数理方程Bessel 函数

(5) 证明 (1) 解
∫J
0
( x) sin xdx = xJ 0 ( x) sin x − xJ 1 ( x) cos x + C .
2mJ m ( x) − J m −1 ( x) 得 x 2 J 1 ( x) − J 0 ( x) x
由 J m +1 ( x) =
J 2 ( x) =
4 J ( x) 4 J ( x) 4 J ( x) 8 4 J 3 ( x) = 2 − J1 ( x ) = 8 12 − 0 − J1 ( x ) = ( 2 − 1) J1 ( x) − J 0 ( x) x x x x x 1 ' (2) 证明：由 ( x) [ J m −1 ( x) − J m +1 ( x)] 得 Jm = 2
(3) 证明：= 由 J v ( x)
1 x ' ( x) [ J m −1 ( x) − J m +1 ( x)] 得 [ J v +1 ( x) + J v −1 ( x= ) , Jm 2 2v x 2 ' 2 J= [ J v −1 ( x) − J v2+1 ( x)] v ( x) J v ( x) 2v
= R ( ρ ) AJ m ( k ρ ) + BYm ( k ρ )
其中 A, B为任意常数和 , Jm
Ym 为第一类和第二类 Bessel 函数。
由周期条件，方程（4）的解为
= Φ m Am cos mϕ + Bm sin mϕ= ( m 0,1, 2)
由波动问题及解在 ρ → 0 有限的条件，方程（2）的解为 = Tn Cn cos kn at + Dn sin kn at 例2 用 Jν ( x) 的级数表达式证明： （1） J
1 并移项得 a UT
2
T '' ∇ 2U = a 2T U 上式左边仅是 t 的函数；右边是 ρ , t 的函数。若要使等式成立，两边应为同一个 常数，记为 −k 2 ，则有
T ''+ a 2 k 2T = 0
(2)
∇ 2U + k 2U = 0
(3) （3）式为二维亥姆霍兹方程，它在平面极坐标系下的表达式为： U ρρ + 1
1 ( x) = 2
−
2 cos x ； （2） πx
∞
∫
π
2 0
J 0 ( x cos θ ) cos θdθ =
sin x x
证明： （1） 因为 J v ( x) = ∑
∞
x (−1) k ( ) 2 k + v ， 所以 k = 0 k !Γ ( k + v + 1) 2
∞ (−1) k (−1) k 2 x 2k x 2k − 1 2 ( ) ( ) J 1 ( x) ∑ = = ∑ − 1 1 1 1 1 = k 0= k 0 2 k !Γ(k − + 1) 2 k !(k − )(k − − 1) 3 (k − − k )Γ( ) π x 2 2 2 2 2 2 k k ∞ ∞ (−1) 2 2k (−1) (2k )(2k − 2) 3 2 2 2 k = x x ∑ ∑ k k !(2k − 1)(2k − 3) 31 ⋅ 2 π x k !(2k )!2k πx k 0= k 0
I 2 = x 3 J 1 ( x ) + 2 x 2 J 0 ( x ) − 4 xJ 1 ( x ) + C = ( x 3 − 4 x)J1 ( x) + 2 x 2 J 0 ( x) + C
（3） 利用(1)，(3)两式，就可求出 f n 表达式中的积分
∫
（4） 于是有
b
0
( 0) 4 Hb 2 J 1 ( xn ) ρ2 − 1 ( ) H J d = µ ρ ρ ρ n 3 2 0 ( 0 ) b xn
叠加得到：
= u( ρ , t )
∑ [ An cos
n =1
∞
(0) xn x (0) x (0) at + Bn sin n at ]J 0 ( n ρ ) R R R
(0) (0) xn xn ∂u 由初始条件 = 0 代入得到： Bn a ρ ) = 0 ⇒ Bn = 0 J0 ( ∂t t =0 R R
(−1) k 2k k ! 2 2 k ∞ (−1) k x 2 k 2 = = x ∑ ∑ (2k )! k !(2k )!2k π x πx k 0= k 0 = =
∞
2 cos x πx
（2） ∫ 2 J 0 ( x cos θ ) cos θ dθ = ∫ 2 ∑
0 0
π
πBiblioteka Baidu∞
(−1) k x 2 k ( ) cos 2 k +1 θ dθ 2 2 k = 0 ( k !)
