小波分析及其应用

《小波分析及其应用》期末大作业

班级:计科1141

姓名: 666

学号: 20

题目:二进小波

指导教师:

2017年6月

目录

绪论 (2)

小波分析产生的背景 (3)

一连续小波变换 (4)

二二进小波的构造 (5)

二进小波滤波器的设计 (5)

提升二进小波的构造 (5)

样条二进小波的构造 (6)

三离散二进小波变换的快速算法 (6)

四二维二进小波变换及其快速算法 (7)

二维二进小波变换的构造 (7)

五二维离散二进小波变换的快速算法 (8)

二维离散二进小波的快速算法 (8)

仿真实验 (10)

六二进小波变换的模极大与多尺度边缘检测及图像多尺度边缘提取 (11)

重构信号的快速算法： (11)

七模极大值语音去燥算法改进 (12)

实验仿真 (13)

八二维平稳小波变换 (14)

九离散快速算法 (14)

总结 (16)

参考文献 (17)

附录 (18)

绪论

今天，人类社会己经进入数字化的信息时代，高效率、超大容量、实时地获取各种有用信息已成为现代社会的一个典型特征。以计算机作为工具的

Intemet网络、电视、电话则构成人们获取信息的重要组成部分。尽管信息的表现形式可以多种多样，但图像、图形、语音信息构成其最基本的要件。例如，统计资料表明，人类获取的信息量有70%以上来自于图像。因此，与图像相关的信息处理研究已经成为数学、电子学、计算机科学、通信等多学科领域的跨学科热门研究课题。

图像边缘是一种重要的视觉信息，是图像最基本的特征之一。边缘表示为图像信息的某种不连续性(如灰度突变、纹理及色彩的变化等)。边缘检测主要用于图像处理、机器视觉和模式识别中，是至今未得到圆满解决的经典技术难题之一，它的解决对于进行高层次的特征描述、识别和理解有着重大影响。随着人工智能、特别是计算机视觉的发展，模式识别不仅形成了一系列理论和应用技术，而且扮演着重要角色。其应用领域很多，如遥感医学数据分析、自动视觉检验、指纹识别、签章识别、图文识别等。一个完整的模式识别系统包括数据获取、数据预处理、特征提取和分类四个阶段，而边缘检测是数据预处理的一个重要环节。由于边缘检测在许多方面都有着非常重要的实用价值，所以人们一直在致力于研究和解决如何构造出具有良好性质和好的效果的边缘检测算子的问题。

在从实际景物转换成图像信息的过程中，在图像的生成、编码、传输、甚至是重现的过程中，由于设备的非线性，设备噪声，环境兼容性等多种随机因素的影响，输出图像质量不可避免的有所降低或者是退化，在图像的生成和传输过程中，各种噪声源的干扰和影响，是引起图形输出质量降低的一个重要的原因，这些噪声源包括电传感器噪声、相片颗粒噪声、电磁波干扰，信道误差和其他噪声等等。

因此图像信号中的噪声滤除一直是数字图像处理中的一个重要的环节。去噪是图像恢复中的经典问题，然而去噪与保持图像特征是一对矛盾的关系：图像在去除噪声的过程中，不可避免的对边界产生模糊，而人类视觉对图像的高频成分(细节、边缘)敏感，而且图像的重要信息主要存在于边缘和轮廓部分。传统的去噪方法很难处理这类问题，因此，大量研究致力于既能去噪又能保持边缘和小尺度特征的算法。

小波分析产生的背景

信号实际上是传递信息的某种具体物理过程。最常用的信号分析方法是寻找一种简单有效的变换，使信号所包含的重要特征在变换域能更直接地显示出来。传统的用于信号处理和信号分析的主要工具是傅里叶(F ourier )[1]分析。傅里叶变换实际上是将信号展开为不同频率正弦信号的线性叠加。从信号的傅里叶变换，能看出信号各种不同频率的成分的强弱，信号能量在频率域的分布。一维信号傅里叶变换定义为：

()()dt e t f F t i ωω-+∞

∞

-⎰

=

傅里叶变换度量了信号在所有不同频率的振荡信息由于傅里叶变换的核函数e i!t 在时域是无限的，为了计算F (!)，必须在信号的整个持续时间内积分。即为了获得信号中某一特定频率分量的信息，必须知道信号在整个时间过程中的变化情况。也就是说傅里叶变换在时域内是非局部的。从上述分析还可以看到，时间函数f (t )描述了信号的时域特征，其傅里叶变换F (!)描述了信号的频域特征。也就是说，傅里叶变换要么在时域，要么在频域描述信号的特征，而不能对信号同时在时-频域内进行联合分析。但在许多实际问题中，我们关心的却是信号在局部范围的特征：例如音乐和语音信号中人们关心的是什么时候演奏什么音符，发出什么样的音节；对地震波的记录人们关心的是什么位置出现什么样的反射波；图像处理中的边缘检测关心的是信号突变部位的位置，即纹理结构。尤其对于非平稳信号的处理，信号在任一时刻附近的频率特性都很重要。如柴油机缸盖表面的振动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬间信号，仅从时域或频域上分析都是不够的。针对瞬变的、非平稳的信号的分析，导致了小波的产生。

一 连续小波变换

定义连续二进小波变换：

Wf(2j

,u)=

2j 2(f

∗φ̅2j )(u)

设函数φ（t)∈l 1(R)∩l 2(R)，如果存在正常数A 与B ，且0

∀ω∈R −{0}, A ≤∑|φ̂(2j ω)|2j∈Z

≤B

则

A||f ||22≤∑12

j jϵZ

||Wf(2j ,u)||22≤B||f ||2

2

且存在φ̌满足

∀ω∈R −(0),∑φ̂jϵZ

∗(2j ω)~̂φ

(2j ω)=1

使得原信号f(t)可由二进小波变换重构：

F (t )=1√2i

j∈Z

i ,∙)∗φ̃2j )(t)

满足∀ω∈R −{0}, A ≤∑|φ̂(2j ω)|2

j∈Z ≤B 的小波，为二进小

波。二进小波

的稳定条件当A B 时称为最稳定条件。

二 二进小波的构造

二进小波滤波器的设计

如果滤波器~

~

,,,g h g h 的傅里叶变换满足：

h ̃̂(ω)h ̂∗(ω)+g ̃̂(ω)g ̂∗(ω)=2

则~

ϕ是满足上式所谓一个重构小波。

滤波器~

~

,,,g h g h 产生两个尺度函数和小波~

~

,,,ϕφϕφ，它们的傅里叶变换满足：

∅

̂(2ω)=√2̂(ω)∅̂(ω)，∅̃̂(2ω)=√2

̃̂(ω)∅̃̂(ω) 称该式为二尺度关系。 提升二进小波的构造

若滤波器（h,g,h ̃,g ̃）是二进小波滤波器，则由

ℎk t

=ℎk , g k t

=g k −∑s m ℎk−m m

ℎk t ̃=ℎk ̃+∑s −mg ̃m

k −m,g k t ̃=g

̃k 提升的滤波器(ℎl ,g l ,ℎl ̃,g l ̃) 也是二进小波滤波器,称（h,g,h ̃,g ̃）为初始二

进小波滤波器, (ℎl ,g l ,ℎl ̃,g l ̃)为提升小波滤波器，上式为二进提升方案。 若滤波器 （h,g,ℎ̃,g ̃) 是双正交小波滤波器,且上式中取s 2m+1=0，则该式为sweldens 提升方案。