质点振动

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微专题 振动图像与波动图像(学生)(1)

微专题 振动图像与波动图像(学生)(1)

振动图像与波动图像【核心考点提示】两种图象的比较振动图象波动图象研究对象一振动质点沿波传播方向的所有质点研究内容一质点的位移随时间的变化规律某时刻所有质点的空间分布规律图象物理意义表示同一质点在各时刻的位移表示某时刻各质点的位移图象信息(1)质点振动周期(2)质点振幅(3)某一质点在各时刻的位移(4)各时刻速度、加速度的方向(1)波长、振幅(2)任意一质点在该时刻的位移(3)任意一质点在该时刻的加速度方向(4)传播方向、振动方向的互判图象变化随着时间推移,图象延续,但已有形状不变随着时间推移,波形沿传播方向平移一完整曲线占横坐标的距离表示一个周期表示一个波长【微专题训练】例题1:如图甲所示是一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t=0时刻的波形图,P是参与波动的、离原点x1=2m处的质点,Q是参与波动的、离原点x2=4m处的质点。

图乙是参与波动的某一质点的振动图像(所有参与波动的质点计时起点相同)。

由图可知()A.从t=0到t=6s,质点P通过的路程为0.6mB.从t=0到t=6s,质点Q通过的路程为1.2mC.这列波的传播速度为v=2m/sD.从t=0起,质点P比质点Q先到达波峰E.图乙可能是图甲中质点Q的振动图像[解析]由题图乙可知周期为2s,6s=3T,每个周期内质点运动的路程为4A,因此从t=0到t=6s,质点P通过的程为12A=60cm=0.6m,选项A正确;质点Q通过的路程也为0.6m,选项B错误;由题图甲可知波长为4m,这列波的波速为v=λT=2m/s,选项C正确;质点P在t=0时正沿y轴负方向运动,质点Q正沿y轴正方向运动,因此质点Q比质点P先到达波峰,选项D错误;由于质点Q在t=0时正沿y轴正方向运动,因此题图乙可能是题图甲中质点Q的振动图像,选项E正确。

例题2:图甲为一列简谐横波在t =0.05s 时刻的波形图,图乙为质点P 的振动图象,则下列说法正确的是 ( )A .简谐波速度大小为20m/sB .简谐波沿x 轴的负方向传播C .t =0.25s 时,质点Q 的加速度大于质点P 的加速度D .t =0.1s 时,质点Q 的运动方向沿y 轴正方向E .t =0.3s 时,质点Q 距平衡位置的距离大于质点P 距平衡位置的距离[解析] 由图中数据及波速公式得v =λT =20m/s ,选项A 正确;由图乙可知t =0.05s 时质点P 正沿y 轴负方向运动,可知简谐波沿x 轴正方向传播,选项B 错误;Δt =0.25s -0.05s =0.20s =T ,经过一个周期各质点回到t =0.05s 时的位置,而t =0.05s 时,质点Q 的加速度大于质点P 的加速度,可知选项C 正确;由图示位置再经0.05s 即t =0.1s 时,质点Q 正经过平衡位置沿y 轴正方向运动,选项D 正确;t =0.3s 时与图示位置时间间隔Δt =0.3s -0.05s =0.25s =114T ,此时Q 位于平衡位置,P 位于波谷,选项E 错误。

