk ̃,
g k l ̃=g
k ̃−∑r m m
ℎk−m ̃ 提升的滤波器(ℎl ,g l ,ℎl ̃,g l ̃) 也是二进小波滤波器,称（h,g,h ̃,g ̃）为初始二进小波滤波器, (ℎl ,g l ,ℎl ̃,g l ̃)为对偶提升小波滤波器，上式为对偶二进提升方案。

样条二进小波的构造
将 Mallat 构造的B-样条二进小波滤波器推广得到新的B-样条二进小波滤波器.其中,r=1时对应的滤波器正是Mallat 构造的B-样条二进小波滤波器。

m 次B- 样条是I[0,1]与其自身的m+1次卷积的平移,其Fourier 变换为:
∅̂(ω)=（sin (ω2)ω/2
）m+1e −jεω/2,ε={1,m =2n 0,m =2n +1m ∈Z,m ≥0
因为
h ̂(ω)=√2∅̂(2ω)∅
̂(ω)=√2(cos ω2)m+1e −jεω/2
选取滤波器:
h ̃̂(ω)=h ̃(ω),g ̃(ω)=(−j)τ√2e −j 2−r 2ω(sin ω2)r ,r =1,2和r ={1,r =10,r =2
由二进完全重构条件有
g ̃̂(ω)=(−j)
τ
√2e −j 2−r 2ω
(sin ω2)2−r ∑(cos ω2)2l m l=0
由二尺度关系有
φr ̂(ω)=（−ω4）r e −i(2+ε−r 4ω−π2
r)(sin (ω/4)ω4)m+r+1
三 离散二进小波变换的快速算法
令a n 0=(f ∗∅
̅)(n ),∀n ∈Z ,其中f(t)∈l 2(R)。

取 f (t )=∑a n 0
n∈Z
φ̅(t −n)
其中φ̅(t )=φ∗(−t),而φ（t)的傅里叶变换为φ̂(ω)=φ̅
̂（ω）/∑|∅̅̂（ω+k∈Z
2kπ|2。

对任意j≥0,记
a n j=2j
2(f∗∅2j
̅̅̅̅)(n),n∈Z
而当j>0,在整数格点上，二进小波系数为：
d n j=Wf(2j,n)=2j
2(f∗φ̅2j)(n),nϵZ
则对任意尺度2j>1，离散信号序列{d1,d2,d3~,d j,a j称为a0的离散二进小波变换。

离散二进小波变换的快速算法为：
A2j(t)=2j
2(f∗∅2j
̅̅̅̅)(t)
D2j(t)=2j
2(f∗φ̅2j)(t)
求其傅里叶变换可得：
Â2j(ω)=Â2j−1(ω)ℎ̂∗(2j−1ω)
D̂2j(ω)=Â2j−1(ω)ĝ∗(2j−1ω)对应时域表达式：
A2j(t)=∑ℎ̅l
l∈Z
A2j−1(t−2j−1l)
D2j(t)=∑g̅l
l∈Z
A2j−1(t−2j−1l)令t=n得
{a n j+1=(a j∗ℎ̅j)n d n j+1=(a j∗g̅j)n
Â2j(t)=1
2
[∑ℎ̃l
l∈Z
A2j+1(t−2j l)+∑g̃l
l∈Z
D2j+1(t−2j l)
由此可得离散二进小波变换的快速算法。

四二维二进小波变换及其快速算法二维二进小波变换的构造
设^
q是序列
n
q的离散傅里叶变换，使得γ(t)ϵl2(R)的傅里叶变换满
足
γ̂(ω)=
1
√2
̂（
ω
）φ̂（
ω
）
定义两个二维可分离函数：
{φ1(x,y)=φ(x)γ(y)φ2(x,y)=φ(x)γ(y)
设l̂(ω)是序列{l n}的离散傅里叶变换，使得ε̃(t)∈l2(R)的傅里叶变换满足
ε̃̂(ω)=
1
√2
̂(ω
2
)φ̂(
ω
2
)
定义另外两个二维可分离函数φ̃1(x,y)和φ̃2(x,y)：
{φ̃1(x,y)=φ̃(x)ε̃(y)φ̃2(x,y)=ε̃(x)φ̃(y)
若|ĥ(ω)|2+g̃̂(m)ĝ∗(ω)=2且q̂(ω)l̂∗(ω)=2+|ℎ̂(ω)|2
2
则对与上面定义的两组函数所定义的φ1(x,y)，φ2(x,y)，φ̃1(x,y)，φ̃2(x,y)分别是它们的重构小波。

