第1课时 图形的相似

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考点三
相似图形
1．相似图形的有关概念 (1)形状相同的图形叫做相似图形． (2)对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做 相似多边形． (3)相似多边形的对应边的比称为相似比． 2．相似多边形的性质 (1)对应角相等，对应边成比例． (2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的 平方．
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考点四
相似三角形
1．概念：在△ ABC 和△ A′B′C′中，如果∠ A＝∠ A′， AB BC AC ∠ B＝∠ B′，∠ C＝∠ C′， ＝ ＝ ＝ k，即对应 A′B′ B′C′ A′C′ 角相等，对应边的比相等，我们就说△ ABC 与△ A′B′C′ 相似．记作△ ABC∽△ A′B′C′，△ ABC 与△ A′B′C′的相 1 似比为 k，△ A′B′C′与△ ABC 的相似比为 . k
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3．(2011· 嘉兴)如图，边长为 4 的等边△ABC 中， DE 为中位线，则四边形 BCED 的面积为( B )
A．2 3
B．3 3
C．4 3
D．6 3
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4． (2012· 绍兴)如图，在矩形 ABCD 中，点 E， F 分别在 BC， CD 上，将△ ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在 AC 上的点 B′处， 又将△ CEF 沿 EF 折叠， 使点 C 落在直线 EB′与 AD 的交点 C′处， 则 BC∶ AB 的值为 3 .
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m 47 解析： 由 ＝ ， 可设 m＝ 47a， 则 n＝ 25a， 则 S△ ABC n 25 3 3 2 ＝ (47a＋ 25a)· × 1 ＝ · 72a.由题意知正 △ ABC 与 4 4 边长为 1 的小正三角形相似．设△ABC 的边长为 b， 因此可得到 72a＝ b ， ∴ b＝ 6 2a.从图形可得 b 为正整数， ∴a＝ 2， ∴ b＝ 6 2×2＝ 12.
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(2)如图， 过点 E 作 EM⊥BD， EN⊥AD， ∵AD⊥BC， ∴∠NEM＝90° .∵CE⊥EF，∴∠NEG＝∠MEF. ∵∠ENG＝∠EMF＝90° ，
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图①
图②
在上面的两个图形中，均存在△ADE∽△ABC.
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(2)两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相 似． (3)两角对应相等的两个三角形相似． (4)三边对应成比例的两个三角形相似． 温馨提示 直角三角形相似的条件：1两直角边对应成比例 的两个直角三角形相似；2有一个锐角对应相等的两 个直角三角形相似；3有斜边和一直角边对应成比例 的两个直角三角形相似；4直角三角形被斜边上的高 分成的两个直角三角形和原三角形相似.
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3．比例的基本性质 a c 如果 ＝ ，那么 ad＝ bc，反之也成立(其中 a 与 d b d a b 叫做比例外项， b 与 c 叫做比例内项 )．特殊地 ＝ ⇔ b c b2＝ac(其中 b 叫做 a， c 的比例中项 )．
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第七章 图形的相似与 解直角三角形
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考点二 段的比相等．
平行线分线段成比例定理
1．定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线 AB 2． 几何语言叙述： 如图， 当 l3∥ l4∥ l5 时， 有 ＝ BC DE AB DE BC EF ， ＝ ， ＝ 等． EF AC DF AC DF
EF EM ∴△EMF∽△ENG ， ∴ EG ＝ EN .∵AD⊥BC ， AC∶AB＝1∶ 3，∴∠NAE＝60° ，∠B＝30° ，∴EN 3 1 ＝ AE， 同理可得 EM＝ BE， ∵点 E 为 AB 的中点， 2 2 1 BE EF EM 2 3 ∴AE＝BE，∴EG＝ EN ＝ ＝ . 3 3 AE 2
2 2 2 2 2
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5． (2012· 湖州)如图，将正△ ABC 分割成 m 个边 长为 1 的小正三角形和 1 个黑色菱形，这个黑色菱形 m 47 可分割成 n 个边长为 1 的小正三角形，若 ＝ ，则 n 25 正△ ABC 的边长是 12 .
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4．三角形相似的基本图形
如图①中，若 DE∥ BC，则△ ADE∽△ ABC； 图②中，若∠ ADE＝∠ C，则△ ADE∽△ ACB；图③ 中，若∠ ACD ＝∠ B，则△ ACD∽△ ABC；图④中， 若 DE∥ BC，则△ ADE∽△ ABC；图⑤中，若∠ ACB ＝∠ CDB＝90° ，则△ ACD∽△ CBD∽△ ABC.