机械振动原理的例子

机械振动原理的例子

机械振动原理的例子机械振动原理是指物体在受到外力作用下,发生周期性的振动运动。

这种振动运动在我们的日常生活中随处可见,比如钟摆的摆动、汽车的震动、电动牙刷的震动等等。

下面,我将列举一些机械振动原理的例子,以便更好地理解这一原理。

1. 钟摆:钟摆是一种简单的机械振动系统,它由一个重物和一根细长的线组成。

当重物被拉到一侧时,它会受到重力的作用而开始摆动。

这种摆动是周期性的,即重物会在一定的时间内来回摆动。

2. 弹簧振子:弹簧振子是由一个弹簧和一个质点组成的振动系统。

当质点受到外力作用时,它会开始振动。

这种振动是周期性的,即质点会在一定的时间内来回振动。

3. 摩擦振动:摩擦振动是指两个物体之间的摩擦力引起的振动。

比如,当你用手指在桌子上摩擦一支笔时,笔尖会发出嗒嗒的声音,这就是摩擦振动的表现。

4. 汽车震动:汽车在行驶过程中会受到路面的不平整和发动机的震动等因素的影响,从而产生震动。

这种震动是周期性的,即汽车会在一定的时间内来回震动。

5. 电动牙刷:电动牙刷是一种利用电机产生振动的设备。

当电机转动时,它会带动牙刷头来回振动,从而起到清洁牙齿的作用。

6. 摆锤式振动器:摆锤式振动器是一种利用摆锤产生振动的设备。

当摆锤受到外力作用时,它会开始摆动,从而产生振动。

7. 风琴:风琴是一种利用气流产生振动的乐器。

当气流通过风箱时,它会带动风琴簧片来回振动,从而产生音乐。

8. 摇摆式振动器:摇摆式振动器是一种利用摇摆产生振动的设备。

比如,当你在游泳池里摇摆一个浮球时,它会产生周期性的振动。

9. 摩托车震动:摩托车在行驶过程中会受到路面的不平整和发动机的震动等因素的影响,从而产生震动。

这种震动是周期性的,即摩托车会在一定的时间内来回震动。

10. 摆线驱动器:摆线驱动器是一种利用摆线轮产生振动的设备。

当摆线轮受到外力作用时,它会开始摆动,从而带动其他部件产生振动。

机械振动原理是一种普遍存在于我们生活中的物理现象,它不仅有着广泛的应用,而且对于我们理解物理学的基本原理也有着重要的意义。

简谐振动质点在弹簧上的运动

简谐振动质点在弹簧上的运动

简谐振动质点在弹簧上的运动简谐振动是物理学中一个重要的概念,它描述了质点在弹簧上的周期性运动。

在本文中,我将介绍简谐振动的基本原理、运动方程和特点。

一、简谐振动的基本原理简谐振动是指质点在势能函数为二次函数的力场中的周期性振动。

其中,振动的平衡位置可以通过建立正比于位移的势能函数来描述。

在弹簧振子中,弹簧的劲度系数越大,质点的振动频率越高,振动的周期越短。

二、简谐振动的运动方程简谐振动的运动方程可以用一阶线性常微分方程来描述。

设质点在弹簧上的位移为x,时间为t,则质点的运动方程可以表示为:m · d²x/dt² + k · x = 0其中,m表示质点的质量,k表示弹簧的劲度系数,x表示质点的位移。

该方程可以通过求解微分方程得到质点在不同时刻的位移和速度。

三、简谐振动的特点1. 周期性:简谐振动的运动是周期性的,即质点在弹簧上往复运动,左右两个最大振幅的极端位置之间的时间间隔是一个周期。

周期T与振动频率f的关系为:f = 1/T。

2. 振动频率:振动频率是简谐振动的一个重要参数,它与弹簧的劲度系数和质点的质量有关。

振动频率f与弹簧的劲度系数k和质点的质量m的关系为:f = 1/(2π) ·√(k/m)。

3. 幅度和相位:简谐振动的振幅和相位是描述振动特性的两个重要参数。

振幅表示振动的最大位移,相位表示在某一时刻的振动状态。

振幅和相位可以通过求解振动方程得到。

4. 能量变化:在简谐振动中,质点在运动过程中会发生能量的转化。

弹簧的势能和质点的动能会不断变化,但总的机械能保持不变。

综上所述,简谐振动是质点在势能为二次函数的力场中的周期性振动。

通过运动方程可以求解质点在不同时刻的位移和速度。

简谐振动的特点包括周期性、振动频率、幅度和相位以及能量变化。

在物理学的实际应用中,简谐振动的概念被广泛运用于弹簧系统、电路振荡器等领域,具有重要的理论和实践价值。

希望通过本文的介绍,读者对简谐振动质点在弹簧上的运动有了更深入的理解。

1质点振动学-自由振动

1质点振动学-自由振动

浙江师范大学数理与信息工程学院
应用声学
弹簧组的串连和并联
1.5K
0.75K 2.4K
Applied Acoustics
浙江师范大学数理与信息工程学院
应用声学
弹簧质量对系统固有频率的影响
弹簧质量对系统固有频率的影响(自学内容) 弹簧质量对系统固有频率的影响(自学内容)
浙江师范大学数理与信息工程学院
Applied Acoustics
浙江师范大学数理与信息工程学院
应用声学
浙江师范大学数理与信息工程学院
应用声学
自由振动方程
受力分析
顺性系数(力顺) Cm = 顺性系数(力顺)
Applied Acoustics
1 Km
应用声学
浙江师范大学数理与信息工程学院
自由振动方程
受力分析
Applied Acoustics
浙江师范大学数理与信息工程学院
应用声学
自由振动方程
根据牛顿第二定律, 根据牛顿第二定律,可得
= cos ωt − j sin ωt
其中 j = −1, 为虚数单位
简谐振动一般解可表示为(上式线性组合) 简谐振动一般解可表示为(上式线性组合)
ξ=Ae
jω0t
+ Be
- jω0t
缺点是不直观,但可以将结果还原(取实部或虚部) 缺点是不直观,但可以将结果还原(取实部或虚部) 如 ξ=Re[Ae j(ωt +ϕ ) ] = A cos(ωt + ϕ )
浙江师范大学数理与信息工程学院
应用声学
自由振动方程
描述振动的物理量: 描述振动的物理量 : 质点 离开平衡位置的位移ξ; 离开平衡位置的位移ξ 平衡位置的位移 坐标系: 坐标系 : 以弹簧伸长的方 向为正方向; 向为正方向;

医学物理第五章 波动

医学物理第五章 波动

机械波传播特征
几何描述
波面 波前
振动相位相同的点连成的面。 最前面的波面。
波前 波面 波线
平面波(波面为平面的波) 球面波(波面为球面的波)
波线(波射线) 波的传播方向。在各向同性媒质中, 波线恒与波面垂直。
波长周期波速
波传播方向
波速
波长 周期 频率 波速
振动状态完全相同的相邻两质点之间的距离。
幅 A1.0m,T2.0s,2.0m。在 t 0 时坐标
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 。 求
波函数
解 写出波函数的标准式
yAco2π s([T t x)]
O
y
A
t0 x0
y0,vy0
π 2
t
y(1.0m )cos[2π( t x)π] 2.0s 2.0m2

第三节
行波的能量
机械波
本章内容
机械波的产生
波源带动弹性媒质中与其相邻的质点发生振动,振动相继 传播到后面各相邻质点,其振动时间和相位依次落后。
波动现象是媒质中各质点运动状态的集体表现,各质点 仍在其各自平衡位置附近作振动。
横波
质点的振动方向与波的传播方向垂直
抖动一下,产生一个脉冲横波
质点振动方向 波的传播方向
波数
单位长度上波的相位变化。
k 2π
➢ 质点的振动速度,加速度
v y A si n (t [x)]
t
u
a 2 t2 y 2A co (ts[u x) ]
负向波
一般形式
物理意义
若给定某点 P 的
,波动表达式变为 P 点处质点的
P点的
距原点为 处质点振动的初相
若给定

