变系数微分方程的常系数化条件

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变系数微分方程的常系数化条件
宋和平! ，李军红! ， 崔 " 宁#
（ ! 河北科技师范学院 数理系， 河北 秦皇岛， $%%$$& ； # 河北建筑工程学院 教务处）
（ "） ’" 摘要：不同于解具有 ! % ! 形式的待定函数法， 由引理 ! 给出了 # 阶变系数微分方程具体的因变量代换形式，
从而给出 # 阶变系数微分方程常系数化的充要条件并加以详细证明， 由此得到二阶、 三阶变系数线性微分方 程常系数化的充要条件， 同时指出三阶变系数微分方程在具体应用中令 $! ( $ 的简便性。对二阶变系数非线 性微分方程的常系数化给出两个使其可积的条件， 并举例论证。 关键词：变系数方程；常系数化；变量代换 中图分类号：)!*+" " " 文献标识码：," " " 文章编号： !%*#-*./0 （ #$$% ） $#-$$$&-$&
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线性微分方程不仅具有广泛的应用， 且已形成一套完整的理论， 常系数线性方程及其代数解法更是 力学、 电学及工程技术中的重要解析工具。但在一般的系数激励震动、 波导传输理论及其它许多实际应 用问题中， 还常会遇到一些高阶变系数微分方程， 若它们可积， 将对有关问题的分析、 归纳和应用大有帮 助。然而这些高阶变系数微分方程并非都可积， 即使可积， 如何求它的积分尚无一般方法， 通常可利用 它的一个已知非零解做未知函数的变换， 采用此类方法的前提是要知道一个非零解， 如文献 ［0 ］ ， 文献 ［&］ ， 文献 ［*］ ， 文献 ［.］ ； 或应用幂级数解法， 但它对系数函数要求有较强的条件， 如文献 ［%］ 。笔者采 用变量代换、 线性化法， 讨论将一些变系数微分方程常系数化的条件， 从而使其可积， 并举例论证。
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显然， 在实际应用中有许多组这样的 &$ ， &( ， &’ 。为简化计算， 不妨令 &$ ) " ， 这样就得到了在变换 ) ) *+
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［ !］ （ &） ’& " # 阶变系数线性微分方程 （!） 经因变量变换 % ( "! % # ， 可化为 # 阶常系数线性微分方 定理 !
经变换后化成的常系数微分方程类型为 $ $ $ ( ’ ’ *" % &$ *’ # ［ ’ &（ % &（ # ’ &（ # &( *$ # ［ . &（ # ’ &（ % . &（ &（ # $ #） ( #） $ #） $ #） ( #） $ #） $］ $ #） ’ (/
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收稿日期： #$$+ ,$% ,#& ；修改稿收到日期： #$$% ,$! ,!$
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推论 ! ( "# 三阶变系数线性微分方程 )" % &（ )’ % &（ )$ % &（ ) )（ ! #） ! （ &（ &" ） $ #） ( #） ’ #） $ #） 经变换 ) ) *+
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可化为常系数方程， 则" （ &）( ! %
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* 2 $（ ! &） （ &） ’& 由此可令待定连续函数 # （ &）( ， 且具有 # 2 ! 阶导数， 作因变量代换 % ( "! % # ， 考察公 # 式 （!） 能化为 # 阶常系数线性微分方程
代入 （,） 式得
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的充要条件为
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， 能化为二阶常系数线性微分方程
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!" 高阶变系数线性微分方程常系数化条件
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