图解法分析火车转弯

图解法分析火车转弯公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

图解法分析火车转弯问题

问题的提出基本概念

火车转弯时如果速度合适，铁轨就不会受到轮缘的侧向压力。如果速度低于所要求的速度，内侧铁轨就会受到侧向挤压；如果速度高于所要求的速度，外侧铁轨就会受到侧向挤压。这个结论需要高中生掌握，但这个结论的得出，我们不得不承认在一定程度上是凭的直觉。本文试图用图解法来讨论这个问题。在本文中，我们约定平行于铁轨所在平面的压力称为侧向压力；垂直于铁轨所在平面的压力称为正压力。

定性分析

我们所要讨论的问题中轨道圆在水平面内，因此合力（向心力）的方向总是水平的。另一方面，重力的大小和方向也总是不变的。我们的讨论也是基于这两个不变性的：

在图1中，火车的速度恰好符合要求，重力和支持力的合力提供火车做圆周运动的向心力。若火车的速度减小，根据向心力的表达式

R

v m F 2

知向心力将减小。然而重力是不变的，因此其他力的合力将变成

图2中粉红色的有向线段所表示的力。我们进一步分析这个力的分力：一是轨道对火车的垂直于轨道所在平面的力（正压力）；一是轨道对火车的平行于轨道所在平面的力（侧向压力）。我们把这个粉红色的线段所表示的力分解到它的两个分力所在的方向，就得到了表示侧向压力的线段和正压力的线段（图2

中鲜绿色线段）。从图中可以看出，这时火

重力

O N

图1 图2

图3

图4

车将受到一个沿轨道平面向上的侧向压力，并且它将随着速度的减小而增大（图4）。另一方面，表示垂直于斜面的支持力（正压力）的线段比原来短了，表明支持力减小了，并且我们会看到，随着速度的减小，支持力将逐渐减小。

当火车的速度增大时（大于所要求的数值），用同样的方法（图3）可以得到：火车将受到一个沿轨道所在平面向下的侧向压力，并且随着速度的增大而增大（图4）。另一方面，支持力将大于原来的支持力（图3），并且随着速度的增大而增大（图4）。

定量计算

侧向压力的计算：首先我们先看速度较小时的情景，如图2所示，设轨道所在平面的倾角为θ，火车驶过转弯处没有侧向压力时的速度为

0v 。则：

2

2cos sin cos tan v R m mg R v m mg F θθθθ-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=侧 速度较大时，如图3所示。有：

θθθθsin cos cos tan 22mg v R m mg R v m F -=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=侧 如果我们规定沿轨道所在平面向上为正，向下为负，则上面的计算结果可以归纳为一个公式：

θθsin cos 2

mg v R

m F +-

=侧 上面的结果表明：当速度为零时，侧向压力为θsin mg ，这是我们熟知的重力沿斜面向下的分力；当侧向压力为零时，速度为θtan gR 。侧

表示的并非大小，而是方向。

正压力的计算：以小于规定速度行驶有：

θθθθθcos sin sin tan cos 2

2mg v R

m R v m mg mg F +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=正 以大于规定速度行驶有：

θθθθθcos sin sin tan cos 22mg v R m mg R v m mg F +=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+=正 从上面的计算可以看出，不管哪种情况，我们总有：

θθcos sin 2

mg v R

m F +=

正 从上式可以看出：当速度为零时，正压力为θcos mg ；当以规定的速度行驶时，正压力为θ

cos mg

。正压力随速度变化的情况从图象中一目了然。

示例：如图所示，火车道转弯处的半径为r ，火车质量为m ，两铁轨的高度差为h （外轨略高于内轨），两轨间距为L (L >>h )，求：

(1)火车以多大的速率υ转弯时，两铁轨不会给车轮沿转弯半径方向的侧压力

(2)υ是多大时外轨对车轮有沿转弯半径方向的侧压力 (3)υ是多大时内轨对车轮有沿转弯半径方向的侧压力

解答：设内外轨间的距离为L ，内外轨的高度差为h ，火车转弯的半径为

R ，则火车转弯的规定速度为v 0 F 合=mg tan α≈mg sin α=mgh/L

由牛顿第二定律得：

v 2

F 合=ma 所以mgh/L=

即火车转弯的规定速度

根据牛顿第二定律

v

R

α==L

Rgh

v =