高三物理机械振动和机械波知识点总结

高三物理机械振动和机械波知识点总结

3. 描述简谐运动的物理量(1)位移x:由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段,是矢量,其最大值等于振幅。

(2)振幅A:振动物体离开平衡位置的最大距离,是标量,表示振动的强弱。

(3)周期T和频率f:表示振动快慢的物理量,二者互为倒数关系,即T=1/f。

4. 简谐运动的图像(1)意义:表示振动物体位移随时间变化的规律,注意振动图像不是质点的运动轨迹。

(2)特点:简谐运动的图像是正弦(或余弦)曲线。

(3)应用:可直观地读取振幅A、周期T以及各时刻的位移x,判定回复力、加速度方向,判定某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。

二、弹簧振子定义:周期和频率只取决于弹簧的劲度系数和振子的质量,与其放置的环境和放置的方式无任何关系。

如某一弹簧振子做简谐运动时的周期为T,不管把它放在地球上、月球上还是卫星中;是水平放置、倾斜放置还是竖直放置;振幅是大还是小,它的周期就都是T。

三、单摆1. 定义:摆线的质量不计且不可伸长,摆球的直径比摆线的长度小得多,摆球可视为质点。

单摆是一种理想化模型。

2. 单摆的振动可看作简谐运动的条件是:最大摆角α<5°。

3. 单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力。

4. 作简谐运动的单摆的周期公式为:T=2π(1)在振幅很小的条件下,单摆的振动周期跟振幅无关。

(2)单摆的振动周期跟摆球的质量无关,只与摆长L和当地的重力加速度g有关.(3)摆长L是指悬点到摆球重心间的距离,在某些变形单摆中,摆长L 应理解为等效摆长,重力加速度应理解为等效重力加速度(一般情况下,等效重力加速度g'等于摆球静止在平衡位置时摆线的张力与摆球质量的比值)。

四、受迫振动1. 受迫振动:振动系统在周期性驱动力作用下的振动叫受迫振动。

2. 受迫振动的特点:受迫振动稳定时,系统振动的频率等于驱动力的频率,跟系统的固有频率无关。

3. 共振:当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时,振动物体的振幅最大,这种现象叫做共振。

第1章 质点的振动

第1章 质点的振动
二个弹簧中的弹性力相等dtdt11二式相加并且注意到两根弹簧的串联使系统的弹性减小12小结自由振动系统的总能量为常数两根弹簧的并接使系统的弹性增大两根弹簧的串联使系统的弹性减小振动问题常用复数解求解1312质点的衰减振动任何实际的机械系统在作自由振动时都会出现逐渐衰减的过程亦即系统在振动时始终会受到阻尼力的作用阻力的性质1一般来说阻力应是速度的函数
实数形式 分析:
A e tcos(0 t0)
(1) 衰减模量:振动位移振幅衰减到初始值的1/e倍的 时间 (单位为秒)
1 2Mm
Rm
16
(2)小阻尼对振动频率的影响:
0 0 220 1 0 2 20 1 0 2 2
如果: 0
0
022
0
2 102
0
——小阻尼对振动频率的影响很小!
(3)小阻尼对振动幅度的影响:相隔一个周期的 相邻两次振动振幅的比值
振动系统元件 质量块Mm 弹簧(弹性系数或劲度系数Km )
3
系统受力分析:弹力 FK 牛顿第二定律
d 2
Mm dt2 FK
虎克定律:弹簧在弹性限度内
FK Km
自由振动方程
d 2
dt2
02
0
0
Km Mm
4
方程的解
( t ) A c o s 0 t B s i n 0 t C c o s (0 t 0 )
——速度与频率无关!
压强式电容传声器
38
传声器的开路电压与振膜位移的关系:
E E0 D
E0:极化电压;D:振膜与后 电极之间静态距离
——与振动的位移成正比!
一般要求频响尽量平坦,由于在弹性控制区,位移与 频率无关,故使固有频率很高,在20—20kHz范围内, 都有 z1:f f0

