插值法
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§1 插值问题
❖
设函数关系y=f(x)在区间［a,b］
上给出一系列点的函数值
❖
(4―1)
yi=f(xi),
i=0,1,2,…,n
❖ 或者给出一张表函4―数1 表,如表4―1所示。
❖ 这里
❖
a≤x0＜x1＜x2＜…＜x≤b
❖ 欲选择一个函数φ(x),使得
❖
φ(xi)=yi,
(4―2)
i=0,1,2,…,n
❖
我们称Rn(x)为插值多项式Pn(x)的余
项。显然有
❖
Rn(xi)=0,i=0,1,2,…,n
❖
下面给出插值多项式Pn(x)余项的表
达式。
❖
定理设函数f(x)在区间［a,b］上具
有n+1阶导数,
❖ Pn(x)为次数不高于n的多项式,且
❖
Pn(x0)=y0
❖
Pn(x1)=y1
❖
…
❖ 则 对 插 值 区 间 上 的 任 何 x, 都 存 在
的形式。假设给定了函数f(x)在两个互异点
x0,x1的值,即
x
x0
x1
y
y0
y1
❖ 现要用一线性函数
❖
φ(x)=P1(x)=ax+b
(4―3)
❖
(4―2近)应似有地aaxx代10
替b f(yx0 )
b y1
。
按
照
插
值
原
则
,
式
因为x0≠x1,所以a,b可唯一确定,且有
a y1 y0 x1 x0
因此,a,b,c可唯一地确定。这样二次函数P2(x)也唯一地
被确定。P2(x)就是我们要求的二次插值多项式。
二次插值的几何意义是用经过三点
A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2)的抛物线来近似地代替f(x),见图 4.2。
图 4.2
§3 代数多项式插值的存在唯一 性
❖
线性插值和二次插值都属于代数多项
❖ 作为函数y=f(x)的近似表达式。
❖
由于代数多项式具有形式简单,便
于计算,且在某些情况下与给定的函数有
较好 的逼近的特性,人们很早就用它去近
似地表示复杂的函数或由表格给出的函
数。
若 个f 仅熟(x)限知 f于的(x求办0) 函 法f (数 就x0)在 是(x 将xx=0f)x(0x)附在近xf =(的nn)x(!x0近0处) (似x 展值x0成),n一
式插值。对于一般的代数插值问题,就是寻求
一个不高于n次的代数多项式
❖
Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn
(4―9)
❖
使其在给定的n+1个互异的插值基点
上满足插值原则
❖
(4―10)
Pn(xi)=yi,
i=0,1,…,n
❖
这样的多Байду номын сангаас式是否存在并且唯一
呢?回答是肯定的。
❖
根 据 插 值 原 则 式 (4―10), 代 数 多
泰勒级数f ,(即n1)( )
(n 1)!
(
x
x0
)n1
❖ 取前n+1项的部分和Pn(x)作为f(x)的 近似式,也即
Pn (x) f (x0) f (x0)(x x0)
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
f (x)
§2 线性插值与二次插值
❖
2.1 线性插值
❖
线性插值是代数多项式插值的最简单
b
y0
y1 x1
y0 x0
x0
❖
代入式(4―3)得
P1( x)
y0
y1 x1
y0 x0
( x1
x0 )
(4―4)
图 4.1
❖
因为P1(x)就是经过两点
A(x0,y0),B(x1,y1)的直线方程,所以线性插
值的几何意义为用经过两点
Ay=(xf(0x,y),0见P),1B(图x()x41.,1xyx0。1)的xx11 直y0 线 xx近1 似xx00地y1 代替曲(4线―5)
§4 代数多项式的余项
❖
代数多项式Pn(x)仅为已知函数f(x)的
一种近似表达式,用它来代替f(x)进行计算总会
带来误差。一般说来,对插值区间［a,b］上插
值基点xi(i=0,1,2,…,n)以外的点,Pn(x)≠f(x)。若 令
❖
❖则
Rn(x)=f(x)-Pn(x)
❖
f(x)=Pn(x)+Rn(x)
项 足下式PPnn列(((xx410n)―) +9a1a00)阶中 aa线11的xx10性各aa方22x个x12程02 系组数aaannxx01n0n,a1yy,1…0 ,an 应满
Pn ( xn ) a0 a1xn a2xn2 an xnn yn
❖
其中未知量a0,a1,…,an的系数行列
❖
P2(xi)=yi,
(4―7) ax02 bx0 c y0
❖
由(4―a7x)12式 b得x1 c y1
ax22 bx2 c y2
i=0,1,2,…