若g=g̃,q̂(ω)=l̂(ω),则φ(t)=φ̃(t),γ(t)=ε̃(t)，从而φ1(x,y)=φ̃1(x,y),φ2(x,y)=φ̃2(x,y).可以证明，在这种情况下，φ1(x,y),φ2(x,y)一定是二维二进小波，且与其重构小波是相同的。

由此我们可得
|l̂(ω)|2=
2+|ℎ̂(ω)|2
特别的当ĥ(ω)由ĥ(ω)=√2∅̂m(2ω)
∅̂m(ω)=√2(cosω
2
)m+1e−iεω/2定义时可得
|l̂(ω)|2=1+(cos ω
2
)2m+2
令
l̂(ω)=(2+|ℎ̂(ω)|2
)1/2
则
l n=1
∫l̂(ω)
π
−π
e inωdω
是关于0对称的滤波器。

五二维离散二进小波变换的快速算法二维离散二进小波的快速算法
记
A 2j (x,y )=2j (f ∗φ̅2j )(x,y)
D 2j 1(x,y )=2j (f ∗φ̅2j 1)(x,y) D 2j 2(x,y )=2j (f ∗φ̅2j 2)(x,y)
求二维傅里叶变换得：
A
̂2j (ωX ,ωy )=A ̂2j−1(ωX ,ωy )ℎ̂∗(2j−1ωX )ℎ̂∗(2j−1ωy ) D ̂2
j 1(ωX ,ωy )=A ̂2j−1(ωX ,ωy )g ̂∗(2j−1ωX )q ̂∗(2j−1ωy ) D ̂2
j 2(ωX ,ωy )=A ̂2j−1(ωX ,ωy )q ̂∗(2j−1ωX )g ̂∗(2j−1ωy ) 取逆傅里叶变换得对应时域为
{
A 2j (x,y )=∑ℎ̅k ℎ̅p A 2
j−1(x −2j−1k,y −2j−1p)k,p D 2j 1(x,y )=∑g̅k q ̅p A 2j−1(x −2j−1k,y −2j−1p)k,p D 2j 2
(x,y )=∑q
̅k g̅p A 2j−1(x −2j−1k,y −2j−1p)k,p
将各整数点代入由小波变换定义式得
{
a n,m
j+1=∑ℎ̅k ℎ̅p a n−2j k,m−2j p j k,p d n,m j+1,1
=∑g̅k q ̅p a n−2j k,m−2j p j
k,p d n,m j+1,2=∑q
̅k g̅p a n−2j k,m−2j p j
k,p
记a ∗(h,g) 先用h 对二维信号a 的各列作卷积，再用g 对各行作卷，反之亦可。

即
若a ={a n,m },ℎ={ℎk },g ={g k }，则
[a ∗(h,g )]n,m =∑gl l (∑ℎk a n−k,m−l k )=∑ℎk g l a n−k,m−l k,p
那么{
a n,m
j+1=∑ℎ̅k ℎ̅p a n−2j k,m−2j p
j k,p d n,m j+1,1
=∑g̅k q
̅p a n−2j k,m−2j p j
k,p d n,m j+1,2
=∑q ̅k g̅p a n−2j k,m−2j p
j k,p 对应的分解公式为 {a j+1=a j ∗(ℎ
̅j ,ℎ̅j )d j+1,1=a j ∗(g̅j ,q ̅j )d j+1,2=a j ∗(q ̅j ,g̅j )
仿真实验
根据的二维离散二进小波变换快速算法，对图像做二尺度边缘检测并做图像重构，其运行结果如下所示。

图(d)表明了二维算法能够完美重构图像，图(b),(c)显示了图像在不同尺度下平滑后的主要轮廓。

图(e),(f)是根据多尺度模极大值边缘检测的原理得到的不同尺度下的边缘。

下面我们通过对加噪图像做多尺度边缘检测验证一下，我们做如下对比实验。

（a） (b) (c)
(d) (e) (f)
(a)原图,(b)一次平滑后图像,(c)二次平滑后图像,(d)图像重构,(e)尺度1的边缘，(f)尺度2的边缘
六 二进小波变换的模极大与多尺度边缘检测及图像多尺度边缘提取
重构信号的快速算法：
已知()u Wf j ,2对应的局部极大点为{}p p j u ,，小波系数为
(
)
p j p j j f u Wf ,,,,2ψ= ()⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
j p j j
p j u t t 221,,ψψ 设,
ψ表示ψ的导数，则有
(
)0,2
,2,,,=-=∂∂-p j j
p
j j f u
u Wf ψ
根据小波变换和Lipsichitz 指数的关系，当信号(Lipschitz > 0)，其二进小波变换幅度随着尺度的增加而增加。