机械波的特点 传播:振动形式、能量信息、质点不迁

机械波的特点 传播:振动形式、能量信息、质点不迁

机械波的特点传播:振动形式、能量信息、质
点不迁
机械波是一种通过介质传播的波动现象,其特点包括:
1. 振动形式:机械波传播的基础是介质中质点的振动。

在机械波传播的过程中,介质中的质点沿着波的传播方向做周期性的振动。

这种振动沿着波的传播方向传递能量和信息。

2. 能量信息:机械波传播时不会传输物质,而是通过质点之间的相互作用传递能量和信息。

当波在介质中传播时,介质中的质点不会长距离迁移,而是沿着波的传播方向做微小的振动。

3. 不迁移:机械波传播过程中,波的形状和能量以及信息会沿着介质传播,但介质中的质点不会长距离地迁移。

相邻质点之间通过相互作用传递能量和动量,使得波能够在介质中传播。

总的来说,机械波的特点包括振动形式、能量信息的传递以及质点不迁移。

机械波是一种通过介质传播的波动现象,在传播过程中能量和信息以波的形式传递,而介质中的质点则只做微小的振动。

1/ 1。

质点振动

质点振动
固有圆频率
二、振动的一般解
Acos0t B sin 0t
或: A cos(0t 0 )
d
dt
A cos(0t 0
)
A A2 B2 ,
0
tan 1
B A
,
A A cos0 , B A sin 0 ,
自由振动的频率
f0
1
2
KM 1
M M 2
1 M M CM
f0 :系统固有频率。
1 QM
QM降低,频率差增加,曲线变平坦。
(2)加速度振幅规律
a aA cos( t ), aA A 2
aA
FA
ZM
FA
RM2
(M M
KM
)2
MM
FAQM z2 z2 (z2 1)2 QM2
当: z ( ) 时,
aA
FA MM
对加速度振幅求极值,得:共振频率为
z zr QM
频率范围内,都能满足下面条件
RM
M M
KM
即:
RM
KM ( KM
L L
LM M )
亦即:
L
KM RM
;
H
RM MM
RM
KM
H
( H M M
KM
H
)
在 L ~ H 区域为力阻控制区。
因此,力阻越大,力阻控制的频率范围越宽,
即比值:
H L 0
越大。
共振幅值为
A
Ar
FA
0M M
QM
FA RM
结论:速度共振频率 与Q M 无关,但其共振峰值与Q M
成正比。
假设速度振幅的平方下降到共振峰值平方的 1/2倍时,所对应的频率分别为 f1 和 f2

第1章 质点振动系统(1-1,1-2)

第1章 质点振动系统(1-1,1-2)

质量块的动能为:
Ekm 1 M mv 2 2
系统的总动能为:
MS 2 1 Ek ( M m )v 2 3
因为弹簧总伸长为 ,所以系统的势能为: 1 E p D 2 2
则系统的机械能为:
MS 2 1 1 E Ek E p (M m )v D 2 2 3 2
a2 A0 a a , 0 arctan a1
2 1 2 2
A(t)是只与时间有关的函数,相当于振幅.它随时间 的增加而衰减.当t=0时,振幅A(t)=A0,经过t时间后, 下降为A(t). ① 阻尼系数
阻尼系数(衰减系数) 的意义:表示系统阻力的 大小, 愈大,振幅衰减愈快.
A(t ) A0 e
③ 品质因素Qm 也是描述振幅衰减快慢的物理量.其数值等于震 幅衰减到初始值的 1 e 倍时所经过的周期数.
A0 A(t ) A0 e t e
2m e e t t Rm m0 t 2 Qm , T0 Qm T0 0 Rm
2 t
x C1e
1 t
C2 e
可以看出,式中每一项均按指数规律衰减,所以这时 系统是一种衰减运动,但不是震荡形式的.
2、阻力较小时
2 2 2 0 , Rm 4mD
2 2 1 , 2 2 0 j 0 2

2 0 2 则方程的解为
mg D 0
D g 2 0 m
所以固有频率的表达式为
D

m
1 f 2
g
x

对于串联系统 在静平衡时, mg D11 D22 总伸长 为
D1
1 2

质点振动

质点振动
更加柔顺。
三、自由振动的能量
E
Ep
Ek
1 2
KM 2
1 2
M M 2
1 2
KMA2
条件:物体MM平衡位置为0势点。
四、双弹簧串接与并接系统的振动
1. 双弹簧串联相接
K
' M
K1M K2M K1M K2M
2. 双弹簧并联相接
K1M
K2M
K
'' M
K1M
K2M
K1M
K2M
五、弹簧质量对系统固有频率的影响
M
M M
KM
(1)质量抗 M M
(2)弹性抗 KM 1
CM
0
tan 1
M
RM
ZM 的幅角
2. 方程的一般解
e t ( Ae j'0 t Be j'0 t ) F e jt
0e t cos('0 t 0 ) A cos(t )
A F
FA
ZM
;
0
2
式中: 0 ,0 由初始条件决定
KM
RM
二、强迫振动的一般规律
1. 系统的力阻抗
假设方程一特解形式为:1 F e jt
则: F (M M 2 RMj KM ) FA
F
FA
jZM
FA
ZM
e
j
(0
2
)
定义: ZM
M M ( j) RM
KM
j
为力阻抗。
即: ZM RM jM 单位:(N.s/m)
力阻: RM
力抗:
A
FA KM
A
FA
KM
系统弹性对振动起主要作用