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1．(2013· 温州)如图，在△ABC 中，点 D，E 分别 AD 3 在边 AB，AC 上，DE∥BC.已知 AE＝6， ＝ ，则 DB 4 EC 的长是( B )
A．4.5
B．8
C．10.5
D．14
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2．(2013· 台州)如图，在△ABC 中，点 D，E 分别 AE AD 1 在边 AB， AC 上， 且 ＝ ＝ ， 则 S△ADE∶S 四边形 BCED AB AC 2 的值为( C )
A．1∶ 3
B．1∶2
C．1∶3
D．1∶4
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3．把这个定理应用到三角形中，会出现下面两种 情况：
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在图①中，把 l4 看成平行于△ABC 的边 BC 的直 线；在图②中，把 l3 看成平行于△ABC 的边 BC 的直 线，那么可以得到：平行于三角形一边的直线截其他 两边(两边的延长线)，所得的对应线段的比相等．
【思路点拨】根据 2,3,4 的最小公倍数是 12，设 2a＝3b＝4c＝12k(k≠0)，然后表示出 a，b，c，再代 入比例式进行计算即可得解．
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a－b b 5 已知a＝ ，则 的值是( D ) 13 a＋b 2 A. 3 3 B. 2 9 C. 4 4 D. 9
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3．相似三角形的判定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所 构成的三角形与原三角形相似．如图，ADE∽△ ABC.
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温馨提示
与另两边的延长线相交，结论仍然成立，如
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(2) 如 图 ② ， AC∶AB ＝ 1∶ 3 ， EF⊥CE ， 求 EF∶EG 的值．
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解：(1)证明：∵AC∶AB＝1∶2，点 E 为 AB 的 中点， ∴AC ＝ BE.∵AD⊥BC ，∠CAB ＝ 90° ，∴∠B ＝ ∠DAC. ∵AD⊥BC，EF⊥CB，∴△EFB≌△CDA(AAS)， ∴EF＝CD.
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考点一
成比例线段与比例的基本性质
(2013· 牡丹江)若 2a＝3b＝4c，且 abc≠0，则 a＋b 的值是( B c－2b A．2 ) C．3 D．－3
B．－2
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(2013· 乌鲁木齐 )如图， 6 AB＝ 2， CD＝3，则 GH 的长为 . 5
AB∥ GH∥ CD，点 H 在 BC 上， AC 与 BD 交于点 G，
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温馨提示
1.求两条线段的比时， 对两条线段要采用同一长度 单位 .如果单位不同，那么必须先化成同一单位，然后 再比，且两条线段的比是一个实数，没有单位. 2.四条线段成比例与它们的排列顺序有关.线段 a， a c b， c， d 成比例表示成 ＝ ，而线段 b， a， c， d 成比 b d b c 例则表示成 ＝ . a d
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AB BC 解析：由题意知△ABC∽△C′B′A，∴ ＝ ， B′C′ AB′ EC＋BE AB BC AB ∴ ＝ ， ＝ ，∴AB2＝EC2 AB EC′－EB′ AB′ EC－EB －BE ， ∴AB′ ＝EC －B′E ＝B′C ， ∴AB′＝B′C， ∴AE ＝ EC ， ∴∠BAE ＝ ∠EAC ＝ ∠ECA ＝ ∠CAD ， ∴∠ACB＝30° ，∴BC∶AB 的值为 3.
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温馨提示 记两个三角形相似时，表示对应顶点的字母要写 在对应的位置上.
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2．相似三角形的性质 (1)对应角相等，对应边成比例 ． (2)对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的 比都等于相似比 ． (3)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的 平方 ．
GH CH GH CH 解析：∵AB∥GH，∴ ＝ ，即 ＝ ，① AB BC BC 2 GH BH GH BH ∵GH∥CD，∴ CD ＝ BC ，即 ＝ BC ，② 3 GH GH CH BH ①＋②，得 ＋ ＝ BC ＋ BC ， 2 3 GH GH 6 ∵CH＋BH＝BC，∴ ＋ ＝1，解得 GH＝ . 2 3 5
2
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6． (2013· 绍兴)在△ABC 中， ∠CAB＝90° ， AD⊥BC 于点 D，点 E 为 AB 的中点，EC 与 AD 交于点 G，点 F 在 BC 上． (1)如图①，AC∶AB＝1∶2，EF⊥CB，求证：EF ＝CD；
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考点一
成比例线段与比例的基本性质
1．线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线 段 a，b 的长度分别是 m，n，那么就说这两条线段的 a m 比是 a∶b＝m∶n 或写成b＝ n . 2．成比例线段：对于四条线段 a，b，c，d，如果 其中两条线段的比 (即它们长度的比 )与另两条线段的 a c 比相等，如b＝d(即 ad＝bc)，我们就说这四条线段是 成比例线段，简称比例线段．
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4．黄金分割 如图 ， 点 C 把线段 AB 分成
AC BC 两条线段 AC 和 BC，如果AB＝AC，则称线段 AB 被 点 C 黄金分割，点 C 叫做 AB 的黄金分割点，AC 与 5－1 AC AB 的比叫做黄金比，即 ＝ ≈0.618. AB 2 注意：一条线段有两个黄金分割点．