第八章 虚拟变量回归

Yi = α （ Yi = α
0
0
+ α 1）+ β X i + µ i
+ β X i + µi
城市 农村
意义： 显著，则表明在控制了工作时间这一因素后， 意义：若α1显著，则表明在控制了工作时间这一因素后，城市 居民的平均人均可支配收入比农村高α 居民的平均人均可支配收入比农村高 1元。如果影响收入的所 有其它因素均被控制， 有其它因素均被控制，则可以认为此时的收入差异是由户籍因 13 素引起。 素引起。
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例如，比较收入时考察性别的作用。 例如，比较收入时考察性别的作用。当研究男性收入是否 高于女性时，是将女性作为比较的基础（参照物），故有 高于女性时，是将女性作为比较的基础（参照物），故有 ）， 男性为“ 女性为“ 男性为“1”，女性为“0”。
1 D = 0 男 女
再如，在考察改革开放后国民收入的变化时，我们是将改 再如，在考察改革开放后国民收入的变化时， 革开放前的国民收入作为比较基准，因此虚拟变量应设为： 革开放前的国民收入作为比较基准，因此虚拟变量应设为：
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虚拟变量设置规则 虚拟变量设置规则
虚拟变量的设置规则涉及三个方面: 虚拟变量的设置规则涉及三个方面 1.“0”和“1”选取原则 和 选取原则 2.属性因素与设置虚拟变量个数的关系 属性因素与设置虚拟变量个数的关系 3.虚拟变量在回归分析中的角色以及作用等方面的问题 虚拟变量在回归分析中的角色以及作用等方面的问题 虚拟变量取“ 或 的原则: 虚拟变量取“1”或“0”的原则 的原则 “0”代表基期（比较的基础，参照物）； 代表基期（比较的基础，参照物）； 代表基期 代表报告期（ “1”代表报告期（被比较的效应）。 代表报告期 被比较的效应）。
模型形式： 模型形式：
Yi = f ( X t , D t , D t X t )
例，同样研究消费支出 Y 、收入 X 、年份状况 D间的影 响关系。 响关系。 Yt = α 0 + β1 X t + α1Dt + β 2 ( Dt X t ) + µt
1 反常年份 其中： Y − 消费支出；X − 收入； Dt = 0 正常年份 反常年份 E (Yt | X t , Dt = 1) = (α 0 + α1 ) + ( β1 + β 2 ) X t 正常年份 E (Yt | X t , Dt = 0 ) = α 0 + β1 X t 在正常年份基础上比较，截距和斜率系数都改变。
计量经济学
第八章 虚拟变量回归
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第八章 虚拟变量回归
本章主要讨论: 本章主要讨论:
●为什么引入虚拟变量 ●用虚拟解释测量截距变动 ●用虚拟解释测量斜率变动 ●分段回归
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一、为什么引入虚拟变量
定量因素：指可直接测度的数值型因素。 定量因素：指可直接测度的数值型因素。 定性因素：也称属性因素。是不能直接测度的、 定性因素：也称属性因素。是不能直接测度的、说明某种 属性存在与否的非数值型因素。 属性存在与否的非数值型因素。 在计量分析中，有时因变量不仅受到定量因素的影响，还 在计量分析中，有时因变量不仅受到定量因素的影响， 会受到一些定性因素的影响，如性别、国籍、民族、 会受到一些定性因素的影响，如性别、国籍、民族、自 然灾害和政治体制等。 然灾害和政治体制等。 问题：我们如何把这些定性因素纳入计量分析模型？ 问题：我们如何把这些定性因素纳入计量分析模型？
意义： 显著， 意义：若α1显著，表明城市居民的平均人均可支配收入比农村 但这种差异可能是由其它因素引起的， 高α1元。但这种差异可能是由其它因素引起的，并不一定是由 户籍差异引起。 户籍差异引起。
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模型形式 Yi = f(Di，X i )+ µi
（2) 一个两属性定性解释变量和一个定量 解释变量
而列向量 D1 + D2 + D3 + D4 + D5 + D6 = 1
故模型必然存在完全的多重共线性关系， 故模型必然存在完全的多重共线性关系，这种情况称之为 多重共线性陷阱
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第二节 虚拟解释变量的回归
本节基本内容: 本节基本内容:
●用虚拟变量测量截距变动