1 '' '' '' '' (2) 证明 J n ( x) = [ J n − 2 ( x ) − 2 J n ( x ) + J n + 2 ( x )] . 4 d 2 x (3) 证明 [ J v ( x)] = [ J v2−1 ( x) − J v2+1 ( x)] . dx 2v d (4) 证明 [ xJ 0 ( x) J 1 ( x)] = x[ J 02 ( x) − J 12 ( x)] . dx
( 0) 由零阶 Bessel 函数的零点 x n 确定本征值
( 0) xn b
µn =
按公式(5.25)，有
( 0) 2 [N n ] =
b2 ( 0) 2 J 1 ( xn ) 2
[
]
为求 f n 表达式中的积分，先计算以下不定积分 I 1 = ∫ xJ 0 ( x )dx = xJ 1 ( x ) + C （ 1 ）
[ ]
fn = 即
[x ] J ( x
( 0) 3 n 1
8H
( 0) n
)
例6
ρ2 ∞ 8H H 1 − 2 = J 0 ( µn ρ ) ∑ ( 0) 3 ( 0) b n =1 xn J1 xn 求解下列定解问题：
( )
2 ∂ 2u 1 ∂u 2 ∂ u = + ( ) ( 0 < ρ < R, t > 0 ) a ∂t 2 2 ∂ ∂ ρ ρ ρ ∂u ρ2 = − = u 1 , 0, t =0 2 ∂ R t t =0 u < ∞, u ρ R =0. = ρ 0=
(5) 证明：用贝塞尔函数的递推公式，得：
∫J
0
( x) sin xdx = xJ 0 ( x) sin x − ∫ x[ J 0 ( x) cos x − J1 ( x) sin x]dx = xJ 0 ( x) sin x − ∫ xJ 0 ( x) cos xdx − ∫ xJ1 ( x)d cos x =xJ 0 ( x) sin x − ∫ xJ 0 ( x) cos xdx − [ xJ1 ( x) cos x − ∫ xJ 0 ( x) cos xdx] = xJ 0 ( x) sin x − xJ1 ( x) cos x + C 例 4 计算 ∫ x 3 J 0 (ax)dx 。 解 令 ax = t ，得
x
∫
0
x3 J 0 (ax)dx =
1 a4
∫
ax
0
t 3 J 0 (t )dt ==
1 a4
∫
ax
0
t 2 d [tJ1 (t )]
1 3 2 ax x3 2 ax 2 ax t J ( t ) | J ( t ) dt J ( ax ) d [t J 2 (t )] = − = − 1 0 1 1 a4 a 4 ∫0 a4 a 4 ∫0 x3 2 x3 2x2 ax =4 J1 (ax) − 4 t 2 J 2 (t ) |0 =4 J1 (ax) − 2 J 2 (ax) a a a a 例 5 在第一类齐次边界条件下，把定义在 (0, b) 上的函数 f ( ρ ) = H (1 − ρ 2 b 2 ) 按零阶 Bessel 函数 J 0 ( µ n ρ ) 展开成级数． 解：由 Bessel 函数的完备性，有
I 2 = ∫ x 3 J 0 ( x )dx = ∫ x 2 [ xJ 0 ( x )]dx = ∫ x 2 d [ xJ 1 ( x )] =x 3 J 1 ( x ) − ∫ 2 x 2 J 1 ( x )dx = x 3 J 1 ( x) − 2 x 2 J 2 ( x) + C
（2） 下面利用 Bessel 函数的降阶公式以简化结果，可得
(0) 由边界条件 u ρ = R = 0 得到： CJ 0 ( λ R) = 0 ，即 λ R = xn 。
由此得到本征值为 λ = [ 故问题的一般解为：
(0) xn x (0) ]2 ，本征函数为 J 0 ( n ρ ) 。 R R
