多元复合函数的微分法习题

多元复合函数的微分法习题

1. 书上习题8 24（6），（8）；

2. 设)(22y x f y

z -=，求f 为可微函数，证明：

211y

z y z y x z x =∂∂+∂∂。 3. 设),(v u f 是二元可微函数，),(y

x x y f z = ，求 y

z y x z x ∂∂+∂∂。 4. 设)(),(x y g y x xy f z +=，f ,g 均为可微函数，求x

z ∂∂。 5. 设),()sin(y

x x xy z ϕ+=，其中ϕ有二阶连续偏导数，求y

x z ∂∂∂2。 6. 设),(v u f 具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂v

f u f ，又))(21,(),(22y x xy f y x

g -=，求

2222y g x g

∂∂+∂∂。

解答

1. 24（6）

),(22xy

e y x

f z -=，求x z ∂∂，y z ∂∂。 xy ye f x f x

z ⋅'+⋅'=∂∂212， xy xe f y f x

z ⋅'+-⋅'=∂∂21)2(。

24（8）

),(xy y x f z -=，求y

x z ∂∂∂2。 21f y f x

z '+'=∂∂， 2221212112f xy f y f f x f y

x z ''+''+'+''+''=∂∂∂。

2. 设)(22y x f y

z -=，求f 为可微函数，证明：

211y

z y z y x z x =∂∂+∂∂。 令 2

2y x u -=，)(u f y z =， )()

(2)()(22u f u f xy x u u f u f y x z '-=∂∂'⋅-=∂∂， )

()(2)()()()(1222u f u f y u f y u u f u f y u f y z '+=∂∂'⋅-=∂∂， ∴ 211y

z y z y x z x =∂∂+∂∂

3. 设),(v u f 是二元可微函数，),(y

x x y f z = ，求 y z

y x z x ∂∂+∂∂。

y f x y f x z

1

)(221⋅'+-⋅'=∂∂，

)(1221y x

f x f y z

-⋅'+⋅'=∂∂，

0=∂∂+∂∂y z

y x z

x 。

4. 设)(),(x y

g y x xy f z +=，f ,g 均为可微函数，求

x z ∂∂。

))((1

221x y

x y

g y f y f x z

-'+⋅'+⋅'=∂∂。

5. 设),()sin(y

x x xy z ϕ+=，其中ϕ有二阶连续偏导数，求y

x z ∂∂∂2。 y

xy y x z 1)cos(21⋅'+'+=∂∂ϕϕ， )()sin()cos(2

122y x xy xy xy y x z -''+-=∂∂∂ϕ )(1

22222y x y -''+'-ϕϕ。

6.设),(v u f 具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂v f u f ，又))(21,(),(22y x xy f y x g -=，求 2222y g

x g

∂∂+∂∂。 x f y f x g ⋅'+⋅'=∂∂21， y f x f y g ⋅'-⋅'=∂∂21， ][221221221122f x f y x f f xy y f x g ''+''+'+''+⋅''=∂∂ 2222121122f f x f xy f y '+''+''+''=， ][221221221122f y f x y f f xy x f y g ''-''-'-''-⋅''=∂∂ 2222121122f f y f xy f x '-''+''-''=， 2211

222222)()(f y x f y x y g

x g

''++''+=∂∂+∂∂22y x +=。