(4―8)
❖
则
由 于 方 程 组 (4―8) 中 x0,x1,x2 互 异 ,
x02 x0 1 x12 x1 1 0 x22 x2 1
f (t) Pn (t)
f
(x) Pn (
n1( x)
x
)
n
1
(t
)
❖
上式右端第一项f(t)有n+1阶导数,
第二项是次数不高于n的多项式,当x取某
一定 值时,第三项是变量t的n+1次多项式,
因此F(t)有n+1阶导数。又在区间［a,b］
上,F(t)有n+2个零点
❖
t=x,x0,x1,…,xn
式为范德蒙特( Vander Monde )行列
式
1 x0 x02
x0n
V ( x0, x1, , xn ) 1 x1 x12
x1n
1 xn xn2
xnn
由于插值基点xi(i=0,1,…,n)为互异,故
V(x0,x1,…,xn)≠0
因此,方程组(4―11)有唯一的一组解a0,a1,…,an,于
是Pn(x)存在且唯一。
ξ∈这(里a,bR)n,(使x) 得 f(n(n1)1()!) n1( x)
(4―12)
n1( x) ( x x0 )( x x1) ( x xn )
n
(x xi )
i0
(4―13)
证 当x=xi时,式(4―12)显然成立。
当x∈(a,b)但不等于任一个插值基点时,作辅助函数
F(t)
❖
2.2 二次插值
❖
二次插值又称为抛物线插值,也
是常用的代数多项式插值之一。设已知
函数f(x)的三个互异插值基点x0,x1,x2的函 数值分x别为y0,y1,xyo2,见下x表1 所示x:2
y
y0
y1
y2
❖ 现要构造一个二次函数
❖
(4―6)
φ(x)=P2(x)=ax2+bx+c
❖ 近似地代替f(x),并满足插值原则(4―2)
❖
应用洛尔(Rolle)定理,在(a,b)内至
少有ξ0,ξ1,…,ξn使得
❖
F′(ξi)=0,i=0,1,2,…,n
❖
如此反复应用洛尔定理,可知在
即
F (n1) ( )
f (n1) ( )
❖
设函数关系y=f(x)在区间［a,b］
上给出一系列点的函数值
❖
(4―1)
yi=f(xi),
i=0,1,2,…,n
❖ 或者给出一张表函4―数1 表,如表4―1所示。
❖ 这里
❖
a≤x0＜x1＜x2＜…＜x≤b
❖ 欲选择一个函数φ(x),使得
❖
φ(xi)=yi,
(4―2)
i=0,1,2,…,n
❖
我们称Rn(x)为插值多项式Pn(x)的余
项。显然有
❖
Rn(xi)=0,i=0,1,2,…,n
❖
下面给出插值多项式Pn(x)余项的表
达式。
❖
定理设函数f(x)在区间［a,b］上具
有n+1阶导数,
❖ Pn(x)为次数不高于n的多项式,且
❖
Pn(x0)=y0
❖
Pn(x1)=y1
❖
…
❖ 则 对 插 值 区 间 上 的 任 何 x, 都 存 在
的形式。假设给定了函数f(x)在两个互异点
x0,x1的值,即
x
x0
x1
y
y0
y1
❖ 现要用一线性函数
❖
φ(x)=P1(x)=ax+b
(4―3)
❖
(4―2近)应似有地aaxx代10
替b f(yx0 )
b y1
。
按
照
插
值
原
则
,
式
因为x0≠x1,所以a,b可唯一确定,且有
a y1 y0 x1 x0
因此,a,b,c可唯一地确定。这样二次函数P2(x)也唯一地
被确定。P2(x)就是我们要求的二次插值多项式。
二次插值的几何意义是用经过三点
A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2)的抛物线来近似地代替f(x),见图 4.2。
图 4.2
§3 代数多项式插值的存在唯一 性
❖
线性插值和二次插值都属于代数多项
❖ 作为函数y=f(x)的近似表达式。
❖
由于代数多项式具有形式简单,便
于计算,且在某些情况下与给定的函数有
较好 的逼近的特性,人们很早就用它去近
似地表示复杂的函数或由表格给出的函
数。
若 个f 仅熟(x)限知 f于的(x求办0) 函 法f (数 就x0)在 是(x 将xx=0f)x(0x)附在近xf =(的nn)x(!x0近0处) (似x 展值x0成),n一
式插值。对于一般的代数插值问题,就是寻求
一个不高于n次的代数多项式
❖
Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn
(4―9)
❖
使其在给定的n+1个互异的插值基点
上满足插值原则
❖
(4―10)
Pn(xi)=yi,
i=0,1,…,n
❖
这样的多Байду номын сангаас式是否存在并且唯一
呢?回答是肯定的。
❖
根 据 插 值 原 则 式 (4―10), 代 数 多
泰勒级数f ,(即n1)( )
(n 1)!