质点振动法解机械波图像题

质点振动法解机械波图像题

质点振动法解机械波图像题作者:张旭来源:《理科考试研究·高中》2014年第01期现行的多数资料书及参考答案中对波动图像类题目解析或参考答案都以平移法为标准.作者发现质点振动法解题更全面,应用范围更广,只要理解具体机理后解题其实更快.本文解决波动图像类题目全部用质点振动法,以此展示振动法解题的独特之处.一、对机械波的描述机械波的特性总结为三个特点:①波不停地在扭动,同时向外传播;②波源启振后,远离波源的点总是在紧跟其靠近波源的临近点的振动趋势;③波是由大量质点构成,且构成波的所有质点只上下做简谐振动.二、对波动图像的描述做机械波类图像题的时候,很多题目会给出一个正弦波动图像,这个图像在我们看来是固定住的,并没有像一条绳波那样不停地扭动,所以它是一个被瞬间抓拍到的机械波.我们取的波形图一定对应一个时刻,这个时刻对题中给出的波形图至关重要.因此对波形图像的描述也分为三点:①波形图是在t时刻获得的;②远离波源的点总是在紧跟其靠近波源的临近点的振动趋势;③所有点都以x轴为平衡位置上下做简谐振动.三、波的传播方向与质点振动方向的确定各种资料书中给出了多种不同的判定方法,如平移法、同侧法、惊鸟法、带动法、“上、下坡”法等等.作者长期教学发现学生喜欢用“上、下坡”法,该方法容易记,且准确方便适用.因此本文讨论中全都采用“上、下坡”法.“上、下坡”法是:沿着波的传播方向看过去,处在上坡位置的点向下振动,处在下坡位置的点向上振动.四、题型讨论1.波形图与振动图结合题例1 一列横波在x轴上传播,如图所示,图甲为t=0.5 s时的波的图象,图乙为介质中质点P的振动图象.对该波的传播方向和传播速度下列说法中正确的是().A.沿+x方向传播,波速为4.0 m/sB.沿-x方向传播,波速为4.0 m/sC.沿+x方向传播,波速为40 m/sD.沿-x方向传播,波速为40 m/s解析口诀:波形图看对应时间;振动图看对应质点.先看图甲,甲是波形图,读出对应时刻为t=0.5 s,再看振动图乙,这种振动图一般只有两个利用价值:①读出波长;②读出该时刻(波形图对应时刻)对应的位置及其运动方向.得到这两个结论后振动图一般可以遮起来不再看它.于是很容易得到图甲中P点此时刻正向上运动,由“下坡上”得甲图的波沿-x方向传播.由λ=4 m,T=1.0 s得到波速为40 m/s.故选B.2.考查振动类例2 如图3甲为一列沿x轴负方向传播的简谐横波在t=0时的波形图,当Q点在t=0时的振动状态传到P点时,则().A.1 cmB.Q处的质点此时的加速度沿y轴的正方向C.Q处的质点此时正在波峰位置D.Q处的质点此时运动到P处解析 P、Q分别在x=1、x=4位置上下做简谐振动.由题可知,在t=0时刻,P此时在波峰处正向下振动,Q在平衡位置处正向上振动.要Q在t=0时刻的振动形式传给P,也就是让P从波峰处向下振动一段时间后到达平衡位置处且向上振动.故P需要振动t=34T或t=34T+nT,n=0,1,2,3…此时Q经过t=34T或t=34T+nT时间刚好到达波谷,故B对,C、D错.1 cm3.先传后振类例3 如图4是一列向右传播的横波,波速为0.4 m/s,M点的横坐标x=10 m,图示时刻波传到N点,现从图示时刻开始计时,问:经过多长时间,M点第二次到达波谷?解析①图示时刻波传到N点,由“下坡上”得N此时正向上振动.由波的特性得到所有点的“启振”方向都将从平衡位置向上.②要M点第二次到达波谷,则波先要传到M点,然后M点“启振”并经过t=74T才会第二次到达波谷.③由题易得到T=λv=1.60.4=4 s.又因为t总=t传+t振,其中t传=SNMv=8.80.4=22 s,t振=74T=7 s,故有t总=29 s.。

机械振动中质点路程求解的难点突破

机械振动中质点路程求解的难点突破
关键词:机械波 传播 质点 振动 路程 方法
1 问题背景
机械振动及机械波是高中物理教材的重要内 容[1],也是大学基 础 物 理 教 材 完 整 力 学 体 系 中 不 可 或 缺 的 重 要 组 成 部 分 [2].机 械 振 动 及 机 械 波 是 大 、中 学物理教材中振动和 波 综 合 应 用 的 典 型 范 例,也 是 过去每 年 高 考 中 的 重 要 考 查 知 识 点.自 2006 年 高 中课程改革以来,机 械 振 动 及 机 械 波 编 入 高 中 物 理 教材选修 3-4 模 块,属 于 高 考 选 考 模 块,这 样 就 使 得机械振动及机械波的内容在中学教学过程中被弱 化,从而也导致参与 机 械 振 动 质 点 的 路 程 在 教 与 学 的过程中很难突破,突 出 体 现 在 对 质 点 振 动 方 程 的 书写及机械波传播形式的理解上存在较大障碍.
m/s转动 到 最 高 点 时,FN =+16 N,说 明 此 时 杆 对

小球的 弹 力 大 小 为 16 N,方 向 与 假 设 弹 力 方 向 相
12mv20 +0= 12mv22 +2 mgL
可知
v22 =v20 -4gL 把 式 (3)代 入 式 (1)有
mg
-FN
【题 目 】图1(a)为 一 列 简 谐 横 波 在t=0.10s时 的波形图,P 是平衡 位 置 在x =1.0 m 处 的 质 点,Q 是平衡位置在x =4.0 m 处的质点;图1(b)为质点 Q 的振动图形.试求:从t=0.10s到t=0.25s,质点 P 通过的路程.
由 图1可知 A 为10cm,ω=2Tπ,得ω=10πs-1, 再由机械波的传播方向知P 点的振动方向沿y 轴向 上,根据P 是平衡位置在x=1.0m 处的质点可以确

常微分四类振动方程

常微分四类振动方程
d 2 dt 2 g 0 l
特征方程:
g 0 l
2
i,
g l
通解: (t ) c1 cost c 2 sint , c1 , c1为任意常数.
(4.41) A,θ为任意常数
(t ) A sin( t )
周期T与初始 状态无关,只 与摆长l相关
d 2
比较系数法: 非齐次特解:
随时间增大 振幅将无限大ห้องสมุดไป่ตู้从而破坏系统结构
非齐次通解: 自由周期振动
+
外力强迫振动
=非周期振动
共振现象:当外力频率p(达到)无限接近于系统 固有频率ω(即使外力振幅H很小),系统振幅将 (无限)充分大,从而破坏系统自身结构的现象!
4. 阻尼强迫振动

g , 2n l m
~ t k [ M cos t N sin t ]e t , 非齐次特解: 0, p, k为 i重数
分两种情况:
~ M cos pt N sin pt, (i ) p ( pi非特征根): ~ t ( M cos pt N sin pt (ii) p ( pi特征根):
特解
d 2 dt 2
2n
d 2 H s in p t dt
特解
振幅什么条件下最大?
利用外力 (圆)频率 可实现振幅 最大化!
非齐次通解:
自由阻尼衰减振动 (时间充分大可忽略)
+
外力强迫周期振动 =非周期振动 (主项)
振动主项中,但如果外力园频率p达到(或接近于)某固定频率, 即使施加的外力不大,随时间增长,质点振动运动的振幅将达到 最大。 共振现象 该频率称共振频率