相反的，当(Lipschitz < 0)，二进小波变换幅度随着尺度增加而迅速减少。

因此可以通过对相邻的尺度二进小波变换相乘得到的积函数来加强边缘和抑制噪声。

f(n )的尺度积函数定义为两个相邻尺度二进小波变换相关性
()()()n Wf n Wf n Pf j j j ,2*,2,21+=
显然尺度积函数可以加强边缘的轮廓，但是实验表明单纯的相邻尺度二进小波变换相乘也存在不足，例如相邻尺度较小如尺度1与尺度2相乘则噪声的抑制效果不明显，如果相邻尺度较大如尺度3与尺度4相乘则边缘错位现象严重。

为了进一步加强边缘和削弱噪声同时避免错位现象，对于相邻尺度积算法做进一步改进，即首先做相邻两尺度积，如尺度1与尺度2相乘，尺度2与尺度3相乘，
接着再对相邻的尺度积做相乘处理，这样既能进一步加强边缘，去除噪声，又能避免错位现象的发生。

特别是对在相邻区域有两个以上的边缘存在的情况，改进尺
度积方案比尺度积方案更能体现出优势。

因为相邻区域存在两个边缘的话，在大尺度的情况下边缘的错位现象会发生。

如果我们选择小的尺度参数，则检测结果会对噪声很敏感。

如果采用改进尺度积方案，可以很好的平衡边缘错位和噪声敏感。

以邻近阶梯边缘为案例，分别做尺度2j (j = 1; 2; 3)的相邻尺度积边缘检测，并做相邻尺度积的乘积处理。

定义图像评估因子F
2
1
1
11
,1()
A
N
k
A
F
Max N N d k
上式中N I表示实际边缘点的数量，N A表示检测出来的边缘点数量。

d(k)表示第k个实际边缘点与相应的检测边缘点的距离。

®是尺度常数，一般设置为1=9。

F 值越大，表明边缘的定位精度越高，检测边缘越真实。

(a) (b)
(c) (d)
图(a)邻近阶梯加噪原图,(b)相邻尺度积的乘积处理,(c)尺度1与尺度2乘积
边缘检测,(d)尺度2与尺度3乘积边缘检测
七模极大值语音去燥算法改进
运用小波模极大值去燥，对小波分解尺度的要求会很高，因为噪声对小尺度上小波系数的影响会比较大，可能会产生伪极值点。

由于信号在大尺度上的点主要是由信号控制的，所以信噪比会比较高，阈值设置可以适当的减小，然而噪声
的模极大值点主要分布在小尺度上，所以随着尺度的降低信号信噪比也随着降低，阈值应该适当的提高，才能更好地去除噪声。

我们先利用阈值对模极大值点进行筛选，在通过信号传播路径搜索信号模极大值点，即在最大尺度J 上的阈值为J M C Thr /*=，在尺度分解12-j 上设定了一种自适应的阈值()1log /*2+=j M C Thr ，该阈值随着尺度的降低，阈值成增大趋势，这样可以更好地去除低尺度上的噪声。

实验仿真
选用信号的处理长度为1024，小波基选用3db 小波，分解层数为4，试验中所用的阈值公式J M C Thr /*=，其中8.0=C ，M 取当前处理的尺度上最大的模极大值点。

八 二维平稳小波变换
设h,g,ℎ̃,g ̃为二进小波滤波器，相应的尺度函数与小波为∅,φ,∅̃,φ̃。

定义二维可分离二进小波：
{φ1(x,y )=∅(x)φ(y)
φ2(x,y )=φ(x)∅(y)φ3(x,y )=φ(x)φ(y) {φ̃1(x,y )=∅̃(x)φ̃(y)
φ̃2(x,y )=φ̃(x)∅
̃(y)φ̃3(x,y )=φ̃(x)φ̃(y)
对于任意的f(x,y)∈l 2(R 2)，定义它在2j 尺度下的二维二进小波变换为
),)(*(2)2
,2(),(2
1
),,2(2~2
y x f dudv y v x u v u f y x f W k j
j j R k
j
j
k
j ψψ=--=⎰⎰
其中
3,2,1),2,2(21),(),(22=--=
--=k y
x y x y x j j k j k
k
j
j
ψψψ
称该式定义的小波变换为二进小波的二维平稳小波变换。

