质点振动

x2 A2 cos(t 2 )
A2
合位移：
x Acos(t )
合振幅：
O x2
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
arctg A1 sin1 A2 sin2 A1 cos 1 A2 cos 2
A
A1
x1 x X
讨 论：

y2 A2 2

2 xy A1 A2
cos(2
1 )

sin2 (2
1 )
讨论：
2
1
0
y
A2 A1
x
2 1

2

x2 A12

y2 A2 2
1
= 0
= /4
= /2
= 3/4
=
= 5/4
= 3/2 = 7/4
由图可见，A=2m，当t = 0时有：
x0 2 cos 2
解得：
4
当t = 1时有
x1

2
cos(


4
)

0
解得： 3
4
x 2 cos(3 t ) 0
44
固有频率
wo
k M
称为固有角频率
f0

w0
2

1
2
k M
称为固有频率
可见，振动频率仅同系统的固有参 量有关，而与振动初始条件无关。
自由振动固有频率，由弹簧弹性 系数、系统质量决定。
• 例如，敲击钢琴的某个琴键，不论力度如 何，发出声音的频率是一定的。
• 例：P14例2-1
§2 阻尼（衰减）振动
• 阻尼振动的定义： 振幅随时间而减小的振动。
• 阻尼振动的图像： 对比
• 振动方程： 阻力系数Rm
阻力Fr=-Rm·v
引入新的参量 Rm
x = x1+ x2
2Acos( 2 1 ) t cos( 2 1 ) t
2
2
合振动不是简谐振动
当 2 1时
2- 1 2+ 1
x A(t)cos t
其中
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A(t ) 2 Acos( 2 1 ) t
2
cos t cos( 2 1 t )
§3 受迫振动 共振
系统在周期性外力持续作用下所发生的振动 周期性的外力称为策动力
例如：扬声器纸盆振动系统，受到持续 的电磁策动力作用而振动
传声器音膜在持续的声波作用下产生振 动。
外力开始作用时较复杂,不长时间后,阻尼衰减 忽略不计,达到稳定谐振状态：
x
o
t
• 受迫振动试验观察：
• 思考：从试验中观察，受迫振动的振幅、 频率的规律？
质点振动系统
§1 自由振动
• 1.振动图像 • 2.运动方程 • 3.动力学方程 • 4.固有频率概念、意义
自由振动图像
• 振动图像的获得： • 振动图像的特点：
系统的位移按
x(t) Acos(0 t o )
的规律运动。
简谐振动的周期和频率、振幅
x(t) Acos(0 t o )
2M
, 称为阻尼系数。
d2x dt 2
2
dx dt

w02
x

0
衰减振动规律
• （位1移）缓慢回到0 平时衡，位过置阻,尼不。再振做动往从复开运始动最。大
• （2） 0欠阻尼：系统衰减振动，运动方程为：
x(t) Aet cos(wdt )
其中 wd w02 2
受迫振动的频率、振幅
物体在外力驱动下振动时，振动稳定后的 频率等于外力驱动的频率，跟物体的固有 频率没有关系.
如果驱动力的频率接近或等于物体的固 有频率时，振动物体的振幅将达到最大.
因此：受迫振 动的振幅A与驱 动力的频率和 振动系统的固 有频率有关， 它们之间的这 种关系可用图 象来表示：这 个图象叫共振 曲线（如右 图）.
2
随ｔ缓变 随ｔ快变
合振动可看作振幅缓变的简谐振动
x1 t
x2 t
x t
拍:合振动忽强忽弱的现象 拍频 : 单位时间内强弱变化的次数 =|2-1|
三、两个相互垂直的同频率谐振动的合成
x A1 cos(t 1 ) y A2 cos(t 2 )
消去参数t,得轨迹方程
x2 A12
共鸣箱（在乐器上用的比较多）
§4 运动的合成
简谐振动是最基本的运动形式，存在于 许多物理现象中。 复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。
乐音都是由简谐振动的叠加形成的，即由一 系列不同频率、振幅的正弦波叠加形成。
噪声
简谐振动的合成
一、同方向同频率谐振动的合成
x1 A1 cos(t 1 )
x

(2 A1
cos
2
2
1
2
t ) cos
2
2
1
2
t

2
A1
cos(

2
2
1
)
t

cos(

2
2
1
)
t
2 1
2
——合振动的频率
2 A1
cos
2

2

2
1
t
——合振动的振幅
可见,合振幅出现时大时小的现象.
变化的周期为：
1
2 1
上述结果也可用旋转矢量合成法求得。
(只讨论两频率都较大,而频率差很小的情况) 合成的合振动的振幅,时而加强时而减弱——拍现象。
设两振动的振幅相同，初相为零
x1
x2


A1 cos1t
A2 cos2t
A1 cos 2 1t
A2 cos 2
（设 2t
A1 A2
）
合振动的位移为：
x x1 x2 A1 cos 2 1t A2 cos 2 2t
A称为振幅
o

2
T

k 称为角频率（或圆频率），即单位时间 m 内相位的变化值，由系统本身决定。
f 1 0 称为振动频率，单位时间内振动的次数。
T 2
T 1 2 f 0
叫做周期，每隔T 时间运动完全重复
0 初相位
两个同频率简谐振动的相位差：
0 20超前10
20 10
1)相位差 2 1 2K , K 0,1,2
A A1 A2
2)相位差 2 1 (2K 1) , K 0,1,2
A A1 A2
3)一般情况 （相位差任意）
A1 A2 A A1 A2
二、两个同方向不同频率谐振动的合成
由共振曲线可知道：
• 当驱动力频率等于物体固有频率时，物体振幅 最大，驱动力频率与固有频率相差越大，物体 的振幅越小.
• 驱动力的频率接近物体的固有频率时，受迫振 动的振幅最大，这种现象叫做共振.
共振
驱动力的角频率为某一定值时,受迫振动的 振幅达到极大值的现象。
单摆的共振试验观察 • 声音的共振现象叫共鸣.
其振幅随时间衰减
• （3） 0 临界阻尼： 是物体不作往复运动的极限，也是过阻 尼和欠阻尼的临界点。
振幅随时间按照指数规律衰减：x(t) Aet
衰减振动应用
• 乐器需要有不同的衰减振动时间。例如打 击乐器，需要较长振动持续时间。
• 电声器件如扬声器，需要振动衰减很快， 否则会引起瞬态失真。
0 20落后10
=（2n1） 反相
=2n 同相
动力学方程
• 物体所受合力=质量×加速度
∴ F=m·a
其中
F

k

x, a

d2x dt 2

k
x

m
d2x dt 2
d2x dt 2

k m
x

0
令 wo
k M

d2x dt 2

w02
x

0
数学上能严格证明它的唯一可能解
x x(t) Acos(0t 0 )
-A2
o
x A2
- A1
四.垂直方向不同频率简谐振动的合成
•两分振动频率相差很小
= ( 2- 1) t + ( 2- 1)
可看作两频率相等而 2- 1 随ｔ缓慢变化合运动轨迹将
按上页图依次缓慢变化
y A1
• 两振动的频率成整数比 轨迹称为李萨如图形
x y= 32 2=0, 1= /4
例题：
• 1.已知一自由振动的弹簧振子的运动方程为 • x 2.0 102 cos(4t 4 ) ，画出运动图像。
3
（2）已知曲线求 A T
例题：已知某质点作简谐运动，振动曲线如图 ，试根据图中数据写出振动表达式。
X(m)
2
2
O 1
t(s)
-2
解：设运动表达式
x A cos(t )