机械振动知识点汇总

机械振动知识点汇总

机械振动知识点汇总(一)机械振动物体(质点)在某一中心位置两侧所做的往复运动就叫做机械振动。

这个中心位置叫平衡位置。

物体能够围绕着平衡位置做往复运动,必然受到使它能够回到平衡位置的力即回复力。

回复力是以效果命名的力,它可以是一个力或一个力的分力,也可以是几个力的合力。

产生振动的必要条件是:a、物体离开平衡位置后要受到回复力作用。

b、阻力足够小。

(二)简谐振动1. 简振模型——弹簧振子将一个有孔小球体与一个弹簧连在一起,将一个极为光滑的水平杆穿入小球体,使球体可以在水平杆上左右滑动,而球体与水平杆的摩擦力小得可以忽略不计。

将弹簧的一端固定住,弹簧的整体质量要比球体质量小得多,这样弹簧本身质量也可以忽略不计。

这个系统便是一个弹簧振子。

2.简谐振动定义物体在跟位移成正比,并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动叫简谐振动。

简谐振动是最简单,最基本的振动。

研究简谐振动物体的位置,常常建立以中心位置(平衡位置)为原点的坐标系,把物体的位移定义为物体偏离开坐标原点的位移。

因此简谐振动也可说是物体在跟位移大小成正比,方向跟位移相反的回复力作用下的振动,即F=-k x,其中“-”号表示力方向跟位移方向相反。

3.简谐振动的条件物体必须受到大小跟离开平衡位置的位移成正比,方向跟位移方向相反的复力作用。

4.简谐振动是一种机械运动,有关机械运动的概念和规律都适用,简谐振动的特点在于它是一种周期性运动,它的位移、回复力、速度、加速度以及动能和势能(重力势能和弹性势能)都随时间做周期性变化。

(三)描述振动的物理量简谐振动是一种周期性运动,描述系统的整体的振动情况常引入下面几个物理量。

1. 振幅:振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离,常用字母“A ”表示,它是标量,为正值,振幅是表示振动强弱的物理量,振幅的大小表示了振动系统总机械能的大小,简谐振动在振动过程中,动能和势能相互转化而总机械能守恒。

2. 周期和频率:周期是振子完成一次全振动的时间,频率是一秒钟内振子完成全振动的次数。

简谐振动的质点的路程问题的分析方法

简谐振动的质点的路程问题的分析方法

简谐振动的质点的路程问题的分析方法振动质点在△t 时间内的路程有以下几种情况:1、△t 为1/4周期的偶数倍(1)△t 为1/4周期的2倍(半周期),则质点的路程为2A ,若△t=n 〃T/2(n=1,2,3…),则路程=n 〃2A2、△t 为1/4周期的奇数倍(1)若质点在平衡位置,或者是最大位移处,那么它的路程是奇数*A 。

例如,3T/4时间段内,平衡位置处,则它的路为3A 。

(2)若质点不在平衡位置处或者是最大位移处,那么它的路程就不一定了。

我们仍然以四分之三周期为例进行分析,为了分析方便,我们设初始时刻该质点在最大位移一半位置处P 点,经历3/4周期后,分析它走过的路程:当质点从P 点开始振动(P 点距离平衡位置为1/2最大振幅,即2.5M ),它肯定会到达M 点,经过N 点、Q 点再拐P M N Q弯,向上振动。

若这段时间总共是3/4周期的话,我们先来分析一下好分析的内容,先从这段时间的中间部分截取一段时间,即从M-N-Q这段路程是2A,并且这段路程耗时肯定是半个周期,即1/2个周期,那么在这3/4个周期里,M-N-Q 这段2A的路程已经用掉了1/2个周期,还剩下1/4个周期,那我们来看一下,起初的那一段,即从P点开始的这一段,如果质点从平衡位置开始振动,经过中点P,到达最高点M,那么这段路程为A,且耗时是1/4,我们来分析一下从P点到最高点M是这1/2倍的振幅是不是用了1/8个周期呢?我们知道,从平衡位置到最高点M是一直在做加速度改变的减速运动,既然一直在减速,那么,同样都是1/2个振幅的路程,从平衡位置到P这段路程的平均速度肯定比从P点到最高点M这段路程的平均速度,因为质点一直在减速,但是这两段路的长度是一样的,都是一半的振幅,所以从平衡位置到P点所用的时间肯定比从P点到M点所用的时间要短,也就是说从P点到M点用的时间要大于1/4个周期的一半,也就是大于1/8个周期,也就是说,从P—M—N—Q的这个过程中,总共用的时间是大于1/8+1/2=5/8个周期的,总共的时间是3/4个周期,所以剩下的时间,也就是从Q点向上振动的时间,是小于3/4-5/8=1/8个周期的,而质点如果从Q 点开始向上振动的时间是1/8个周期,首先从Q点到平衡位置的过程中,质点是在做加速度改变的加速运动,既然是加速,那么前一半时间内(即从Q到平衡位置需要1/4个周期,1/4个周期的一半,1/8个周期)的平均速度要小于后一半时间平均速度,而时间是相同的,都是1/8个周期,那么路程肯定是前一半时间的路程要短,即从Q向上振动的前1/8个周期内路程是小于1/2倍的振幅的,更何部现在是在小于1/8个周期的时间段内,质点从Q点开始向上振动的路程,会更加小于1/2倍的振幅的,在这个图上就表示为小于2.5M,那么PM=2.5M,MQ=10M,Q向上小于2.5M,这一大段路程加起来是小于15M的,也就是小于3倍的振幅,因此,我们发现,如果质点不是在平衡位置或者是最大位移处开始振动,那么3/4倍的周期内,它所走过的路程绝对不是3倍振幅。

