三重积分的各种计算方法

x 2 + y 2 dz
= dx
−1
1
1− x 2
− 1− x 2

x 2 + y 2 (1 − x 2 + y 2 )dy
=

6
（注：可用柱坐标计算。 ）
解法二： “截面法” 1. 画出 。
0 2 : 0 r z 0 z 1
2. z [0,1] 过点 z 作垂直于 z 轴的平面截 得 D z ： x 2 + y 2 z 2
c1
c2
完成“后一”这一步，即
f ( x, y, z)dxdydz = [ f ( x, y, z ) d ] dz
c1 Dz
c2
当被积函数 f ( z ) 仅为 z 的函数（与 x，y 无关） ，且 D z 的面积 ( z) 容易求出时， “截 面法”尤为方便。
_____________________________________________________________________
0 2 Dz ： 0 r z
下面用柱坐标计算积分结果 3. 计算：


x + y dxdydz = [ x 2 + y 2 dxdy ]dz
2 2 0 Dz
1
= [ d r 2 dr ]dz
0 0 0
1
2
z
1 2 z = 2 [ r 3 ]0 dz = z 3dz 3 3 0 0
2 2
三重积分的计算方法例题：
补例 1：计算三重积分 I
= zdxdydz ，其中 为平面 x + y + z = 1 与三个坐标面 x = 0，y = 0，z = 0

围成的闭区域。 解法一： “投影法” 1. 画出 及在 xoy 面投影域 D。
2. “穿线” 0 z 1 − x − y X 型 D：
0 x 1 0 y 1− x
0 x 1 ∴ ： 0 y 1− x 0 z 1− x − y
3. 计算 I =
zdxdydz.

I = zdxdydz = dx dy
0 0
1
1− x
1− x − y

0
zdz
= dx
0 0
1
1− x
三重积分的各种计算方法
计算： f ( x，y ，z ) dxdydz . 当积分区域 的表面用柱(/球)坐标表示时方程简单，且被积函数 f ( x，y，z) 用 柱 (/ 球 ) 坐 标 表 示 时 ， 可 变 量 分 离 时 ， 可 将 其 转 化 为 用 柱 (/ 球 ) 坐 标

1
1
=

6
补例 3：化三重积分 I = f ( x, y, z )dxdydz 为三次积分，其中 是由 z = x 2 + 2 y 2 及z = 2 − x 2 所围成

的闭区域。 解：使用“投影法” 1. 画出 及在 xoy 面上的投影区域 D.
2 2 z = x + 2 y 由 消去 z，得 x 2 + y 2 = 1 2 z = 2 − x

z2 ( x , y )
f ( x, y, z ) dz ]d
Dxy z1 ( x , y )
_____________________________________________________________________
2. 如果先做二重积分 f ( x, y, z ) d 再做定积分 F ( z )dz ，就是截面法，也即“先二
0 2 2 ： 0 r 6 − z 2 z 6
3. 计算 解：
zdxdydz.

zdxdydz = zdxdydz + zdxdydz
1 2
= z[ rdrd ]dz + z[ rdrd ]dz
f ( x，y ，z ) 的情况选取。一般地，
投影法（先一后二） ： 较直观易掌握； 截面法（先二后一） ： D z 是 在 z 处的截面，其边界曲线方程易写错， 故较难一些。 特殊地，对 D z 积分时， f ( x, y, z ) 与 x ,
y 无关，可直接计算 S D 。因而 中只
z
要 z [a ，b] , 且 f ( x, y, z ) 仅含 z 时，选取“截面法”更佳。 2. 对坐标系的选取，当 为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面 所围成的形体；被积函数为仅含 z 或 z f ( x + y ) 时，可考虑用柱坐标计算。
z1
z2
Dxy
“先一后二” 。 步骤为： 找 及在 xoy 面投影区域 D。 过 D 上一点 ( x， y )“穿线” 确定 z 的积分限， 完成了“先一”这一步（定积分） ；进而按二重积分的计算步骤计算投影区域 D 上的二 重积分，完成“后二”这一步， 即
f ( x, y, z) dv = [
1 (1 − x − y ) 2 dy 2
1 1 −x = [(1 − x)2 y − (1 − x) y 2 + y 3 ]1 0 dx 20 3
1 1 3 1 1 = (1 − x) 3 dx = [ x − x 2 + x 3 − x 4 ]1 0 = 60 6 2 4 24
1
1
解法二： “截面法” 1. 2. 画出 。
0 Dz1 2 Dz2
2
6
= zS Dz1 dz + zS Dz 2 dz
0 2
2
6
= z[ ( z )]dz + z[ ( 6 − z ) 2 ]dz
2 0 2
2
6
= z dz + (6 z − z 2 )dz
3 0 2
2
6
=
92 3
注：被积函数 z 是柱坐标中的第三个变量，不能用第二个坐标 r 代换。
3．计算
I = f ( x, y, z )dxdydz = dx
−1
1
1− x 2
− 1− x 2