则
1
)2,2(*)2,2(^
~
3
1~=∑∑=∞+-∞
=y j x j k
y j x j k
k j ωωψωωψ
满足该式的φ̃1,φ̃2,φ̃3
称为φ1
,φ2
,φ3
的重构小波。

从信号),(y x f 可以有它的二进小波变换重构，即
),)(*),,2((2
1),(2~3
1y x f W y x f k j
k j k j j ψ••=∑∑+∞
-∞==
其中，f ∗φ̅2j k 表示连续函数f 与φ̅2j k 的卷积；φ
̃̂k ∗表示函数φ̃̂k 的复共轭。

九 离散快速算法
设原始输入信号是一个能量有限的二维离散信号或图像a 0={a n,m 0
}n,mϵZ ，其
采样间隔为1。

设φ(x,y )=∅(x)∅(y)，相应地，有φ2j (x,y )=122j ∅(x 2j )∅(y
2j )，则
存在一个二维函数f(x,y)∈l 2(R 2)，使得(f ∗φ̅)(n,m )=a n,m 0，对任意j ≥0，记
),)(*(22,m n f a j j j m n ϕ=
对j >0，在整数网格点(n,m)上，记
3,2,1),,)(*(2),,2(2,,===k m n f m n f W d k
j j k k
j m n j ψ
d n,m j,k
为二维二进平稳小波变换在整数网格点),(m n 地小波系数。

对任意尺度2j >1，由a j (j =0,1,2,3,…,J)计算其小波变换
a j+1,d j+1,1,d j+1,2,d j+1,3的二维离散二进平稳小波分解公式为
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎨⎧=====∑∑∑∑∑--+--+--+--+--+p k j p m k n p k j m n p k j p m k n p k j m n p k j p
m k n p k j m n p k j p m k n p k j m n p k j
p
m k n p k j m n j j j j j j j j j j a g g d a h g d a g h d a g h d a h h a ,2,23
,1,,2,22,1,,2,21,1,,2,21,1,,2,21
, ⇒
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪
⎨⎧====++++),(*),(*),(*),(*3,12,11,11j j j j j j j j j j j j j j j j g g a a h g a a g h a a h h a a 二维小波二进平稳小波重构公式
),(*),(*[41~~1
,1~~1j j j j j j j
g h d h h a a +++=
]),(*),(*~~3
,1~~2
,1j
j j j
j j g g d
h g d
++++
总结
经过这学期在路老师的带领下，我知道了一些小波变换理论，由于本门课程是研究生才开设的课程，所以对于现阶段的我们想深刻理解全部的内容还是很困难的，但是老师说我们现在需要了解知道一些经典的理论，估计首当其冲的就是
傅里叶变换了。

由于我的选题是二进小波，所以我重点关注有关其中的内容，大概分为连续二进小波变换，二进小波的构造，离散二进小波变换的快速算法，二维二进小波变换及其快速算法，二维小波变换模极大与图像多尺度边缘提取。

对五方面进行浏览后，我发现自己其实对小波变换模极大值与图像的边缘提取最感兴趣。

当信号(Lipschitz > 0)，其二进小波变换幅度随着尺度的增加而增加。

当(Lipschitz < 0)，二进小波变换幅度随着尺度增加而迅速减少。

因此通过对相邻的尺度二进小波变换相乘得到的积函数来加强边缘和抑制噪声。

虽然尺度积函数可以加强边缘的轮廓，但是单纯的相邻尺度二进小波变换相乘也存在不足。

为了加强边缘和削弱噪声同时避免错位现象，相邻尺度积算法需要做进一步改进。

特别是对在相邻区域有两个以上的边缘存在的情况，改进尺度积方案比尺度积方案更能体现出优势。

因为相邻区域存在两个边缘的话，在大尺度的情况下边缘的错位现象会发生。

如果采用改进尺度积方案，可以很好的平衡边缘错位和噪声敏感。

类比于这件事，其实在现实生活中我们遇到许多的事情都是利用惯性思维去解决，最先想到的是经常使用的方法，但是往往受制于这种想法，优化问题的解决方法是我们需要终身学习的。