质点振动方程表达式

质点振动方程表达式

质点振动方程表达式质点振动是物体在外力作用下沿着某一方向上往复运动的一种运动形式。

它是振动和波动学科中的基本概念之一,广泛应用于物理学、力学、电磁学、声学等领域。

质点振动可以用物理方程进行描述,其中最常见的是质点振动的等效谐振动方程。

假设一个质量为m的质点在一个势能函数U(x)的驱动下沿x轴方向上进行简谐振动,其振动方程可以用以下数学表达式表示:m * d^2x/dt^2 + kx = F(t)其中,m是质点的质量,x是质点的位移,t是时间,k是弹性系数(也称为振动系统的刚度系数),F(t)是外力对质点的作用力。

该方程由两个主要部分组成。

首先,左侧的项m * d^2x/dt^2表示质点受到的惯性力,即质点在加速度作用下的惯性反作用力。

通过牛顿第二定律(F = ma),可以得到该项。

其次,右侧的项kx代表质点受到的恢复力。

根据胡克定律,该恢复力与质点的位移成正比,且方向与质点相反。

弹性系数k决定了恢复力的大小,它描述了系统对质点位移的抵抗程度。

同时,外力F(t)可能存在于系统中,如重力、摩擦力等。

这些外力在整个振动过程中对质点的位移产生影响。

在一些特殊情况下,如无阻尼、无外力等,振动方程可以简化为以下形式:d^2x/dt^2 + (k/m)x = 0该方程描述了无阻尼简谐振动,也就是质点在没有外力作用下在势能函数U(x)的作用下往复运动。

通过解振动方程,可以得到质点振动的位移函数x(t)和速度函数v(t)。

此外,还可以计算振动的频率、周期、角频率等参数,以揭示振动现象的特征。

总结起来,质点振动方程表达式是描述质点在驱动力作用下进行振动运动的数学模型。

其形式主要由质量、位移、时间、弹性系数和外力等因素决定。

通过对振动方程的求解,可以获得振动的运动规律和基本特性。

机械波中各质点的振幅

机械波中各质点的振幅

机械波的基本规律⑴机械波传播的只是振动的形式和能量质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动,并不随波迁移。

(2)介质中各质点的振幅相同振动周期和频率都与波源的振动周期和频率相同。

(3)各质点开始振动(即起振)的方向均相同,并与波源的起振方向相同。

(4)一个周期内,质点完成一次全振动,通过的路程为4A,位移为零。

(5)波从一种介质进入另一种介质,由于介质的情况不同,它的波长和波速可能改变,但频率和周期都不会改变。

(6)振源经过一个周期T完成一次全振动,波恰好向前传播一个波长的距离。

⑺若波在t时间内往前传播了距离X,则波速v=∖frac{x}{t}o
(8)质点振动nT(波传播n人)时,波形不变。

(9)相隔波长整数倍的两质点,振动状态总相同,相隔半波长奇数倍的两质点,振动状态总相反。

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其振幅随时衰减
• (3) 0 临界阻尼: 是物体不作往复运动的极限,也是过阻 尼和欠阻尼的临界点。
振幅随时间按照指数规律衰减:x(t) Aet
衰减振动应用
• 乐器需要有不同的衰减振动时间。例如打 击乐器,需要较长振动持续时间。
• 电声器件如扬声器,需要振动衰减很快, 否则会引起瞬态失真。
2
随t缓变 随t快变
合振动可看作振幅缓变的简谐振动
x1 t
x2 t
x t
拍:合振动忽强忽弱的现象 拍频 : 单位时间内强弱变化的次数 =|2-1|
三、两个相互垂直的同频率谐振动的合成
x A1 cos(t 1 ) y A2 cos(t 2 )
消去参数t,得轨迹方程
x2 A12
四.垂直方向不同频率简谐振动的合成
•两分振动频率相差很小
= ( 2- 1) t + ( 2- 1)
可看作两频率相等而 2- 1 随t缓慢变化合运动轨迹将
按上页图依次缓慢变化
y A1
• 两振动的频率成整数比 轨迹称为李萨如图形
x y= 32 2=0, 1= /4
x = x1+ x2
2Acos( 2 1 ) t cos( 2 1 ) t
2
2
合振动不是简谐振动
当 2 1时
2- 1 2+ 1
x A(t)cos t
其中
A(t ) 2 Acos( 2 1 ) t
2
cos t cos( 2 1 t )
1)相位差 2 1 2K , K 0,1,2
A A1 A2
2)相位差 2 1 (2K 1) , K 0,1,2
A A1 A2
3)一般情况 (相位差任意)
A1 A2 A A1 A2
二、两个同方向不同频率谐振动的合成
(只讨论两频率都较大,而频率差很小的情况) 合成的合振动的振幅,时而加强时而减弱——拍现象。
设两振动的振幅相同,初相为零
x1
x2