(
x
x0
)n1
❖ 取前n+1项的部分和Pn(x)作为f(x)的 近似式,也即
Pn (x) f (x0) f (x0)(x x0)
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
f (x)
§2 线性插值与二次插值
❖
2.1 线性插值
❖
线性插值是代数多项式插值的最简单
b
y0
y1 x1
y0 x0
x0
❖
代入式(4―3)得
P1( x)
y0
y1 x1
y0 x0
( x1
x0 )
(4―4)
图 4.1
❖
因为P1(x)就是经过两点
A(x0,y0),B(x1,y1)的直线方程,所以线性插
值的几何意义为用经过两点
Ay=(xf(0x,y),0见P),1B(图x()x41.,1xyx0。1)的xx11 直y0 线 xx近1 似xx00地y1 代替曲(4线―5)
§4 代数多项式的余项
❖
代数多项式Pn(x)仅为已知函数f(x)的
一种近似表达式,用它来代替f(x)进行计算总会
带来误差。一般说来,对插值区间［a,b］上插
值基点xi(i=0,1,2,…,n)以外的点,Pn(x)≠f(x)。若 令
❖
❖则
Rn(x)=f(x)-Pn(x)
❖
f(x)=Pn(x)+Rn(x)
项 足下式PPnn列(((xx410n)―) +9a1a00)阶中 aa线11的xx10性各aa方22x个x12程02 系组数aaannxx01n0n,a1yy,1…0 ,an 应满
Pn ( xn ) a0 a1xn a2xn2 an xnn yn
❖
其中未知量a0,a1,…,an的系数行列
❖
P2(xi)=yi,
(4―7) ax02 bx0 c y0
❖
由(4―a7x)12式 b得x1 c y1
ax22 bx2 c y2
i=0,1,2,…
(4―8)
❖
则
由 于 方 程 组 (4―8) 中 x0,x1,x2 互 异 ,
x02 x0 1 x12 x1 1 0 x22 x2 1
f (t) Pn (t)
f
(x) Pn (
n1( x)
x
)
n
1
(t
)
❖
上式右端第一项f(t)有n+1阶导数,
第二项是次数不高于n的多项式,当x取某
一定 值时,第三项是变量t的n+1次多项式,
因此F(t)有n+1阶导数。又在区间［a,b］
上,F(t)有n+2个零点
❖
t=x,x0,x1,…,xn
式为范德蒙特( Vander Monde )行列
式
1 x0 x02
x0n
V ( x0, x1, , xn ) 1 x1 x12
x1n
1 xn xn2
xnn
由于插值基点xi(i=0,1,…,n)为互异,故
V(x0,x1,…,xn)≠0
因此,方程组(4―11)有唯一的一组解a0,a1,…,an,于
是Pn(x)存在且唯一。
ξ∈这(里a,bR)n,(使x) 得 f(n(n1)1()!) n1( x)
(4―12)
n1( x) ( x x0 )( x x1) ( x xn )
n
(x xi )
i0
(4―13)
证 当x=xi时,式(4―12)显然成立。
当x∈(a,b)但不等于任一个插值基点时,作辅助函数
F(t)
❖
2.2 二次插值
❖
二次插值又称为抛物线插值,也
是常用的代数多项式插值之一。设已知
函数f(x)的三个互异插值基点x0,x1,x2的函 数值分x别为y0,y1,xyo2,见下x表1 所示x:2
y
y0
y1
y2
❖ 现要构造一个二次函数
❖
(4―6)
φ(x)=P2(x)=ax2+bx+c
❖ 近似地代替f(x),并满足插值原则(4―2)
❖
应用洛尔(Rolle)定理,在(a,b)内至
少有ξ0,ξ1,…,ξn使得
❖
F′(ξi)=0,i=0,1,2,…,n
❖
如此反复应用洛尔定理,可知在
即
F (n1) ( )
f (n1) ( )