2− x 2
dy
x2 +2 y 2
f ( x, y, z)dz
注：当 f ( x, y, z) 的解析式已知时，可用柱坐标计算。 补例 4：计算 zdxdydz ，其中 为 z = 6 − x 2 − y 2 及z = x 2 + y 2 所围成的闭区域。
r
1 −r 2 zdz = 2 rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ z 2 ]6 dr r 2 0
2
= r[(6 − r 2 )2 − r 2 ]dr
0
2
= (36r − 13r 2 + r 5 )dr
0
2
=
92 3
解法二： “截面法” 1. 画出 ，如右图： 由 z = 6 − r 2 及z = r 围成。 2. z [0,6] = [0,2] [2,6]
0 Dz 0
1
1
1 1 = z ( xy )dz = z (1 − z )(1 − z )dz 2 2 0 0
1 1 = ( z − 2 z 2 + z 3 )dz = 20 24
补例 2： 计算
1
1
1

x 2 + y 2 dxdydz ， 其中 是 x 2 + y 2 = z 2 和 z = 1 围成的闭区域。
− 1 x 1 : − 1 − x 2 y 1 − x 2 2 2 x + y z 1
∴
3.
计算


x 2 + y 2 dxdydz
解：


x 2 + y 2 dxdydz
1− x 1
= dx
−1
1
− 1− x 2

dy
x2 + y 2

z [0， 1] 过点 z 作垂直于 z 轴的平面截 得 D z 。
D z 是两直角边为 x，y 的直角三角形， x = 1 − z ，y = 1 − z
3.
计算 I =
zdxdydz = [ zdxdy]dz
0 Dz
1
= z[ dxdy ]dz = zS Dz dz

解法一：使用“投影法” 1. 画出 及在 xoy 面的投影区域 D， 用柱坐标计算
x = r cos 由 y = r sin z = z
化 的边界曲面方程为：z = 6 - r2，z = r
z = 6 − r 2 0 2 2. 解 得r = 2 ∴D： r 2 即 0 r 2 z = r
= 1 + 2
1 由 z=r 与 z=2 围成； z [0,2] ， D z ： r z
0 2 1 ： 0 r z 0 z 2
2 由 z=2 与 z= 6 − r 2 围成； z [2,6] ， D z ： r 6 − z

F ( ， ，z ) d d dz 或
(


F (r ， ， ) r 2 sin drd d 计算三重积分比较简单。
)
—— 重积分的换元积分法
_____________________________________________________________________
2 2 2 (3) 是球体或球顶锥体，且被积函数形如 f ( x + y + z ) 时，可选择球面坐标系计算。
y x
以上是一般常见的三重积分的计算方法， 对 向其它坐标面投影或 不易作出的情 形不赘述。
三重积分的计算方法小结：
1. 对三重积分，采用“投影法”还是“截面法” ，要视积分域 及被积函数
即
D： x 2 + y 2 1
2. “穿线” x 2 + 2 y 2 z 2 − x 2
− 1 x 1 X 型 D： 2 2 − 1 − x y 1 − x
−1 x 1 ： − 1 − x 2 y 1 − x 2 x2 + 2 y 2 z 2 − x2
解法一： “投影法”
2 2 z = x + 2 y 1. 画出 及在 xoy 面的投影区域 D. 由 消去 z， z = 1
得 x 2 + y 2 = 1 即 D： x 2 + y 2 1 2. “穿线” x 2 + y 2 z 1 ，
− 1 x 1 X 型 D： 2 2 − 1 − x y 1 − x
三重积分的计算是化为三次积分进行的。 其实质是计算一个定积分 （一重积分） 和 一个二重积分。从顺序看：
_____________________________________________________________________
1. 如果先做定积分 f ( x，y ，z )dz ，再做二重积分 F ( x, y )d ，就是投影法，也即
c2
Dz
c1
后一” 。 步骤为： 确定 位于平面 z = c1 与 z = c2 之间， 即 z [c1 , c2 ] ， 过 z 作平行于 xoy 面 的平面截 ，截面 D z 。区域 D z 的边界曲面都是 z 的函数。计算区域 D z 上的二重积分

Dz
f ( x, y, z )d ，完成了“先二”这一步（二重积分） ；进而计算定积分 F ( z ) dz ，
补例 5： 计算
( x
2
+ y 2 )dxdydz ，其中 由不等式 0 a x 2 + y 2 + z 2 A ， z 0 所确定。
“穿线” r z 6 − r 2
0 2 ∴ : 0 r 2 r z 6 − r 2
3．计算
zdxdydz.

zdxdydz = [
D r
6−r 2
zdz ]rdrd
6−r 2
= d rdr
0 0
2
2

为了简化积分的计算， 还有如何选择适当的坐标系下进行计算的问题。 可以按以下 几点考虑：将积分区域 投影到 xoy 面，得投影区域 D(平面)： (1) D 是 X 型或 Y 型，可选择直角坐标系计算（当 的边界曲面中有较多的平面时， 常用直角坐标系计算） ； (2) D 是圆域（或其部分） ，且被积函数形如 f ( x 2 + y 2 ) ， f ( ) 时，可选择柱面坐标系计 算（当 为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算） ；