●用虚拟变量测量斜率变动 ●分段线性回归
可能的情形: 可能的情形
（1）截距不变； ）截距不变； （2）截距和斜率均发生变化； ）截距和斜率均发生变化；
分析手段：仍然是条件期望。 分析手段：仍然是条件期望。
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（1）截距不变
模型形式： 模型形式：
Yt = f ( X t , Dt X t ) + ut
例：研究消费支出 Y 受收入 X 、年份状况 D 的影响 Yt = α + β1Xt + β2(Dt Xt ) + µt
2
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一个例子(虚拟变量陷阱) 一个例子(虚拟变量陷阱)
研究工资收入与学历之间的关系： 研究工资收入与学历之间的关系：
若总体回归模型为： 若总体回归模型为： w = β 0 + β 1 x + u 其中x表示工作年限
若学历定义为6个层次，即小学、初中、高中、大学、研 若学历定义为 个层次，即小学、初中、高中、大学、 个层次 究生、博士，则我们应该在回归模型中加入5个虚拟变量 个虚拟变量： 究生、博士，则我们应该在回归模型中加入 个虚拟变量：
1 初中 1 高中 1 大学 1 博士 1 研究生 D1 = D2 = D5 = D3 = D = 0 其它 0 其它 0 其它 4 0 其它 0 其它
则总体回归模型为： 则总体回归模型为： w = β 0 + β 1 X + β 2 D1 + β 3 D2 + β 4 D3 + β 5 D4 + β 6 D5 + u
1 大学 D3 = 0 其它
1 小学 D6 = 0 其它
则总体回归模型： 则总体回归模型：
w = β 0 + β 1 X + β 2 D1 + β 3 D2 + β 4 D3 + β 5 D4 + β 6 D5 + β 7 D6＋u
的系数矩阵为： 的系数矩阵为： X = (1, X , D1 , D2 , D3 , D4 , D5 , D6 )n×8
1 反常年份 其中：Y −消费支出；X −收入； Dt = 0 正常年份 反常年份 E(Yt | Xt , Dt =1) = α + (β1 + β2) Xt 正常年份 E(Yt | Xt , Dt = 0) = α + β1Xt 在正常年份的基础上进行比较，（只有斜率系数发生改变）。
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（2）截距和斜率均发生变化
= 0) = α0 + β X i
该模型反映的是：在控制了收入因素之后， 该模型反映的是：在控制了收入因素之后，季节和户籍因素是 否会显著影响啤酒的销售量。 显著异于零， 否会显著影响啤酒的销售量。若α1 、α2显著异于零，说明夏季 啤酒销售量显著高于冬季， 啤酒销售量显著高于冬季，且城市居民的啤酒消费显著高于农 村居民
例如：Yi = α 0 + α1 Di + β X i + பைடு நூலகம்i 1 城市 其中： Y－人均可支配收入；X－工作时间; Di = 0 农村
E (Yi | X i , Di = 1 ) = α 0 + α 1） β X i （ + E (Yi | X i , Di = 0 ) = α 0） β X i （ +
（3）一个定性解释变量（两种以上属性） 一个定性解释变量（两种以上属性） 和一个定量解释变量
模型形式 Yi = f ( X i，1， 2， ) + µi D D ... （如：民族有56种特性；季度有4种特性） 例如： 啤酒售量Y 、人均收入X 、季度D ； Yi = α 0 + α1D1 + α 2 D2 + α 3 D3 + β X i + µi 1 一季度 1 其中： D1 = D2 = 其 它 0 0 1 三季度 D3 = 其 它 0 二季度 其 它
思考： 的含义是什么？ 思考： β 2 ~ β 6的含义是什么？
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若我们引入了6个虚拟变量： 若我们引入了 个虚拟变量： 个虚拟变量
1 初中 D1 = 0 其它
1 研 究 生 D4 = 0 其它
1 高 中 D2 = 0 其它
1 博 士 D5 = 0 其它
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二、用虚拟变量测量斜率变动
基本思想
引入虚拟变量测量斜率变动，是在所设立的模型中， 引入虚拟变量测量斜率变动，是在所设立的模型中，将虚 拟解释变量与其它解释变量的乘积， 拟解释变量与其它解释变量的乘积，作为新的解释变量出 现在模型中，以达到其调整设定模型斜率系数的目的。 现在模型中，以达到其调整设定模型斜率系数的目的。