节省时间和金钱又何乐而不为呢。

慢一点，多想想在下手可以最大程度的减少错误率和提高方案的完美率。

其实对于学习数学的我们来说，严谨是最难能可贵也是最需要积累的素质。

多看多听多做来切切实实提高我们的水平。

参考文献
[1]齐翠丽. 基于小波阈值法和模极大值法的语音去噪算法研究[D].燕山大学,2012.
[2]郭佳盼. 基于二次规划的小波模极大值信号重构[D].西安电子科技大学,2012.
[3]彭园园. 小波分析在一维信号去噪中的应用[D].北京邮电大学,2011.
[4]刘丽梅,刘齐跃,张静. 基于小波变换模极大值的去噪方法研究[J]. 河北工业科技,2010,
[5]黄成勇. 二进小波在图像处理中的应用[D].上海交通大学,2010.
[6]郭显久,贾凤亭. 基于小波多尺度乘积的信号去噪算法[J]. 辽宁工程技术大学学报,2005
[7]孙延奎.小波变换与图像，图形处理技术.北京：清华大学出版社，2012
附录
加载信号程序：
clear all ; load cuspamax;
f=cuspamax;
length of s =length(f);
s=awgn(f,3);
length of s =length(s);
aµ T rous算法程序：
h=sqrt(2).¤[ 0];
g=sqrt(2).¤[ ¡ 0];
hb=sqrt(2).¤[0 ];
gb=sqrt(2).¤[0
¡¡ ¡];
length of hb=length(hb);
length of gb=length(gb);
length of h=length(h);
length of g=length(g);
J=3;
a(1:J+1,1:length of s )=0;
d(1:J+1,1:length of s )=0; sj=conv(s,h);
wj=conv(s,g);
a (1,:) =sj(round((length of h+1)/2):length(sj)¡°oor((length of h¡1)/2));
d (1,:) =wj(round((length of g+1)/2):length(wj)¡°oor((length of g¡1)/2)); for j=1:J
length of hj =2^j¤(length of h¡1)+1;
length of gj =2^j¤(length of g¡1)+1;
hj (1: length of hj )=0;
gj (1: length of gj )=0;
for n=1:length of h
hj(2^j¤(n¡1)+1)=h(n);
end
or n=1:length of g
gj(2^j¤(n¡1)+1)=g(n);
end
sj=conv(a(j,:) , hj) ;
wj=conv(a(j,:),gj) ;
a(j+1,:)=sj(round((length of hj+1)/2):length(sj)¡°oor(( length of hj ¡1)/2)); d(j+1,:)=wj(round((length of gj+1)/2):length(wj)¡°oor((length of gj¡1)/2)); end
ab(1:J+1,1:length of s )=0;
db(1:J+1,1:length of s)=0;
for k=1:J+1
j=J+1¡k;
length of hbj=2^j¤(length of hb¡1)+1;
length of gbj=2^j¤(length of gb¡1)+1;
hbj=0;gbj=0;
hbj(1: length of hbj )=0;
gbj(1: length of gbj )=0;
for n=1:length of hb
hbj(2^j¤(n¡1)+1)=hb(n);
end
for n=1:length of gb
gbj(2^j¤(n¡1)+1)=gb(n);
end
if (j==J)
aj=conv(hbj,a(j+1,:));
dj=conv(gbj,d(j+1,:));
ab(j+1,:)=aj(round((length of hbj+1)/2):length(aj)¡°oor((length of hbj ¡1)/2));
db(j+1,:)=dj(round((length of gbj+1)/2):length(dj)¡°oor((length of gbj ¡1)/2));
ab(j+1,:)=(ab(j+1,:)+db(j+1,:))./2;
¯gure ; plot(ab(j+1,:)) ;
else
aj=conv(hbj,ab(j+2,:));
dj=conv(gbj,d(j+1,:));
ab(j+1,:)=aj(round((length of hbj+1)/2):length(aj)¡°oor((length of hbj ¡1)/2));
db(j+1,:)=dj(round((length of gbj+1)/2):length(dj)¡°oor((length of gbj ¡1)/2));
ab(j+1,:)=(ab(j+1,:)+db(j+1,:))./2;
¯gure ; plot(ab(j+1,:)) ;
end
end
Ps=sum(sum(f.^2))
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-21 Pn=sum(sum((s¡f).^2))
Pn2=sum(sum((ab(1,:)¡f).^2)) SNR=10¤log10(Ps/Pn2)
snr=10¤log10(Ps/Pn)。