A1 cos1t
A2 cos2t
A1 cos 2 1t
A2 cos 2
(设 2t
A1 A2

合振动的位移为:
x x1 x2 A1 cos 2 1t A2 cos 2 2t
自由振动固有频率,由弹簧弹性 系数、系统质量决定。
• 例如,敲击钢琴的某个琴键,不论力度如 何,发出声音的频率是一定的。
• 例:P14例2-1
§2 阻尼(衰减)振动
• 阻尼振动的定义: 振幅随时间而减小的振动。
• 阻尼振动的图像: 对比
• 振动方程: 阻力系数Rm
阻力Fr=-Rm·v
引入新的参量 Rm
受迫振动的频率、振幅
物体在外力驱动下振动时,振动稳定后的 频率等于外力驱动的频率,跟物体的固有 频率没有关系.
如果驱动力的频率接近或等于物体的固 有频率时,振动物体的振幅将达到最大.
因此:受迫振 动的振幅A与驱 动力的频率和 振动系统的固 有频率有关, 它们之间的这 种关系可用图 象来表示:这 个图象叫共振 曲线(如右 图).
2M
, 称为阻尼系数。
d2x dt 2
2
dx dt

w02
x

0
衰减振动规律
• (位1移)缓慢回到0 平时衡,位过置阻,尼不。再振做动往从复开运始动最。大
• (2) 0欠阻尼:系统衰减振动,运动方程为:
x(t) Aet cos(wdt )
其中 wd w02 2
A称为振幅
o

2
T

k 称为角频率(或圆频率),即单位时间 m 内相位的变化值,由系统本身决定。
f 1 0 称为振动频率,单位时间内振动的次数。
T 2
T 1 2 f 0
叫做周期,每隔T 时间运动完全重复
0 初相位
两个同频率简谐振动的相位差:
0 20超前10
20 10
例题:
• 1.已知一自由振动的弹簧振子的运动方程为 • x 2.0 102 cos(4t 4 ) ,画出运动图像。
3
(2)已知曲线求 A T
例题:已知某质点作简谐运动,振动曲线如图 ,试根据图中数据写出振动表达式。
X(m)
2
2
O 1
t(s)
-2
解:设运动表达式
x A cos(t )
质点振动系统
§1 自由振动
• 1.振动图像 • 2.运动方程 • 3.动力学方程 • 4.固有频率概念、意义
自由振动图像
• 振动图像的获得: • 振动图像的特点:
系统的位移按
x(t) Acos(0 t o )
的规律运动。
简谐振动的周期和频率、振幅
x(t) Acos(0 t o )
-A2
o
x A2
- A1
x

(2 A1
cos
2
2
1
2
t ) cos
2
2
1
2
t

2
A1
cos(

2
2
1
)
t

cos(

2
2
1
)
t
2 1
2
——合振动的频率
2 A1
cos
2

2

2
1
t
——合振动的振幅
可见,合振幅出现时大时小的现象.
变化的周期为:
1
2 1
上述结果也可用旋转矢量合成法求得。
共鸣箱(在乐器上用的比较多)
§4 运动的合成
简谐振动是最基本的运动形式,存在于 许多物理现象中。 复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。
乐音都是由简谐振动的叠加形成的,即由一 系列不同频率、振幅的正弦波叠加形成。
噪声
简谐振动的合成
一、同方向同频率谐振动的合成
x1 A1 cos(t 1 )
x2 A2 cos(t 2 )
A2
合位移:
x Acos(t )
合振幅:
O x2
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
arctg A1 sin1 A2 sin2 A1 cos 1 A2 cos 2
A
A1
x1 x X
讨 论:
由图可见,A=2m,当t = 0时有:
x0 2 cos 2
解得:
4
当t = 1时有
x1

2
cos(


4
)

0
解得: 3
4
x 2 cos(3 t ) 0
44
固有频率
wo
k M
称为固有角频率
f0

w0
2

1
2
k M
称为固有频率
可见,振动频率仅同系统的固有参 量有关,而与振动初始条件无关。
§3 受迫振动 共振
系统在周期性外力持续作用下所发生的振动 周期性的外力称为策动力
例如:扬声器纸盆振动系统,受到持续 的电磁策动力作用而振动
传声器音膜在持续的声波作用下产生振 动。
外力开始作用时较复杂,不长时间后,阻尼衰减 忽略不计,达到稳定谐振状态:
x
o
t
• 受迫振动试验观察:
• 思考:从试验中观察,受迫振动的振幅、 频率的规律?
由共振曲线可知道:
• 当驱动力频率等于物体固有频率时,物体振幅 最大,驱动力频率与固有频率相差越大,物体 的振幅越小.
• 驱动力的频率接近物体的固有频率时,受迫振 动的振幅最大,这种现象叫做共振.
共振
驱动力的角频率为某一定值时,受迫振动的 振幅达到极大值的现象。
单摆的共振试验观察 • 声音的共振现象叫共鸣.

y2 A2 2

2 xy A1 A2
cos(2
1 )

sin2 (2
1 )
讨论:
2
1
0
y
A2 A1
x
2 1

2

x2 A12

y2 A2 2
1
= 0
= /4
= /2
= 3/4
=
= 5/4
= 3/2 = 7/4
0 20落后10
=(2n1) 反相
=2n 同相
动力学方程
• 物体所受合力=质量×加速度
∴ F=m·a
其中
F

k

x, a

d2x dt 2

k
x

m
d2x dt 2
d2x dt 2

k m
x

0
令 wo
k M

d2x dt 2

w02
x

0
数学上能严格证明它的唯一可能解
x x(t) Acos(0t 0 )
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