缓和曲线计算公式

第四节圆曲线加缓和曲线及其主点测设

§11—4 圆曲线加缓和曲线及其主点测设

一、缓和曲线的概念

二、缓和曲线方程

三、缓和曲线常数

四、圆曲线加缓和曲线的综合要素及主点测设

一、缓和曲线的概念

1、为什麽要加入缓和曲线？

(1)在曲线上高速运行的列车会产生离心力,为克服离心力的影响，铁路在曲线部分采用外轨超高的办法,即把外轨抬高一定数值.使车辆向曲线内倾斜,以平衡离心力的作用,从而保证列车安全运行。

图11-10(a).(b）为采用外轨超高前、后的情况。

外轨超高和内轨加宽都是逐渐完成,这就需要在直线与圆曲线之间加设一段过渡曲线——缓和曲线.

缓和曲线: 其曲率半径ρ 从∞逐渐变化到圆曲线的半径R 。

2、缓和曲线必要的前提条件（性质）：

在此曲线上任一点P 的曲率半径ρ与曲线的长度l成反比,如图11-12所示,以公式表示为：

ρ ∝ 1l 或ρ. l = C (11-4)

式中: C 为常数,称曲线半径变更率。

当 l= l o时，ρ= R ，按（11-4）式，应有

C = ρ.l= R .l o (11-5)

符合这一前提条件的曲线为缓和曲线，常用的有辐射螺旋线及三次抛物线，我国采用辐射螺旋线。

3、加入缓和曲线后的铁路曲线示意图（见图11-J）

二、缓和曲线方程

1、加入缓和曲线后的切线坐标系

坐标原点：以直缓(ZH)点或缓直(HZ)点为原点；

X坐标轴：直缓(ZH)点或缓直(HZ)点到交点(JD)的切线方向；

Y坐标轴：过直缓(ZH)点或缓直(HZ)点与切线垂直的方向。

其中： x、y 为P点的坐标； x o、y o为HY点的坐标；

ρ 为P 点上曲线的曲率半径； R 为圆曲线的曲率半径

l 为从ZH点到P 点的缓和曲线长； l o为从ZH点到HY点的缓和曲线总长；

2、缓和曲线方程式:

根据缓和曲线必要的前提条件推导出缓和曲线上任一点的坐标为

实际应用时, 舍去高次项, 代入C=R*l o，采用下列公式：

式中：l 为缓和曲线上任一点P 到直缓（ZH）点的曲线长；R 为圆曲线半径；l o为缓和曲线总长度。

当l=l o时，则x=x o , y=y o, 代入（11-6）式。

3、缓圆(HY )点或圆缓(YH )点的坐标:

注意：当线路为高速铁路时,计算缓和曲线点的坐标应多取一项.

代入C=R*l o，可得方程。

三、缓和曲线常数

1、缓和曲线的插入

前提条件：转向角不变，即直线的方向不变。插入的方法：

（1）圆曲线半径不变，圆心内移；铁路曲线采用。

（2）圆心不动，圆曲线半径变小；公路曲线采用。

不论哪种方法插入，所用数学公式都一样。

b）图是没有加设缓和曲线的圆曲线。为了在圆曲线与直线之间加入一段缓和曲线l o,原来的圆曲线需要在垂直于其切线的方向移动一段距离p.其变化:

1）圆心由O移动到O1，而原来的半径R 保持不变， O-O1在过O1点到切线垂线上的投影为P：P = OO1*cosα/2 ；

2）加入了两个缓和曲线长l o , 圆曲线l o变短了,整个曲线变长了。

3）切线变长了；

4）曲线的主点有五个：直缓点（ZH）、缓圆点(HY)、曲中点(QZ)、圆缓点(YH)、缓直点(HZ)。

2、缓和曲线常数：βoδo m、p、x o、y o

2）缓和曲线总偏角βo：即从 (ZH)测设（HY）或从 (HZ)测设 (YH)的偏角。

3）切垂距m：即ZH(HZ)至自O1向ZH（HZ）的切线作垂线之垂足的距离。

4）圆曲线移动量（内移距）p：

即垂线长与圆曲线

半径R之差。

5）YH点（HY）坐标x o、y o：

3、缓和曲线常数：βoδo m、p、x o、y o、计算公式为：

根据 R及l0 ，缓和曲线常数可按上式直接计算，也可以在曲线表中的缓和曲线常数表中以R及l0 为引数查取。摘录如:表11-4

例11-3： R=500m, l0=60m,求缓和曲线常数。

根据(11-7)、(11-8)式计算得：(也可直接从表11-4查得)。

四、圆曲线加缓和曲线的综合要素及主点测设

1．圆曲线加缓和曲线的综合要素计算法：（如图）

(点击放大）

其中：曲线长L——包括圆曲线

长L0及两倍缓和曲线长2l0 ;

切曲差q ——两倍切线长与曲线长之差

查表法

当圆曲线半径R、缓和曲线长l0及转向角α已知时,曲线要素T、L、E0、q的数值可根据也可由曲线表第一、二册中第一表(如表11-5)查得。

例11-4：已知R=500m, l0=60m, α=28°36′20″，ZH点里程为33+, 求综合要素及主点的里程。

（1）综合要素计算，根据式(1-8)、(11-9)式，计算得：

T=+

L=+

E0=+

q=+

以上结果，也可查表11-5（综合要素表）求得。

2、计算主点里程

已知： ZH点里程为33+，

T= ; l0=60m

L= ; q=

则有：检核：

3．主点测设见图11-J

（点击放大）

1）ZH点（或HZ点）、QZ点、HY（YH）点的测设方法：

置镜JD：A、后视直线Ⅰ的ZD1点，在视线上钢尺量取（T-x o）得HY点在切线上的垂足1 ；再量取x o得ZH点,打桩钉小钉；

B、后视直线Ⅱ的ZD2点，在视线上钢尺量取（T-x o）得YH点在切线上的垂足2 ；再量取x o得HZ点,打桩钉小钉；

C、后视直线Ⅰ的ZD1点，定出的方向线，钢尺量取E o定出QZ点，打桩钉小钉。置镜 1点（2点）：

后视切线方向精测直角,钢尺丈量y o，打桩钉小钉，定出HY点（或YH点）。

置镜 JD：定出ZH、QZ、HZ、1、2点；

置镜 1点（2点）：定出HY、YH点。

精度要求同圆曲线.

注意：测设曲线点前，应先在ZH或HZ点安置经纬仪，核对HY或YH点的偏角δo 是否正确。