(0) (0) (0) xn xn xn = un ( ρ , t ) P = Cn J 0 ( ρ )[ An cos at + Bn sin at ] n = 1, 2, n ( ρ )Tn (t ) R R R
ρ2 ∞ = ∑ f n J 0 ( µn ρ ) − H 1 b2 n =1 fn = 1
( 0) 2 [N n ]
∫
b
0
ρ2 J 0 ( µ n ρ ) ρdρ − H 1 b2
其中的模方，因为属于第一类齐次边界条件 J 0 ( µ n b) = 0
第五章
Bessel 函数
5．2 基础训练 5.2.1 例题分析 例 1 试用平面极坐标系把二维波动方程分离变量：
utt − a 2 (u xx + u yy ) = 0
（1） 解 先把时间变量 t 分离出来，令 u ( ρ , ϕ , t ) = U ( ρ , ϕ )T (t ) ，代入方程（1） U ( ρ , ϕ )T ''(t ) − a 2∇ 2U ( ρ , ϕ )T (t ) = 0 两边同乘以
'' ( x) = Jm
1 ' ' [ J m −1 ( x) − J m +1 ( x )] 2 1 1 1 1 = { [ J m − 2 ( x) − J m ( x)] − [ J m ( x) − J m + 2 ( x)]} = [ J m − 2 ( x) − 2 J m ( x) + J m + 2 ( x)] 2 2 2 4
解：令 u ( ρ , t ) = P( ρ )T (t ) 代入原方程，得
T ′′(t ) + λ a 2T (t ) = 0 （1）
ρ 2 P′′( ρ ) + ρ P′( ρ ) + λρ 2 P( ρ ) = 0
（2） （1）式的通解为 = T (t ) A cos λ at + B sin λ at （2）式的通解为： = P ( λ ρ ) CJ 0 ( λ ρ ) + DY0 ( λ ρ ) 因为 u ρ =0 < ∞ ，故 D = 0 。
即
d x 2 = [ J v ( x)]2 [ J v −1 ( x) − J v2+1 ( x)] d 2v (4) 证明：用贝塞尔函数的递推公式，得：
dJ 0 ( x) dJ ( x) d [= xJ 0 ( x) J1 ( x)] xJ1 ( x) + xJ 0 ( x) 1 d dx dx = − J1 ( x) xJ1 ( x) + J 0 ( x) xJ 0 ( x) = x[ J 02 ( x) − J12 ( x)]
同上讨论，等式两边应为同一常数，记为 m 2 ，则有
Φ ''+ m 2 Φ =0
(4)
ρ 2 R ''+ ρ R '+ (k 2 ρ 2 − m 2 ) R = 0
(5) 对（5）式作代数变换 x = k ρ 后变为贝塞尔方程 x 2 R ''+ xR '+ ( x 2 − m 2 ) R = 0 (6) 其通解是
ρ
Uρ +
1
ρ2
U ϕϕ + k 2U = 0
, ϕ ) R( ρ )Φ (ϕ ) ，代入上式得 进一步分离变量，令 U ( ρ=
R '' Φ +
1
ρ
R 'Φ +
1
ρ
2
RΦ ''+ k 2 RΦ =0
两边同乘以
ρ2
RΦ
，并整理得
ρ 2 R ''
R
ρR ' Φ '' =+ k 2 ρ 2 = − R Φ
=
∞ (−1) k x 2 k (2k )!! (−1) k x 2 k 2k k ! sin x = ( ) = ( ) ∑ ∑ 2 2 (k !) 2 (2k + 1)!! k 0 (k !) 2 (2k + 1)!! x k 0= = ∞
例3
利用 Bessel 函数的递推公式：
(1) 将 J 3 ( x) 用 J 0 ( x) 及 J 1 ( x) 表出；