1 改革开放以后 D= 0 改革开放以前
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虚拟变量的设置规则
1.若定性因素有 m ≥ 个相互排斥属性，则当回 若定性因素有 个相互排斥属性， 归模型有截距项时， 个虚拟变量； 归模型有截距项时，只能引入 m-1 个虚拟变量； 2.当回归模型无截距项时，则可引入 m个虚拟变量； 当回归模型无截距项时， 个虚拟变量； 当回归模型无截距项时 否则，就会陷入“虚拟变量陷阱” 否则，就会陷入“虚拟变量陷阱”。
夏季、农村居民
E (Yi | X i , D1 = 1 , D 2 = 0 ) = α 0 + α 1）+ β X i （
冬季、城市居民 E (Yi | X i , D1 = 0, D 2 = 1 ) = (α 0 + α 2 )＋ β X i
冬季、农村居民 E (Y i | X i , D 1 = 0 , D 2
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（1）一个两属性定性解释变量而无定 量变量
这种模型又称为方差分析模型。如：Yi = α0 + α1Di + µi
其中：Yi为人均年可支配收入 1 Di＝ 0 城市 农村 （比较的基础：农村）
那么： E (Yi | Di = 1) = α 0 + α1） （ E (Yi | Di = 0 ) = α 0
( 基准：四季度)
该模型反映的是：在控制了收入因素之后， 该模型反映的是：在控制了收入因素之后，季节因素是否会显 著影响啤酒的销售量。 著影响啤酒的销售量。
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（4）两个定性解释变量（均为两种属性） 两个定性解释变量（均为两种属性） 和一个定量解释变量
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夏 、 市 民 季 城 居
E (Y i | X i , D 1 = 1, D 2 = 1 ) = α 0 + α 1 + α 2）+ β X i （
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一、用虚拟变量测量截距变动
引入虚拟变量测量截距变动时时， 引入虚拟变量测量截距变动时时，主要考虑的问题是定性 因素的属性和引入虚拟变量的个数。 因素的属性和引入虚拟变量的个数。 分为四种情形讨论： 分为四种情形讨论： （1）解释变量只有一个定性变量而无定量变量，而且定性 ）解释变量只有一个定性变量而无定量变量， 变量为两种相互排斥的属性； 变量为两种相互排斥的属性； （2）解释变量分别为一个定性变量（两种属性）和一个定 ）解释变量分别为一个定性变量（两种属性） 量解释变量； 量解释变量； （3）解释变量分别为一个定性变量（两种以上属性）和一 ）解释变量分别为一个定性变量（两种以上属性） 个定量解释变量； 个定量解释变量； （4）解释变量分别为两个定性变量（各自分别是两种属性） ）解释变量分别为两个定性变量（各自分别是两种属性） 和一个定量解释变量； 和一个定量解释变量；
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基本思想：将这些定性因素进行量化 基本思想：
由于定性变量通常表示某种属性是否存在，如是否男性、 由于定性变量通常表示某种属性是否存在，如是否男性、 是否经济特区、是否有色人和等。因此若该属性存在， 是否经济特区、是否有色人和等。因此若该属性存在， 我们就将变量赋值为1，否则赋值为0， 我们就将变量赋值为 ，否则赋值为 ，从而将定性因素 定量化。 定量化。 计量经济学中，将取值为 和 的人工变量称为 的人工变量称为虚拟变量 计量经济学中，将取值为0和1的人工变量称为虚拟变量 表示。 （DUMMY）或哑元变量。通常用字母 或DUM表示。 ） 哑元变量。通常用字母D或 表示
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一季度：E(Yi | X1, D =1, D2 = D3 = 0) = α0 +α1） β Xi （ + 1 二季度：E(Yi | X1, D2 =1, D = D3 = 0) = (α0 +α2) + β Xi 1 四季度：E(Yi | X1, D = D2 = D3 = 0) = α0 + β Xi 1 三季度：E(Yi | X1, D3 =1, D = D2 = 0) = (α0 +α3) + β Xi 1